Как найти угол между высотами треугольника? Зависит ли величина угла от вида треугольника?
Утверждение.
Один из углов, образованный высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине.
Другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты.
Доказательство:
1 способ
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.
Пусть AK и CF — его высоты.
Тогда ∠BFC=∠BKA=90°.
Так как сумма углов четырёхугольника равна 360°, то в 4-угольнике BKPF
∠BFP+∠FPK+∠BKP+∠FBK=360°,
откуда ∠FPK+∠FBK=180° и ∠FPK=180°-∠FBK.
∠FPK+∠KPC=180° (как смежные).
∠KPC=180°-∠FPK=180°-(180° -∠FBK)=∠FBK.
Так как сумма углов треугольника равна 180°,
∠BAC+∠FBK+∠ACB=180°,
∠FBK=180°-(∠BAC+∠ACB),
∠FPK=180°-∠FBK=180° -(180° -(∠BAC+∠ACB))=∠BAC+∠ACB.
2 способ
Прямоугольные треугольники BCF и PKC подобны по общему острому углу C. Следовательно, ∠KPC=∠FBC.
Если треугольник ABC — тупоугольный, рассуждения и вывод аналогичны.
Утверждение верно и для прямоугольного треугольника.
То есть для любого треугольника ABC один из углов между высотами, проведёнными из вершин A и C, равен углу B, другой — сумме углов A и C.
В частности, один угол между высотами равностороннего треугольника равен 60°, другой — 120°:
∠KPC=60°,
∠FPK=120°.
Угол между высотами треугольника
Как найти угол между высотами треугольника? Зависит ли величина угла от вида треугольника?
Один из углов, образованный высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине.
Другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты.
Рассмотрим остроугольный треугольник ABC.
Пусть AK и CF — его высоты.
Так как сумма углов четырёхугольника равна 360°, то в 4-угольнике BKPF
откуда ∠FPK+∠FBK=180° и ∠FPK=180°-∠FBK.
∠FPK+∠KPC=180° (как смежные).
∠FPK=180°-∠FBK=180° -(180° -(∠BAC+∠ACB))=∠BAC+∠ACB.
Прямоугольные треугольники BCF и PKC подобны по общему острому углу C. Следовательно, ∠KPC=∠FBC.
Если треугольник ABC — тупоугольный, рассуждения и вывод аналогичны.
Утверждение верно и для прямоугольного треугольника.
То есть для любого треугольника ABC один из углов между высотами, проведёнными из вершин A и C, равен углу B, другой — сумме углов A и C.
В частности, один угол между высотами равностороннего треугольника равен 60°, другой — 120°:
Найдите угол между высотами треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов?
Геометрия | 5 – 9 классы
Найдите угол между высотами треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов.
Если внешние углы этого треугольника пропорциональны числам 6, 7 и 11.
Сумма внешних углов равна 360 гр
Составим уравнение 6х + 7х + 11х = 360
Значит внешние углы соответственно равны 90 гр, 105 гр, 165 гр
Тогда углы внутренние у треугольника равны 90 гр, 75 гр, 15 гр соотвественно
Высоты прведены из острых углов, то есть из углов 75 и 15 гр.
Так как треугольник прямоугольный, то угол между высотами 90 гр.
Внешний угол треугольника при вершине В в три раза больше его внутреннего угла А и на 40(градусов)больше внутреннего угла С?
Внешний угол треугольника при вершине В в три раза больше его внутреннего угла А и на 40(градусов)больше внутреннего угла С.
Найдите углы треугольника.
Внутренние углы треугольника пропорциональны числам 2, 5, 8 а)найдите угла треугольника АBC б)найдите внешние углы треугольника ABC?
Внутренние углы треугольника пропорциональны числам 2, 5, 8 а)найдите угла треугольника АBC б)найдите внешние углы треугольника ABC.
В треугольнике ABC угол A меньше угла B в 3 раза, а внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40 градусов?
В треугольнике ABC угол A меньше угла B в 3 раза, а внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40 градусов.
Найдите внутренние углы треугольника ABC.
Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 40 градусов больше смежного с ним внутреннего угла треугольника?
Внешний угол при основании равнобедренного треугольника на 40 градусов больше смежного с ним внутреннего угла треугольника.
Найдите величину угла при вершине треугольника.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой проведенным из вершины поимого угла равен 14градусах, найдите меньший из двух острых углов треугольника?
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой проведенным из вершины поимого угла равен 14градусах, найдите меньший из двух острых углов треугольника.
В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза , а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40 градусов ?
В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза , а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40 градусов .
Найдите внутренние углы треугольника АВС ?
Один из внутренних углов треугольника на 18 градусов меньше от другого, а внешний угол при вершине третьего угла равняется 126 градусов?
