Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.
Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.
В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.
Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции
Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.
Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.
Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:
Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.
Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.
Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным. Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.
Как найти интервалы выпуклости функции
В этом пункте мы расскажем о теореме, с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.
График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y=f(x) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f”(x)≥0 ∀x∈X (f”(x)≤0 ∀x∈X) будет верным.
Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f”(x)≥0 и f”(x)≤0 на области определения соответствующей функции.
Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y=f(x) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.
Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.
Условие: дана функция y=x36-x2+3x-1. Определите, на каких промежутках ее график будет иметь выпуклости и вогнутости.
Решение
Областью определения данной функции является все множество действительных чисел. Начнем с вычисления второй производной.
y’=x36-x2+3x-1’=x22-2x+3⇒y”=x22-2x+3=x-2
Мы видим, что область определения второй производной совпала с областью самой функции Значит, для выявления интервалов выпуклостей нам надо решить неравенства f”(x)≥0 и f”(x)≤0 .
y”≥0⇔x-2≥0⇔x≥2y”≤0⇔x-2≤0⇔x≤2
Мы получили, что график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].
Для наглядности изобразим график функции и отметим на нем выпуклую часть синим, а вогнутую – красным цветом.
Ответ: график заданной функции будет иметь вогнутость на отрезке [2; +∞) и выпуклость на отрезке (-∞; 2].
А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.
Условие: дана функция y=8xx-1 . Определите, в каких промежутках ее график будет иметь вогнутость, а в каких – выпуклость.
Решение
Для начала выясним область определения функции.
x≥0x-1≠0⇔x≥0x≠1⇔x∈[0; 1)∪(1;+∞)
Теперь вычисляем вторую производную:
y’=8xx-1’=8·12x·(x-1)-x·1(x-1)2=-4·x+1x·(x-1)2y”=-4·x+1x·(x-1)2’=-4·1·x·x-12-(x+1)·x·x-12’x·(x-1)4==-4·1·x·x-12-x+1·12x·(x-1)2+x·2(x-1)x·x-14==2·3×2+6x-1×32·(x-1)3
Область определения второй производной – это множество x∈(0; 1)∪(1; +∞). Мы видим, что x, равный нулю, будет принадлежать области определения исходной функции, но не области определения второй производной. Эту точку нужно обязательно включить в отрезок вогнутости или выпуклости.
После этого нам надо решить неравенства f”(x)≥0 и f”(x)≤0 на области определения заданной функции. Используем для этого метод интервалов: при x=-1-233≈-2,1547 или x=-1+233≈0,1547 числитель 2·(3×2+6x-1)x23·x-13 обращается в 0, а знаменатель равен 0 при x, равном нулю или единице.
Нанесем получившиеся точки на график и определим знак выражения на всех интервалах, которые войдут в область определения исходной функции. На графике эта область обозначена штриховкой. Если значение положительно, отмечаем интервал плюсом, если отрицательно, то минусом.
Следовательно,
f”(x)≥0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈0; -1+233∪(1; +∞), а f”(x)≤0x∈[0; 1)∪(1; +∞)⇔x∈[-1+233; 1)
Включаем ранее отмеченную точку x=0 и получаем нужный ответ. График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .
Изобразим график, отметив на нем выпуклую часть синим, а вогнутую красным цветом. Вертикальная асимптота отмечена черным пунктиром.
Ответ: График исходной функции будет иметь выпуклость по направлению вниз при 0; -1+233∪(1; +∞) , и вверх – при x∈[-1+233; 1) .
Условия перегиба графика функции
Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.
Допустим, что у нас есть функция y=f(x), график которой имеет точку перегиба. При x=x0 у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f”(x0)=0.
Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0. Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.
Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная. На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0. Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x0 из области определения функции, где limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞. Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0.
Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции
Мы нашли все значения x0, которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.
Допустим, что у нас есть функция y=f(x), которая является непрерывной в точке M(x0; f(x0)). При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x0. В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.
Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x0.
Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.
