Как найти угол на схеме

Углы – это геометрические фигуры, образованные двумя лучами, которые выходят из одной точки. Обозначения углов регламентированы ГОСТ 2.307-2011 «Нанесение размеров и предельных отклонений».

Как обозначается угол на чертеже

Угол на чертеже обозначается с помощью универсального и общепринятого символа, на котором показаны два луча, выходящие из одной точки. За символом указывается размер угла в градусах, минутах и секундах. Острый угол символа направлен в сторону уклона.

Обозначение углов на чертеже по ГОСТу

Согласно ГОСТ 2.307 размеры делятся на линейные и угловые. И если в линейных размерах не ставят единицы измерения, т. к. всегда подразумевается, что значения приведены в миллиметрах, то для угловых размеров обязательно указывается значок градуса, минуты и секунды, в зависимости от того, в каких величинах измеряется угол.

Как показать угол на чертеже

Чтобы показать размер используются сплошные тонкие линии, они могут быть выносные или размерные. Любой угол имеет вершину и две стороны. Градусами или минутами обычно обозначается внутренняя сторона угла. В качестве условного обозначения используется символ в виде острого угла, далее указывается числовое значение и единицы измерения. Следует помнить о том, что минута — это одна шестидесятая часть градуса, а секунда одна шестидесятая часть минуты. Градусы обозначаются с помощью маленького круга в верхнем правом углу возле значения, минуты обозначаются одной надстрочной запятой, а секунды двумя надстрочными запятыми.

Допуск угла

В ГОСТ 8908-81 приведены стандарты на допуски углов, применяемые в машиностроении, при меньшей стороне угла до 2,5 м. Значения уклона и угла уклона приведены в таблице (рис. 1). Стандартом установлено 17 степеней точности допусков, которые зависят от длин сторон и размера угла.

Виды углов на чертеже

На чертежах могут быть обозначены следующие виды углов:

• острый – менее 90 градусов;
• прямой – равен 90 градусам;
• тупой – более 90 и менее 180 градусов;
• развернутый – равен 180 градусам.

Обозначение у прямого и развернутого угла ставится при необходимости.

Углы наклона

Угол уклона часто встречается как на машиностроительных, так и на строительных чертежах. Он показывает, под каким углом к базовой линии расположен наклонный элемент. Для обозначения наклона используется универсальный символ, который ставится перед размерным числом. К примеру, на строительном чертеже отмостка всегда имеет уклон, для обозначения этого уклона ставится символ и значение в 5 промилле.

Промилле — это одна тысячная или десятая часть процента, поэтому к знаку промилле добавлен еще один нолик. Через промилле в строительных чертежах указывается уклон пандусов и других наклонных поверхностей.

Угол преломления

Преломление возникает на границе двух сред, при этом угол падения равен углу отражения. Падающий и отраженный лучи показывают на чертеже, а значение угла наносят относительно вертикали, прямого угла.

Вертикальные углы

Согласно определению вертикальными называют два угла, в том случае, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Такие углы будут попарно равны. Обычно на чертеже их обозначают с помощью полукруга или двойного полукруга.

Многогранные углы

Понятие многогранного угла относится к трехмерному пространству, такой угол состоит из плоских углов, которые его образуют, имея общую точку. При этом они не должны лежать в одной плоскости.

У многогранного угла есть два свойства:

• сумма плоских углов многогранного угла превышает 360 градусов;
• существует плоскость, пересекающая все ребра многогранного угла.

По количеству граней многогранные углы делят на трехгранные, четырехгранные, пятигранные и так далее.

Самым показательным примером многогранного угла является вершина четырехугольной пирамида. Многогранный угол может быть невыпуклым и выпуклым.

Смежные углы

Смежными называются углы, которые имеют одну общую сторону, а две другие их стороны являются продолжением друг друга. Сумма смежных углов равна 180 градусам. Поэтому, если известно значение одного угла, то найти значение второго не составляет труда.

Углы фаски

Деталь может иметь скос или скругление, которое называется фаской. Обозначение фаски установлено в ГОСТ 2.307-2011, обычно ее показывают размерными линиями. Запрещено использовать осевые и контурные линии для обозначения фаски. На чертеже обязательно указывают ширину, размер скоса и угол относительно главной оси элемента или механизма. Если на чертеже показана фаска, но не указан угол, то подразумевается ее стандартное значение 45 градусов. Обозначение выполняется с помощью выносной линии или с помощью линейных размеров.

