Как найти угол падения луча на призму

Условие задачи:

Преломляющий угол трехгранной призмы равен 60°. Найти угол падения луча света на одну из граней призмы, при котором выход луча света из второй грани становится невозможным. Показатель преломления вещества призмы относительно воздуха равен 1,5.

Задача №10.4.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(varphi=60^circ), (n=1,5), (alpha-?)

Решение задачи:

Сделаем к этой задаче рисунок, без него решить задачу невозможно.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD (смотрите рисунок 1). В этом четырехугольнике два угла – прямые, поэтому угол ABC равен (left( {180^circ – varphi } right)). На этом рисунке теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов любого треугольника равна 180°, поэтому будет верно записать:

[beta + gamma + left( {180^circ – varphi } right) = 180^circ ]

[varphi = beta + gamma]

Значит:

[beta = varphi – gamma;;;;(1)]

Запишем закон преломления света (также известен как закон преломления Снеллиуса) для случая полного внутреннего отражения у второй грани:

[nsin gamma = {n_0}sin delta ]

Здесь (gamma) – угол падения луча, (delta) – угол преломления луча, равный в данном случае 90 °, (n) и (n_0) – показатели преломления сред. Показатель преломления воздуха (n_0) равен 1. Поэтому:

[nsin gamma = 1]

[sin gamma = frac{1}{n}]

[gamma = arcsin left( {frac{1}{n}} right)]

Тогда формула (1) примет следующий вид:

[beta = varphi – arcsin left( {frac{1}{n}} right);;;;(2)]

Чтобы найти угол падения (alpha), опять запишем закон преломления света:

[{n_0}sin alpha = {n}sin beta ]

Здесь (alpha) и (beta) – угол падения и угол преломления соответственно, (n) и (n_0) – показатели преломления сред. Тогда, так как (n_0=1), имеем:

[sin alpha = nsin beta ]

[alpha = arcsin left( {nsin beta } right)]

Учитывая (2), получим:

[alpha = arcsin left( {nsin left( {varphi – arcsin left( {frac{1}{n}} right)} right)} right)]

Задача решена в общем виде, подставим данные задачи в полученную формулу и посчитаем численный ответ:

[alpha = arcsin left( {1,5 cdot sin left( {60^circ – arcsin left( {frac{1}{{1,5}}} right)} right)} right) = 27,92^circ ]

Ответ: 27,92°.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

10.4.14 Точечный источник света находится на дне сосуда с жидкостью с показателем преломления
10.4.16 В водоем на некоторую глубину помещают источник белого света. Показатели преломления
10.4.17 Луч света переходит из воды в воздух. Угол падения луча 52°. Определить угол

В
данной теме разберём решение задач на ход лучей в треугольной призме.

Задача
1.
Луч света падает на преломляющую грань призмы под углом 30º и выходит из
неё под углом 25º. При этом угол отклонения луча составляет 10º.
Постройте ход лучей в призме и найдите её преломляющий угол.

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Угол отклонения луча определяется по формуле Тогда преломляющий угол призмы равен

Задача
2.
Луч света падает на преломляющую грань призмы под углом 1º. Найдите
показатель преломления материала, из которого сделана призма, если преломляющий
угол призмы равен 30º, а угол отклонения луча составляет 18º.

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Угол отклонения луча при очень малом значении угла падения Тогда показатель преломления материала

Задача
3.
Луч света падает на преломляющую грань призмы таким образом, что преломлённый
луч внутри призмы распространяется в направлении, параллельном основанию
призмы. Известно, что преломляющий угол призмы равен 50º, а угол падения
равен 35º. Найдите показатель преломления материала, из которого сделана
призма.

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Т.к. грань представленной призмы является равнобедренным треугольником и сумма углов треугольника равна 180º, то Из построения Тогда Закон преломления света

Задача
4.
Луч света вошёл в призму с показателем преломления 2,4 и не вышел из неё.
Найдите минимальный угол падения луча на преломляющую грань, при котором это
возможно, учитывая то, перпендикуляры к преломляющим граням призмы пересекаются
под углом, равным сумме преломляющего угла призмы и угла отклонения луча.

