Как найти угол параллелограмма если известна площадь - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У параллелограмма 4 угла, это частный случай четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Из этого свойства вытекает равенство противоположных сторон, равенство
противоположных углов и равенство суммы смежных углов двум прямым. Свойства параллелограмма широко
используются в быту и технике.

Острый угол параллелограмма через боковую сторону и
высоту
Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и
периметр
Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны
Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую
диагональ
Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную
диагональ

Острый угол параллелограмма через боковую сторону и высоту

Если известна боковая сторона и высота, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = h / b

где α – острый угол, h – высота, b – боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть h = 4 см, b = 8 см. sin α = h / b = 8 / 4 = 2. α = 90°.

Острый угол параллелограмма через площадь и две стороны

Если известна площадь и две стороны, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α= S / ab

где α – острый угол, S — площадь параллелограмма, a и b – его стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Пусть S=50 м², a=10 м, b=5 м. sin α= S / ab = 50 / (10 * 5) = 1. α = 90°.
Угол прямой, смежные стороны не равны, имеем дело с прямоугольником.

Острый угол параллелограмма через высоту, сторону и периметр

Если известна высота, сторона и периметр, то можно найти острый угол параллелограмма по формуле:

sin α = (2h + a) / P

где α – острый угол, h — высота, a — сторона, P — периметр.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Высота опускается на известную и подставляемую в формулу сторону a. Параллелограмм с заданным
периметром приходится строить, если, например, периметр определен длиной веревки, которую требуется
растянуть на местности в форме параллелограмма.

Пример. Пусть h=10 м, a=15 м, P=70 м. sin α=(2h + a) / P= (2 * 10 + 15) / 70 = 0,5. α = 30°.

Острый угол параллелограмма через две стороны и короткую диагональ

Если известны две стороны и короткая диагональ, то можно найти острый угол параллелограмма по
формуле:

cos α = (a² + b² — d²) / 2ab

где α – острый угол, a и b – стороны параллелограмма, d – его короткая диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример расчета: в данном частном случае 2 прилежащие стороны и короткая диагональ
равны, а именно: a = b = d = 26 мм. cos α=(a² + b² — d²) / 2ab = (26² + 26² — 26²) / (2 * 26 * 26) = 0,5. α=60°.

Из равенства прилежащих сторон следует, что это ромб, а результат расчета показывает, что острый угол
в ромбе равен 60°. Знаете, что это за ромб с подобными размерами? Это нагрудный академический знак
для лиц, окончивших советские высшие учебные заведения, установленный с 1961 года.

Тупой угол параллелограмма через две стороны и длинную диагональ

Если известны две стороны и длинная диагональ, то можно найти тупой угол параллелограмма по
формуле:

cos β = (a² + b² — D²) / 2ab

где α – тупой угол, a и b – стороны параллелограмма, D – его длинная диагональ.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример расчета: вновь ромб со сторонами a = b = 26 мм и длинной диагональю D=43 мм.
cos β = (a² + b² — D²) / 2ab = (26² + 26² — 43²) / (2 * 26 * 26) = -0,368. α = 112°.
Это опять-таки нагрудный академический знак из предыдущего примера, небольшое отличие полученного
результата от 120° (при остром угле 60° по предыдущему примеру) объясняется округлением исходных
данных до целого числа миллиметров.

Свойства параллелограмма

У любого выпуклого четырехугольника сумма всех внутренних углов равна 360°, исходя из общей формулы
суммы внутренних углов выпуклого многоугольника в градусах s = 180 (n — 2), где n – количество
сторон. Следовательно, если хотя-бы 1 угол параллелограмма равен прямому (90°), остальные 3 угла
также являются прямыми, и параллелограмм вырождается в свой частный вид – прямоугольник.

Если 2 смежные стороны параллелограмма равны, то равны все его 4 стороны, и параллелограмм
вырождается в ромб. И, наконец, если у параллелограмма равны 2 смежные стороны, а угол между ними
прямой, параллелограмм является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и вырождается в квадрат.
Зачастую возникает необходимость определения неизвестных характеристик параллелограмма через
известные. Выше ряд примеров подобного рода.

Самый наглядный пример параллелограмма – пантограф электропоезда. При подключении опущенного
пантографа к контактной сети железной дороги изменяется конфигурация пантографа при сохранении длин
сторон, в результате изменяется вертикальная диагональ и происходит касание с подачей электрического
тока.
Форму параллелограмма имеет автомобильный реечный домкрат, велосипедная рама (с
диагональю для увеличения жесткости). Ведь параллелограмм — фигура нежесткая, в отличие от
треугольника. Из нежесткости параллелограмма следует, что знания одних длин сторон недостаточно для
вычисления площади фигуры. Так, пантограф электропоезда можно «сложить» до нулевой площади.
Стеклоочиститель лобового стекла автобуса также представляет собой параллелограмм, и именно
нежесткость фигуры позволяет стеклоочистителю «ометать» при движении стекло.

Источник

Здравствуйте, дорогие читатели. В этом выпуске разберемся, что нужно знать из 7 класса для легкого вычисления углов в параллелограмме и трапеции.

Как вы знаете, параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат – это все параллелограммы. Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Значит для вычисления углов в параллелограмме и трапеции нам нужно вспомнить теоремы об углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 градусам.

Как легко вычислить углы в параллелограмме и трапеции. Задание №17 ОГЭ

Теперь применим это знание для решения задач из ОГЭ.

Задача №1

Для решения, воспользуемся свойством односторонних углов.

