Угол между векторами
Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2}} $$
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{a_xcdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z}{sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2}cdot sqrt{b_x ^2 + b_y ^2 + b_z ^2}} $$
Пояснение. В числителе расположено скалярное произведение векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Оно равно сумме произведений соответствующих координат. В знаменателе перемножаются модули (длины) векторов.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти угол между векторами $ overline{a} = (2;4) $ и $ overline{b} = (3;1) $ |
| Решение |
|
Сначала находим косинус угла между векторами по формуле: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}| cdot |overline{b}|} = frac{2cdot 3 + 4 cdot 1}{sqrt{2^2 + 4^2} cdot sqrt{3^2 + 1^2} } = frac{10}{sqrt{20} cdot sqrt{10}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Теперь искомый угол $ phi $ находим по другой формуле: $$ phi = arccos (cos phi) = arccos (cos frac{sqrt{2}}{2}) = 45^0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $ |
| Пример 2 |
| Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline{a} = (8;-11;7) $ и $ overline{b} = (-2;-7;8) $ |
| Решение |
|
Подставляем координаты в формулу и вычисляем: $$ cos phi = frac{8cdot (-2) + (-11)cdot (-7) + 7cdot 8}{sqrt{8^2+(-11)^2+7^2} cdot sqrt{(-2)^2+(-7)^2+8^2} } = $$ $$ = frac{-16+77+56}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = frac{117}{sqrt{234} cdot sqrt{117}} = $$ $$ = frac{sqrt{117}}{sqrt{234}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Далее находим сам угол $ phi $ с помощью арккосинуса: $$ phi = arccos frac{sqrt{2}}{2} = 45^0 $$ |
| Ответ |
| Угол $ phi = 45^0 $ |
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления угла между векторами
Формула
Чтобы найти угол $phi$ между векторами нужно вначале найти
косинус угла, а затем от него найти арккосинус, то есть:
$$phi=arccos (cos phi)$$
Косинус угла между векторами равен
скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их
длин.
В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
В случае, если векторы заданы в пространстве, то есть
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то косинус угла между ними равен:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Примеры вычисления угла между векторами
Пример
Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(1 ; 3)$ и $bar{b}=(4 ; 2)$
Решение. Сначала по формуле
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
найдем косинус угла между заданными векторами:
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=& frac{1 cdot 4+3 cdot 2}{sqrt{1^{2}+3^{2}} cdot sqrt{4^{2}+2^{2}}}=frac{4+6}{sqrt{1+9} cdot sqrt{16+4}}=\ &=frac{10}{sqrt{10} cdot sqrt{20}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}} end{aligned}$$
Тогда искомый угол равен
$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$
Ответ. $phi=45^{circ}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти угол $phi$ между векторами
$bar{a}=(8 ;-7 ;-2)$ и $bar{b}=(7 ;-11 ; 8)$
Решение. Найдем сначала косинус угла между заданными векторами, для этого воспользуемся формулой
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Подставляя координаты векторов
$bar{a}$ и $bar{b}$, получим
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{8 cdot 7+(-7) cdot(-11)+(-2) cdot 8}{sqrt{8^{2}+(-7)^{2}+(-2)^{2}} sqrt{7^{2}+(-11)^{2}+8^{2}}} &=\=frac{56+77-16}{sqrt{64+49+4} sqrt{49+121+64}}=frac{117}{sqrt{117} sqrt{234}}=\=frac{117}{117 sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} end{aligned}$$
Угол же будет равен
$$phi=arccos left(frac{sqrt{2}}{2}right)=45^{circ}$$
Ответ. $phi=45^{circ}$
Читать дальше: как найти косинус угла между векторами.
Угол между векторами
Определение
Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.
На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:
(left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.
Острый:
Тупой:
Прямой:
С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):
С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Определение
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right))
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ), а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен (180^circ), то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.
В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})
Расчет угла, если вектор задан координатами
В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)), то угол между ними можно найти следующим образом:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})
Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:
(overrightarrow a=left(a_x;a_y;a_zright))
( overrightarrow b=left(b_x;b_y;b_zright))
то формула принимает такой вид:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})
Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.
Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow{AC}) и (overrightarrow{BC}).
Решение
Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:
(overrightarrow{AC}=(6-3, -1-(-2))=(3,1))
(overrightarrow{BC}=(6-2, -1-1)=(4,-2))
После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:
(cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac{(overrightarrow{AC};;overrightarrow{BC})}{left|overrightarrow{AC}right|cdotleft|overrightarrow{BC}right|}=frac{3cdot4+1cdot(-2)}{sqrt{3^2+1^2}cdotsqrt{4^2+{(-2)}^2}}=frac{10}{sqrt{10}cdot2sqrt5}=frac{10}{10sqrt2}=frac1{sqrt2})
Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow{AC};overrightarrow{BC}}right)=frac1{sqrt2}.)
Примеры решения задач
Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.
Задача 1
Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.
Решение
Применим формулу:
( cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|})
Подставим известные значения:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{-9}{3cdot6}=-frac12)
Далее найдем угол между данными векторами:
(arccosleft(-frac12right)=frac{3pi}4)
Ответ: (left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=-frac12,;left(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{3pi}4.)
Задача 2
В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)). Вычислить угол α между ними.
Решение
Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y+a_zcdot b_z}{sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}})
Подставляем значения и получаем:
(cosleft(alpharight)=frac{8cdot(-2)+(-11)cdot(-7)+7cdot8}{sqrt{8^2+{(-11)}^2+7^2}cdotsqrt{{(-2)}^2+{(-7)}^2+8^2}}=frac{117}{sqrt{234}cdotsqrt{117}}=frac{sqrt{117}}{sqrt{234}}=frac1{sqrt2}=frac2{sqrt2})
Теперь находим угол α:
(alpha=arccosleft(frac2{sqrt2}right)=45^circ)
Ответ: (45^circ).
Задача 3
Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)). Найти угол между ними.
Решение
Для расчета используем формулу:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}})
Подставим известные значения и получим:
(cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{left(overrightarrow a;overrightarrow bright)}{left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|}=frac{a_xcdot b_x+a_ycdot b_y}{sqrt{a_x^2+a_y^2}cdotsqrt{b_x^2+b_y^2}}=frac{3cdot2+4cdot5}{sqrt{3^2+4^2}cdotsqrt{2^2+5^2}}=frac{26}{sqrt{25}cdotsqrt{29}}=frac{26}{5sqrt{29}})
Ответ: (cosleft(widehat{overrightarrow a;overrightarrow b}right)=frac{26}{5sqrt{29}})
Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(−110)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).
Пример 3
Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Пример 4
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).
a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.
∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.
∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.
∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.
sin(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).
a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.
∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.
∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.
∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.
sin(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”
Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Пример 1. Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| |a| · |b| | 5 · 5 | 25 |
Пример 2. Найти угол между векторами a = {7; 1} и b = {5; 5}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
|a| = √72 + 12 = √49 + 1 = √50 = 5√2
|b| = √52 + 52 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| |a| · |b| | 5√2 · 5√2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Пример 3. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| |a| · |b| | 5 · 6 | 15 |
Пример 4. Найти угол между векторами a = {1; 0; 3} и b = {5; 5; 0}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
|a| = √12 + 02 + 32 = √1 + 9 = √10
|b| = √52 + 52 + 02 = √25 + 25 = √50 = 5√2
Найдем угол между векторами:
cos α =
a · b|a| · |b|
=
5√10 · 5√2
=
12√5
=
√510
= 0.1√5
