В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.
Угол между скрещивающимися прямыми – определение
Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.
Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.
Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые a и b. Проведем прямые а1 и b1 параллельные скрещивающимся a и b. Точка М1 является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а1 и b1 являются пересекающимися прямыми.
Обозначим угол между a1 и b1 равным значению α. Построение прямых a2 и b2 параллельно скрещивающимися относительно a и b в точке М2 отличной от М1 приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как α. То есть угол между прямыми a1 и b1 равен углу между a2 и b2. В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки М1 и М2 совпадают.
Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.
Отсюда следует, что угол не зависит от точки M и ее выбора. Поэтому точка M может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Нахождение угла между скрещивающимися прямыми
Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.
Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.
Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат Охуz. Имеется задача, в которой необходимой найти угол α, образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.
Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M, что дает понять, через нее проходят прямые a1 и b1, которые параллельны скрещивающимся a и b. Угол α , образованными прямыми a и b, из этого определения получится равным пересекающимся a1 и b1.
Для нахождения искомого угла между a1 и b1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a1 и b1.
Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz).
Векторы a→ и b→ имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α=arccosa→, b→a→·b→=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2, а a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.
Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α=a→, b→a→·b→=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2.
При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α=1-cos2 α.
Найти угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые заданы уравнениями x2=y-40=z+1-3 и x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R и определяются в системе координат Охуz.
Решение
Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что a→=(2, 0, -3) является направляющим вектором прямой x2=y-40=z+1-3. При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что b→=(1, -1, 4) является направляющим вектором для прямой вида x=1+λy=1-λz=-3+4·λ, λ∈R.
Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что
α=arccosax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2=arccos2·1+0·(-1)+(-3)·422+02+(-3)2·12+(-1)2+42==arccos1013·18=arccos10326
Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен arccos10326.
Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра AD и ВС, принадлежащие пирамиде ABCD, с известными вершинами с координатами A(0, 0, -1), B(5, 7, -5), C(3, 7, -5), D(1, 3, 1).
Решение
AD→ и BC→ являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.
Получаем, что AD→=(1-0, 3-0, 1-(-1))⇔AD→=(1, 3, 2)BC→=(3-5, 7-7, -5-(-3))⇔BC→=(-2, 0, -2)
Из формулы cos α=arccosAD→, BC→AD→·BC→ находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида
cos α=1·(-2)+3·0+2·(-2)12+32+22·(-2)2+02+(-2)2=614·8=327
Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что sin α=1-cos2α=1-3272=1927.
Ответ: sin α=1927, cos α=327.
В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.
Имеется прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами АВ=3, АD=2 и AA1=7 единиц. Точка E делит прямую АА1 как 5:2. Определить угол между скрещивающимися прямыми ВЕ и А1С.
Решение
Ребра заданного параллелепипеда являются взаимно перпендикулярными, поэтому необходимо ввести прямоугольную систему координат для определения угла между указанными скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.
Для начала вводится прямоугольная система координат Охуz. Получаем, что начало координат является совпадающим с вершиной A, а Ох совпадает с прямой AD, Оу с AB, а Оz с АА1. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда имеем, что точка B с координатами (0, 3, 0), E – (0, 0, 5), AА – (0, 0, 7), C – (2, 3, 0). Исходя из координат, мы можем получить координаты векторов BE→ и A1C→, необходимые для дальнейшего решения задачи. Получаем, что BE→=(0, -3, 5), A1C→=(2, 3,-7).
Применим формулу для нахождения угла, образованного скрещивающимися прямыми, при помощи координат направляющих векторов. Получаем выражение вида
α=arccosBE→, A1C→BE→·A1C→=arccos0·2+(-3)·3+5·(-7)02+(-3)2+52·22+32+(-7)2==arccos4434·62=arccos22527
Ответ: arccos22527.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сущность метода координат, как метода решения задач состоит в том, что задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различной геометрические соотношения мы можем решать геометрическую задачу средствами, алгебры метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией которой дают богатые плоды. Какие они не могли бы дать, оставаясь разделёнными.
В некоторых случаях метод координат даёт возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально красиво, чем чисто геометрическими способами. Координатно- векторный способ позволяет без особого труда решить стереометрическую задачу из курса ЕГЭ профильной математики.
Вспомним теорию!
Интерактивное приложение
Алгоритм нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Видеоразбор задания
Решим задачу из открытого банка заданий ФИПИ.