ДАНО:	РЕШЕНИЕ Предельный угол полного отражения Т.к. сумма углов треугольника равна 180º, то Угол отклонения луча Тогда Закон преломления света

Геометрическая оптика: призмы

В этой статье решаем задачи с призмами. Будем применять закон преломления Снеллиуса, а также геометрические знания.

Задача 1.

 Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой равен . Показатель преломления материала призмы для этого луча равен 1,5. Найдите угол отклонения луча, выходящего из призмы, от первоначального направления.

Так как луч падает нормально на поверхность призмы, то не преломляется на этой поверхности. На вторую же боковую грань он упадет под некоторым углом, и преломится на ней.

В треугольнике (прямоугольном) угол по условию, поэтому второй острый угол равен . Поэтому угол падения луча на вторую грань равен . Зная показатель преломления, можно найти угол преломления. Нужный нам угол  – разность угла преломления и угла падения луча.

По закону преломления

Ответ: .
Задача 2.   Луч света входит в стеклянную призму под углом и выходит из призмы в воздух под углом , причем, пройдя призму, отклоняется от первоначального направления на угол . Найдите преломляющий угол призмы.

Рассмотрим рисунок. Угол , смежный с данным углом отклонения луча, равен . В четырехугольнике угол равен , как вертикальный с углом падения, а угол   равен как вертикальный с углом преломления. Так как сумма углов четырехугольника равна , то угол равен:

Теперь рассмотрим четырехугольник . В нем два угла прямых, поэтому преломляющий угол призмы равен:

Ответ: .

Задача 3.

 Световой луч падает по нормали на боковую грань прямой стеклянной призмы, поперечное сечение которой – равнобедренный треугольник, .  Показатель преломления материала призмы для этого луча равен 1,5. Определите угол между падающим и вышедшим из призмы лучами.

Рассмотрим два случая падения луча.

В первом случае ход луча показан рыжим цветом. На боковой  грани призмы луч не преломится, так как падает на нее нормально. Найдем угол падения луча на нижнюю поверхность призмы. Угол призмы равен – так как треугольник равнобедренный.   Тогда в треугольнике угол . А угол падения луча равен . Для данного показателя преломления предельный угол полного отражения равен

То есть луч не преломится, а отразится от нижней грани призмы.  Угол отражения также равен , и, следовательно, угол . Следовательно, треугольник подобен и тоже является прямоугольным. Следовательно, на второй боковой грани призмы луч тоже не преломится, и выйдет под углом по отношению к падающему (угол , искомый – смежный с ним).

Ответ: .

Теперь рассмотрим второй случай падения луча.

Снова на первой боковой грани не произойдет преломления. На вторую боковую грань луч упадет под углом , что тоже превышает предельный угол полного отражения, и далее луч попадет на нижнюю грань призмы, падая на нее под углом . В треугольнике угол , угол . Определим угол :

Определим угол :

Определим угол отклонения луча: в треугольнике угол , угол , следовательно, искомый угол

Ответ: .

Задача 4.

Тонкий световой луч падает на боковую грань стеклянной призмы из воздуха под углом . Угол между боковыми гранями призмы равен . Показатель преломления воздуха равен 1, а стекла 1,41. Определите угол смещения луча от первоначального направления .

Определим угол преломления .

Рассмотрим четырехугольник . В нем два угла – прямые, преломляющий угол призмы – , тогда угол (это следует из суммы углов четырехугольника). Следовательно, из суммы углов треугольника можем определить угол в одноименном треугольнике:

Найденный нами угол – не что иное, как угол падения луча на вторую грань призмы. Тогда данный луч выйдет из призмы, не преломившись, так как падает перпендикулярно границе раздела.

Тогда искомый угол – угол – равен разности угла и угла преломления , то есть .

Ответ: .

Принцип Гюйгенса:

Каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту  фронта действительно распространяющейся волны.

Закон отражения:

• отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения;
• угол падения  α  равен углу отражения  γ:   

α = γ

Вывод на основе принципа Гюйгенса: 

Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью с, падает на границу раздела двух сред. Когда фронт волны АВ достигнет отражающей поверхности в точке А, эта точка начнет излучать вторичную волну.

