Как найти угол между ребрами даны координаты

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) – (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) – (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x – 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) – j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i – 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

16

Задание
1.1.

Даны
координаты вершин пирамиды
,
,
,
.

1).
длину ребра
;

2).
угол между ребрами

и
;

3).
угол между ребром

и гранью
;

4).
площадь грани
;

5).
объём пирамиды;

6).
уравнение прямой
;

7).
уравнение плоскости
;

8).
уравнение высоты, опущенной из вершины

на грань
.

Решение.

1).
Используем формулу для нахождения длины
ребра через
координаты его конечных точек:

.

2).
Запишем координаты векторов

и
:

;

Угол
между ребрами
– это угол между векторами

и
,
поэтому используем соответствующую
формулу:

.

Тогда,
получим:

.

3).
Угол между
ребром и гранью
– это угол между вектором

и нормальным вектором плоскости
.

Находим
нормальный вектор

плоскости

как векторное произведение векторов

и
:

.

Далее,
используем соответствующую формулу
для вычисления искомого угла:

.

Следовательно,

.

4).
Площадь грани

вычисляется как половина длины векторного
произведения векторов

и
,
на которых она построена, т.е. половина
длины нормального вектора плоскости
.
Тогда, получим:

Векторное
произведение:

i(5
• 2-0 • (-3)) – j(0 • 2-(-3) • (-3)) + k(0 • 0-(-3) • 5)
= 10i + 9j + 15k

.

5).
Используем формулу для нахождения
объёма
пирамиды
через координаты векторов
;
;
,
на которых она построена:

.

6).
Запишем симметричные уравнения
прямой

через координаты точки

и направляющего вектора
:

;

.

7).
Запишем уравнение
плоскости

по известному нормальному вектору

и точке плоскости
:

;

;

;

.

8).
Направляющим вектором искомой высоты
есть нормальный вектор плоскости
:

(поскольку высота перпендикулярна к
этой плоскости).

Запишем
симметричные уравнения
высоты через
координаты точки

и направляющего вектора
:

;

;..

Задание
1.2.

Составить
уравнение и построить линию, расстояния
каждой точки которой от начала координат
и от точки

относятся как 2:1.

Решение.

Пусть

– произвольная точка данной линии.

Находим
расстояние от точки линии к началу
координат по соответствующей формуле
расстояния между двумя точками:

.

Находим
расстояние от точки на линии к точке
:

.

По
условию, найденные расстояния относятся
как 2:1. Следовательно,

;
;

.

Преобразуем
полученное уравнение указанной линии:

;

;

;

;

;

.

Выделяем
полные квадраты:

;

;

;

;

;

.

Следовательно,

– каноническое уравнение окружности
с центром в точке

и радиусом
.

Задание
1.3.

Дана
система линейных уравнений. Доказать
её совместность и решить методом Гаусса.

.

Решение.

Теорема
Кронекера-Капелли: для того, чтобы
линейная система уравнений являлась
совместной необходимо и достаточно,
чтобы ранг основной матрицы системы
был равен рангу расширенной матрицы.

Запишем
расширенную матрицу системы:

.

Сводим
расширенную матрицу системы к
трапециевидной форме, используя
эквивалентные преобразования.

Поменяем
местами первую и третью строки расширенной
матрицы:

.

Разделим
первую строку на 2.

.

Умножим
первую строку на (-2) и прибавим ко второй.
Полученные результаты запишем во вторую
строку новой расширенной матрицы.

.

Умножим
первую строку на (-3) и прибавим к третьей.
Полученные результаты запишем в третью
строку новой расширенной матрицы.

.

Прибавим
вторую строку к третьей. Полученные
результаты запишем в третью строку
новой расширенной матрицы.

.

Требуемая
форма расширенной матрицы получена.
Количество ненулевых строк основной и
расширенной матрицы одинаковы, поэтому
ранг основной матрицы равен рангу
расширенной. Это означает, что система
линейных уравнений является
совместной.

Из
последней расширенной матрицы находим
решение системы (обратный ход):

1).
из третьей строки получим:

;
;

2).
из второй строки получим:

;
;
;

3).
из первой строки получим

;
;
.

Таким
образом
,,.

Выполним
проверку полученного решения. Подставляя
найденные значения x₁,x₂,x_3.

Приходим
к тождеству.

Задание
1.4.

Привести
к каноническому виду уравнения линий
второго порядка. Сделать чертежи.

а).
;

б).
;

в).
.

Решение.

а).
.

Разделим
обе части уравнения на 2:

;
;
.

Следовательно,
имеем каноническое уравнение эллипса
с центром в начале координат, с фокусами
на оси ординат (поскольку
),
малой полуосью

и большой полуосью
.

б).
.

Разделим
обе части уравнения на 3:

;
;
.

Следовательно,
имеем каноническое уравнение гиперболы
с фокусами на оси абсцисс, действительной
полуосью

и мнимой полуосью
.

в).
.

Выделяем
полный квадрат по переменной
:

;
;

.

Тогда,
получим:

;
;
.

Следовательно,
получили каноническое уравнение параболы
с вершиной в точке
,
с фокусом на отрицательной полупрямой

(парабола опущена ветками вниз)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Онлайн калькулятор. Вычисление угла между векторами

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти угол между двумя векторами (косинус угла между векторами) для плоских и пространственных задач.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между векторами и закрепить пройденный материал.

Калькулятор для вычисления угла между векторами

Инструкция использования калькулятора для вычисления угла между векторами

Ввод даных в калькулятор для вычисления угла между векторами

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления угла между векторами

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Вычисление угла между векторами

Угол между двумя векторами a и b можно найти использовав следующую формулу:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Скалярное произведение векторов

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα

Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

Сначала докажем равенства

для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

Тогда, →AB = →OB – →OA = →b – →a = (bx – ax, by – ay)

Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:

то последнее равенство можно переписать так:

а по первому определению скалярного произведения имеем

Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + . + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Введем систему координат.

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:

Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:

Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:

Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

• В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
• В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Нахождение угла между векторами: онлайн калькулятор

Два вектора всегда образуют угол. Чтобы найти угол между двумя векторами на плоскости или в пространстве, нужно использовать формулу для скалярного произведения и знать длины векторов. Сначала вычисляется косинус угла между векторами, затем находится и сам угол.

Чтобы найти угол между векторами онлайн, не нужно самостоятельно производить громоздкие вычисления. Достаточно просто задать два вектора в удобной форме (точки или координаты) и нажать кнопку «рассчитать».

Как найти угол между векторами с помощью онлайн-калькулятора

Для нахождения угла между векторами с помощью нашего онлайн-калькулятора выполните несколько простых действий:

1. Укажите размерность векторов. Это может быть плоскость или пространство.
2. Определитесь с формой представления векторов. Их можно задать координатами либо точками:
3. В соответствующие поля введите значения векторов и нажмите «Рассчитать».
   Рассмотрим наглядный пример с произвольными значениями. Пусть у нас есть два вектора на плоскости, заданные координатами:

   После того, как мы нажмем «Рассчитать», калькулятор выдаст решение с пояснением:

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov

http://zaochnik.com/online-calculators/operacii-nad-vektorami/ugol-mezhdu-vektorami/

[/spoiler]