Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.
Угол между плоскостями – определение
В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.
Заданы две пересекающиеся плоскости γ1 и γ2. Их пересечение примет обозначение c. Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М в качестве прямой c. Будет производиться пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью плоскости χ. Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ1 и χ за прямую a, а пересекающую γ2 и χ за прямую b. Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M.
Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b, а точка M располагается на прямой c, через которую проходит плоскость χ.
Необходимо построить плоскость χ1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ. Пересечение плоскостей γ1 и γ2 с помощью χ1 примет обозначение прямых а1 и b1.
Видно, что при построении χ и χ1 прямые a и b перпендикулярны прямой c, тогда и а1, b1 располагаются перпендикулярно прямой c. Нахождение прямых a и а1 в плоскости γ1 с перпендикулярностью к прямой c, тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение b и b1 в плоскости γ2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ1 на χ, где получим две совпадающие прямые a и а1, b и b1. Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b1 равен углу пересекающихся прямых a и b.
Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.
Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M, то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ1 и γ2. Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.
Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ1 и γ2.
Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b, где плоскости γ1 и γ2 имеют пересечение с плоскостью χ, перпендикулярной прямой c.
Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ1 и γ2, где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M, через которую провести прямые a и b, перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях γ1 и γ2, тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.
При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида (0, 90]. Одновременно данные плоскости называют перпендикулярными в случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.
Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями
Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.
Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ блока C2.
Задан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, где сторона АВ=2, AD=3, АА1=7, точка E разделяет сторону АА1 в отношении 4:3. Найти угол между плоскостями АВС и ВED1.
Решение
Для наглядности необходимо выполнить чертеж. Получим, что
Наглядное представление необходимо для того, чтобы было удобней работать с углом между плоскостями.
Производим определение прямой линии, по которой происходит пересечение плоскостей АВС и ВED1. Точка B является общей точкой. Следует найти еще одну общую точку пересечения. Рассмотрим прямые DA и D1E, которые располагаются в одной плоскости ADD1. Их расположение не говорит о параллельности, значит, они имеют общую точку пересечения.
Однако, прямая DA расположена в плоскости АВС, а D1E в BED1. Отсюда получаем, что прямые DA и D1E имеют общую точку пересечения, которая является общей и для плоскостей АВС и BED1. Обозначает точку пересечения прямых DA и D1E буквой F. Отсюда получаем, что BF является прямой, по которой пересекаются плоскости АВС и ВED1.
Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.
Для получения ответа необходимо произвести построение прямых, расположенных в плоскостях АВС и ВED1 с прохождением через точку, находящуюся на прямой BF и перпендикулярной ей. Тогда получившийся угол между этими прямыми считается искомым углом между плоскостями АВС и ВED1.
Отсюда видно, что точка A – проекция точки E на плоскость АВС. Необходимо провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую BF в точке М. Видно, что прямая АМ – проекция прямой ЕМ на плоскость АВС, исходя из теоремы о тех перпендикулярах AM⊥BF. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.
∠AME – это искомый угол, образованный плоскостями АВС и ВED1. Из получившегося треугольника АЕМ можем найти синус, косинус или тангенс угла, после чего и сам угол, только при известных двух сторонах его. По условию имеем, что длина АЕ находится таким образом: прямая АА1 разделена точкой E в отношении 4:3, то означает полную длину прямой – 7 частей, тогда АЕ= 4 частям. Находим АМ.
Необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник АВF. Имеем прямой угол A с высотой АМ. Из условия АВ=2, тогда можем найти длину AF по подобию треугольников DD1F и AEF. Получаем, что AEDD1=AFDF⇔AEDD1=AFDA+AF⇒47=AF3+AF⇔AF=4
Необходимо найти длину стороны BF из треугольника ABF, используя теорему Пифагора. Получаем, что BF =AB2+AF2=22+42=25. Длина стороны АМ находится через площадь треугольника ABF. Имеем, что площадь может равняться как SABC=12·AB·AF, так и SABC=12·BF·AM.