Внешние углы на чертеже

На чертежах может потребоваться указать внешний угол треугольника, это угол смежный с любым из внутренних углов. Следовательно, у каждой вершины можно построить два равных внешних угла. Также существует теорема, доказывающая что внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые не смежны с ним.

Центральные углы на чертеже

Центральным называется угол, который равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Центральный угол отличается от вписанного тем, что вершин вписанного угла лежит на окружности, и он равен половине дуги, на которую опирается. Вписанные и центральные углы имеют зависимость, например, если нарисовать их на одной окружности, то вписанный угол будет равен половине центрального, если они опираются на одну дугу. Таким образом, зная один угол, можно определить другой.

Ответы на вопросы

Как обозначается радиус окружности на чертеже?

Для обозначения радиуса используется значок R, после которого указывается значение в миллиметрах и сплошная тонкая линия со стрелкой на конце. Радиус проводят от центра окружности к обозначаемому отрезку. Обычно указывают только радиус, диаметр при необходимости можно найти путем удвоения радиуса.

Как указать прямой угол?

При обозначении острого или тупого угла в основании между лучами проводят полукруг, если угол прямой в его основании рисуют квадрат.

Как отсчитывают угол на чертеже?

Угол образовывается двумя лучами, чтобы найти его значение используют транспортир.

В каждой сфере деятельности, где требуется создание технических чертежей и схем, важным элементом является обозначение углов на чертеже. Это необходимо для точного производства. В данной статье мы рассмотрим основные понятия и правила, которые нужно знать для правильного обозначения угла на чертеже.

Что такое угол на чертеже?

Угол на чертеже представляет собой две линии, которые пересекаются в определенной точке. Он может быть обозначен несколькими способами, включая градусы, радианы, грады и милы.

Для каждого способа обозначения существуют свои формулы расчета и обозначения на чертеже.

Уклон в процентах и промилле

Угол уклона относительно горизонта используется для определения наклона поверхности.

Угловые размеры уклона на чертежах обычно указываются в виде градусов, минут и секунд. В соответствии со стандартами ГОСТ 2.307-2011 и ГОСТ Р 21.1101-2013, на планах и схемах направление уклона указывается стрелкой, с числовым значением в процентах. Допустимо использовать указание уклона в промилле или в виде десятичной дроби с точностью до третьего знака.

Часто на чертежах для обозначения уклона используют знак угла, который направлен в сторону уклона. На чертежах также можно встретить буквенное обозначение уклона (i). В процентах обычно обозначают уклон крыш, пандусов, лестничных маршей и других поверхностей. Эти данные необходимы для правильного и точного выполнения проекта.

Виды углов на чертеже

Существует несколько видов углов на чертежах. К ним относятся:

• Прямой угол — угол в 90 градусов;
• Острый угол— угол меньше 90 градусов;
• Тупой угол — угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов;
• Равный угол — угол в 180 градусов;
• Смежный угол — угол, смежный с другим углом и имеющий общую сторону;
• Вертикальный угол — угол между двумя вертикальными плоскостями;
• Горизонтальный угол — угол между двумя горизонтальными плоскостями.

Кроме того, на чертежах могут быть указаны углы скоса, наклона и поворота, которые могут быть важными для определения размеров и расположения объектов на чертеже. От обозначения углов зависит понимание и правильное выполнение чертежа.

Углы наклона

На чертежах, как машиностроительных, так и строительных, часто встречается угол уклона. Этот параметр показывает, под каким углом к базовой линии расположен наклонный элемент. Чтобы обозначить наклон, используется универсальный символ, который ставится перед размерным числом. Например, на строительных чертежах отмостка всегда имеет уклон, который обозначается символом и числом в 5 промилле (рис. 1).

рисунок 1

Угол преломления

Это угол между лучом, преломленным внутри оптической среды, и нормалью к поверхности раздела сред (рис. 2).

рисунок 2

Справочная информация

Нормалью называется линия, перпендикулярная к границе раздела двух сред.

Обычно угол преломления указывается в градусах. Он может быть обозначен специальной стрелкой или символом, указывающим направление преломленного луча.

Вертикальные углы

Вертикальными углами на чертеже называют пару углов, основания которых являются продолжением сторон друг друга. По определению, вертикальные углы равны между собой, что важно для создания точных и понятных технических схем и чертежей. Обычно вертикальные углы на чертеже обозначаются полукругами или двойными полукругами (рис. 3).