Для задания такого типа, можно мысленно продолжить стороны, у вас получится пересечение двух параллельных прямых секущей. Поэтому в данном случае воспользуемся тем, что сумма односторонних углов равна 180 градусов. Больший угол параллелограмма равен 180-61=119

Внимание!!! Будьте внимательны, в задании такого типа может быть написано, что нужно найти меньший угол. Меньший угол – это острый, больший угол – это тупой.

Точно также решается задача №2 с трапецией.

Меньший угол – это острый угол. Значит 180-131=49

Задача №3

Для решения такого типа задачи, нужно найти целый больший угол параллелограмма, он равен 70+35=105.

Найдем меньший угол параллелограмма – он острый, равен 180-105=75

2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Для этой теоремы подходят следующие задачи:

Задача №4

Решение:

Угол 1 и угол 2 накрест лежащие, значит они раны. Так как АЕ биссектриса, то угол 2 равен углу 3. Значит угол А равен 33+33=66

Задача №5

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основаниях равны. Значит нам достаточно найти чему равен угол А, тогда мы найдем угол ADC.

Так как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны, то угол А равен 50+30=80, значит угол ADC равен 80

В следующем выпуске, поговорим о том, как найти углы в параллелограмме, где используются другие свойства и теоремы, такие как свойство равнобедренного треугольника, сумма углов треугольника, свойство диагоналей ромба.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Источник

Свойства углов параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β <0

a, b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол

β – тупой угол

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

Формулы соотношения острого и тупого углов:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 05 ноября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Как вычислить угол параллелограмма

У параллелограмма имеется четыре угла. У прямоугольника и квадрата все они равны 90 градусам, у остальных же параллелограммов их значение может быть произвольным. Зная другие параметры фигуры, эти углы можно вычислить.

Инструкция

Параллелограмм -это фигура, у которой противоположные стороны, а также углы равны и параллельны. Существует четыре вида параллелограмма, причем три из них являются частным случаем этой фигуры. У классического параллелограмма два острых и два тупых угла. У квадрата и прямоугольника все углы прямые. Ромб аналогичен классическому параллелограмму и отличается от него лишь тем, что является равносторонним. Все параллелограммы, независимо от вида, имеют ряд общих свойств. Во-первых, диагонали этой фигуры всегда пересекаются в точке, совпадающей с их серединами. Во-вторых, в любом параллелограмме противоположные углы равны.

В ряде задач дан классический параллелограмм с двумя перекрещивающимися между собой диагоналями. Из условия известны две его стороны и площадь. Этого достаточно, чтобы найти один из углов фигуры. Формула связи между площадью, сторонами и углом выглядит так:S=a*b*sin α, где a – длина параллелограмма, b – ширина, α – острый угол, S – площадь.Преобразуйте эту формулу следующим образом:α=arcsin(S/ab).Значение тупого угла β найдите, вычтя значение острого из 180 градусов:β=180-α.

Углы прямоугольника и квадрата находить не требуется – они всегда равны 90°. У ромба же углы могут быть различными, но в связи с одинаковыми длинами всех четырех сторон формула может быть упрощена:S=a^2*sin α, где a – сторона ромба, α – острый угол, S – площадь.Соответственно, угол α равен значению:α=arcsin(S/a^2).Значение тупого угла найдите способом, указанным выше.

Если в параллелограмме или ромбе провести высоту, образуется прямоугольный треугольник. Сторона параллелограмма будет гипотенузой, а высота – катетом этого треугольника. Отношение этого катета к гипотенузе равно синусу угла параллелограмма:sinα=h/c.Отсюда угол α равен:α=arcsin(h/c).

Источники:

Методика изучения темы “Прямоугольник

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

24
Июл 2013

Категория: 01 Геометрия

01. Параллелограмм

2013-07-24
2022-09-11

Задача 1. Сумма двух углов параллелограмма равна $62^{circ}$ . Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 2. Один угол параллелограмма больше другого на $70^{circ}$ . Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 3. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 4. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы $5^{circ}$ и $38^{circ}.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 5. Периметр параллелограмма равен Меньшая сторона равна Найдите большую сторону параллелограмма.

Решение: + показать

Задача 6. Две стороны параллелограмма относятся как а периметр его равен Найдите большую сторону параллелограмма.

Решение: + показать

Задача 7. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна Найдите его большую сторону.

Решение: + показать

Задача 8. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 9. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен

Решение: + показать

Задача 10. В параллелограмме высота, опущенная на сторону из точки равна . Найдите синус угла .

Решение: + показать

Задача 11. В параллелограмме $sinC=frac{5}{7},;AD=7.$ Найдите высоту, опущенную на сторону

Решение: + показать

Задача 12. В параллелограмме $AB=6,;AD=14,;sinA=frac{6}{7}.$ Найдите большую высоту параллелограмма.

Решение: + показать

Задача 13. Площадь параллелограмма равна две его стороны равны и Найдите большую высоту этого параллелограмма.

Решение: + показать

Задача 14. В параллелограмме $sinA=frac{sqrt{561}}{25}$ . Найдите .

Решение: + показать

Задача 15. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 16. Площадь параллелограмма равна Точка — середина стороны . Найдите площадь трапеции .

Решение: + показать

Задача 17. Площадь параллелограмма равна Найдите площадь параллелограмма вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Решение: + показать

Задача 18. Найдите диагональ параллелограмма , если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: + показать

Задача 19. Диагонали четырехугольника равны и Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.