Получаем, что AM=AB·AFBF=2·425=455
Тогда можем найти значение тангенса угла треугольника АЕМ. Получим:
tg∠AME=AEAM=4455=5
Искомый угол, получаемый пересечением плоскостей АВС и BED1 равняется arctg5, тогда при упрощении получим arctg5=arcsin 306=arccos66.
Ответ: arctg5=arcsin 306=arccos66.
Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости Охуz и методом координат. Рассмотрим подробней.
Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2, искомый угол обозначим за α.
Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ1 и γ2. Тогда обозначим, что n1→=n1x, n1y, n1z является нормальным вектором плоскости γ1, а n2→=(n2x, n2y, n2z) – для плоскости γ2. Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.
Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ1 и γ2 буквой c. На прямой с имеем точку M, через которую проводим плоскость χ, перпендикулярную c. Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ1 и γ2 в точке M. из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 равен углу пересекающихся прямых a и b, принадлежащих этим плоскостям соответственно.
В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы и обозначаем их n1→ и n2→. Вектор n1→ располагается на прямой, перпендикулярной прямой a, а вектор n2→ на прямой, перпендикулярной прямой b. Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a, равный n1→ и для прямой b, равный n2→. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ1 и γ2 выводится из формулы cos α=cosn1→, n2→^=n1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2, где имеем, что n1→=(n1x, n1y, n1z) и n2→=(n2x, n2y, n2z) являются координатами векторов представленных плоскостей.
Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле
α=arccosn1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2
По условию дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1, где АВ=2, AD=3, АА1=7, а точка E разделяет сторону АА1 4:3. Найти угол между плоскостями АВС и BED1.
Решение
Из условия видно, что стороны его попарно перпендикулярны. Это значит, что необходимо ввести систему координат Охуz с вершиной в точке С и координатными осями Ох, Оу, Оz. Необходимо поставить направление по соответствующим сторонам. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Пересекающиеся плоскости АВС и BED1 образуют угол, который можно найти по формуле α=arccosn1x·n2x+n1y·n2y+n1z·n2zn1x2+n1y2+n1z2·n2x2+n2y2+n2z2 , в которой n1→=(n1x, n1y, n1z) и n2→=(n2x, n2y, n2z) являются нормальными векторами этих плоскостей. Необходимо определить координаты. По рисунку видим, что координатная ось Оху совпадает в плоскостью АВС, это значит, что координаты нормального вектора k→ равняются значению n1→=k→=(0, 0, 1).
За нормальный вектор плоскости BED1 принимается векторное произведение BE→ и BD1→, где их координаты находятся путем координат крайних точек В, Е, D1, которые определяются, исходя из условия задачи.
Получаем, что B (0, 3, 0), D1(2, 0, 7). Потому как AEEA1=43, из координат точек A2, 3, 0, A12, 3, 7 найдем E2, 3, 4. Получаем, что BE→=(2, 0, 4), BD1→=2, -3, 7n2→=BE→×BD1=i→j→k→2042-37=12·i→-6·j→-6·k→⇔n2→=(12, -6, -6)
Необходимо произвести подстановку найденных координат в формулу вычисления угла через арккосинус. Получаем
α=arccos0·12+0·(-6)+1·(-6)02+02+12·122+(-6)2+(-6)2=arccos 666=arccos 66
Метод координат дает аналогичный результат.
Ответ: arccos 66.
Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.
Вычислить синус , косинус угла и значение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, которые определены в системе координат Охуz и заданы уравнениями 2x-4y+z+1=0 и 3y-z-1=0.
Решение
При изучении темы общего уравнения прямой вида Ax+By+Cz+D=0 выявили, что А, В, С являются коэффициентами, равными координатам нормального вектора. Значит, n1→=2, -4, 1 и n2→=0, 3, -1 являются нормальным векторами заданных прямых.