Проверьте свои знания и пройдите веб-квест по этой теме:
Интерактивный формат заданий из открытого банка заданий ФИПИ:
Буду рада вам! Подписывайтесь на мои каналы!
https://www.youtube.com/channel/UCrrze24VyUrfKKfpoa9uL1Q
Скрещивающиеся прямые
Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?
Ты можешь спросить, а чего тут определять? Угол, он и в Африке (то есть в пространстве) – угол!
И действительно, если прямые лежат в одной плоскости, то угол между ними ищется так же, как и на плоскости:
Наименьший из двух углов, образованных при пересечении.
Но что же делать, если прямые совсем не пересекаются?
Читай эту статью и всё узнаешь!
Скрещивающиеся прямые — коротко о главном
Если прямые лежат в разных плоскостях (т.е. не пересекаются), нужно через произвольную точку на одной прямой (например, прямая ????) провести прямую, параллельную другой прямой (например, прямую ????′, где ????′||????.
Скрещивающиеся прямые — подробнее
Как найти угол, если прямые не пересекаются?
Вот, например: прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) скрещиваются. Какой угол между ними?
Чтобы это определить, делаем так: через произвольную точку одной прямой (например ( displaystyle b)), нужно провести прямую ( displaystyle {a}’||a).
И тогда угол между ( displaystyle a) и ( displaystyle b) будет равен (по определению!) углу между ( displaystyle {{a}’}) и ( displaystyle b).
Да, но как это применить в задачах? Давай посмотрим.
Решение задач на угол между скрещивающимися прямыми
В кубе ( displaystyle ABCD{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}) найти угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}).
Решаем:
Прямые ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) не пересекаются, но нужно как-то найти угол между ними.
Пользуемся правилом: через точку ( displaystyle {{C}_{1}}) проведем прямую ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}). Она будет параллельна ( displaystyle AC).
Значит, угол между ( displaystyle AC) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) равен углу между ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}) и ( displaystyle D{{C}_{1}}). Осталось его найти.
Смотри: ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}), ( displaystyle {{A}_{1}}D) и ( displaystyle D{{C}_{1}}) – диагонали граней куба, поэтому ( displaystyle {{A}_{1}}{{C}_{1}}={{C}_{1}}D={{A}_{1}}D), то есть ( displaystyle Delta {{A}_{1}}{{C}_{1}}D) – равносторонний.
Поэтому ( displaystyle angle {{A}_{1}}{{C}_{1}}D=60{}^circ ).
Ответ: ( displaystyle 60{}^circ ).
Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Задачи на скрещивающиеся прямые и углы между ними попадаются сплошь и рядом в этом вебинаре.
ЕГЭ 8. Куб. Параллелепипед. Призма – расстояния и углы в пространстве
На этом уроке мы на примере самых простых объемных фигур научимся находить важнейшие вещи в стереометрии — расстояния и углы в пространстве.
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости
Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.
Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?
Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.
Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β . Проведем в плоскости β прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.
Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.
Дадим еще два полезных определения.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.
Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.
Читаем дальше: Теорема о трех перпендикулярах.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.05.2023
Учебник
Геометрия, 10 класс
Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве
Скрещивающиеся прямые – не параллельны, не имеют общих точек, не пересекаются.
Признаки Скрещивающихся прямых
- 1-ая прямая лежит в плоскости, а 2-ая пересекает плоскость в точке не из 1-ой, то прямые скрещивающиеся.
- Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой. Единственная.
- Скрещивающиеся $a$ и $b$ : есть пара пареллельных плоскостей $alpha$ и $beta$, таких что $ain alpha$, $bin beta$
Задача 1: В прямоугольном параллелепипеде $ABCDMNKL$ найти угол между
скрещивающимися прямыми $AN$ и $BK$, если известны ребра $BA=36$, $BN=15$, $BC=20$
- Как находить угол между двумя стереометрическими объектами? по алгоритму параллельных переносов, совмещений.
- Свойство инвариантности углов при параллельном переносе стереометрических объектов – прямых, плоскостей:
- Если объекты $A$ и $B$ параллельны соответственно $A’$ и $B’$, то углы между парами равные: $angle left(A;Bright)=angle left(A’;B’right)$
- В нашем случае, $BKparallel AL$, поэтому равны углы $angle left(AN;BKright)=angle left(AN;ALright)=angle NAL$
- Перетащим $BK$ по плоскости $BKLA$ вдоль $BA$ до совмещения с точкой $A$. Тогда $BK$ совметится с отрезком $AL$.
