Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2α, используя тригонометрические функции угла α. Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.
Список формул двойного угла
Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид nα записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin nαимеет то же значение, что и sin (nα). При обозначении sinn α имеем аналогичную запись(sin α)n. Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n.
Ниже приведены формулы двойного угла:
sin 2α=2·sin α·cos αcos 2α=cos2 α-sin2 α, cos 2α=1-2·sin2 α, cos 2α=2·cos2 α-1tg 2α=2·tg α1-tg2 αctg 2α-ctg2 α-12·ctg α
Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α, где tg 2α имеет смысл, то есть α≠π4+π2·z, z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α, где ctg 2α определен на α≠π2·z.
Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.
Доказательство формул двойного угла
Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:
sin (α+β)=sin α ·cos β+cos α·sin βи косинуса суммы cos (α+β)=cos α ·cos β-sin α·sin β. Предположим, что β=α, тогда получим, что
sin (α+α)=sin α ·cos α+cos α·sin α=2·sin α·cos α и cos (α+α)=cos α ·cos α-sin α·sin α=cos2α-sin2α
Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2α= 2·sin α·cos α и cos 2α=cos2α-sin2α.
Остальные формулы cos 2α=1-2·sin2 α и cos 2α=2·cos2 α-1 приводят к виду cos 2α=cos 2α=cos2 α-sin2 α, при замене 1 на сумму квадратов по основному тождествуsin2 α+cos2 α=1. Получаем, что sin2 α+cos2 α=1. Так 1-2·sin2 α=sin2 α+cos2 α-2·sin2 α=cos2 α-sin2 α и 2·cos2 α-1=2·cos2 α-(sin2 α+ cos2 α)=cos2 α-sin2 α.
Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства tg 2α=sin 2αcos 2α и ctg 2α=cos 2αsin 2α. После преобразования получим, что tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α и ctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos α. Разделим выражение на cos2 α, где cos2 α≠0 с любым значением α, когда tg α определен. Другое выражение поделим на sin2 α, где sin2 α≠0 с любыми значениями α, когда ctg 2α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:
tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α=2·sin α·cos αcos2 αcos2 α-sin2 αcos2 α=2·sin2 αcos2 α1-sin2 αcos2 α=2·tg α1-tg2 αctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos=cos2 α-sin2 αsin2 α2·sin α·cos αsin2 α=cos2 αsin2 α-12·cos αsin α=ctg2 α-12·ctg α
Примеры использования формул двойного угла
Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2α для α=30°, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α=30°, тогда 2α=60°. Проверим значения sin 60°=2·sin 30°·cos 30°, cos 60°=cos2 30°-sin2 30°.
Подставив значения, получим tg 60°= 2·tg 30°1-tg2 30° и ctg 60°=ctg230°-12·ctg 30°..
Известно, что sin 30°=12, cos 30°=32, tg 30°=33, ctg 30°=3 и
sin 60°=32, cos 60°=12, tg 60°=3, ctg 60°=33, тогда отсюда видим, что
2·sin 30°·cos 30°=2·12·32=32, cos230°-sin230°=(32)2-(12)2=12,2·tg 30°1-tg230°=2·321-(33)=3
и ctg230°-12·ctg 30°=(3)2-12·3=33
Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α=30° подтверждена.
Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2α. В примере допускается применение формулы двойного угла 3π5. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α=3π5:2=3π10. Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь видcos3π5=cos23π10-sin23π10.
Представить sin 2α3 через тригонометрические функции, при α6.
Решение
Заметим, что из условия имеем 2α3=4·α6. Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin2α3 через тригонометрические функции угла α6. Применяя формулу двойного угла, получим sin 2α3=2·sin α3·cos α3. После чего к функциям sin α3 и cos α3применим формулы двойного угла: sin 2α2=2·sin α3·cosα3=2·(2·sinα5·cosα6)·(cos2α6-sinα6)==4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6
Ответ: sin2α3=4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6.
Формулы тройного, четверного и т.д. угла
Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.
sin 3α=sin(2α+α)=sin 2α·cos α+cos 2α·sin α=2·sin α·cosα·cos α+ (cos2 α-sin2α)·sin α==3·sin α·cos2α-sin3 α
При замене cos2α на 1-sin2α из формулы sin 3α=3·sin α·cos2α-sin3α, она будет иметь вид sin 3α=3·sin α-4·sin3 α.