Необходимо подставить координаты нормальных векторов плоскостей в формулу вычисления искомого угла пересекающихся плоскостей. Тогда получаем, что
α=arccos2·0+-4·3+1·(-1)22+-42+12=arccos 13210
Отсюда имеем, что косинус угла принимает вид cos α=13210. Тогда угол пересекающихся прямых не является тупым. Подставив в тригонометрическое тождество, получаем, что значение синуса угла равняется выражению. Вычислим и получим, что
sin α=1-cos2 α=1-13210=41210
Ответ: sin α=41210, cos α=13210, α=arccos 13210=arcsin 41210.
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)
(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.
(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):
Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);
Шаг 2: проведем (FGperp pi);
Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);
Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).
Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).
Задание
1
#2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).
Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]
Ответ: -2
Задание
2
#2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).
Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).
Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]
Ответ: 0,2
Задание
3
#2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).
Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]
Ответ: 3
Задание
4
#2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).
Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]
Ответ: 1,25
Задание
5
#2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.
Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.
Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]
Ответ: 60
Задание
6
#1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).
Ответ: 45
Задание
7
#1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
-
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
-
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
-
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
-
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
-
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
УСТАЛ? Просто отдохни
Угол между плоскостями.
Определение.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.
Определение.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.
Формула для вычисления угла между плоскостями
Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
| cos α = | |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| |
| √A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22 |
Примеры задач на вычисление угла между плоскостями
Пример 1.
Найти угол между плоскостями 2x + 4y – 4z – 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.
Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:
cos α =
|2·4 + 4·3 + (-4)·0|√22 + 42 + (-4)2√42 + 32 + 02
=
|8 + 12|√36√25
=
2030
=
23
Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α = 23.
Определение
Диагональным называют двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой линией, являющейся их общей границей.
Чтобы находить угол между пересекающимися плоскостями, необходимо понимать основные значения специальных терминов и понятий, которые используются в теме плоскостей и прямых.
Сначала дадим определение того, что называется углом между пересекающимися плоскостями. Если в пространстве две плоскости пересекаются, то между ними образуется угол.
Угол между пересекающейся прямой и плоскостью
Если в пространстве имеются пересекающиеся плоскости Y1 и Y2, то точку пересечения обозначим буквой С. Для построения некой плоскости Х, необходимо рассмотреть заданные пересекающиеся плоскости подробнее.
Новая плоскость Х будет образована вследствие пересечения плоскостей Y1 и Y2. Примем обозначение для прямой, которая будет пересекать Y1 и Х, как прямая а. А другую прямую, которая пересечет Y2 и Х, обозначим как b.
Получаем две пересекающиеся прямые, а и b, которые дадут нам точку M.
Понять, что называется углом между двумя пересекающимися плоскостями, поможет рисунок.
Место расположения точки М не может повлиять на величину угла между a и b, но если М находится на прямой С, то она проходит через плоскость Х.
Для более ясного представления того, что означает угол между двумя пересекающимися плоскостями, нужно:
- Построить перпендикулярную прямую к прямой С, а также лежащую на плоскости Х1.
- При пересечении плоскости Y1 с Y2 и прямой Х1 получаем прямые а1 и b.
- Если при Х и Х1, прямые, а и b перпендикулярны к прямой С, то прямые а1 и b1 также будут перпендикулярны прямой С.
- Построение прямых a и а1, лежащих на плоскости Y1, будет считаться параллельным.
- Прямые b и b1 принадлежат плоскости Y2, имеющей перпендикуляр, то они параллельны.
Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями
Чтобы найти значение, чему равен угол между пересекающимися плоскостями, необходимо сделать дополнительные построения:
- Перенести параллельно плоскость Х1 на плоскость Х.
- Получить совпадающие прямые a и а1, b и b1.
Дадим определение угла между двумя плоскостями.
Угол между прямыми a1 и b1 будет равен углу между пересекающимися прямыми a и b.
Это определение хорошо видно на рисунке.
Доказательство:
- Если между прямыми a и b, которые пересекаются, имеем угол между пересекающейся прямой и плоскости, то он не будет зависеть от точки пересечение М.
- Данные прямые принадлежат плоскостям Y1 и Y1, поэтому готовый угол и является углом между пересекающимися плоскостями.
Итак, между двумя плоскостями, которые пересекаются между собой и имеют принадлежащие им прямые линии, в точке третьей плоскости пересечения Х образуется угол, перпендикулярный прямой С.
Чтобы понять это определение, обратимся к рисунку.
Данное понятие можно сформулировать иначе:
- При пересечении Y1 и Y2 получаем прямую с точкой М.
- Проводим прямые a и b в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны прямой c.
- Полученный между двумя прямыми угол будет называться углом между плоскостями.
Этот метод применяют и для построения заданного угла между двумя плоскостями.
Для этого нужно знать следующие правила:
- Угол между плоскостями всегда меньше 900 С.
- Плоскости являются перпендикулярными только в том случае, если угол между ними прямой.
- Между двумя параллельными плоскостями угол равен 0 градусов С.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Методы вычисления угла между плоскостями
Существует несколько методов, позволяющих вычислить угол с максимальной точностью.
Вычислить угол можно несколькими способами:
- используя признаки равенства;
- с помощью треугольников;
- применяя синусы и косинусы;
- используя систему координат.
Необходимо понимать, как найти угол между пересекающимися плоскостями, применяя различные методы. Тогда решение любой задачи покажется легким для выполнения.
Примеры
Дан один параллелепипед [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}].
Сторона [A D=3, A B=2, A A_{1}=7].
Точка E делит сторону [АА_{1}] в пропорции 4 : 3.
Задание: необходимо найти угол между плоскостями АВС и [ВED_{1}].
Решение:
Сначала сделаем чертеж исходного задания.
Теперь необходимо обозначить прямую линию пересечения двух плоскостей АВС и [ВED_{1}].
Точка B будет общей, далее необходимо найти еще одну точку пересечения.
Поскольку прямые DA и [D_{1}E] располагаются в плоскости [ADD_{1}] и не могут быть параллельны, значит они пересекаются.
Если прямая DA расположена в плоскости АВС, а [D_{1}E] в BED1, то прямые DA и D1E однозначно пересекаются в общей точке, которая лежит на обеих плоскостях. Обозначим эту точку буквой F.
На рисунке хорошо видно, что прямая BF является общей для двух исходных плоскостей.
Теперь постараемся найти угол между этими плоскостями:
- Построим прямые в обеих плоскостях, проходящие через общую точку, лежащую на прямой BF и
перпендикулярные ей. - Получился угол между плоскостями.
- Точка А, лежащая на плоскости АВС, является проекцией точки Е.
- Проводим перпендикулярную прямую к BF в точке М.
- Теперь хорошо видно, что ЕМ является проекцией на плоскость АВС в АМ.
- Применяем теорему о перпендикулярах AM ⊥ BF.
Искомым является ∠AME, который образован пересечением плоскостей АВС и [ВED_{1}]. Из полученного треугольника АЕМ находим тангенс, синус или косинус. Теперь, если известны стороны треугольника, можно вычислить угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Для этого выполняем несколько дополнительных действий:
В условии задачи сказано, что АА1 разделена точкой Е в пропорции 4 : 3. Это значит, что прямая имеет 7 частей, а отрезок АЕ равен 4 частям.
Чтобы определить АМ, нужно рассмотреть треугольник АВF, где угол A прямой, а АМ является его высотой.
Если АВ = 2, то длину AF можно вычислить по принципу подобия треугольников DD1F и AEF:
[frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D F} Leftrightarrow frac{A E}{D D 1}=frac{A F}{D A+A F} Rightarrow
frac{4}{7}=frac{A F}{3+A F} Leftrightarrow A F=4]
С помощью теоремы Пифагора находим длину BF в треугольнике ABF:
[mathrm{BF}=sqrt{(}left(mathrm{AB}^{2}+mathrm{AF}^{2}right)=sqrt{left(2^{2}+4^{2}right)}=2
sqrt{5}]
Находим длину отрезка АМ через площадь треугольника ABF:
S треугольника [mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{AB} cdot mathrm{AF}] или S треугольника
[mathrm{ABC}=frac{1}{2} cdot mathrm{BF} cdot AM]. Тогда [mathrm{AM}=frac{A B cdot A F}{B
F}=frac{2 cdot 4}{2 sqrt{5}}=frac{4 sqrt{5}}{5}].