Как найти точки перегиба графика функции
- Для начала нужно найти все абсциссы x0 возможных точек перегиба, где f”(x0)=0, limx→x0-0f'(x)=∞, limx→x0+0f'(x)=∞.
- Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения и есть абсциссы точек перегиба, а точки M(x0; f(x0)) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.
Для наглядности разберем две задачи.
Условие: дана функция y=110·x412-x36-3×2+2x . Определите, где график данной функции будет иметь точки перегиба и выпуклости.
Решение
Указанная функция определена на всем множестве действительных чисел. Считаем первую производную:
y’=110·x412-x36-3×2+2x’=110·4×312-3×26-6x+2==110·x33-x22-6x+2
Теперь найдем область определения первой производной. Это также множество всех действительных чисел. Значит, равенства limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞ не могут быть выполнены ни при каких значениях x0.
Вычисляем вторую производную:
y”==110·x33-x22-6x+2’=110·3×23-2×2-6=110·x2-x-6
Далее определяем, когда она будет обращаться в 0:
y”=0⇔110·(x2-x-6)=0⇔x2-x-6=0D=(-1)2-4·1·(-6)=25×1=1-252=-2, x2=1+252=3
Мы нашли абсциссы двух вероятных точек перегиба –2 и 3. Все, что нам осталось сделать – это проверить, в какой точке производная изменит свой знак. Изобразим числовую ось и нанесем на нее данные точки, после чего расставим знаки второй производной на получившихся промежутках.
Дуги показывают направление выпуклости графика в каждом интервале.
Вторая производная меняет знак на противоположный (с плюса на минус) в точке с абсциссой 3, проходя через нее слева направо, и также делает это (с минуса на плюс) в точке с абсциссой 3. Значит, мы можем сделать вывод, что x=-2 и x=3– это абсциссы точек перегиба графика функции. Им будут соответствовать точки графика -2; -43 и 3; -158.
Взглянем вновь на изображение числовой оси и получившиеся знаки на интервалах, чтобы сделать выводы о местах вогнутости и выпуклости. Получается, что выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2] и [3; +∞).
Решение задачи наглядно изображено на графике: синий цвет – выпуклости, красный – вогнутость, черный цвет означает точки перегиба.
Ответ: выпуклость будет расположена на отрезке -2; 3 , а вогнутость на отрезках (-∞; -2] и [3; +∞).
Условие: вычислите абсциссы всех точек перегиба графика функции y=18·x2+3x+2·x-335.
Решение
Область определения заданной функции – множество всех действительных чисел. Вычисляем производную:
y’=18·(x2+3x+2)·x-335’==18·x2+3x+2’·(x-3)35+(x2+3x+2)·x-335’==18·2x+3·(x-3)35+(x2+3x+2)·35·x-3-25=13×2-6x-3940·(x-3)25
В отличие от функции, ее первая производная не будет определена при значении x, равном 3, но:
limx→3-0y'(x)=13·(3-0)2-6·(3-0)-3940·3-0-325=+∞limx→3+0y'(x)=13·(3+0)2-6·(3+0)-3940·3+0-325=+∞
Это значит, что через данную точку будет проходить вертикальная касательная к графику. Следовательно, 3 может быть абсциссой точки перегиба.
Вычисляем вторую производную. Также находим область ее определения и точки, в которых она обращается в 0:
y”=13×2-6x-3940·x-325’==140·13×2-6x-39’·(x-3)25-13×2-6x-39·x-325′(x-3)45==125·13×2-51x+21(x-3)75, x∈(-∞; 3)∪(3; +∞)y”(x)=0⇔13×2-51x+21=0D=(-51)2-4·13·21=1509×1=51+150926≈3,4556, x2=51-150926≈0,4675
У нас получились еще две возможные точки перегиба. Нанесем их все на числовую прямую и разметим получившиеся интервалы знаками:
Перемена знака будет происходить при прохождении через каждую указанную точку, значит, они все являются точками перегиба.