Для прохождения волной расстояния ВС требуется время Δt = BC/υ. За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен:  υΔt = ВС. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон отражения: угол падения  α  равен углу отражения  γ.

Закон преломления (закон Снелиуса):

• луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;
• отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред.

     

Вывод закона преломления. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью  с, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v.

      Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС, равно Δt. Тогда ВС = сΔt. За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А в среде со скоростью u, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = vΔt. Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление ее распространения – лучом III. Из рис. видно, что

        ,       т.е.        .

      Отсюда следует закон Снелиуса:

Принцип Ферма: свет распространяется между двумя точками по пути, для прохождения которого необходимо наименьшее время.

Покажем применение этого принципа к решению той же задачи о преломлении света.

Луч от источника света S, расположенного в вакууме идет до точки В, расположенной в некоторой среде за границей раздела

 В каждой среде кратчайшим путем будут прямые SA и AB. Точку A охарактеризуем расстоянием x от перпендикуляра, опущенного из источника на границу раздела. Определим время, затраченное на прохождение пути SAB:

 .

      Для нахождения минимума найдем первую производную от τ по х и приравняем ее к нулю:

 ,

      отсюда приходим к тому же выражению, что получено исходя из принципа Гюйгенса:    .

 Следствия из принципа Ферма:

1. Обратимость световых лучей: если обратить луч III, заставив его падать на границу раздела под углом β, то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом α, т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.

2. Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n₁  (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n₂  (оптически менее плотной) ( n₁  > n₂ ), например из стекла в воздух, то, согласно закону преломления, преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления β больше, чем угол падения α:

3. С увеличением угла падения увеличивается угол преломления, до тех пор, пока при некотором угле падения (α = α_пр) угол преломления не окажется равным  π/2.

Полное отражение

Угол α_пр  называется предельным углом полного отражения. При углах падения α > α_пр  весь падающий свет полностью отражается.

По мере приближения угла падения к предельному, интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного – растет.

Если α = α_пр , то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего.

Таким образом, при углах падения в пределах от α_пр  до π/2, луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы.  Это явление называется полным отражением.

В случае, если вторая среда – воздух

Преломление света в плоскопараллельной пластине

Плоскопараллельная пластина — это оптический прибор, представляющий собой ограниченный параллельными поверхностями слой однородной среды, прозрачной в некотором интервале длин волн λ оптического излучения.

Основным оптическим свойством пластины является то, что луч, падающий на пластину, в результате двукратного преломления на поверхностях пластины параллельно смещается на некоторую величинуδL относительно исходного луча

Величина смещения в плоскопараллельной пластине

Величина сдвига луча света δL зависит:

• от угла падения света α,
• от толщины пластины d,
• от показателя преломления вещества, из которого изготовлена плоскопараллельная пластина n.

C увеличением любого из этих параметров смещение луча света увеличивается.

Смещение луча можно выразить через угол падения

 

Из этого выражения видно, что величина смещения луча в пластине зависит от угла падения, толщины пластины и показателя преломления. Из формулы видно, что отклонения луча не происходит, если:

1. угол падения равен нулю: α = 0,
2. относительный показатель преломления равен единице (преломления не происходит): n = 1 ,
3. толщина пластины равна нулю: d = 0 

Ход луча через треугольную призму

                                        

См. также № 9/04

В.Б.ДРОЗДОВ, г. Рязань

Геометрия световых лучей

Что нужно для уверенного решения
конкурсных задач по геометрической оптике?

• Во-первых, знание законов
  геометрической оптики:

– В однородной прозрачной среде свет
распространяется прямолинейно.

– Угол отражения равен углу падения;
падающий луч, луч отражённый и перпендикуляр,
восставленный в точке падения, лежат в одной
плоскости.

– Произведение абсолютного
показателя преломления среды на синус угла между
лучом света и нормалью к границе раздела двух
сред при переходе света из одной среды в другую
постоянно; падающий луч, луч преломлённый и
перпендикуляр, восставленный в точке падения,
лежат в одной плоскости.