- Итак, мы ищем угол $angle NAL$. Найдем его через теорему косинусов в треугольнике $ANL$ для угла $angle NAL$ :
- *** $NL^2=AN^2+AL^2-2cdot ANcdot NLcdot cos angle NAL$
- Стороны $AN$, $NL$ и $AL$ можем признать диагоналями граней – прямоугольников, значит, найти их по теоремам Пифагора.
- Решение: $AN=sqrt{36^2+15^2}=39$ $AL=sqrt{20^2+15^2}=25$ $NL=sqrt{36^2+20^2}=4cdot sqrt{106}$
- Из теоремы косинусов $cos angle NAL=frac{AN^2+AL^2-NL^2}{2cdot ANcdot AL}=frac{39^2+25^2-16cdot 106}{2cdot 39cdot 25}=frac{450}{1950}=frac{3}{13}$ Ответ: $angle NAL=arccos frac{3}{13}$
- Признак: $NAL$ – плоскость угла: $ANin NAL$ и $BKparallel NAL$
case I 
case II 
Алгоритм: нахождение угла между прямыми путем параллельного переноса (демонстрация по II, прямые $AN$, $BK$ ):
1-ый шаг: Выбираем точку, в которой хотим совместить прямые. Например, точку $Z$ – середину отрезка $BK$.
2-ой шаг: Для прямой $AN$ определим плоскость “скольжения” – плоскость, содержащая эту прямую и точку $Z$. Это $ANC$
3-ий шаг: Двинем прямую $AN$ по плоскости $ANC$ оставаясь параллельно “как стержень”. Она совместится с отрезком $ZX$.
4-ый шаг: Что за точка $X$ ? угол $angle XZB$ – именно то, что нам нужно: $angle XZB=angle left(XZ;BKright)=angle left(AN;BKright)$.
Признак: – увидеть ту главную плоскость угла , которая параллельна обеим скрещивающимся прямым. Здесь это $XZB$.
Задача 2: В правильной треугольной призме все ребра 1. Найти косинус угла $angle left(AB;CMright)$
- $ABCMNK$ правильная призма: в основании правильный $bigtriangleup ABC$ , ребро $BN$ перпендикулярно основанию.
- Нужен угол между $AB$ и $CM$. Выберем Точкой совмещения $M$. Прямая $CM$ уже проходит через нее.
- Прямая $AB$ и точка $M$ лежат в плоскости $ABNM$. Значит, $ABNM$ – плоскость сколжения. $AB$ перейдет в $MN$.
- Путем параллельного совмещения $AB$ с $MN$ мы устоновили, что искомый угол – это $angle CMN$.
- Косинус угла $angle CMN$ можно найти по теореме косинусов треугольника $CMN$: $cos angle CMN=frac{CM^2+MN^2-CN^2}{2cdot CMcdot MN}$
- Признак: $CMN$ – плоскость угла: $ABparallel CMN$ и $MCin CMN$
k задачe 2 
к задаче 3 
Задача 3: В правильном тетраэдре $DABC$ все ребра 1 см. Найти угол между $AD$ и $BC$.
- Для нахождения угла, совместим “движениями” наши прямые в точку $O$ – основание высоты $DO$ .
- В правильном тетраэдре в основании равносторонный треугольник $DABC$, высота пирамиды попадает в центр окружностей.
- Точка $O$ – пересечение высот, медиан, биссектрис. $O$ лежит на высоте $AH$ , $DH$ – высота грани $BDC$.
- В точке $O$ проведем прямую параллельную прямой $BC$. Им будет линия $MN$
- В точке $O$ проведем прямую $OK$, параллельную $AD$. Она будет лежат в плоскости $ADH$ Значит, $Kin DH$.
- Итак, “взамен” наших $AD$ и $BC$ мы получили прямые $OK$ и $MN$ : $OKparallel AD$, $MNparallel BC$
- по свойству углов при параллельном переносе $angle left(AD;BCright)=angle left(OK;MNright)=angle MOK$
- Найти $angle MOK$ ? Легко! учтите, что у нас правильный тетраэдр и находите.
- Признак: $MONK$ – плоскость угла: $ADparallel MONK$ и $BCparallel MONK$
Алгоритм: вычисление угла в пространстве или плоскости
- В каком треугольнике этот угол? узнать стороны треугольника и найти угол по теореме косинусов.
- Если треугольник окажется равнобедренным, то провести высоту и найти угол прямоугольного треугольника.
- А если треугольник прямоугольный, то написать cos или sin или tg этого угла и найти как arc !
Задача 4: В кубе $ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ все ребра равны 1. Точка $Q$ – середина ребра . Точка $K$
делит ребро $D_1D$ в соотношении 1 : 3 считая от вершины $D_1$, а точка $M$ делит $C_1C$ в соотношении
5 : 2 считая от вершины $C_1$. Найти угол между скрещивающимися прямыми $BQ$ и $KM$ .
- Параллельными переносами добъемся совмещения в точке $B$. Для этого, перенесем $KM$ в два этапа.
- Сперва соскользим $KM$ по грани $DD_1C_1C$ вдоль $C_1C$ до вершины $C$. Получим отрезок $CYparallel MK$
- Затем, $CY$ протащим параллельно себе вдоль пути $CB$ и перейдем к отрезку $BXparallel CY$.
- В итоге получили то, что надо: $KM$ параллельна $BX$, потому как $MKparallel CYparallel BX$.
- Требуемый угол $angle left(MK;BQright)=angle left(BX;BQright)=angle XBQ$. Найдем его через треугольник $bigtriangleup XBQ$
- В теореме косинусов нам нужны стороны этого треугольника. Вычислим постепенно, шаг за шагом, зная ребро куба 1:
- Из отношения $frac{D_1K}{DK}=frac{1}{3}Rightarrow D_1K=frac{1}{4} DK=frac{3}{4}$. Из отношения $frac{C_1K}{CM}=frac{5}{2}Rightarrow C_1M=frac{5}{7} CM=frac{2}{7}$
- $MKparallel CYRightarrow KY=MC$ отрезок $DY=D_1D-D_1K-KY=1-frac{1}{4}-frac{2}{7}=frac{13}{28}$
- $BXparallel CYRightarrow BX=DY=frac{13}{28}$. По условию задачи $B_1Q=frac{1}{2}$.
- Нужные нам стороны треугольника $bigtriangleup XBQ$ являются гипотенузами прямоугольных треугольников.
- Зная все катеты, как части ребер, по теореме Пифагора найдем стороны $XB$, $BQ$, $XQ$.
- Нужный угол $angle XBQ$ вычислим из теоремы косинусов $XQ^2=XB^2+BQ^2-2cdot XBcdot BQcdot cos angle XBQ$
- наконец: $cos angle XBQ=frac{XB^2+BQ^2-XQ^2}{2cdot XBcdot BQ}$ $angle XBQ=arccos frac{XB^2+BQ^2-XQ^2}{2cdot XBcdot BQ}$
- Признак: $XBQ$ – плоскость угла: $KMparallel XBQ$ и $BQin XBQ$
Задача 5: В правильной треугольной призме $ABCMNK$ все ребра равны 2. Точка $D$ делит
ребро $MN$ в отношении 3 : 2 считая от вершины $M$. Найдите угол между прямыми $AD$ и $BK$.
- Чтоб найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно “подвигать параллельно” $AD$ и $BK$ до совмещения.
- Если двинуть $AD$ так, чтоб точка $D$ совпала с $K$ – т.е. скользить по плоскости $ADK$, но тогда другой конец $D$ вне рисунка.
- Достроим призму до параллелепипеда $ABCYMNKZ$ и все нужные отрезки, “движения”, плоскости будут внутри!
- $AD$ скользит по плоскости $ADK$ и совпадет с $XK$. Точка $X$, конечно, окажется на ребре $YC$
- по построению: $Xin CDK$ плоскости; $ADparallel XK$ , $XCparallel AB$ . Значит, $XK$ параллельна $AD$
- Угол между прямыми $angle left(AD;BKright)=angle left(XK;BKright)=angle XKB$. Надо найти угол $angle XKB$.
- Угол $XKB$ ищем , как обычно, через треугольник $bigtriangleup XKB$, с помощью теоремы косинусов.
- Для этого надо найти стороны этого треугольника. Сторону $BK$ найдем по Пифагору для треугольника $bigtriangleup BKC$.
- $XC=MD$, найдем $MD$ из отношения 3 : 2 для $MN$ . Затем, по Пифагору $bigtriangleup XKC$ найдем $XK$.
- С вычислением $XB$ придется повозится через теорему косинусов треугольника $bigtriangleup XBC$, две его стороны известны.
- А что с углом $angle XCB$? по условию $bigtriangleup ABC$ равносторонный, значит в параллелограмме $angle YCB=120$ градусов.
- Ну и финально: как только найдем все стороны $bigtriangleup XKB$, мы найдем и его угол $angle XKB$ – то что надо!
- Признак: $XKB$ – плоскость угла: $ADparallel XKB$ и $BKin XKB$
Упражнения:
