Как найти угол сав

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Углы в окружности, центральный и вписанный. Свойства и способы нахождения

Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий свойства плоских фигур. К ним относятся не только всем известные треугольники, квадраты, прямоугольники, но и прямые и углы. В планиметрии также существуют такие понятия, как углы в окружности: центральный и вписанный. Но что они означают?

Что такое центральный угол?

Для того чтобы понять, что такое центральный угол, нужно дать определение окружности. Окружность – это совокупность всех точек, равноудаленных от данной точки (центра окружности).

Очень важно отличать ее от круга. Нужно запомнить, что окружность – это замкнутая линия, а круг – это часть плоскости, ограниченная ею. В окружность может быть вписан многоугольник или угол.

Центральный угол – это такой угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках. Дуга, которую угол ограничивает точками пересечения, называется дугой, на которую опирается данный угол.

Рассмотрим пример №1.

На картинке угол AOB – центральный, потому что вершина угла и центр окружности – это одна точка О. Он опирается на дугу AB, не содержащую точку С.

Чем вписанный угол отличается от центрального?

Однако кроме центральных существуют также вписанные углы. В чем же их различие? Так же как и центральный, вписанный в окружность угол опирается на определенную дугу. Но его вершина не совпадает с центром окружности, а лежит на ней.

Приведем следующий пример.

Угол ACB называется углом, вписанным в окружность с центром в точке О. Точка С принадлежит окружности, то есть лежит на ней. Угол опирается на дугу АВ.

Чему равен центральный угол

Для того чтобы успешно справляться с задачами по геометрии, недостаточно уметь различать вписанный и центральный углы. Как правило, для их решения нужно точно знать, как найти центральный угол в окружности, и уметь вычислить его значение в градусах.

Итак, центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На картинке угол АОВ опирается на дугу АВ, равную 66°. Значит, угол АОВ также равен 66°.

Таким образом, центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

На рисунке дуга DC равна дуге AB. Значит, угол АОВ равен углу DOC.

Как найти вписанный угол

Может показаться, что угол, вписанный в окружность, равен центральному углу, который опирается на ту же дугу. Однако это грубая ошибка. На самом деле, даже просто посмотрев на чертеж и сравнив эти углы между собой, можно увидеть, что их градусные меры будут иметь разные значения. Так чему же равен вписанный в окружность угол?

Градусная мера вписанного угла равна одной второй от дуги, на которую он опирается, или половине центрального угла, если они опираются на одну дугу.

Рассмотрим пример. Угол АСВ опирается на дугу, равную 66°.

Значит, угол АСВ = 66° : 2 = 33°

Рассмотрим некоторые следствия из этой теоремы.

• Вписанные углы, если они опираются на одну и ту же дугу, хорду или равные дуги, равны.
• Если вписанные углы опираются на одну хорду, но их вершины лежат по разные стороны от нее, сумма градусных мер таких углов составляет 180°, так как в этом случае оба угла опираются на дуги, градусная мера которых в сумме составляет 360° (вся окружность), 360° : 2 = 180°
• Если вписанный угол опирается на диаметр данной окружности, его градусная мера равна 90°, так как диаметр стягивает дугу равную 180°, 180° : 2 = 90°
• Если центральный и вписанный углы в окружности опираются на одну дугу или хорду, то вписанный угол равен половине центрального.

Где могут встретиться задачи на эту тему? Их виды и способы решения

Так как окружность и ее свойства – это один из важнейших разделов геометрии, планиметрии в частности, то вписанный и центральный углы в окружности – это тема, которая широко и подробно изучается в школьном курсе. Задачи, посвященные их свойствам, встречаются в основном государственном экзамене (ОГЭ) и едином государственном экзамене (ЕГЭ). Как правило, для решения этих задач следует найти углы на окружности в градусах.

Углы, опирающиеся на одну дугу

Этот тип задач является, пожалуй, одним из самых легких, так как для его решения нужно знать всего два простых свойства: если оба угла являются вписанными и опираются на одну хорду, они равны, если один из них – центральный, то соответствующий вписанный угол равен его половине. Однако при их решении нужно быть крайне внимательным: иногда бывает сложно заметить это свойство, и ученики при решении таких простейших задач заходят в тупик. Рассмотрим пример.

Дана окружность с центром в точке О. Угол АОВ равен 54°. Найти градусную меру угла АСВ.

Эта задача решается в одно действие. Единственное, что нужно для того, чтобы найти ответ на нее быстро – заметить, что дуга, на которую опираются оба угла – общая. Увидев это, можно применять уже знакомое свойство. Угол АСВ равен половине угла АОВ. Значит,

1) АОВ = 54° : 2 = 27°.