Находим тангенс угла в треугольнике АЕМ:
[operatorname{tg} angle mathrm{AME}=frac{A E}{A M}=frac{4}{4 sqrt{5}}: 5=sqrt{5}]
В итоге угол между пересекающимися плоскостями arc равен arctg√5. Или [operatorname{arctg} sqrt{5}=arcsin
frac{sqrt{30}}{6}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].
Ответ: [operatorname{arctg} sqrt{5}=arccos frac{sqrt{6}}{6}].
B единичном кубе [A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}] найдите угол между плоскостями [left(A D_{1}
Eright)] и [left(D_{1} F Cright)], где точки E и F — середины ребер [A_{1} B_{1}] и [B_{1} C_{1}] соответственно.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек:[A(1 ; 0 ; 0), C(0 ;
1 ; 0), D_{1}(1 ; 1 ; 1), Eleft(frac{1}{2} ; 0 ; 1right), Fleft(0 ; frac{1}{2} ; 1right)]
Составим уравнение плоскости [left(A D_{1} Eright)]:
[2 x-y+z-2=0\overrightarrow{n_{1}}{2 ;-1 ;
1}] — нормальный вектор плоскости [(AD_{1} E)].
Составим уравнение плоскости [left(D_{1} F Cright)]:
[x-2 y-z+2=0\overrightarrow{n_{2}}{1 ;-2
;-1}] — нормальный вектор плоскости [(D_{1}FC)].
Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра,
равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды.
Решение: [R O=frac{1}{3}; C R=frac{sqrt{3}}{6}; E O=frac{1}{2}]
SO найдем из [triangle O S B]:
[begin{aligned}&S B=2, quad B O=frac{sqrt{3}}{3} \&S O=sqrt{S B^{2}-O B^{2}} \&S
O=sqrt{4-frac{1}{3}}=frac{sqrt{11}}{sqrt{3}} \&Sleft(frac{sqrt{3}}{6} ; frac{1}{2} ;
frac{sqrt{11}}{sqrt{3}}right)end{aligned}]
На этой странице вы узнаете
- Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?
- Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?
- Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?
Стереометрия — это не просто раздел математики, который нужно долго и нудно учить. На самом деле стереометрия описывает всю нашу жизнь. Стало интересно? Давайте разбираться.
Углы между плоскостями
Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели.
Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия.
Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла.
Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.
Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.
На рисунке:
АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;
a, b — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.
Если раскрыть книгу не полностью, то ее страницы будут образовывать двугранный угол, то есть часть пространства, заключенную между двумя страницами.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.
Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости. Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.
Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях.
Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями.
Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла.
Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой.
Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:
- Острые, то есть меньше 900
- Прямые, равные 900
- Тупые, которые больше 90и меньше 1800
Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.
А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?
Такие плоскости называются перпендикулярными.
Достаточно посмотреть на стены и пол, или стены и потолок. А еще на углы потолка — в них будет три перпендикулярные плоскости.
У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам.
Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму.
1 шаг. Найти линию пересечения плоскостей.
2 шаг. Достроить к этой линии перпендикуляр в каждой плоскости.
3 шаг. Найти острый угол между построенными перпендикулярами.
Углы между прямой и плоскостью
Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?
И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой.
А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О.
Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость.
Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А1.
Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А1 и О, получаем, что А1О — проекция прямой а на плоскость а.
Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А1О.
Проекция прямой а на плоскость — это прямая а1, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость.
Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.
Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А1ОА.
В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью.
Шаг 1. Построить проекцию прямой на плоскость.
Шаг 2. Найти угол между прямой и построенной проекцией.
Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0.
Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.
Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.
Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости.
Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?
Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:
- Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.
Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.
Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости.
Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости.
Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет.
Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны.
Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны.
Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”.
Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны.
Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”.
Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны.
Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями.
