Как найти угол параллелограмма через диагонали

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Частными
случаями параллелограмма являются прямоугольник и ромб. Квадрат одновременно является частным
случаем и прямоугольника и ромба, поэтому все выявленные для параллелограмма зависимости справедливы
для прямоугольника, квадрата и ромба.

На практике необходимость определения угла между диагоналями на основе прочих элементов может
возникнуть, в частности, при необходимости производства построений на местности и для перепроверки
уже проведенных построений.

Через площадь и диагонали

Для нахождения острого угла между диагоналями параллелограмма следует воспользоваться формулой:

sin α = 2S/(Dd)

где α – острый угол между диагоналями, S – площадь параллелограмма, D и d – его диагонали.

Приведем пример расчета по формуле для наглядного случая, когда диагонали перпендикулярны, и площадь
данного ромба равняется половине площади прямоугольника, в который данный ромб можно вписать.

При D = 20 мм, d = 10 мм, площадь описанного прямоугольника равна 20*10=200 мм², откуда S = 200/2=100 мм².

Вычисления дают sin α = 2S/(Dd) = 2*100/(20*10) = 1, откуда α = 90°. Известный факт – диагонали
ромба перпендикулярны.

Через две стороны и диагонали

В предыдущей формуле угол определялся через диагонали и одну сторону, в данной задаче требуется
определить угол по диагоналям и 2 сторонам. Тем самым, одно из условий является избыточным, и фигура
по произвольным данным может не оказаться параллелограммом. Но для случая параллелограмма, т.е.
взаимной увязки данных, формулы таковы:

cos α = (b2-a2)/(Dd), cos β = (a2-b2)/(Dd)

где a и b – стороны параллелограмма, α и β – углы между диагоналями (взаимно дополнительные до
180°).

Пример приведем по предыдущему случаю, остается только рассчитать недостающую сторону b, которая из
простых соображений (воспользовавшись правилом длины катета против угла в 30°) оказывается равной 20
мм. Вычисляем: cos α = (b²-a²)/(Dd) = (20²-34,64²)/(40*40) = -0,5, откуда
α = 120°.

Через диагонали и сторону

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма через диагонали и сторону формула такова:

cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd)

где a – сторона параллелограмма, остальные обозначения прежние.

Здесь следует считаться с тем, что если в предыдущей задаче угол по условию являлся острым, в данной
задаче он может быть и тупым, с отрицательным значением косинуса угла.

Пример расчета опять-таки по наглядному случаю, когда обе диагонали равны. Это прямоугольник с
диагоналями D = 40 мм и d = 40 мм. При угле между диагоналями 120° половина диагонали составит 40/2 = 20 мм, половина высоты прямоугольника (она же – половина короткой
стороны) составит половину от половины диагонали (в прямоугольном треугольнике противолежащий углу в
30° катет равен половине гипотенузы), т.е. 10 мм, откуда половина стороны параллелограмма составит
√(20²-10²)=√300=17,32 мм, а сторона параллелограмма a = 2*17,32=34,64 мм.

Подставляем в формулу: cos α = (D² + d² – 4a²)/(2Dd) = (40²+40²-4*34,642) = ‑1600/(2*40*40) = -0,5.
Значению косинуса -0,5 соответствует угол 120°. Это же значение даст и калькулятор.

Квадрат достаточно задать одним элементом – стороной. Для задания прямоугольника необходимо задать
уже две его смежные стороны; для ромба сторону и угол между сторонами. Для задания же
параллелограмма необходимо задание 3 его взаимно независимых элементов. Это могут быть 2 смежные
стороны и угол между ними, но возможно и иное задание.

В любом четырехугольнике можно провести 2 диагонали, и они также могут входить в набор элементов для
задания фигуры. В данной статье приводятся справочные формулы для определения угла между диагоналями
параллелограмма через другие его элементы. Рассчитать же этот угол для каждого из 3 рассматриваемых
случаев позволят калькуляторы сайта, в которые необходимо ввести известные элементы, и в результате
получить синус или косинус искомого угла либо сам угол в градусах или радианах.

Зная диагонали и сторону a в параллелограмме, можно найти угол пересечения диагоналей, находящийся напротив известной стороны. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной параллелограмма, косинус угла будет равен сумме квадратов половин диагоналей за вычетом квадрата стороны a, деленной на удвоенное произведение половин диагоналей.(рис.106.3)
cos⁡γ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 )

Второй центральный угол является дополнительным до 180 градусов для угла γ, и может быть найден через разность. Затем методом, обратным вышеописанному, из другого треугольника можно найти сторону b.
δ=180°-γ
cos⁡δ=-cos⁡γ
b=√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cos⁡γ )

Зная диагонали и стороны параллелограмма, можно найти углы параллелограмма также через теорему косинусов. (рис.106.2)
cos⁡α=(a^2+b^2-〖d_2〗^2)/2ab
β=180°-α

Высота параллелограмма может быть рассчитана из прямоугольного треугольника, так как, являясь катетом, она относится к гипотенузе, как синус противолежащего ей угла α, вне зависимости от того, на какую сторону она опущена. Поэтому, выразив высоту через синус, можно подставить выражение для стороны a и найти ее через диагонали. (рис.106.1)
h_b=a sin⁡α
h_a=b sin⁡α

Биссектрисой параллелограмма называется отрезок, делящий пополам угол α или β, и проведенный до ближайшей стороны. Примечательно, что для обеих биссектрис отрезок всегда будет пересекать более длинную сторону параллелограмма, образуя равнобедренный треугольник. В таком треугольнике, зная угол и меньшую сторону параллелограмма, можно найти биссектрису, через диагонали это возможно сделать, заменив выражения в формуле эквивалентными. (рис.106.4)
l_α=√(2a^2-2a^2 cos⁡β )=a√(2-2 cos⁡β )
l_β= b√(2-2 cos⁡α )