рисунок 3

Многогранные углы

Это углы, которые имеют более двух сторон и образуются пересечением линий на плоскости. Такие углы могут быть обозначены различными способами на чертеже в зависимости от их типа. Например, наиболее распространенными видами многогранных углов на чертеже являются прямоугольники, треугольники и пятиугольники, которые обычно обозначаются соответствующими символами и линиями на чертежной плоскости (рис. 4).

рисунок 4

Важно

Многогранный угол обладает двумя основными свойствами:

• Общая сумма плоских углов этого угла больше 360 градусов;
• Существует такая плоскость, которая проходит через все ребра многогранного угла.

Смежные углы

Это пара углов, у которых общая сторона лежит на одной прямой. Такие углы обычно располагаются рядом друг с другом и могут иметь различные значения в зависимости от их величины. Для обозначения смежных углов на чертеже обычно используются специальные символы, например, знаки «∠» или «∡», а также цифры, которые указывают на величину угла в градусах или радианах (рис. 5).

рис. 5

Углы фаски

Углы фаски на чертеже — это углы, образующиеся на гранях детали, которые должны иметь скругление или скос. Фаски на чертеже обычно указываются с помощью специальных символов, которые показывают величину и форму фаски, а также местоположение на чертеже. Они могут быть различных форм и величин (рис. 6).

рисунок 6

Для обозначения фасок на чертеже запрещено использовать осевые и контурные линии. Вместо этого обязательно нужно указывать ширину, размер скоса и угол фаски относительно главной оси элемента или механизма. Если угол фаски не указан явно на чертеже, то подразумевается его стандартное значение в 45 градусов. Обозначение фасок может быть выполнено с помощью выносной линии или линейных размеров, которые показывают все необходимые параметры фаски.

Внешние углы на чертеже

Углы, образованные объединением двух прямых линий, которые встречаются в точке наружной грани детали, называются внешними. Они обозначаются на чертеже с помощью специальных символов, например, знака «∠» и цифровых значений, показывающих величину угла в градусах или радианах. Внешние углы могут иметь различные значения в зависимости от формы детали и условий ее использования.

Центральные углы на чертеже

Центральный угол — это угол, опирающийся на дугу окружности и равный ее градусной мере. В отличие от него, вписанный угол имеет вершину на окружности и равен половине градусной меры соответствующей дуги. Тем не менее, между вписанными и центральными углами существует связь: например, на одной окружности вписанный угол будет вдвое меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу. Зная значение одного угла, можно определить значение другого.

Определение угла на чертеже

Угол на чертеже можно определить по следующим признакам:

• Угол имеет общую вершину;
• Угол образован двумя отрезками, лучами или прямыми;
• Лучи угла могут быть обозначены буквами, цифрами или специальными символами;
• Угол может иметь разные размеры, которые указываются в градусах, минутах и секундах;
• Угол может быть острый, тупой или прямой.

Для определения размеров угла на конструкторских документах используют специальный градусный инструмент. При помощи этого инструмента можно узнать значение угла в градусах, минутах и секундах, а также проверить его соответствие заданным требованиям допусков.

Как обозначается угол на чертеже

Угол на чертеже обычно обозначается символом «∠», за которым следует наименование точек. Например, ∠ABC означает угол, образованный линиями AB и BC. Также некоторые инженеры и архитекторы могут использовать другие символы, такие как латинские буквы «A», «BAC» или «∡A», но общеиспользуемым является символ «∠».

Важно

Условное обозначение угла содержит информацию о его размере, выраженном в градусах, минутах и секундах. Направление символа свидетельствует об остроте или тупости угла, а также указывает на его уклон.

Обозначение углов на чертеже по ГОСТу

Обозначения углов определены стандартом ГОСТ 2.307-2011 «Нанесение размеров и предельных отклонений». Согласно стандарту, размеры бывают двух видов: линейные и угловые. Обычно линейные размеры не сопровождаются единицами измерения, потому что предполагается, что они задаются в миллиметрах. Угловые — обязательно должны содержать символ измерения (рис.7).

рисунок 7

Допуск угла

ГОСТ регулирует допуски углов на чертежах. Согласно стандарту, при указании размеров углов на чертеже следует учитывать их допуски. Допуски угла можно представить в виде отклонения от заданного размера угла в градусах, минутах или секундах (рис. 8).

рисунок 8

Допуски угла на чертеже зависят от класса точности, который выбирается в зависимости от требований детали. Выделяются три класса точности: высокий, средний и низкий. Чем выше класс точности, тем меньше допуски углов.

Допуски могут быть двух видов: по форме и по расположению.