Так же приводится формула косинуса тройного угла:
cos 3α=cos (2α+α)=cos 2α·cos α-sin 2α·sin α==(cos2 α-sin2 α)·cos α-2·sin α·cos α·sin α=cos3α-3·sin2α·cos α
При замене sin2 α на 1-cos2 α получим формулу вида cos 3α=-3·cos α+4·cos3 α.
При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:
tg 3α=sin 3αcos 3α=3·sin α·cos2 α-sin3 αcos3α-3·sin2α·cos α=3·sin α·cos2α-sin3αcos3αcos3α-3·sin2α·cos αcos3α==3·sin αcos α-sin3αcos3α1-3·sin2 αcos2 α=3·tg α-tg3α1-3·tg2α;ctg 3α=cos 3αsin 3α=cos3 α-3·sin2α·cosα3·sin α·cos2α-sin3α=cos3α-3·sin2α·cosαsin3α3·sin α·cos2α-sin3αsin3α==cos3αsin3α-3·cos αsin α3·cos2αsin2α-1=ctg3α-3·ctgα3·ctg2α-1
Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4α как 2·2α, тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5α в виде 3α+2α, что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.
Основные понятия. Тригонометрия довольно древняя наука, и ее первые упоминания связаны с необходимостью в практичной жизни, в земледелии, астрономии и строительстве. Впервые именно астрономы вывели такие понятия как отношение сторон треугольника. А официальные названия функций стали появляться позже, например, синус, который получил свое название первым, получил свое название от греческих математиков уже в третьем веке до н.э.. а косинус является относительно молодым, и был выведен как дополнение к синусу. История тригонометрии обширна и интересна, из древней науки о треугольниках она перешла в известную нам науку о тригонометрических функциях. Для того чтобы разобраться в формулах двойного угла, необходимо вспомнить основные понятия тригонометрии. Начнём:
Тригонометрические функции:
- Синус угла — отношение катета напротив угла к гипотенузе:
- Косинус — деление прилежащей стороны треугольника на гипотенузу;
- Тангенс — отношение синуса к косинусу или катета напротив угла к прилежащему;
- Котангенс — деление косинуса на синус, или стороны прилежащей к углу на противолежащую.
Определение
Тригонометрическая окружность — это окружность нанесённая на систему координат, имеющая радиус равный единице и центр в начале координат.
При помощи такой окружность можно наглядно разобраться в тригонометрических формулах и значениях. Например, найти числовые значения функций тригонометрии на системе координат, такие как:
[ sin 60^{circ}=frac{sqrt{3}}{2} ]; [ sin 30^{circ}=frac{1}{2} ]
Данные примеры будут использоваться далее по тексту. Мы можем посмотреть их значение на окружности на рисунке ниже.
Основное тождество в тригонометрии, звучит так:
- Синус в квадрате угла плюс косинус в квадрате угла равны единице;
- Произведение тангенса и котангенса угла равно единице;
- Тангенс угла равен, делению, синуса этого угла на косинус, а котангенс наоборот косинуса на синус.
Данные тождества также будут применены для выведения формул двойного, тройного и т.д. углов.
Формулы двойного угла в тригонометрии
Формулы двойного угла тригонометрических функций, необходимы для того чтобы выразить их, при этом угол должен иметь значение 2а, а также используя ТФ этого угла. Для отражения её на графике используют координаты с окружностью.
Список формул двойного угла
Прежде чем преступить к образованию формул двойного угла тригонометрии, давайте вспомним, что в тригонометрии углы принято писать в виде na, в такой записи п — обозначение натурального числа, а а — угол альфа. Обычно такая запись в тригонометрии используется без скобок, значит sin an, это тоже самое что sin (an). А также если рассмотреть запись sinn a, то она тоже имеет аналогичную запись вида (sin а)n . такое правило записи касается всех тригонометрических функций со степенями.
Рассмотрим какие же формулы двойного угла существуют на примерах.