Ответ: Изобразим график функции, отметив вогнутости красным, выпуклости синим и точки перегиба – черным:
Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.
Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.
Второе достаточное условие перегиба графика функции
Если мы имеем f”(x0)=0 и f”'(x0)≠0, то x0 будет абсциссой точки перегиба графика y=f(x).
Условие: задана функция y=160×3-320×2+710x-25 . Определите, будет ли график функции иметь перегиб в точке 3; 45.
Решение
Первое, что нужно сделать, – это убедиться в том, что данная точка вообще будет принадлежать графику этой функции.
y(3)=160·33-320·32-25=2760-2720+2110-25=9-27+42-820=45
Заданная функция определена для всех аргументов, являющихся действительными числами. Вычислим первую и вторую производные:
y’=160×3-320×2+710x-25’=120×2-310x+710y”=120×2-310x+710’=110x-310=110(x-3)
Мы получили, что вторая производная будет обращаться в 0, если x будет равен 0. Значит, необходимое условие перегиба для этой точки будет выполнено. Теперь используем второе условие: найдем третью производную и выясним, будет ли она обращаться в 0 при 3:
y”’=110(x-3)’=110
Третья производная не будет обращаться в нуль ни при одном значении x. Поэтому можно заключить, что данная точка будет точкой перегиба графика функции.
Ответ: Покажем решение на иллюстрации:
Третье достаточное условие перегиба графика функции
Допустим, что f'(x0)=0, f”(x0)=0, …, f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0 .В таком случае при четном n мы получим, что x0 – это абсцисса точки перегиба графика y=f(x).
Условие: дана функция y=(x-3)5+1. Вычислите точки перегиба ее графика.
Решение
Данная функция является определенной на всем множестве действительных чисел. Вычисляем производную: y’=((x-3)5+1)’=5·x-34 . Поскольку она тоже будет определена для всех действительных значений аргумента, то в любой точке ее графике будет существовать невертикальная касательная.
Теперь вычислим, при каких значениях вторая производная будет обращаться в 0:
y”=5·(x-3)4’=20·x-33y”=0⇔x-3=0⇔x=3
Мы получили, что при x=3 график функции может иметь точку перегиба. Используем третье условие, чтобы подтвердить это:
y”’=20·(x-3)3’=60·x-32, y”'(3)=60·3-32=0y(4)=60·(x-3)2’=120·(x-3), y(4)(3)=120·(3-3)=0y(5)=120·(x-3)’=120, y(5)(3)=120≠0
Имеем n=4 по третьему достаточному условию. Это четное число, значит, x=3 будет абсциссой точки перегиба и ей соответствует точка графика функции (3;1).
Ответ: Вот график данной функции с отмеченными выпуклостями, вогнутостями и точкой перегиба:
Точки перегиба графика функции
В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки.
Точка перегиба функции – это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость
Как найти?
- Найти вторую производную функции $ y”(x) $
- Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
- Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y”'(x) $
Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y”'(x)$. Если $ y”'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка – это точка перегиба.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $ |
| Решение |
|
Найдем первую производную, заданной функции: $$ y’ = (2x^4 – 6x^2 + 1)’ = 8x^3 – 12x $$ Теперь получим вторую производную: $$ y” = (y’)’ = (8x^3 – 12x)’ = 24x^2 – 12 $$ Приравниваем к нулю $ y” = 0 $ и решаем уравнение: $$ 24x^2 – 12 = 0 $$ $$ x^2 = frac{1}{2} $$ $$ x_1 = -frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$ Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $: $$ y”'(x) = (y”(x))’ = 48x $$ $$ y”'(x_1) = y”'(-frac{1}{sqrt{2}}) = -frac{48}{sqrt{2}} $$ $$ y”'(x_2) = y”'(frac{1}{sqrt{2}}) = frac{48}{sqrt{2}} $$ Так как $ y”'(x_1) $ и $ y”'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
|
$$ x_1 = – frac{1}{sqrt{2}}, x_2 = frac{1}{sqrt{2}} $$ |
| Пример 2 |
| Узнать, является ли для графика функции $ y = cos x $ точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точкой перегиба |
| Решение |
|
Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче: $$ y'(x) = (cos x)’ = – sin x $$ $$ y”(x) = (-sin x)’ = -cos x $$ $$ y”'(x) = (-cos x)’ = sin x $$ Вычислим значения $ y”(x_0) text{ и } y”'(x_0) $: $$ y”(x_0) = y”(frac{pi}{2}) = – cos frac{pi}{2} = 0 $$ $$ y”'(x_0) = y”'(frac{pi}{2}) = sin frac{pi}{2} = 1 $$ Так как $ y”(frac{pi}{2}) = 0 $, а $ y”'(frac{pi}{2}) neq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ является точкой перегиба для функции $ y = cos x $ |
| Ответ |
| Точка $ x_0 = frac{pi}{2} $ точка перегиба |
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В дифференциальном исчислении точка перегиба – эта точка кривой, в которой ее кривизна меняет знак (с плюса на минус или с минуса на плюс). Это понятие используется в машиностроении, экономике и статистике для определения существенных изменений в данных.
