В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.
Угол между скрещивающимися прямыми – определение
Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.
Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые a и b. Проведем прямые а1 и b1 параллельные скрещивающимся a и b. Точка М1 является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а1 и b1 являются пересекающимися прямыми.
Обозначим угол между a1 и b1 равным значению α. Построение прямых a2 и b2 параллельно скрещивающимися относительно a и b в точке М2 отличной от М1 приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как α. То есть угол между прямыми a1 и b1 равен углу между a2 и b2. В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки М1 и М2 совпадают.
Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.
Отсюда следует, что угол не зависит от точки M и ее выбора. Поэтому точка M может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.
Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.
Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат Охуz. Имеется задача, в которой необходимой найти угол α, образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.
Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M, что дает понять, через нее проходят прямые a1 и b1, которые параллельны скрещивающимся a и b. Угол α , образованными прямыми a и b, из этого определения получится равным пересекающимся a1 и b1.
Для нахождения искомого угла между a1 и b1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a1 и b1.
Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz).
Векторы a→ и b→ имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α=arccosa→, b→a→·b→=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2, а a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.
Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2.
При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α=1-cos2 α.
Найти угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые заданы уравнениями x2=y-40=z+1-3 и x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R и определяются в системе координат Охуz.
Решение
Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что a→=(2, 0, -3) является направляющим вектором прямой x2=y-40=z+1-3. При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что b→=(1, -1, 4) является направляющим вектором для прямой вида x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R.
Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что
α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2=arccos2·1+0·(-1)+(-3)·422+02+(-3)2·12+(-1)2+42==arccos1013·18=arccos10326
Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен arccos10326.
Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра AD и ВС, принадлежащие пирамиде ABCD, с известными вершинами с координатами A(0, 0, -1), B(5, 7, -5), C(3, 7, -5), D(1, 3, 1).
Решение
AD→ и BC→ являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.
Получаем, что AD→=(1-0, 3-0, 1-(-1))⇔AD→=(1, 3, 2)BC→=(3-5, 7-7, -5-(-3))⇔BC→=(-2, 0, -2)
Из формулы cos α=arccosAD→, BC→AD→·BC→ находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида
cos α=1·(-2)+3·0+2·(-2)12+32+22·(-2)2+02+(-2)2=614·8=327
Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что sin α=1-cos2α=1-3272=1927.
Ответ: sin α=1927, cos α=327.
В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.
Имеется прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами АВ=3, АD=2 и AA1=7 единиц. Точка E делит прямую АА1 как 5:2. Определить угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А1С.
Решение
Ребра заданного параллелепипеда являются взаимно перпендикулярными, поэтому необходимо ввести прямоугольную систему координат для определения угла между указанными скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
Для начала вводится прямоугольная система координат Охуz. Получаем, что начало координат является совпадающим с вершиной A, а Ох совпадает с прямой AD, Оу с AB, а Оz с АА1. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда имеем, что точка B с координатами (0, 3, 0), E – (0, 0, 5), AА – (0, 0, 7), C – (2, 3, 0). Исходя из координат, мы можем получить координаты векторов BE→ и A1C→, необходимые для дальнейшего решения задачи. Получаем, что BE→=(0, -3, 5), A1C→=(2, 3,-7).
Применим формулу для нахождения угла, образованного скрещивающимися прямыми, при помощи координат направляющих векторов. Получаем выражение вида
α=arccosBE→, A1C→BE→·A1C→=arccos0·2+(-3)·3+5·(-7)02+(-3)2+52·22+32+(-7)2==arccos4434·62=arccos22527
Ответ: arccos22527.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сущность метода координат, как метода решения задач состоит в том, что задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различной геометрические соотношения мы можем решать геометрическую задачу средствами, алгебры метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией которой дают богатые плоды. Какие они не могли бы дать, оставаясь разделёнными.
В некоторых случаях метод координат даёт возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально красиво, чем чисто геометрическими способами. Координатно- векторный способ позволяет без особого труда решить стереометрическую задачу из курса ЕГЭ профильной математики.
Вспомним теорию!
Интерактивное приложение
Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Видеоразбор задания
Решим задачу из открытого банка заданий ФИПИ.
Проверьте свои знания и пройдите веб-квест по этой теме:
Интерактивный формат заданий из открытого банка заданий ФИПИ:
Буду рада вам! Подписывайтесь на мои каналы!
https://www.youtube.com/channel/UCrrze24VyUrfKKfpoa9uL1Q
Как известно из курса планиметрии, две прямые в плоскости могут пересекаться (имеют общую точку) или быть параллельными (не имеют общую точку).
В пространстве мы можем найти множество примеров ситуаций, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
Теорема «Признак скрещивающихся прямых»
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство
Рассмотрим прямую (AB), лежащую в плоскости, и прямую (CD), которая пересекает плоскoсть в точке (D), не лежащей на прямой (AB).
Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.
1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.
В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными. 
Рис. (3). Параллельные прямые.
Рис. (4). Пересекающиеся прямые.
Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые (AB) и (CD). 
Рис. (6). Доказательство теоремы.
1. Через точку (D) можно провести прямую (DE), параллельную (AB).
2. Через пересекающиеся прямые (CD) и (DE) можно провести плоскость (α).
3. Так как прямая (AB) не лежит в этой плоскости и параллельна прямой (DE), то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
Теорема доказана.
1. Если прямые параллельны, то угол между ними —
0°
.
2. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, образованных этими прямыми. Если все углы равны, то эти прямые перпендикулярны (образуют угол
90°
).
3. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.
Обрати внимание!
Провести соответственные прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым, можно через любую точку. Иногда удобно выбрать эту точку на одной из данных скрещивающихся прямых и провести через эту точку прямую, параллельную другой из скрещивающихся прямых.
Пример:
Рис. (7). Куб.
Найти угол между
AB
и
B1D1
.
Выберем точку
B
на прямой
AB
и проведём через
B
прямую
BD
параллельно
B1D1
.
Рис. (8). Куб с дополнительными построениями.
Угол между
AB
и
BD
—
45°
, так как
ABCD
— квадрат.
Соотвeтственно, угол между
AB
и
B1D1
— тоже
45°
.