Допуски по форме определяются отклонением фактической формы угла от его идеальной формы (например, отклонение угла от равенства). Допуски по расположению учитывают расположение угла на детали и могут быть связаны с требованиями к точности сборки, необходимостью установки других элементов и т. д.

Сравнение углов на чертеже

Корректное сравнение углов на чертеже является важным условием для создания точной и понятной технической документации и предотвращения ошибок в процессе производства.

На чертеже углы обычно обозначаются специальными символами, которые позволяют определить их величину и форму. Для сравнения углов на чертеже важно учитывать их тип, направление и величину, а также знать правила и формулы, которые позволят вычислить значение угла и его разность.

Не знаете как выполнить работу? Обратитесь за помощью к нашим экспертам. Сделайте заказ чертежа на сайте Студворк!

Угловые размеры

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Наиболее распространенный способ измерения угловых величин – градусная мера.

Градус – «gradus», в переводе с латинского языка, означает – шаг, ступень.

При обозначении угловых размеров используется единицы измерения – градусы, минуты и секунды. После числового значения угловых размеров ставится специальные знаки:

Размерные числа наносят над размерными линиями в зоне расположенной выше горизонтальной осевой линии со стороны их выпуклости, а в зоне расположенной ниже со стороны вогнутости размерных линий.В тех местах, где нанесена штриховка, размерные числа указывать не рекомендуется. В таких случаях размерные числа указывают на горизонтально нанесенных полках.

Градусы минуты секунды – n° n′ n″

Окружность, разделённая на 360°, включает в свой состав помимо градусов, минуты и секунды n° n′ n″.

1° = 1/360 – один градус равен одной тристашестидесятой полного оборота.

1° = 60′ – один градус равен шестьдесят минут.

60′ = 60″ – шестьдесят минут ровны шестидесяти секундам.

Градусная мера полного оборота равна 360° = 21600′ = 1296000″.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение угла

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.

Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной – ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение смежных и вертикальных углов

Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Сравнение углов

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус.

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи «°», тогда один градус – 1° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают «’», а секунды «”». Имеет место обозначение:

1°=60’=3600”, 1’=(160)°, 1’=60”, 1”=(160)’=(13600)° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17°3’59” .

Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17°3’59” . Запись имеет еще один вид 17+360+593600=172393600.

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠AOB и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠AOB=110° , которая читается «Угол АОВ равен 110градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0,180], а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0,90), а тупой – (90,180). Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так:∠AOB=∠AOC+∠DOB=45°+30°+60°=135° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол АОВ и СОD – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов АОВ и ВОС, СОD и ВОС считают смежными. В таком случает равенство∠AOB+∠BOC=180° вместе с ∠COD+∠BOC=180° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠AOB=∠COD . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы ОА и ОВ. По определению данный треугольник AOB является равносторонним, значит длина дуги AB равна длинам радиусов ОВ и ОА.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Обозначение углов на чертеже

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

171*. Определить углы наклона прямой АВ к пл. V и пл. Н фис. 166, а).

Решение. Если прямая параллельна пл. V (рис. 166, б), то угол между этой прямой и пл. H (угол α) изображается без искажения на фронт. проекции. Если же прямая параллельна пл. H (рис. 166, в), то образуемый зтой прямой угол с пл. V (угол β) изображается без искажения на горизонт. проекции. Поэтому, поставив заданную прямую общего положения сначала параллельно пл. V, а затем параллельно пл. H, можно определить соответственно углы α и β.

На рис. 166, г показано применение способа перемены пл. проекций для определения углов α и β. Так, для определения угла α введена дополнительная пл. S, перпендикулярная к пл. H и параллельная АВ, а для определения угла β — дополнительная плоскость Т ⊥ V и в то же время || АВ.

На рис. 166, д прямая как бы повернута: а) вокруг оси, проходящей через точку В и перпендикулярной к пл. H, до параллельности пл. V (положение а’₁b’ , а₁b) —

определен угол α; б) вокруг оси, проходящей через точку А перпендикулярно и пл. V, до параллельности пл. H (положение a’b’₁, ab₁) — определен угол β.

Конечно, можно изобразить эти оси на чертеже; но, как видно, построение возможно и без этого.

172. Дана пирамида SABCD (см. рис. 154). Определить углы наклона ребер пирамиды к пл. V и пл. Н.

173*. Определить углы наклона плоскости, заданной треугольникам ABC (рис. 167, а), к пл. Н и пл. V.

