Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a→ и b→ , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы OA→=b→ и OB→=b→
Углом между векторами a→ и b→ называется угол между лучами ОА и ОВ.
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a→,b→^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a→,b→^=0, когда векторы являются сонаправленными и a→,b→^=π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a→,b→^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a→, b→=a→·b→·cosa→,b→^.
Если заданные векторы a→ и b→ ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cosa→,b→^=a→,b→a→·b→
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a→ и b→ . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно -9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cosa→,b→^=-93·6=-12 ,
Теперь определим угол между векторами: a→,b→^=arccos (-12)=3π4
Ответ: cosa→,b→^=-12, a→,b→^=3π4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a→=(ax, ay), b→=(bx, by) выглядит так:
cosa→,b→^=ax·bx+ay·byax2+ay2·bx2+by2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a→=(ax, ay, az), b→=(bx, by, bz) будет иметь вид: cosa→,b→^=ax·bx+ay·by+az·bzax2+ay2+az2·bx2+by2+bz2
Исходные данные: векторы a→=(2, 0, -1), b→=(1, 2, 3) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cosa→,b→^=2·1+0·2+(-1)·322+02+(-1)2·12+22+32=-170⇒a→,b→^=arccos(-170)=-arccos170
- Также можно определить угол по формуле:
cosa→,b→^=(a→, b→)a→·b→,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a→=22+02+(-1)2=5b→=12+22+32=14a→,b→^=2·1+0·2+(-1)·3=-1cosa→,b→^=a→,b→^a→·b→=-15·14=-170⇒a→,b→^=-arccos170
Ответ: a→,b→^=-arccos170
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A(2, -1), B(3, 2), C(7, -2). Необходимо определить косинус угла между векторами AC→ и BC→.
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек AC→=(7-2, -2-(-1))=(5, -1)BC→=(7-3, -2-2)=(4, -4)
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cosAC→, BC→^=(AC→, BC→)AC→·BC→=5·4+(-1)·(-4)52+(-1)2·42+(-4)2=2426·32=313
Ответ: cosAC→, BC→^=313
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы OA→=a→ и OB→=b→ , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике ОАВ, будет верным равенство:
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) ,
что равносильно:
b→-a→2=a→+b→-2·a→·b→·cos(a→, b→)^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos(a→, b→)^=12·a→2+b→2-b→-a→2a→·b→
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
cos(a→, b→)^=a→, b→a→·b→
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Угол между векторами.
Формула вычисления угла между векторами
| cos α = | a · b |
| | a |·| b | |
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| | a | · | b | | 5 · 5 | 25 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| | a | · | b | | 5 · 6 | 15 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно – 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = – 9 3 · 6 = – 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = – 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , – 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( – 1 70 ) = – a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( – 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( – 1 ) · 3 = – 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = – 1 5 · 14 = – 1 70 ⇒ a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = – a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , – 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , – 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 – 2 , – 2 – ( – 1 ) ) = ( 5 , – 1 ) B C → = ( 7 – 3 , – 2 – 2 ) = ( 4 , – 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( – 1 ) · ( – 4 ) 5 2 + ( – 1 ) 2 · 4 2 + ( – 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → – a → 2 = a → + b → – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Угол между векторами
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
На этом занятии мы поговорим об угле между векторами. Для начала дадим определение упомянутому понятию и используем его при обозначении скалярного произведения векторов. После рассмотрим примеры построения ненулевых векторов и вычисления угла между ними. Научимся находить скалярное произведение векторов.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/
http://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov/ugol-mezhdu-vektorami
[/spoiler]
Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву и другим 200 предметам можно здесь всего за 10 минут.
Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$
Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $ |
| Решение |
|
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле: $$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $ |
| Пример 2 |
| Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $ |
| Решение |
|
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$ $$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса: $$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
| Ответ |
| Угол $ phi = 45^0 $ |
Угол между векторами
Определение
Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.
На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:
(left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.
Острый:
Тупой:
Прямой:
С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):
С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Определение
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.
В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})
Расчет угла, если вектор задан координатами
В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)), то угол между ними можно найти следующим образом:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})
Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:
(overrightarrow a=left(a_x;a_y;a_zright))
( overrightarrow b=left(b_x;b_y;b_zright))
то формула принимает такой вид:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})
Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.
Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow{AC}) и (overrightarrow{BC}).
Решение
Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:
(overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1))
(overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2))
После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:
(cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac{(overrightarrow{AC};;overrightarrow{BC})}{left|overrightarrow{AC}right|cdotleft|overrightarrow{BC}right|}=frac{3cdot4+1cdot(-2)}{sqrt{3^2+1^2}cdotsqrt{4^2+{(-2)}^2}}=frac{10}{sqrt{10}cdot2sqrt5}=frac{10}{10sqrt2}=frac1{sqrt2})
Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac1{sqrt2}.)
Примеры решения задач
Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.
Задача 1
Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.
Решение
Применим формулу:
( cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})
Подставим известные значения:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{-9}{3cdot6}=-frac12)
Далее найдем угол между данными векторами:
(arccosleft(-frac12right)=frac{3pi}4)
Ответ: (left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=-frac12,;left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{3pi}4.)
Задача 2
В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)). Вычислить угол α между ними.
Решение
Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})
Подставляем значения и получаем:
(cosleft(alpharight)=frac{8cdot(-2)+(-11)cdot(-7)+7cdot8}{sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}cdotsqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=frac{117}{sqrt{234}cdotsqrt{117}}=frac{sqrt{117}}{sqrt{234}}=frac1{sqrt2}=frac2{sqrt2})
Теперь находим угол α:
(alpha=arccosleft(frac2{sqrt2}right)=45^circ)
Ответ: (45^circ).
Задача 3
Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)). Найти угол между ними.
Решение
Для расчета используем формулу:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})
Подставим известные значения и получим:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}}=frac{3cdot2+4cdot5}{sqrt{3^2+4^2}cdotsqrt{2^2+5^2}}=frac{26}{sqrt{25}cdotsqrt{29}}=frac{26}{5sqrt{29}})
Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{26}{5sqrt{29}})
Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(−110)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).
Пример 3
Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Пример 4
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).
a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.
∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.
∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.
∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.
sin(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).
a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.
∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.
∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.
∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.
sin(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