Углы, опирающиеся на разные дуги одной окружности

Иногда в условиях задачи напрямую не прописана величина дуги, на которую опирается искомый угол. Для того чтобы ее вычислить, нужно проанализировать величину данных углов и сопоставить их с известными свойствами окружности.

В окружности с центром в точке О угол АОС равен 120°, а угол АОВ – 30°. Найдите угол ВАС.

Для начала стоит сказать, что возможно решение этой задачи с помощью свойств равнобедренных треугольников, однако для этого потребуется выполнить большее количество математических действий. Поэтому здесь будет приведен разбор решения с помощью свойств центральных и вписанных углов в окружности.

Итак, угол АОС опирается на дугу АС и является центральным, значит, дуга АС равна углу АОС.

Точно так же угол АОВ опирается на дугу АВ.

Зная это и градусную меру всей окружности (360°), можно с легкостью найти величину дуги ВС.

ВС = 360° – АС – АВ

ВС = 360° – 120° – 30° = 210°

Вершина угла САВ, точка А, лежит на окружности. Значит, угол САВ является вписанным и равен половине дуги СВ.

Угол САВ = 210° : 2 = 110°

Задачи, основанные на соотношении дуг

Некоторые задачи вообще не содержат данных о величинах углов, поэтому их нужно искать, исходя только из известных теорем и свойств окружности.

Найдите угол, вписанный в окружность, который опирается на хорду, равную радиусу данной окружности.

Если мысленно провести линии, соединяющие концы отрезка с центром окружности, то получится треугольник. Рассмотрев его, можно заметить, что эти линии являются радиусами окружности, а значит, все стороны треугольника равны. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60°. Значит, дуга АВ, содержащая вершину треугольника, равна 60°. Отсюда найдем дугу АВ, на которую опирается искомый угол.

АВ = 360° – 60° = 300°

Угол АВС = 300° : 2 = 150°

В окружности с центром в точке О дуги соотносятся как 3:7. Найдите меньший вписанный угол.

Для решения обозначим одну часть за Х, тогда одна дуга равна 3Х, а вторая соответственно 7Х. Зная, что градусная мера окружности равна 360°, составим уравнение.

По условию, нужно найти меньший угол. Очевидно, что если величина угла прямо пропорциональна дуге, на которую он опирается, то искомый (меньший) угол соответствует дуге, равной 3Х.

Значит, меньший угол равен (36° * 3) : 2 = 108° : 2 = 54°

В окружности с центром в точке О угол АОВ равен 60°, а длина меньшей дуги – 50. Вычислите длину большей дуги.

Для того чтобы вычислить длину большей дуги, нужно составить пропорцию – как меньшая дуга относится к большей. Для этого вычислим величину обеих дуг в градусах. Меньшая дуга равна углу, который на нее опирается. Ее градусная мера составит 60°. Большая дуга равна разности градусной меры окружности (она равна 360° вне зависимости от остальных данных) и меньшей дуги.

Большая дуга равна 360° – 60° = 300°.

Так как 300° : 60° = 5, то большая дуга в 5 раз больше меньшей.

Большая дуга = 50 * 5 = 250

Итак, конечно, существуют и другие подходы к решению подобных задач, но все они так или иначе основаны на свойствах центральных и вписанных углов, треугольников и окружности. Для того чтобы успешно их решать, необходимо внимательно изучать чертеж и сопоставлять его с данными задачи, а также уметь применять свои теоретические знания на практике.

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

[spoiler title=”источники:”]

http://fb.ru/article/445770/uglyi-v-okrujnosti-tsentralnyiy-i-vpisannyiy-svoystva-i-sposobyi-nahojdeniya

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

[/spoiler]

Как найти угол САВ, если дан угол АОВ и прямая АС касается окружности?

Когда имеется окружность и внутренний угол АОВ, а также прямая АС, касающаяся этой окружности, нам нужно найти угол САВ.

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство окружностей, которое гласит: «Угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой же дуге».

Этим свойством мы можем воспользоваться для нахождения угла САВ. Для этого нужно следовать нескольким шагам:

1. Найти центр окружности и провести радиус ОС.

2. Так как мы знаем, что точка С является точкой касания прямой АС с окружностью, то она лежит на перпендикуляре к АО, опущенном из точки О. Мы можем провести этот перпендикуляр и найти его точку пересечения с радиусом ОС, обозвав ее точкой М.

3. Теперь мы можем найти дугу, соответствующую углу АОВ. Для этого нужно провести дугу ОВ, проходящую через точку М.

4. После этого мы можем определить центральный угол, соответствующий дуге ОВ.

5. Наконец, мы можем воспользоваться вышеупомянутым свойством окружностей, чтобы найти угол САВ. Он будет равен половине найденного центрального угла.