-
1
Определение вогнутой функции. Середина любой хорды (отрезок, соединяющий две точки) графика вогнутой функции лежит либо под графиком, либо на нем.
-
2
Определение выпуклой функции. Середина любой хорды (отрезок, соединяющий две точки) графика выпуклой функции лежит либо над графиком, либо на нем.
-
3
Определение корней функции. Корень функции – это такое значение переменной «х», при котором у = 0.
- При построении графика функции корни – это точки, в которых график пересекает ось Х.
Реклама
-
1
Найдите первую производную функции. Посмотрите правила дифференцирования в учебнике; вы должны научиться брать первые производные, и только потом переходить к более сложным вычислениям. Первые производные обозначаются как f ‘(х). Для выражений вида ax^p + bx^(p−1) + cx + d первая производная имеет вид: apx^(p−1) + b(p − 1)x^(p−2) + c.
- Например, найдите точки перегиба функции f(х) = х^3 +2х -1. Первая производная этой функции имеет вид:
f ′(x) = (x^3 + 2x − 1)′ = (x^3)′ + (2x)′ − (1)′ = 3x^2 + 2 + 0 = 3×2 + 2
- Например, найдите точки перегиба функции f(х) = х^3 +2х -1. Первая производная этой функции имеет вид:
-
2
Найдите вторую производную функции. Вторая производная – это производная от первой производной исходной функции. Вторая производная обозначается как f ′′(x).
- В приведенном выше примере вторая производная имеет вид:
f ′′(x) = (3×2 + 2)′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
- В приведенном выше примере вторая производная имеет вид:
-
3
Приравняйте вторую производную к нулю и решите полученное уравнение. Полученный результат будет предполагаемой точкой перегиба.
- В приведенном выше примере ваш расчет выглядит следующим образом:
f ′′(x) = 0
6x = 0
x=0
- В приведенном выше примере ваш расчет выглядит следующим образом:
-
4
Найдите третью производную функции. Чтобы убедиться, что полученный результат на самом деле является точкой перегиба, найдите третью производную, которая является производной от второй производной исходной функции. Третья производная обозначается как f ′′′(x).
- В приведенном выше примере третья производная имеет вид:
f ′′′(x) = (6x)′ = 6
Реклама
- В приведенном выше примере третья производная имеет вид:
-
1
Проверьте третью производную. Стандартное правило оценки предполагаемой точки перегиба: если третья производная не равна нулю (то есть f ′′′(x) ≠ 0), то предполагаемая точка перегиба является настоящей точкой перегиба. Проверьте третью производную; если она не равна нулю, то вы нашли настоящую точку перегиба.
- В приведенном выше примере третья производная равна 6, а не 0. Поэтому вы нашли настоящую точку перегиба.