Учитываем также, что световые лучи
обратимы: при перемене местами источника и
приёмника света траектория распространения
света остаётся прежней.

Статья подготовлена при поддержке компании «Премьер-Девелопмент». Если вы решили приобрести качественную и надежную квартиру, то оптимальным решением станет обратиться в компанию «Премьер-Девелопмент». Перейдя по ссылке: «Новостройки в Подмосковье», вы сможете, не отходя от экрана монитора, узнать более подробную информацию о ценах и акциях, действующих на данный момент. В компании «Премьер-Девелопмент» работают только высококвалифицированные специалисты с огромным опытом работы с клиентами.

• Во-вторых, необходимо знание основных
  положений геометрии и формул тригонометрии.
  Оптика ведь геометрическая! Перечислять их нет
  смысла. Отметим лишь, что геометрические и
  тригонометрические «изыски» заведомо не
  требуются. Однако надо твёрдо помнить, что синус
  и тангенс угла ,
  значительно меньшего одного радиана, можно и
  нужно заменять значением самого угла в радианной
  мере. При этом в первом приближении cos 1. Более точно:

• В-третьих, как и при решении
  геометрических задач, аккуратный и разборчивый
  чертёж – наш незаменимый помощник. Он должен
  быть достаточно крупным, чтобы чётко были видны
  все элементы. Используем транспортир, циркуль и
  линейку. От руки можно рисовать лишь весьма
  простые чертежи.

• В-четвёртых, самое главное –
  необходим навык решения достаточного числа
  средних и трудных задач. К чему и приступим.

Задача 1 (МПГУ). Под каким
углом должен упасть луч на стекло, чтобы
преломлённый луч оказался перпендикулярным
отражённому? Показатель преломления стекла n = 1,8.

Решение. Пусть искомый угол равен , тогда, по закону
преломления, последовательно имеем:

sin  = n • sin (90° – ) sin  = n cos  tg  =
n  = arctg n.

Вычисления дают  = 61°.

Задача 2 (Московский
государственный институт электронной техники).
Сечение стеклянной призмы имеет форму
равностороннего треугольника. Луч падает на одну
из граней перпендикулярно к ней. Вычислите угол
между этим лучом и лучом, вышедшим из призмы.
Показатель преломления стекла n = 1,5.

Решение. Так как луч падает на
первую грань призмы по нормали к ней, то в точке D
он не преломляется и прямолинейно доходит до
точки E. Запишем для этой точки закон
преломления: 1,5 sin 60° = sin , откуда , чего не может быть.
Следовательно, в точке E будет полное
внутреннее отражение, и через вторую грань луч из
призмы не выйдет. Геометрически ясно, что,
отразившись от второй грани, луч пойдёт по
нормали к третьей. А значит, он выйдет из призмы
без преломления. Таким образом, искомый угол
2 • 60° = 120°.

Задача 3 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Стеклянный шар (показатель преломления n)
освещается узким расходящимся пучком лучей, ось
которого проходит через центр шара. Источник
света расположен на расстоянии l от
поверхности. На таком же расстоянии от
поверхности, но по другую сторону от шара,
находится изображение источника. Определите
радиус шара.

Решение. Изображение источника
света находится, очевидно, в точке пересечения
любого луча пучка и осевого луча.

Главное – сообразить, что в силу
симметрии источника света и его изображения
относительно центра шара и обратимости световых
лучей, луч внутри шара пойдёт горизонтально.
Чтобы не загромождать выкладки, сразу
пренебрегаем длиной отрезка BC по сравнению
с радиусом шара. По закону преломления света в
точке A и из очевидных на рисунке
треугольников, имеем систему уравнений:

При замене синуса и тангенса малых углов самими
углами система радикально упрощается:

Подставляя из второго и третьего
уравнений углы
и в первое
уравнение, придём к результату: R = l(n – 1).

Задача 4. Сечение стеклянной
призмы имеет форму равнобедренного
треугольника. Одна из больших граней
посеребрена. Луч света падает нормально на
другую большую непосеребрённую грань и после
двух отражений выходит через основание призмы
перпендикулярно ему. Найдите углы призмы.