Вот и все! Следуя этим простым шагам, мы можем найти угол САВ, если имеем угол АОВ и прямую АС, касающуюся окружности.

Свойства:     

• накрест лежащие углы равны:    3 = 5, 4 = 6.
• соответственные углы равны:    1 = 5,    4 = 8,     2 = 6,     3 = 7.
• сумма односторонних углов равна 180 градусов:   3 + 6 = 180 градусов,    4 + 5 = 180 градусов.

        

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ;
ТеоремаТеорема    *      соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема    *      вертикальные равны ∠3 = ∠1, ∠8 = ∠6 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются:   3 + 6 < 180 ;     4 + 5 > 180 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если одна прямая параллельна   второй, а вторая параллельна   третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.

_____________________________________________________________________________________

Задача 1:   На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.

• Решение:        АС ║ МК параллельны, АК – секущая, $Rightarrow$   ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $Rightarrow$   ∠КАВ = 40°.
• ∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК       $Rightarrow$    углы у основания   ∠КАВ = ∠АКВ значит,   $Rightarrow$   ∠АКВ = 40°.
• Значит, углы   ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность,      ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
• АС ║ МК параллельны, АК – секущая, $Rightarrow$   ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.

                 

Задача 2:   На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°,   ∠АВК = 150°,   ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.

• Решение:     Углы ∠ВАМ и ∠АВК – односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
• Сумма односторонных 180°? … по теореме “о параллельных”, прямые   АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
• Теперь:    АМ ║ ВК,      СР – секущая. Односторонные углы равные,   ∠ВКС = ∠АМК.       Значит,   ∠АМК = 110°.
• Наконец, углы    ∠АМК и ∠АМР – смежные. Значит,   ∠АМК + ∠АМР = 180°.     $Rightarrow$       ∠АМР = 180° – ∠АМК = 70°.
• Ответ:    ∠АМР = 70°.            Замечание: “надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним”.

Задача 3:   На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.

• Решение:     Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим:   ∠САВ = 3∠РМК
• Как связаны искомые углы по рисунку?        ∠САВ и ∠МАВ – смежные, значит ∠МАВ = 180° – ∠САВ.
• Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
• Из двух равенств получаем   ∠РМК = 180° – ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим:   ∠РМК = 180° – 3∠РМК
• ∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°.               Ответ:         45°,     135°

     

Задача 4:   На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти четырехугольника АВСD.

• Трапеция АВСD:     Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
• Решение:     Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° – ∠МВС = 115°.
• Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° – ∠ВСК = 100°.
• АМ секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные    ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
• Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные    ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
• Ответ:    Углы трапеции   ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115°      ∠ВСD = 100°       ∠АDС= 80°

Задача 4, продолжение, “углы в трапеции”:         Пусть углы любые:     ∠МВС = х,    ∠ВСК = у.

• Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим:    ∠А = х     ∠В = 180° – х    ∠С = 180° – у      ∠D = у
• Видно: ∠А + ∠В = 180°    ∠С + ∠D = 180°.          Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° .    Односторонные!
• Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°.            Сумма всех углов трапеции равна 360°. .      Как у четырехугольника?

Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:

• В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы.         Что секущая?
• В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. – внутренные односторонные.     Что секущая?
• В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. – внутренные односторонные. Что секущая?
• Еще о углах:          Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
• Сумма углов треугольника 180 градусов .          Достроить параллельную, увидеть секущую!

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 1:   Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.

                           

Задача 2:    На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.

Задача 3:   По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.

                      

Задача 4:    Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?

Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2   

                       

Задача 6:   Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?

Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.   

                   

Задача 8:    В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?

Задача 9:    Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.

                     

Задача 10:     На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.

Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.

                      

Задача 12:    ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?

Задача 13:   На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.   

                              

Задача 14:   На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?

Задача 15:   Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?

                                  

Задача 16:   Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?

Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?   

Задача 18:   Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.

Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.

Задача 20:    “углы в параллелограмме и трапеции”:

1. один из углов параллелограмма 40. найти остальные

2. найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80.      (100, 160)

3. найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)

4. Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма

5. Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы

6. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40

При подготовке к ЕГЭ по математике одиннадцатиклассник должен помнить базовый набор формул, которые помогут решать задачи. Одной из них является синусов теорема, которая отражает взаимосвязь между сторонами и углами треугольника.

Напомним, доказательство теоремы учить не нужно, поскольку экзамен ориентирован на проверку практических навыков. Лучше посвятить время разбору примеров, в которых можно применить указанную математическую закономерность.

Теорема синусов с примерами

Человечество знакомо с теоремой синусов довольно давно — еще в начале XXI века ее доказательство приводил в своей работе «Книга о неизвестных дугах сферы» западноарабский астроном и математик Ибн Муаз аль-Джайяни.

