Угол между прямыми онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку “Решить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (1.3) получим:
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
Ответ.
Угол между прямыми равен:
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
и
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.
Из уравнения (19) получим
Пример 4. Найти угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда
Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:
Упростим и решим:
Найдем угол φ:
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (2.3) получим:
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Ответ.
Угол между прямыми равен:
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
Отметим, что любую пропорцию 
нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим
Выражение (2.13) нужно понимать так:
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Определение угла между скрещивающимися прямыми
Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи.
Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.
Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых
Как найти угол между скрещивающимися прямыми
Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.
Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:
A1 + B1 + C1 = 0
A2 + B2 + C2 = 0
Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:
Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:
φ = 1800 — ψ.
Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:
Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла.
Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.
Пример решения задачи
На школьных уроках геометрии для решения в классе часто предлагается следующий вид задач по поиску угла между двумя прямыми.
Ниже приведем алгоритм решения задачи, при которой бесконечные линии на плоскости заданы уравнениями общего вида, в которых присутствует угловой коэффициент.
Обозначим прямые как (L1) и (L2). Каждая из них задается уравнением следующего вида:
А1х + В1у + С1 = 0;
А2х + В2у + С2 = 0;
Зная, что нормальные вектора каждой из них имеют вид:
Суть задачи сводится к вычислению угла φ, образованного нормальными векторами.
Используем определение скалярного произведения векторов:
и координатное выражение их длин, а также их скалярное произведение:
В практических задачах по математике часто требуется найти не сам угол между пресекающимися прямыми, а составить уравнение их всех, при условии, что прямые пересекаются между собой.
Так, если прямые заданы уравнениями общего вида с коэффициентами, то
Последнее равенство часто называют уравнением биссектрис углов, образованных в результате пересечения прямых. Понятие «биссектриса» в геометрии – это некое геометрическое место точек, которые удалены на одинаковое расстояние от сторон угла.
Если прямые задаются уравнениями, включающими угловой коэффициент, который определяется тангенсом угла, найти значение углов, образованных при их пересечении, достаточно просто:
Рис. 2 Углы, образованные пересечением двух прямых на плоскости
tan α = k1;
tan β = k2;
где k1 и k2 – те самые угловые коэффициенты.
Следовательно, чтобы вычислить значение γ, следует применить формулы:
γ = α – β
tan γ = tan (α – β)
Решение очевидно:
Определение угла между прямыми
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.
Определение Угол между прямыми – размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y = k1x + b1,
y = k2x + b2,
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX
tg α = k1
tg β = k2
Соответственно легко найти угол между прямыми
γ = α – β
tg γ = tg (α – β) = tg α – tg β1 + tg α ·tg β = k1 – k21 + k1·k2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
Если a – направляющий вектор первой прямой и b – направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + ay = m t + b
то вектор направляющей имеет вид {l; m}
Если уравнение прямой задано как
A x + B y + C = 0
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.
Если дано каноническое уравнение прямой
x – x0 l = y – y0m
то вектор направляющей имеет вид {l; m}
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
Если a – вектор нормали первой прямой и b – вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если уравнение прямой задано как
A x + B y + C = 0
то вектор нормали имеет вид {A; B}
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
y = kx + b
то вектор нормали имеет вид {1; –k}
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
Если a – направляющий вектор первой прямой и b – вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
sin φ = |a · b||a| · |b|
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x – 1 и y = -3x + 1.
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ =
k1 – k21 + k1·k2
=
2 – (-3)1 + 2·(-3)
=
5-5
= 1
Ответ. γ = 45°
Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x – 1 и x = 2t + 1y = t.
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}
cos φ =
|1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12
=
45 · 5
= 0.8
Ответ. φ ≈ 36.87°
Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и
x – 23
=
y4
.
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2x + 3y = 0 => y = -23x (k1 = -23)
x – 23 = y4 => y = 43x – 83 (k2 = 43)
tg γ =
k1 – k21 + k1·k2
=
-23 – 431 + (-23)·43
=
-631 – 89
= 18
Ответ. γ ≈ 86.82°
Угол между прямыми в пространстве
Если a – направляющий вектор первой прямой, а b – направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:
cos φ = |a · b||a| · |b|
Если дано каноническое уравнение прямой
x – x0 l = y – y0m = z – z0n
то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + ay = m t + bz = n t + c
то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}
Пример 4. Найти угол между прямыми
x = 2t + 1y = tz = -t – 1
и
x = t + 2y = -2t + 1z = 1
.
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} – направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.
cos φ =
|2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02
=
06 · 5
= 0
Ответ. φ = 90°
Пример 5 Найти угол между прямыми
x – 23
=
y4
=
z – 35
и –
x – 22
= 1 – 3y =
3z – 52
.
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
–x – 22 = x – 2-2
1 – 3y = 1 + y-1/3 = y – 1/3-1/3
3z – 52 = z – 5/32/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x – 2-2 = y – 1/3-1/3 = z – 5/32/3
{-2; -13; 23} – направляющий вектор второй прямой.
cos φ =
3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2
=
-6 – 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49
=
-450 · 41/9
=
12582
=
682205
Ответ. φ ≈ 74.63°
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение угла между прямыми
(blacktriangleright) Угол между прямыми – это такой угол (alpha), что (0leqslant alphaleqslant 90^circ).
(blacktriangleright) В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются, параллельны, скрещиваются.
(blacktriangleright) Скрещивающиеся прямые – это прямые, через которые нельзя провести одну плоскость.
Признак скрещивающихся прямых: если первая прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой, то такие прямые скрещиваются.
(blacktriangleright) Порядок нахождения угла между скрещивающимися прямыми:
Шаг 1: через одну из двух прямых (a) провести плоскость, параллельную второй прямой (b) (напомним признак: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой из этой плоскости);
Шаг 2: в этой плоскости найти прямую (c), параллельную прямой (b);
Шаг 3: тогда угол между прямыми (a) и (b) будет равен углу между прямыми (a) и (c).
Задание
1
#934
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки (AC) и (B_1D_1). Ответ дайте в градусах.
Прямая (BD) параллельна прямой (B_1D_1), тогда угол между (AC) и (B_1D_1) равен углу между (AC) и (BD), но (AC) и (BD) – диагонали квадрата, тогда они пересекаются под прямым углом, следовательно ответ (90^{circ}).
Ответ: 90
Задание
2
#2847
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S). Найдите угол между высотой пирамиды и ребром (SB), если высота пирамиды равна (2sqrt3), а сторона основания пирамиды равна (6). Ответ дайте в градусах.
Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания.
Пусть (BB_1) – медиана, а значит, и высота. По теореме Пифагора [BB_1=sqrt{BC^2-B_1C^2}=3sqrt3 quadRightarrowquad BO=dfrac23BB_1=2sqrt3,] так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.
Следовательно, прямоугольный (triangle SOB) является равнобедренным ((SO=BO=2sqrt3)), значит, острые углы равны по (45^circ).
Ответ: 45
Задание
3
#933
Уровень задания: Равен ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб. Точка (K) лежит на ребре (AA_1). Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки (D_1K) и (AB). Ответ дайте в градусах.
Так как (ABCDA_1B_1C_1D_1) – куб, то (AB) перпендикулярен плоскости ((ADD_1)), тогда (AB) перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости ((ADD_1)), следовательно, угол между прямыми, содержащими отрезки (D_1K) и (AB) равен (90^{circ}).
Ответ: 90
Задание
4
#2845
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан правильный тетраэдр (SABC). Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани (SAC), опущенной из вершины (S), и высотой грани (ABC), опущенной из вершины (B).
Пусть (SB_1) – высота грани (SAC). Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть (SB_1) также является и медианой, значит, (AB_1=B_1C). Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если (SO) – высота, то (O) – точка пересечения медиан треугольника (ABC), а значит и высот, так как (triangle ABC) правильный. Следовательно, (BB_1) — медиана и высота.
Таким образом, необходимо найти (mathrm{tg}^2angle (SB_1,
BB_1)).
Пусть (a) – ребро тетраэдра. Тогда (BC=a, B_1C=0,5a), следовательно, по теореме Пифагора [BB_1=sqrt{BC^2-B_1C^2}=dfrac{sqrt3}2a] Так как (O) – точка пересечения медиан, а медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то (OB_1=frac13BB_1=frac{sqrt3}6a).
Так как (triangle ABC=triangle SAC), то (SB_1=BB_1). Следовательно, из прямоугольного (triangle SB_1O): [cos
alpha=dfrac{OB_1}{SB_1}=dfrac13 quadRightarrowquad sin alpha
=sqrt{1-cos^2alpha}=dfrac{2sqrt2}3 quadRightarrowquad
mathrm{tg}^2alpha=(2sqrt2)^2=8.]
Ответ: 8
Задание
5
#1846
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1). Найдите угол между прямыми (AD_1) и (BD). Ответ дайте в градусах.
Заметим, что (BC_1 || AD_1), тогда рассмотрим треугольник (triangle BDC_1), в котором необходимо определить (angle DBC_1). Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов. Так как квадраты между собой равны, то равны и диагонали (Rightarrow) (triangle BDC_1) – равносторонний треугольник (Rightarrow) (angle DBC_1 = 60^circ).
Ответ: 60
Задание
6
#1847
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дан куб (ABCDA_1B_1C_1D_1). Точка (K) – середина стороны (B_1C_1), а точка (L) – середина стороны (C_1D_1). Найдите угол между прямыми (AB_1) и (KL). Ответ дайте в градусах.
Проведем диагональ (B_1D_1) в квадрате (A_1B_1C_1D_1). Тогда (KL) – средняя линия в (triangle B_1C_1D_1) (Rightarrow) (KL || B_1D_1) (Rightarrow) (angle AB_1D_1) – искомый угол. Рассмотрим (triangle AB_1D_1). Он состоит из диагоналей соответствующих квадратов (Rightarrow) треугольник является равносторонним (Rightarrow) (angle AB_1D_1 = 60^circ).
Ответ: 60
Задание
7
#2846
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана правильная треугольная пирамида (SABC) с вершиной (S). Найдите косинус угла между высотой основания (AA_1) и ребром (SC), если сторона основания равна (sqrt3), а боковое ребро равно (2).
Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, (AA_1) также является и медианой.
Заметим, что прямые (AA_1) и (SC) скрещиваются. Проведем (A_1Mparallel SC), следовательно, (angle (AA_1, SC)=angle (AA_1,
A_1M)).
Так как (A_1Mparallel SC) и (A_1) – середина (BC), то (M) – середина (SB). Следовательно, (A_1M) – средняя линия и [A_1M=frac12SC=1.] По теореме Пифагора из (triangle ABA_1): [AA_1=sqrt{AB^2-A_1B^2}=dfrac32.] Медиану (AM) из (triangle SAB) можно найти по формуле медианы: [AM^2=dfrac{2AS^2+2AB^2-SB^2}4=dfrac52.] Следовательно, по теореме косинусов из (triangle AA_1M): [cos alpha=dfrac{AA_1^2+A_1M^2-AM^2}{2AA_1cdot A_1M}=dfrac14=0,25.]
Ответ: 0,25
Каждому школьнику, который готовится к ЕГЭ по математике, будет полезно повторить тему «Нахождение угла между прямыми». Как показывает статистика, при сдаче аттестационного испытания задачи по данному разделу стереометрии вызывают трудности у большого количества учащихся. При этом задания, требующие найти угол между прямыми, встречаются в ЕГЭ как базового, так и профильного уровня. Это значит, что уметь их решать должны все.