Один из внутренних углов треугольника на 18 градусов меньше от другого, а внешний угол при вершине третьего угла равняется 126 градусов.
Найдите углы треугольника.
Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника?
Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла этого треугольника.
Найдите меньший из них, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 60 гр.
Один из внутренних углов треугольника на 14° больше другого, а внешний угол при вершине 3 – го угла равен110°?
Один из внутренних углов треугольника на 14° больше другого, а внешний угол при вершине 3 – го угла равен110°.
Найдите углы треугольника.
Помогите пожалуйста внешний угол треугольника при вершине B в 3 раза больше его внутреннего угла А и на 40 градусов больше внутреннего угла С найдите углы треугольника?
Помогите пожалуйста внешний угол треугольника при вершине B в 3 раза больше его внутреннего угла А и на 40 градусов больше внутреннего угла С найдите углы треугольника.
Вы находитесь на странице вопроса Найдите угол между высотами треугольника, проведенными из вершин его меньших внутренних углов? из категории Геометрия. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 5 – 9 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
Одно из свойствы треугольника : Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон : a Существует ли четырех угольник зл сторонами 2см 6 см 9см 17см?
Треугольник. Числовые зависимости между элементами треугольника (сторон, высот, медиан).
Теорема.
Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной единицей, то квадрат числа, выражающего гипотенузу равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты.
Эту теорему обыкновенно выражают сокращенно так:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н.э.) и носит поэтому его имя – теорема Пифагора.
В треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.
Пусть BС – сторона треугольника ABС (черт. 1 и черт. 2), лежащая против острого угла A , и BD – высота опущенная на какую-либо из остальных сторон, например, на AС (или на ее продолжение).Требуется доказать, что:
Из прямоугольных треугольников BDС и ABD выводим:
Подставив в равенство [1] вместо BD 2 и DС 2 их выражения из равенств [2] и [3] , получим:
Это равенство, после сокращения членов -AD 2 и +AD 2 , и есть то самое, которое требовалось доказать.
Замечание. Доказанная теорема остается верной и тогда, когда угол С прямой. Тогда отрезок СD обратится в ноль, т.е. AС станет равна AD, и мы будем иметь:
Что согласуется с теоремой о квадрате гипотенузы.
Теорема.
В треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенных с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок ее продолжения от вершины тупого угла до высоты. Доказательство аналогично предыдущему.
Следствие.
Из трех последних теорем выводим, что квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.
Отсюда следует обратное предложение: Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат противолежащей стороны равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон.
Вычисление высоты треугольника по его сторонам.
Обозначим высоту, опущенную на сторону а треугольника ABС , через ha. Чтобы вычислить ее, предварительно из уравнения:
находим отрезок основания с’:
.
После чего из DABD определяем высоту, как катет:
.
Таким же путем можно определить высоты hb и hс , опущенные на стороны b и с.
Вычисление медиан треугольника по его сторонам.
Пусть даны стороны треугольника ABС и требуется вычислить его медиану BD. Для этого продолжим ее на расстояние DE = BD и точку E соединим с A и С. Тогда получим параллелограмм ABCE.
Тогда .
[spoiler title=”источники:”]
http://geometria.my-dict.ru/q/1127275_najdite-ugol-mezdu-vysotami-treugolnika-provedennymi/
http://www.calc.ru/Chislovyye-Zavisimosti-Mezhdu-Elementami-Treugolnika-Storon-.html
[/spoiler]
Высота треугольника — подробнее
Высота – линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне (прямой, которая эту сторону содержит).
На этом рисунке ( displaystyle BH) – высота.
Но иногда высота (в отличие от биссектрисы и медианы) ведёт себя, как непослушный ребенок – «выбегает» из треугольника. Это бывает в тупоугольном треугольнике.
И тогда получается так:
В общем, не нужно пугаться, если основание высоты оказалось не на стороне треугольника, а «за» треугольником, на продолжении стороны.
Как же решать задачи, в которых участвует высота?
Нужно стремиться применить какие-нибудь знания о прямоугольном треугольнике – ведь где высота – там и прямой угол.
Но попадаются задачи и похитрее, при решении которых лучше обладать дополнительными знаниями заранее, а не выводить их «с нуля». Сейчас мы обсудим некоторые из них.
Но для начала решим простенькую задачку на высоту в тупоугольном треугольнике:
В треугольнике ( displaystyle ABC) с тупым углом ( displaystyle C) проведена высота ( displaystyle BH). Найти ( displaystyle AC), если ( AB=2sqrt{10}), ( BC=sqrt{13}), ( BH=2).
Смотри: из-за того, что угол ( C) – тупой, высота ( BH) опустилась на продолжение стороны ( AC), а не на саму сторону.
Теперь давай увидим во всём этом два прямоугольных треугольника.