-
2
Найдите координаты точки перегиба. Координаты точки перегиба обозначаются как (x,f(x)), где х – значение независимой переменной «х» в точке перегиба, f(х) – значение зависимой переменной «у» в точке перегиба.
- В приведенном выше примере при приравнивании второй производной к нулю вы нашли, что х = 0. Таким образом, чтобы определить координаты точки перегиба, найдите f(0). Ваш расчет выглядит следующим образом:
f(0) = 0^3 +2×0−1 = −1.
- В приведенном выше примере при приравнивании второй производной к нулю вы нашли, что х = 0. Таким образом, чтобы определить координаты точки перегиба, найдите f(0). Ваш расчет выглядит следующим образом:
-
3
Запишите координаты точки перегиба. Координаты точки перегиба – это найденные значения «х» и f(x).
- В приведенном выше примере точка перегиба – это точка с координатами (0, -1).
Реклама
Советы
- Первая производная от свободного члена (простого числа) всегда равна нулю.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 21 962 раза.
Была ли эта статья полезной?
График функции y = x3 с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.
Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).
Определения[править | править код]
Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак.
Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую[1].
Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция 
при 
при 
, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).
Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю[4].
Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления[1].
Дифференцируемая функция имеет точку перегиба (x, f(x)) тогда и только тогда, когда её первая производная, f′, имеет изолированный экстремум в точке x (это не то же самое, что f имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки x имеется одна и только одна точка, в которой f′ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции f′ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике f, в которой касательная пересекает кривую[5][6].
Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего[1].
Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.
Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух[7].
Свойства[править | править код]
Точка перегиба 
однозначно характеризуется двумя свойствами:
Если кривая задана как график дифференцируемой функции 
, точка перегиба является точкой экстремума для 
.
Необходимое и достаточное условия[править | править код]
График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена зелёным цветом, где кривая выпукла (под касательной), синим, где кривая вогнута (выше касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π
Если x является точкой перегиба для f, то вторая производная, f″(x), равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления [8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.
Определение предполагает, что f имеет ненулевую производную более высокого порядка по x, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак f′(x) постоянен по обеим сторонам от x в окрестности точки x.
Достаточное условие точки перегиба:
1) Достаточным условием точки перегиба является:
- Если f(x) k раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x, где k нечётно и k ≥ 3, f(n)(x0)=0 для n = 2,…,k — 1 и f(k)(x0) ≠ 0, то x0 является точкой перегиба f(x).
2) Другое достаточное условие требует, чтобы 
и 
имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная[2].
Классификация точек перегиба[править | править код]
Точки перегиба можно классифицировать согласно производной f′(x).
- если f′(x) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
- если f′(x) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба
y = x4 — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).
Примером седловой точки является точка (0,0) графика y = x3. Касательной служит ось x и она разделяет график в этой точке.
Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции y = x3, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.
Функции с разрывами[править | править код]
Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию 2x2/(x2 — 1). Она выпукла при |x| > 1 и вогнута при |x| < 1. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку 1 и −1 не принадлежат области определения функции.
См. также[править | править код]
- Критическая точка
- Экологический порог[en]
- Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
- Стрельчатая S-образная арка[en], архитектурная форма с точками перегиба
- Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 3 4 Шикин, 1997, с. 39.
- ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231.
- ↑ Фихтенгольц, 2001, с. 305.
- ↑ Шикин, 1997, с. 27.
- ↑ Фихтенгольц, 2001, с. 294—305.
- ↑ Кудрявцев, 1981, с. 190—195.
- ↑ Point of inflection. encyclopediaofmath.org.
- ↑ Рашевский, 1950, с. 18—19.
