Углы правильного многоугольника делятся на :
- центральный угол;
- внутренний угол;
- внешний угол.
Сумма внутреннего и внешнего угла равна (180°).
Сумма внутренних углов правильного многоугольника с (n) сторонами равна:
((n – 2)180°)
Для нахождения внутреннего угла используют формулу:
(alpha = frac{{{{180}^o}(n – 2)}}{n})
(n)– число сторон
Для нахождения внешнего угла используют формулу:
(varphi = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)– число сторон
Для нахождения центрального угла используют формулу:
(beta = frac{{{{360}^o}}}{n})
(n)– число сторон
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В геометрии угол — это фигура, которая образована двумя лучами, которые выходят из одной точки (она называется вершиной угла). В большинстве случаев единицей измерения угла является градус (°) — помните, что полный угол или один оборот равен 360°. Найти значение угла многоугольника можно по его типу и значениям других углов, а если дан прямоугольный треугольник, угол можно вычислить по двум сторонам. Более того, угол можно измерить с помощью транспортира или вычислить с помощью графического калькулятора.
-
1
Сосчитайте число сторон многоугольника. Чтобы вычислить внутренние углы многоугольника, сначала нужно определить, сколько у многоугольника сторон. Обратите внимание, что число сторон многоугольника равно числу его углов.[1]
- Например, у треугольника 3 стороны и 3 внутренних углов, а у квадрата 4 стороны и 4 внутренних углов.
-
2
Вычислите сумму всех внутренних углов многоугольника. Для этого воспользуйтесь следующей формулой: (n – 2) x 180. В этой формуле n — это количество сторон многоугольника. Далее приведены суммы углов часто встречающихся многоугольников:[2]
- Сумма углов треугольника (многоугольника с 3-мя сторонами) равна 180°.
- Сумма углов четырехугольника (многоугольника с 4-мя сторонами) равна 360°.
- Сумма углов пятиугольника (многоугольника с 5-ю сторонами) равна 540°.
- Сумма углов шестиугольника (многоугольника с 6-ю сторонами) равна 720°.
- Сумма углов восьмиугольника (многоугольника с 8-ю сторонами) равна 1080°.
-
3
Разделите сумму всех углов правильного многоугольника на число углов. Правильный многоугольник это многоугольник с равными сторонами и равными углами. Например, каждый угол равностороннего треугольника вычисляется так: 180 ÷ 3 = 60°, а каждый угол квадрата находится так: 360 ÷ 4 = 90°.[3]
- Равносторонний треугольник и квадрат — это правильные многоугольники. А у здания Пентагона (Вашингтон, США) и дорожного знака «Стоп» форма правильного восьмиугольника.
-
4
Вычтите сумму всех известных углов из общей суммы углов неправильного многоугольника. Если стороны многоугольника не равны друг другу, и его углы также не равны друг другу, сначала сложите известные углы многоугольника. Теперь полученное значение вычтите из суммы всех углов многоугольника — так вы найдете неизвестный угол.[4]
- Например, если дано, что 4 угла пятиугольника равны 80°, 100°, 120° и 140°, сложите эти числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Теперь вычтите это значение из суммы всех углов пятиугольника; эта сумма равна 540°: 540 – 440 = 100°. Таким образом, неизвестный угол равен 100°.
Совет: неизвестный угол некоторых многоугольников можно вычислить, если знать свойства фигуры. К примеру, в равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла равны; в параллелограмме (это четырехугольник) противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Реклама
-
1
Помните, что в любом прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°. Это так, даже если прямой угол никак не отмечен или его значение не указано. Таким образом, один угол прямоугольного треугольника всегда известен, а другие углы можно вычислить с помощью тригонометрии.[5]
-
2
Измерьте длину двух сторон треугольника. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Прилежащая сторона это сторона, которая находится возле неизвестного угла. Противолежащая сторона — это сторона, которая находится напротив неизвестного угла. Измерьте две стороны, чтобы вычислить неизвестные углы треугольника.[6]
Совет: воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы решить уравнения, или найдите онлайн-таблицу со значениями синусов, косинусов и тангенсов.
-
3
Вычислите синус угла, если вам известны противолежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: sin(x) = противолежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, противолежащая сторона равна 5 см, а гипотенуза равна 10 см. Разделите 5/10 = 0,5. Таким образом, sin(x) = 0,5, то есть x = sin-1 (0,5).[7]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,5 и нажмите клавишу sin-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 30°.
-
4
Вычислите косинус угла, если вам известны прилежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: cos(x) = прилежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, прилежащая сторона равна 1,67 см, а гипотенуза равна 2 см. Разделите 1,67/2 = 0,83. Таким образом, cos(x) = 0,83, то есть x = cos-1 (0,83).[8]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,83 и нажмите клавишу cos-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 33,6°.
-
5
Вычислите тангенс угла, если вам известны противолежащая и прилежащая стороны. Для этого подставьте значения в уравнение: tg(x) = противолежащая сторона ÷ прилежащая сторона. Например, противолежащая сторона равна 75 см, а прилежащая сторона равна 75 см. Разделите 75/100 = 0,75. Таким образом, tg(x) = 0,75, то есть x = tg-1 (0,75).[9]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,75 и нажмите клавишу tg-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 36,9°.
Реклама
Советы
- Названия углов соответствуют их значениям. Угол в 90° — это прямой угол. Угол в 180° — это развернутый угол. Угол, который лежит между 0° и 90° — это острый угол. Угол, который лежит между 90° и 180° — это тупой угол. Угол, который лежит между 180° и 360° — это невыпуклый угол.
- Если сумма двух углов равна 90°, они называются дополнительными. Запомните: два острых угла прямоугольного треугольника всегда являются дополнительными. Если же сумма двух углов равна 180°, они называются смежными.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 237 189 раз.
Была ли эта статья полезной?
Углы равностороннего треугольника
Чему равны углы равностороннего треугольника?
(свойство углов равностороннего треугольника)
Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.
Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.
Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.
Что и требовалось доказать .
Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем 
.
 |
(1) |
 |
(2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
.
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: 
Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
И, наконец, находим угол C:
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
.
.
Далее, из формулы
.
| . |
(3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
.
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: 
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
,
Из формулы (3) найдем cosA:
.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
.
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: 
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
[spoiler title=”источники:”]
http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php
[/spoiler]
Как найти углы правильного многоугольника
Правильные многоугольники встречаются в жизни каждый день, например, квадрат, треугольник или шестиугольник, в форме которого сделаны все пчелиные соты. Чтобы построить правильный многоугольник самостоятельно, необходимо знать его углы.
Инструкция
Сначала по формуле S= 180⁰(n-2) рассчитайте сумму внутренних углов вашего многоугольника. Например, если вам нужно найти углы правильного многоугольника с 15 сторонами, подставьте n=15 в уравнение. У вас получится S=180⁰(15-2), S=180⁰х13, S=2340⁰.
Далее разделите полученную сумму внутренних углов на их количество. Например, в примере с многоугольником количество углов равно количеству сторон, то есть 15. Таким образом, вы получите, что угол равен 2340⁰/15=156⁰. Каждый внутренний угол многоугольника равен 156⁰.
Если вам удобнее рассчитать углы многоугольника в радианах, действуйте следующим образом. Вычтите из количества сторон число 2 и умножьте полученную разность на число П (Пи). Затем разделите произведение на количество углов в многоугольнике. Например, если вам нужно рассчитать углы правильного 15-угольника, действуйте так: П*(15-2)/15=13/15П, или 0,87П, или 2,72 (но, как правило, число П остается в неизменном виде). Либо просто разделите размер угла в градусах на 57,3 – именно столько градусов содержится в одном радиане.
Также можете попробовать рассчитать углы правильного многоугольника в градах. Для этого вычтите из количества сторон число 2, разделите полученное число на количество сторон и умножьте результат на 200. Эта единица измерения углов сегодня почти не используется, но если вы решили посчитать углы в градах, не забудьте, что град разбивается на метрические секунды и минуты (по 100 секунд в минуте).
Возможно, вам необходимо рассчитать внешний угол правильного многоугольника, в этом случае поступайте так. Вычтите из 180⁰ внутренний угол – в результате вы получите значение смежного, то есть внешнего угла. Он может принимать значение от -180⁰ до +180⁰.
Полезный совет
Если вам удалось узнать углы правильного многоугольника – вы сможете легко его построить. Начертите одну сторону определенной длины и от нее при помощи транспортира отложите нужный угол. Отмерьте точно такое же расстояние (все стороны правильного многоугольник равны) и снова отложите нужный угол. Продолжайте, пока стороны не сомкнутся.
Источники:
- угол в правильном многоугольнике
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Информация по назначению калькулятора
Треугольник – это одна из основных геометрических фигур: многоугольник с тремя углами (или вершинами) и тремя сторонами (или ребрами), которые являются прямыми отрезками.
В евклидовой геометрии любые три неколлинеарные точки определяют треугольник и единственную плоскость, то есть двумерное декартово пространство.
Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда превышает длину третьей стороны. Это и есть неравенство треугольника.
Треугольники могут быть классифицированы в соответствии с относительной длиной их сторон:
⇒ В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник также является равноугольным многоугольником, т.е. все его внутренние углы равны, а именно 60° – это правильный многоугольник.
⇒ В равнобедренном треугольнике две стороны имеют одинаковую длину. Равнобедренный треугольник также имеет два совпадающих угла (а именно, углы, противоположные совпадающим сторонам). Равносторонний треугольник – это равнобедренный треугольник, но не все равнобедренные треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ В скалярном треугольнике все стороны имеют разную длину. Внутренние углы в скалярном треугольнике все разные.
Треугольники также могут быть классифицированы в соответствии с их внутренними углами:
⇒ Прямоугольный треугольник имеет один внутренний угол 90° (прямой угол). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой; это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны – катеты треугольника.
⇒ Тупой треугольник имеет один внутренний угол, больший 90° (тупой угол).
⇒ Острый треугольник имеет внутренние углы, которые все меньше 90° (три острых угла). Равносторонний треугольник – это острый треугольник, но не все острые треугольники являются равносторонними треугольниками.
⇒ Наклонный треугольник имеет только углы, которые меньше или больше 90°. Следовательно, это любой треугольник, который не является прямоугольным треугольником.
Онлайн калькулятор поможет найти параметры треугольника, такие как:
- Длины сторон
- Углы
- Высота
- Периметр
- Площадь
- Медианы
- Биссектрисы
- Радиус Вписанной и Описанной окружностей
- Диаметр Вписанной и Описанной окружностей
- Длина Вписанной и Описанной окружностей
- Площадь Вписанной и Описанной окружностей
– равны в равностороннем треугольнике
– также равны в равностороннем треугольнике
– это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней)
– равен сумме всех 3х сторон (P=AB+BC+AC)
– равна половине произведения высоты и стороны к которой построена высота (S=1/2 * H * AC)