Основные моменты
В пространстве существует 4 типа взаимного расположения прямых. Они могут совпадать, пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Угол между ними может быть острым или прямым.
Для нахождения угла между прямыми в ЕГЭ или, например, в решении задач по теореме о трех перпендикулярах, школьники Москвы и других городов могут использовать несколько способов решения задач по данному разделу стереометрии. Выполнить задание можно путем классических построений. Для этого стоит выучить основные аксиомы и теоремы стереометрии. Школьнику нужно уметь логически выстраивать рассуждение и создавать чертежи, для того чтобы привести задание к планиметрической задаче.
Также можно использовать векторно-координатный метод, применяя простые формулы, правила и алгоритмы. Главное в этом случае — правильно выполнить все вычисления. Отточить свои навыки решения задач по стереометрии и другим разделам школьного курса вам поможет образовательный проект «Школково».
УСТАЛ? Просто отдохни
2.5.7. Как найти угол между прямыми?
Новая картинка за очередным поворотом:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается
МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом
между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед 
или
отрицательно ориентированный «малиновый» угол 
. Если прямые
перпендикулярны, то за угол между ними можно принять любой из 4 углов.
…что-то не понятно? Срочно изучаем Приложение Тригонометрия!
Однако ещё раз: чем отличаются углы 
? Ориентацией (направлением «прокрутки» угла).
Напоминаю, что отрицательно ориентированный угол «прокручивается» по часовой стрелке и записывается со знаком «минус».
Следует отметить, что ориентацию угла часто не принимают во внимание, и рассматривают «просто угол», который 
.
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют три основные формулы.
Способ первый. Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе
координат: 
Если 
, то прямые перпендикулярны (
либо 
).
Если 
, то прямые не перпендикулярны и ориентированный угол 
между ними можно вычислить с помощью
формулы:
Знаменатель этой формулы – в точности, скалярное произведение направляющих векторов: 
,
которое равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны. …надеюсь, не забыли.
Задача 83
Найти угол между прямыми 
, заданными в декартовой системе координат.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим произведение:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы:
И с помощью обратной функции (см. Приложение Тригонометрия) легко найти сам угол, при этом используем нечётность арктангенса:
Ответ: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью
калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного, вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи «первым номером» идёт прямая 
и «открутка» угла началась именно с неё. Если очень хочется получить положительное значение, то нужно
поменять прямые местами, то есть коэффициенты 
взять из второго уравнения 
, а коэффициенты 
– из первого уравнения 
. Короче
говоря, начать нужно
с прямой 
.
Скрывать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.
Способ второй, он удобен, когда прямые заданы уравнениями с
угловым коэффициентом: 
(в декартовых координатах).
Если 
, то прямые перпендикулярны (
либо 
).
Если 
, то ориентированный угол 
между ними можно найти с помощью формулы:
, и на самом деле это частный случай предыдущей формулы.
К слову, из равенства 
следует полезная взаимосвязь угловых
коэффициентов перпендикулярных прямых: 
, которая используется в некоторых
задачах.
Решим Задачу 83 вторым способом, для этого перепишем прямые в нужном виде:
Таким образом, угловые коэффициенты: 
, и алгоритм похож:
1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Используем формулу:
Ответ: 
И третий способ состоит нахождении угла между направляющими векторами прямых с помощью скалярного произведения: 
, но здесь не принимается во внимание ориентация угла (по любому получится 
). Кроме того, он может оказаться тупым, и тогда придётся делать оговорку, что угол между
прямыми – это меньший угол, и из 
радиан (не из 
!) вычитать получившийся арккосинус.
Какой способ выбрать? Ориентируйтесь на вашу задачу, методичку или ситуацию.
Задача 84
Найти угол между прямыми 
.
Самостоятельно, всеми тремя способами! Решение и ответ в конце книги.
И по просьбам учащихся ещё один пункт:
2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?
2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