Решение. Как известно, угол наклона (α) плоскости к пл. H проецируется без искажения на пл. V, если плоскость перпендикулярна к пл. V (рис. 167, 6), а угол наклона (β) плоскости к пл. V проецируется без искажения на пл. H, если плоскость перпендикулярна к пл. H (рис. 167, в).

На рис. 167, г для определения углаос переходим к системе S, H, где пл. S перпендикулярна к пл. H и к заданной плоскости (ось S/Н перпендикулярна к горизонт. проекции а—1 горизонтали).

Определение угла β произведено путем перехода от системы V, Н к системе Т, V, где пл. Т перпендикулярна к пл. V и к данной плоскости треугольника (ось T/V перпендикулярна к фронт. проекции с’2′ фронтали).

На рис. 167,д та же задача решена способом параллельного перемещения. Сначала все вершины заданного треугольника ABC перемещены в плоскостях, параллельных H, так, чтобы плоскость треугольника оказалась перпендикулярной к пл. V. Это

достигнуто с помощью горизонтали А—1, перемещенной так, что она расположилась перпендикулярно к пл. V (горизонт. проекция а₁1₁ перпендикулярна к оси х). Получаем угол α наклона плоскости треугольника к пл. H без искажения.

Для определения величины угла β наклона плоскости треугольника ABC к пл. V треугольник повернут так, чтобы он расположился перпендикулярно к пл. H. Это сделано при помощи фронтали С—2: она поставлена перпендикулярно к пл. H (положение C₂2₂, фронт. проекция с’₂2′₂ ⊥ х) и, следовательно, проходящая через эту фронтвль плоскость также перпендикулярна к пл. H.

174. Дана пирамида SABC (см. рис. 161). Определить углы наклона граней SAB, SAC и ABC к пл. H и пл. V.

175. Дан параллелепипед (см. рис. 165). Определить углы наклона основания ABCD и грани CDHG к пл. V и грани ADEH к пл. Н.

176*. Определить величину угла ВАС (рис. 168, а).

Решение. Если плоскость угла параллельна какой-либо пл. проекций, то данный угол проецируется на нее без искажения (рис. 168, б).

На рис. 168, в задача решена при помощи способа перемены пл. проекций. Так как плоскость угла ВАС является плоскостью общего положения (ее горизонталь не перпендикулярна ни к одной из плоскостей V, Н, W), то приходится сначала дополнить систему V, H пл. S, взяв ее перпендикулярно к пл. H и к плоскости угла ВАС. В результате этого преобразования проекция угла на плоскости S получится в виде отрезка a_s l_s. Теперь можно ввести еще одну дополнительную пл. проекций (T), проведя ее перпендикулярно к пл. S и в то же время параллельно плоскости угла ВAС. Угол l_ta_t2_t представит собою натуральную величину угла ВАС.

На рис. 168, а искомый угол ср определен способом параллельного перемещения.

Сначала плоскость угла перемещена так, чтобы она стала перпендикулярной к пл. V (для этого располагаем горизонт. проекцию горизонтали перпендикулярно к оси х). Затем располагаем плоскость угла параллельно пл. H, для чего перемещаем проекцию 1′₁a’₁ в положение 1′₂a’₂ (т. е. || оси х). Еще одно построение показано на рис. 168,6. Здсь для определения величины угла применен поворот вокруг горизонтали: плоскость угла расположится параллельно пл. H (положение Т).

Построения выполнены в следующем порядке:

1. Проведена плоскость вращения точки А — горизонтально-проецирующая пл. R, перпендикулярная к горизонтали (т. е. к оси вращения).

2. Отмечен центр вращения точки АВ пересечении горизонтали с пл. R (точка О, О’) и указаны проекции радиусАВращения (Оа и О’а’).

3. Определена натуральная величина радиуса вращения (ее выражает гипотенуза ОА треугольника ОаА).

4. Проведена дуга окружности радиуса ОА я на R_h, найдена точка a₁– горизонт. проекция вершины угла после его поворота вокруг горизонтали до совмещения с пл. Т — и построен угол 1а₁2, равный искомому.

Для решения задач типа 176 наиболее рациональным является применение вращения вокруг горизонтали (или фронтали), как это показано на рис. 168, д.

177. Дана пирамида SABC (см. рис. 156). Вращением вокруг горизонтали определить угол между ребрами и SB, SB и SC, SC и SA.

178. Дан параллелепипед (см. рис. 165). Определить углы между ребрами DH и CD, CG и CD, АВ и ВС.

179*. Определить величину угла между скрещивающимися прямыми АВ и CD (рис. 169, а).