Литература[править | править код]
- Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
- I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
- Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
- Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
- П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
- Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Point of inflection, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Ссылки[править | править код]
- Inflection Points of Fourth Degree Polynomials
Download Article
Learn how to take the derivative of a function to get its inflection points
Download Article
- Understanding Concavity and Inflection
- Finding the Derivatives of a Function
- Checking the Candidate Inflection Points
- Troubleshooting
- Using a Scientific Calculator
- Video
- Q&A
- Tips
|
|
|
|
|
|
|
You just learned about inflection points in calculus and now you’ve got a bunch of math problems asking you to find them. You’ve got a function and a graph, so where do you go from there? With our help and a bit of derivative magic, finding a function’s inflection points is actually pretty easy! In this article, we’ll provide you with all the steps you need to find and check points of inflection. As a bonus, we’ll show you how to use your scientific calculator to calculate points of inflection for you. If you’re ready to solve your math problems, read on!
Things You Should Know
- An inflection point is where a function changes concavity and where the second derivative of the function changes signs.
- Take the first and second derivative of the function using the power rule.
- Set the second derivative equal to 0 to find the candidate, or possible, inflection points.
- Plug in a value greater than and less than the candidate point to see if the second derivative changes signs at the point.
-
1
Learn the difference between concave up and concave down. To understand inflection points, you need to understand when a function is concave up or down on a graph. Many functions have both concave up and concave down intervals, with an inflection point existing where a function changes concavity. Luckily, concave up and down are easy to distinguish based on their names and what they look like.[1]
- A concave down function is shaped like a hill or an upside-down U. It’s a function where the slope is decreasing. When it’s graphed, no line segment that joins 2 points on its graph ever goes above the curve.
- A concave up function, on the other hand, is shaped like a U. It’s a function where the slope is increasing. No line segment that joins 2 points on its graph ever goes below the curve.
- In the graph above, the red curve is concave up, while the green curve is concave down.
-
2
Identify the roots of a function. A root of a function is the point where the function equals zero, or where the function intersects the x-axis. In the graph above, the roots of the green parabola are at
and [2]
- A function can also have more than 1 root.
Advertisement
-
3
Find an inflection point where a function changes concavity. Remember how there’s a difference between concave up and concave down? An inflection point is a point on a function where its concavity changes, either from upwards to downwards or downwards to upwards. It is also the point where the second derivative of the function changes signs from positive to negative or negative to positive. For the point to be a point of inflection, it has to both switch concavity and change signs on the second derivative.[3]
- To find the inflection point on a graph, look for the point where the function switches concavity. On the graph above, it’s the middle point where the function changes from concave down to concave up.
Advertisement
-
1
Take the first derivative of the given function. You’ll need your function’s second derivative to find your inflection points. Before you get the second derivative, you have to find the first derivative of the function. First derivatives are denoted as
or . To solve your function’s first derivative, use the power rule. Multiply x by its exponent and then reduce the exponent by 1.[4]
- For example, find the inflection point of the function below.
- The derivatives of basic functions are usually found in most calculus textbooks; you need to learn how to find basic derivatives before moving on to more complex functions.
-
2
-
3
Set f’’(x) equal to 0 to find the candidate inflection points. Solving f’’(x) = 0 only gives you the candidate inflection points. These are the x-values of the possible inflection points for the function. You still need to test the points on the second derivative to make sure it changes concavity, or switches its sign from positive to negative or negative to positive.[5]
- Set equal to 0.
- Set
Advertisement
-
1
Plug a value higher and lower than the inflection point into f’’(x). To check if the second derivative changes signs, select 1 value that is greater than the candidate point and 1 value that is less than it. Then, plug each value into the second derivative. If the sign of the second derivative is different for both values, the candidate inflection point is an inflection point. If the sign doesn’t change, the candidate point is not an inflection point.[6]
-
2
Substitute the inflection point into the original function to get its y-value. While you now know the x-value of the inflection point, you don’t know where it is on the y-axis. Simply go back to the original function and plug in the inflection point to get its y-value.[7]
-
3
Evaluate the function to find the inflection point’s coordinates. The coordinate of the inflection point is denoted as
In our example, the coordinates of the inflection point are [8]
Advertisement
-
1
Check the concavity of every candidate inflection point. Oftentimes, people assume there’s no inflection point when the candidate point is
. However, this isn’t true. Remember, 0 can be graphed, so if you get 0 as your candidate point, it might be an inflection point.[9]
-
2
Include candidate points where the derivative is undefined. When you find possible inflection points, you have to look for instances where the second derivative equals 0 and where the second derivative is undefined. If you only look for points where the second derivative is 0, you might miss inflection points where the function is undefined.[10]
-
3
Analyze the second derivative, not the first one. When you’re finding inflection points, you only consider the second derivative. If you set the first derivative equal to 0, your answer will give you extremum points instead.[11]
Advertisement
-
1
Head to your “Plots” function on your calculator. It’s easy to use a scientific calculator to find inflection points. On most scientific calculators, just press the “diamond” or the “second” button, then click F1. This takes you to your Y plots where you can enter up to 7 functions.[12]
- This is true on both the TI-84 and the TI-89, but it may not be the exact same on older models.