Решение. На рисунке показан ход
луча в призме, неизвестный угол при вершине
которой обозначен . Величины остальных углов легко
выражаются через . Применим к треугольнику ABC
теорему о сумме углов: откуда находим  = 36°. Тогда другие два угла будут по
72°.

Задача 5. Найдите фокусное
расстояние вогнутого сферического зеркала
радиусом R для луча, падающего на зеркало
параллельно главной оптической оси на
расстоянии a от неё.

Решение. Геометрическая конфигурация
задачи ясна из рисунке. В равнобедренном
треугольнике AOF легко выразить боковую
сторону OF через основание OA = R и
угол при нём :

Из прямоугольного треугольника OBA
находим:

Тогда
Искомое фокусное расстояние от точки F до
полюса Р:

 

Видим, что оно зависит от a, т.е. для
разных лучей будет разным. Однако для
параксиальных лучей Следовательно, лучи, идущие вблизи
главной оптической оси параллельно ей,
собираются в одну точку – фокус зеркала.

Задача 6. Свая длиной 2 м
выступает над поверхностью воды на h = 1 м.
Определите длину тени от сваи на дне озера, если
угол падения лучей света составляет  = 30°.

Решение.

Из рисунка видно, что длина тени –
отрезок AB – равен сумме длин отрезков BC
и AC. Очевидно, что BC = h tg , AC = h tg . Тогда AB = h(tg  + tg ).

По закону преломления света, n sin  = sin , где – показатель преломления
воды. Из формулы
находим откуда

Числовой расчёт даёт AB 
1 м.

Задача 7 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Луч света падает на трёхгранную призму под углом .

Призма сделана из стекла с показателем
преломления n. Преломляющий угол при вершине
призмы . Под
каким углом
луч выйдет из призмы и каков угол отклонения луча от
первоначального направления?

Решение. По закону преломления,
sin  = n sin .

По теоремам о сумме углов треугольника
ABC и четырёхугольника ADBC,
соответственно имеем:

 +  +  = 180°;
90° +  + 90° +
 = 360°,

откуда  =  – . Значит,

sin  = n sin ( – ) = n (sin  cos  – sin  cos ).

По закону преломления,

По основному тригонометрическому
тождеству,

Чтобы не было претензий на экзамене (по
сути, формальных), разумно записать:

Так как внешний угол треугольника
равен сумме двух его внутренних углов, с ним не
смежных, то

Но ранее найдено где – уже определённый нами угол.

Задача 8 (физфак МГУ им.
М.В.Ломоносова, 1994). Шар радиусом R из стекла с
показателем преломления n разрезан по
диаметру. На диаметральную плоскость одной из
половин шара нормально падает параллельный
пучок света. На каком расстоянии от центра шара
пересекут главную оптическую ось лучи, прошедшие
сферическую поверхность на наибольшем удалении
от этой оси?

Решение. Ход луча,
удовлетворяющего условию задачи, изображён на
рисунке.

Отметим, что для него луч, преломлённый
в точке A, пойдёт перпендикулярно радиусу OA
и пересечёт главную оптическую ось в точке B.
По закону преломления, так что лучи, идущие параллельно
отмеченному лучу дальше от прямой OB, из
полушара не выйдут в силу полного внутреннего
отражения. Из треугольника OAB находим:

Задача 9 (ВМК МГУ им.
М.В.Ломоносова, 1990). Луч света, лежащий в плоскости
рисунка, падает на боковую грань AB призмы,
имеющей при вершине угол 90°. В каких пределах
лежат возможные значения угла падения , если известно, что луч
выходит из боковой грани AC? Показатель
преломления призмы n = 1,25.

Решение.

По закону преломления луча на гранях
призмы AB и AC, имеем систему уравнений:

Чтобы луч не испытал полное внутреннее
отражение на грани AC, необходимо выполнение
условия sin  < 1,
т.е. n cos  < 1, а с учётом первого уравнения
системы и основного тригонометрического
тождества получим Последнее неравенство легко
преобразуется к
Значит, т.к. – острый угол.
Числовой результат: 48°40‘ <  < 90°.