Решение. Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется углом, доставленным пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. Для определения величины угла надо начать с его изображения нр чертеже. Это сделано на рис. 169,6, причем использована одна из заданных прямых – CD, через точку С которой проведена прямая СМ, параллельная другой заданнай прямой—АВ. Величина угла MCD (рнс.169, в) выражает угол между прямыми АВ и CD. Это сделано при помощи поворота вокруг горизонтали 1—2 (рис. 169, а), взятой в пл. угла MCD.

180. Дана пирамида SABC (см. рис. 160). Определить величину угла между ее ребрами: a) SB и АС, б) SA и ВС.

181*. Определить величину угла φ наклона прямой АВ к плоскости, заданной треугольником CDE (рис. 170, а).

Решение. Как известно, углом между прямой (АВ) и плоскостью (Р) называется острый угол (φ) между прямой и ее проекцией (а_pК) на этой плоскости. Для построения (рис. 170, б) этого угла надо найти точки пересечения с пл. Р прямой АВ и перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки прямой АВ на пл. Р. Но если, как в данной задаче, требуется лишь определить величину угла наклона прямой к плоскости, то проще определить величину угла δ, дополнительного к углу φ: найдя угол δ, можно определить величину угла φ из соотношения φ = 90° — δ. На рис. 170, в показано построение проекций am и а’m’ перпендикуляра к плоскости треугольника CDE, для чего взяты горизонталь цфронталь этой плоскости: am ⊥ e — 1, а’m’ ⊥ е’2′.

Теперь можно определить (рис. 170,г) натуральную величину угла δ с вершиной А,- что сделано поворотом вокруг горизонтали b’З’, b—3. Искомый угол φ = 90°—δ.

182. Дана пирамида SABC (см. рис. 1611. Определить углы наклона ребер SA, SB и SC к грани AВС

183*. Определить угол между гранями АBС и ABD (рис. 171, а).

Решение. Двугранный угол измеряется линейным углом, полученным в пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к обеим граням двугранного,а следовательно, и к линии их пересечения, т. е. ребру двугранного угла. Если это ребро АВ окажется перпендикулярным к какой-либо пл. Т (рис. 171,6), то полученная на пл. Т проекция двугранного угла выражает его линейный угол.

Для решения задачи (рис. 171, в) применен способ перемены пл. проекций. Oт системы V, H совершен переход к системе S, V, где S ⊥ V и S || АВ, а затем от этой системы S, V переход к системе Т, S, где T ⊥ S и Т ⊥ AB.

Треугольники проецируются на пл.Т в виде отрезков а_tc_t и а_td_t. Угол между ними равен искомому углу φ.

На рис. 171, г показано решение той же задачи при помощи способа параллельного перемещения: ребро АВ поставлено перпендикулярно к пл. Н.

184*. Определить величину угла, образованного плоскостью Р и плоскостью треугольника ABC (рис. 172, а).

Решение. Если, решая данную задачу, придерживаться схемы решения предыдущей, то необходимо построить прямую пересечения заданных плоскостей. Но можно поступить и иначе, без построения этой прямой, т. е. не определяя ребра искомого двугранного угла. Можно поступить следующим образом: определить не непосредственно угол φ, а угол σ (рис. 172, б) между перпендикулярами КМ и KN, проведенными из какой-либо точки К на заданные плоскости. Найдя угол σ, получаем φ = 180° — σ.

Такое решение отличается в своей сущности от решений по рис. 171, в и 171, а. Взяв некоторую точку К (рис. 172, в), проведем из нее перпендикуляры КN и КМ соответственно к плоскости треугольника ABC н к пл. Р: из точки k’ проводим k’n’ ⊥ a’b’ и k’m’ ⊥ P_ϑ, а из точки k — kn ⊥ ac и km ⊥ P_h. Таким образом получается угол с проекциями mkn и n’k’n’ (угол σ) .Натуральная величина этого угла получена поворотом вркруг фронтали 1—2 (рис. 172, г). Так как получен острый угол, то можно

считать, что он определяет искомый угол между заданными плоскостями, так как из смежных углов, полученных при взаимном пересечении двух плоскостей, углом между плоскостями считается острый.

185. Дана пирамида SABCD (см. рис. 154). Определить способом перемены плоскостей проекций углы между гранями SAB и SBC, SBC и SCD, SAD и SAB.

186. Дан параллелепипед (рис. 165). Определить углы между гранями CDHG и EFGH, BCGF и CDHG.