-
2
Enter the function into y1. Clear out any remaining functions you had in your y plots. Then, type in the function after the equal sign. Remember to keep any parentheses involved in the function so your answer is correct.[13]
- For example, the function might be
- For example, the function might be
-
3
Click “graph.” On most calculators, you press the “diamond” or “second” button then click F3. If you have to adjust your window on the calculator, hit “diamond” or “second” and press F2. Then, select “standard zoom.”[14]
- Don’t worry if your screen doesn’t show the whole graph just yet—you will adjust the zoom later.
-
4
Adjust the window until you see the whole graph. When you open up the graphing window, you might not see the entire curve of your graph. If that’s the case, click the “diamond” or “second” button, then open up F2 for zoom again. Simply increase or decrease your minimum and maximum axis to get the graph to fit inside the window.[15]
- It might take a little adjustment and back-and-forth to find your graph.
-
5
Click “Math,” then “Inflection.” Hit the “diamond” or “second” button, then select F5 to open up “Math.” In the dropdown menu, select the option that says “Inflection.”[16]
- This is—you guessed it—how to tell your calculator to calculate inflection points.
-
6
Place the cursor on the lower and upper bound of the inflection. Your calculator will give you a message saying “Lower?” Move the arrows on your calculator until the cursor is to the left of the inflection point. Then, your calculator will ask “Upper?” Move your cursor so it’s to the right of the inflection point. To get your inflection point, hit “Enter.”[17]
- This is how you get your calculator to guess where the inflection point is. Now you have your answer!
Advertisement
Add New Question
-
Question
What if the second derivative intersects with the x-axis, but does not dip below it?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
The second derivative has to cross the x-axis for there to be an inflection point. If the second derivative only touches the x-axis but doesn’t cross it, there’s no inflection point.
-
Question
What if the second derivative is a constant? How do I find the inflection point?
Inflection points are where the second derivative changes sign. If it is constant, it never changes sign, so there exists no inflection point for the function.
-
Question
Can the first derivative become zero at an inflection point?
Orangejews
Community Answer
Yes, for example x^3. It changes concavity at x=0, and the first derivative is 0 there.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Alternatively, take the third derivative of a function to find the inflection points. If the third derivative does not equal 0, there is an inflection point. If the third derivative is positive, the inflection point is increasing; if it’s negative, the point is decreasing.[18]
However, taking such derivatives with more complicated expressions is often not desirable. -
All linear functions have no inflection points. This is because linear functions do not change slope (the entire graph has the same slope), so there is no point at which the slope changes.
-
When you’re testing the candidate points, you are only looking for a sign change. You are not actually evaluating the value.
Show More Tips
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find inflection points, start by differentiating your function to find the derivatives. Then, find the second derivative, or the derivative of the derivative, by differentiating again. To locate a possible inflection point, set the second derivative equal to zero, and solve the equation. Finally, find the inflection point by checking if the second derivative changes sign at the candidate point, and substitute back into the original function. For more tips on finding inflection points, like understanding concave up and down functions, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 336,943 times.
Reader Success Stories
-
“Here is what helped me: If the sign of the second derivative changes as you pass through the candidate inflection…” more