Теорема о трех перпендикулярах
Разберем еще одну очень интересную теорему, связанную с проекциями прямой на плоскость. А именно мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах.
Для начала попробуем понять ее на реальных предметах.
Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?
Возьмем уголок и зафиксируем его строго вертикально на листе. Для удобства назовем уголок АВС, где С — прямой угол.
Сразу заметим, что прямая АС будет перпендикулярна плоскости листа (поскольку уголок стоит строго вертикально, а лист лежит строго горизонтально).
Дальше заметим, что прямые АС и ВС также перпендикулярны, поскольку в уголке угол С равен 90°.
Посмотрим чуть-чуть внимательнее и обратим внимание, что прямая ВС при этом будет проекцией на плоскость листа прямой АВ.
Немного достроим наш рисунок и через точку В проведем прямую, перпендикулярную ВС. Назовем эту прямую КМ.
Сразу отмечаем, что прямая КМ перпендикулярна ВС по построению, а также перпендикулярна прямой АС (поскольку АС — перпендикуляр к плоскости листа).
Можем ли мы что-то еще сказать про нашу ситуацию? Оказывается, прямая АВ также будет перпендикулярна прямой КМ.
Возникнет вопрос, почему?
1. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.
Теперь узнаем, как этот признак выполняется в данной ситуации.
2. Посмотрим на ситуацию немного под другим углом и в этот раз возьмем за плоскость не лист, а нашу линейку.
3. Тогда две пересекающиеся прямые в плоскости линейки будут перпендикулярны прямой КМ: BCKM по построению, а ACKM как прямая, перпендикулярная к плоскости листа, а значит, и перпендикулярная всем прямым в этой плоскости.
4. Получается, что прямая КМ перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе прямой АВ.
Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.
Мы рассмотрели теорему о трех перпендикулярах. Осталось ее только сформулировать математическим языком.
Теорема о трех перпендикулярах
Если наклонная прямая АВ к плоскости а перпендикулярна прямой КМ в этой плоскости, то и проекция прямой АВ на плоскость а перпендикулярна к прямой КМ.
Для построения чертежа заменим линейку на несколько отрезков. Тогда АВ — наклонная, ВС — проекция, КМ — прямая в плоскости.
Для этого нужно взять лист бумаги и треугольную линейку. На листе бумаги построить произвольную прямую, а после поставить линейку строго вертикально так, чтобы основание линейки на листе было перпендикулярно начерченной прямой.
Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.
Вот и все, ничего сложного. А называется теорема так потому, что в построении действительно присутствуют три перпендикуляра, которые отлично видно на рисунке.
Теорему о трех перпендикулярах можно активно использовать для доказательства и решении задач.
Фактчек
- Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями.
- Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны.
- Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°.
- Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым.
- Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b.
Проверь себя
Задание 1.
Выберите верное утверждение.
- Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом все линейные углы двугранного угла равны между собой;
- Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом линейные углы двугранного угла не равны между собой;
- Грань двугранного угла — это общая прямая плоскостей, которые его образуют;
- Ребра двугранного угла — это плоскости, которые его образуют.
Задание 2.
Угол между плоскостями — это…
- Тупой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Острый или прямой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Тупой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей;
- Острый или прямой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей.
Задание 3.
Что такое проекция прямой на плоскость?
- Это любая прямая, проведенная из точки пересечения прямой и плоскости;
- Это перпендикуляр, опущенный из любой точки на плоскость;
- Это всегда точка пересечения прямой и плоскости;
- Это прямая, образованная проекциями всех точек прямой на плоскость.
Задание 4.
Какой будет проекция прямой, перпендикулярной к плоскости, на эту плоскость?
- Проекция будет равна этой прямой и параллельна ей;
- Проекция будет меньше прямой и образовывать с ней угол;
- Проекция будет точкой пересечения прямой и плоскости;
- Проекция будет больше прямой и образовывать с ней угол.
Задание 5.
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной любой прямой в плоскости;
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости;
- Достаточно доказать, что угол между прямой и любой прямой в плоскости равен 90°;
- Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости.
Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4