Смотри их целых два:
Применяем теорему Пифагора к треугольнику ( BCH):
( B{{C}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}), то есть ( 13=4+C{{H}^{2}}); ( CH=3).
А теперь теорема Пифагора для ( Delta ABH):
( A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}); то есть ( 40=A{{H}^{2}}+4); ( AH=6).
Теперь осталось только заметить, что ( AC=AH-CH=6-3=3).
Нашли!
А теперь давай вернемся к нашим высотам!
Остроугольный треугольник и высота
Вернёмся–ка к остроугольному треугольнику. Отметим на рисунке равные углы:
Что видим теперь? Ещё подобные треугольники!
Как от двух линий вообще могут получиться столько подобных треугольников?!
Но тем не менее…
( Delta C{{H}_{C}}Bsim Delta C{{H}_{A}}Hsim Delta A{{H}_{A}}Bsim Delta A{{H}_{C}}H)
Видишь, какое богатство? И всё это может быть использовано в задачах!
Ну вот, теперь ты узнал что-то новенькое про высоты треугольника.
Теперь пробуй применять в задачах всё это – и соображение о том, что высота образует прямоугольный треугольник, и простые подобия прямоугольных треугольников, получающихся при пересечении двух высот, и подобие похитрее — которое с косинусом, и то, что угол между высотами равен углу между сторонами…
Главное, ты не старался просто запоминать все эти факты, а осознай, что их можно очень просто вывести.
И тогда, если ты будешь точно знать, например, что две проведённые высоты приносят кучу бонусов в виде всяких подобий, то ты непременно и сам получишь все эти бонусы, а заодно – решение своей задачи!
Знаток
(491),
закрыт
12 лет назад
Аброр
Профи
(509)
12 лет назад
в рс треугольнике есть три высоты, которые пересикаясь образуют 6 равных углов, сумма всех углов равна 360, значит один угол равен 3606 и равно 60.
Luka Ivanovsky
Мастер
(1481)
12 лет назад
Неформально можно исходить из того, что все высоты образуют со сторонами, к которым они проведены, один и тот же (прямой) угол. Т. е. , если мы переходим от одной высоты к другой, то можем считать, что вторая повёрнута относительно первой настолько же, насколько вторая сторона повёрнута относительно первой, а это уже свойства равностороннего треугольника.
Если смотреть более строго, то все высоты делят треугольник на 6 маленьких треугольничков. В каждом таком треугольничке один угол прямой, а другой – 30 градусов, т. к. высоты в равностороннем треугольнике являются и биссектрисами. Ну, а отсюда вытекает значение третьего угла.
Треугольники общего вида.
Основные свойства треугольников:
- Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
- В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
- Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
$MN$ – средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.
$MN$ // $AC$, $MN = {AC}/{2}$
Биссектриса – это линия, которая делит угол пополам.
Свойства биссектрисы:
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины к основанию, является также и медианой, и высотой.
- Три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.
- Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
- В треугольнике биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, отношение которых такое же, как отношение сторон треугольника, между которыми эта биссектриса прошла.
${AB}/{AC}={BA_1}/{A_1C}$
Медиана – это линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медиан:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. на два треугольника, у которых площади равны.
$S_1=S_2$
2. Медианы пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении два к одному, считая от вершины.
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы и радиусу описанной около этого треугольника окружности.
Высота в треугольнике – это линия, проведенная из вершины треугольника к противоположной стороне под углом в 90 градусов.
$BB_1$ – высота
Свойства высот:
1. Три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
2. Угол между высотами в остроугольном треугольнике равен углу между сторонами, к которым эти высоты проведены.
3. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
$h_a:h_b:h_c={1}/{a}:{1}/{b}:{1}/{c}$
Прямоугольный треугольник и его свойства:
В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности (R)
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника.
$CD=AC=CB=R$
5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r={a+b-c}/{2}$ , где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$AC^2+BC^2=AB^2$
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.
- Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Тригонометрические тождества:
1. Основное тригонометрическое тождество:
$sin^2x+cos^2x=1$
2. Связь между тангенсом и косинусом одного и того же угла:
$1+tg^2x={1}/{cos^{2}x}$
3. Связь между котангенсом и синусом одного и того же угла:
$1+ctg^{2} x={1}/{sin^{2} x}$
Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.
Число $k$ – коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)
- Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
- Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Признаки подобия треугольников:
- Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
${a}/{sinα}={b}/{sinβ} ={c}/{sinγ} =2R$, где $R$ – радиус описанной около треугольника окружности.
Пример:
В треугольнике $АВС ВС=16, sin∠A={4}/{5}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Решение:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
${ВС}/{sinA} =2R$
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
${16·5}/{4}=2R$
$R={16·5}/{4·2}=10$
Ответ: $10$
Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$
$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosβ;$
$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$
Формулы площадей треугольника:
- ${a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