Существует два варианта теоремы синусов:

• обычный — устанавливает соотношения между сторонами треугольника и синусами его углов;
• расширенный — связывает соотношение сторон треугольника с радиусами описанной окружности.

Формулировка обычной синусов теоремы: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны или стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Пример 1. В треугольнике АВС сторона АВ равна 5 см, а синус противолежащего угла АСВ = 3/5. Найти сторону ВС, если синус угла САВ, прилежащего к стороне АВ, равен 1/2.

Решение

Составим соотношение фигурирующих в условии сторон и синусов их углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ.

Подставим известные значения:

5 : 3/5 = ВС : 1/2.

Выразим из этого выражения ВС:

ВС = (5 : 3/5) : 1/2 = 5 : 1/2 = 10 см.

Ответ: ВС = 10 см.

Пример 2. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10 см, а противолежащий угол АСВ = 30°. Найти остальные стороны, если угол САВ равен 60°.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся прилагаемой таблицей, в которой указаны значения синусов основных углов. В остальном ход решения будет аналогичен предыдущему примеру за исключением одного маленького хода. Для начала составим соотношение сторон и синусов противолежащих углов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС.

На первом этапе нам известны только три из шести членов этого равенства, причем два из них в косвенном виде:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin ∠ВАС.

Если вспомнить, что сумма углов треугольника равна 180°, то легко найти оставшийся угол:

∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Мы уже знаем и третий угол, поэтому уравнение приобретет следующий вид:

10 : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90°.

Дальше поступаем, как в предыдущей задаче, выразив стороны через известные члены выражений:

ВС = sin 60° ∙ 10 : sin 30°,

АС = sin 90° ∙ 10 : sin 30°.

Обратимся к таблице, приведенной выше и выберем из нее соответствующие синусы известных углов:

ВС = √3/2∙ 10 : 1/2 = 10√3 см,

АС = 1 ∙ 10 : 1/2 = 20 см.

Ответ: ВС = 10√3 см; АС = 20 см.

Расширенная синусов теорема с примерами

Формулировка расширенной теоремы синусов: отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны друг другу и удвоенному радиусу окружности, описанной вокруг него.

Пример 3. Найти площадь треугольника, если диаметр описанной окружности D равен 20 см. Угол АСВ = 30°, а угол САВ = 60°.

Решение

Для решения воспользуемся расширенной формулировкой теоремы синусов:

АВ : sin ∠АСВ = ВС : sin ∠САВ = АС : sin ∠ВАС = 2R.

В этой формулировке нам известны два из семи компонентов и еще лва мы можем определить из базовых знаний по геометрии:

• R = ½ D, следовательно 2 R = D = 20 см;
• ∠ВАС = 180° – (∠АСВ + ∠САВ) = 180° – (30° + 60°) = 90°.

Подставим в исходное выражение известные величины и получим соотношение:

АВ : sin 30° = ВС : sin 60° = АС : sin 90° = 20.

Основным отличием от предыдущей задачи является то, что нам неизвестна сторона АВ, зато известен удвоенный радиус описанной окружности. Это позволяет составить выражения для нахождения всех сторон треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60°

АС = 20 ∙ sin 90°,

АВ = 20 ∙ sin 30°.

Выберем из таблицы значения синусов углов и вычитаем стороны треугольника:

ВС = 20 ∙ sin 60° = 20 ∙ √3/2 = 10√3 см,

АС = 20 ∙ sin 90° = 20 ∙ 1 = 20 см,

АВ = 20 ∙ sin 30° = 20 ∙ 1/2 = 10 см.

Внимательный читатель заметил, что мы «зашифровали» в этой задаче треугольник из предыдущего примера. Теперь осталось найти его площадь. Для этого берем стандартную формулу площади произвольного треугольника, которая равна половине произведения сторон на синус угла между ними

S = ½ ∙ a ∙ b ∙ sin α

Поскольку нам известны все стороны и все углы, то мы можем выбрать любые из них. Возьмем стороны АС и АВ, а также угол САВ между ними:

S = ½ ∙ АС ∙АВ ∙ sin 60° = ½ ∙ 20 ∙10 ∙ √3/2 = 50√3 см².

Примечание: внимательный читатель заметил, что наш треугольник — прямоугольный, так как один из его углов равен 90°. В таком случае можно обойтись без знания синуса угла, вычислив площадь треугольника как половину площади прямоугольника, длина и ширина которого равна катетам треугольника.

S = ½ ∙ ВС ∙АВ = ½ ∙ 10√3 ∙ 10 = 50√3 см².

Ответ: S = 50√3 см².

---

Занимайтесь на курсах ЕГЭ и ОГЭ в паре TwoStu и получите максимум баллов на экзамене: