Как найти угол с помощью координатного метода

Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.

Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:

Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.

Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Задача. Найти координаты и длины векторов  AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).

AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)

AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)

BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)

 Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

 Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

1. Находим координаты векторов.
2. Вычисляем косинус угла между векторами.
3. Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
4. Подставляем в формулу площади.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

1. Находим координаты векторов.
2. Задаем матрицу плоскости.
3. Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4) 

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = (−1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y−0; z−6).

Вторая строчка – координаты первого вектора.

Третья строчка  – координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).

Четвертая заполняется аналогично первой.

Пятая – аналогично второй.

Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:

(х+1)*(−3)*2 + 7*(−4)*(z−6) + 3*y*(−4)

Аналогично делаем с зелеными отрезками:

(z−6)*(−3)*3 + (−4)*(−4)*(x+1) + 2*y*7

Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:

(х+1)*(−3)*2 + 7*(−4)*(z−6) + 3*y*(−4) − ((z−6)*(−3)*3 + (−4)*(−4)*(x+1) + 2*y*7) =

= −22х −26y −19z + 92

−22х −26y −19z + 92  – искомое уравнение плоскости, проходящей через точки  A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета – это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.

Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки  A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением 

14x + 6y −27z + 51 = 0.

1. Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
2. Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

19
Мар 2012

13 Задание (2022) (C2)ВИДЕОУРОКИ

Угол между плоскостями. Метод координат. Задание 14

|
Отзывов (50)
| Метки: решение задания С2

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) :
$$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$
$$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$
Тогда координаты вектора (vec{AB}) можно определить по формуле:
$$ vec{AB}={x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A}. $$

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора:
$$ a={x_a,y_a,z_a};$$
$$ b={x_b,y_b,z_b}; $$
тогда угол (alpha) между ними находится по формуле:
$$ cos{alpha}=frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2+{z_a}^2}*sqrt{{x_b}^2+{y_b}^2+{z_b}^2}}. $$

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой:
$$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$
где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

$$ K(x_K,y_K,z_K);,L(x_L,y_L,z_L);,P(x_P,y_P,z_P). $$

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin{cases} A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end{cases}$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Пример 3

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
$$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$
Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1):
$$begin{cases} A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end{cases}$$
$$begin{cases} A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end{cases}$$
$$begin{cases} A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end{cases}$$
Получаем искомое уравнение плоскости:
$$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:)
$$ rho=frac{|A*x_M+B*y_M+C*z_M+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Пример 4

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением
$$ 2*x+3*y-sqrt{2}*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты:
$$ A=2,,B=3,,C=-sqrt{2},,D=4.$$
Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости.
$$ rho=frac{|2*1+3*2-sqrt{2}*0+4|}{sqrt{2^2+3^2+{-sqrt{2}}^2}}. $$
$$ rho=frac{12}{sqrt{16}}=3.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Пример 5

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) – середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решение:

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Статья начинается с определение угла между прямой и плоскостью. В данной статье будет показано нахождение угла между прямой и плоскостью методом координат. Подробно будут рассмотрены решение примеров и задач.

Угол между прямой и плоскостью – определение

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной  относительно плоскости.

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γ проекция прямой имеет точку пересечения.  Получаем, что проекция прямой a – это прямая, принадлежащая плоскости γ и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

Определение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой  и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 90 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

Нахождение угла между прямой и плоскостью

Задачи, где необходимо найти угол между прямой и плоскостью, имеет множество вариация решения. Ход самого решения зависит от имеющихся данных  по условию. Частыми спутниками решения являются признаки подобия или равенства фигур,  косинусы, синусы, тангенсы углов. Нахождение угла возможно при помощи метода координат. Рассмотрим его более детально.

Если в трехмерном пространстве вводится прямоугольная система координат Охуz, тогда в ней задается прямая a, пересекающая плоскость γ в точке M, причем она не перпендикулярна плоскости. Необходимо найти угол α, находящийся между заданной прямой и плоскостью.

Для начала необходимо применить определение угла между прямой и плоскостью методом координат. Тогда получим следующее.

 В системе координат Охуz задается прямая a, которой соответствуют уравнения прямой в пространстве  и направляющий вектор прямой пространства,  для плоскости γ соответствует уравнение плоскости  и нормальный вектор плоскости. Тогда a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором заданной прямой a, а n→(nx, ny, nz) – нормальным вектором для плоскости γ.  Если представить, что у нас имеются координаты направляющего вектора прямой a и нормального вектора плоскости γ, тогда известны их уравнения, то есть заданы по условию, тогда есть возможность определения векторов a→ и n→, исходя из уравнения.

Для вычисления угла необходимо преобразовать формулу, позволяющую получить значение этого угла при помощи имеющихся координат направляющего вектора прямой и нормального вектора.

Необходимо отложить векторы a→ и n→, начиная от точки пересечения прямой a с плоскостью γ. Существуют 4 варианта расположения этих векторов относительно заданных прямых и плоскости. Рассмотри рисунок, приведенный ниже, на котором имеются все 4 вариации.

Отсюда получаем, что угол между векторами a→ и n→ имеет обозначение a→, n→^ и является острым, тогда искомый угол α , располагающийся между прямой и плоскостью, дополняется, то есть получаем выражение вида a→, n→^=90°-α. Когда по условию a→, n→^>90°, тогда имеем a→, n→^=90°+α.

Отсюда имеем, что косинусы равных углов являются равными, тогда последние равенства записываются в виде системы

cosa→, n→^=cos 90°-α, a→, n→^<90°cosa→, n→^=cos 90°+α, a→, n→^>90°

Необходимо использовать формулы приведения для упрощения выражений. Тогда получим равенства вида cosa→, n→^=sin α, a→, n→^<90°cosa→, n→^=-sin α, a→, n→^>90°.

Проведя преобразования, система приобретает вид sin α=cosa→, n→^, a→, n→^<90°sin α=-cosa→, n→^, a→, n→^>90°⇔sin α=cosa→, n→^, a→, n→^>0sin α=-cosa→, n→^, a→, n→^<0⇔⇔sin α=cosa→, n→^

Отсюда получим, что синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором заданной плоскости.

Раздел нахождения угла, образованного двумя векторами, выявили, что этот угол принимает значение скалярного произведения векторов и произведения этих длин. Процесс вычисления синуса угла, полученного  пересечением прямой и плоскости, выполняется по формуле

sin α=cosa→, n→^=a→, n→^a→·n→=ax·nx+ay·ny+az·nzax2+ay2+az2·nx2+ny2+nz2

Значит, формулой для вычисления угла между прямой и плоскостью с координатами направляющего вектора прямой  и нормального вектора плоскости после преобразования получается вида

α=arcsina→, n→^a→·n→=arcsinax·nx+ay·ny+az·nzax2+ay2+az2·nx2+ny2+nz2

Нахождение косинуса при известном синусе позволительно, применив основное тригонометрическое тождество. Пересечение прямой и плоскости образует острый угол. Это говорит о том, что его значение будет являться положительным числом, а его вычисление производится из формулы cos α=1-sin α.

Выполним решение нескольких подобных примеров для закрепления материала.