Синус двойного угла формула:
sin 2 α = 2 * sin α * cos α;
Формула косинуса двойного угла:
cos 2 α = cos2α — sin2α, cos 2α = 1 − 2 * sin2α , cos 2α = 2 * cos2α−1;
Тангенс двойного угла формула:
[ operatorname{tg} 2 alpha=frac{2^{*} operatorname{tg} alpha}{1-operatorname{tg}^{2} alpha} ]
Котангенса:
[ operatorname{ctg} 2 alpha=frac{operatorname{ct}^{2} a-1}{2^{*} operatorname{ct} a} ]
Стоит не забывать, что выше приведённые формулы sin и cos, можно применять для любого значения угла. А вот если рассмотреть, формулы для тангенса, то при любых альфа где, tg 2a , имеет смысл, то есть при [a neq frac{pi}{4}+frac{pi}{2} cdot z], где z любое целое число. Что же касается формулы двойного угла котангенса, то при любом a, где ctg 2α определён на α ≠ 2 * z .
Как мы видим косинус с таким видом угла, наделён тремя вариантами записи формул, все они равноправны, а это значит, что результат их применения будет абсолютно одинаковым.
Доказательство формул двойного угла
Для того чтобы, формулы двойного угла были доказаны, вернёмся к истокам, формулам сложения. Сначала рассмотрим формулу синуса суммы, которая выглядит следующим образом:
[ operatorname{Sin}(a+b)=operatorname{Sin} a * cos b+cos a * sin b ]
Косинуса суммы:
[ operatorname{Cos}(a+b)=cos a * cos b-sin a * sin b ]
Если считать что a = b, тогда выходит:
[ operatorname{Sin}(a+a)=sin a * cos a+cos a * sin a=2 * cos a * sin a ]
И также для косинуса:
[ cos (a+a)=cos a * cos a-sin a * sin a=cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpha ]
Таким способом мы доказали формулы синуса и косинуса двойного угла.
Формулы которые остались: cos 2α = 1 − 2 * sin2α , cos 2α = 2 * cos2α−1, выразили в таком виде благодаря приведению вместо единицы тождества суммы квадратов, cos2α +sin2α = 1. Поэтому вышло следующее:
Формулы приведения двойного угла: 1 − 2 * sin2α = cos2α +sin2α — 2 * sin2α = cos2α — sin2α.
И так же с третьих примеров формулы двойного угла.
2 * cos2α−1 = 2 * cos2α -( cos2α +sin2α ) = cos2α — sin2α.
Для того, чтобы выполнить доказательство формул для тангенса и котангенса двойного угла тоже применяется равенство следующего вида:
[ operatorname{tg} 2 alpha=frac{sin 2 alpha}{cos 2 alpha} text { и } operatorname{ctg} 2 alpha=frac{cos 2 alpha}{sin 2 alpha} . ]
Сделав замену на данные равенства получим следующие выражения:
[ operatorname{tg} 2 alpha=frac{sin 2 alpha}{cos 2 alpha}=frac{2 cdot sin alpha cdot cos alpha}{cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpha} text { и } operatorname{ctg} 2 alpha=frac{cos 2 alpha}{sin 2 alpha}=frac{cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpha}{2 cdot sin alpha cdot cos alpha} ]
Представленные выше выражения мы разделим на cos2α, при котором cos2α ≠ 0, а альфа имеет любое значение, когда тангенс угла альфа определён. Со вторым представленным выражением мы также произведём деление, только на sin2α, и он так же не равен нулю, и альфа имеет любое значение, при котором котангенс имеет смысл.
Получим следующие формулы:
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Как использовать формулы двойного угла
Рассмотрим, как применяются формулы двойного угла в решении на примерах. Такие примеры помогут закрепить и понять материалы рассмотренный ранее.
Чтобы проверить справедлива ли формула двойного угла для при значении угла альфа в тридцать градусов, необходимо применить функции тригонометрии для этих углов. Если α = 30°, тогда 2α = 60°.
Проверим: sin60° = 2 * sin30° * cos30°cos60° = cos230° — sin230°.
Следующим шагом, подставим эти значения в :
[ operatorname{tg} 60^{circ}=frac{2 cdot operatorname{tg} 30^{circ}}{1-operatorname{tg}^{2} 30^{circ}} text { и } operatorname{ctg} 60^{circ}=frac{operatorname{ctg}^{2} 30^{circ}-1}{2 cdot operatorname{ctg} 30^{circ}} ]
Так как мы знаем, что синус тридцати градусов равен одной второй, косинус этого угла, равен корню из трёх, который поделен на два, тангенс заданного угла это корень из трёх на три, котангенс корень из трёх.
Получается, что синус двойного угла, то есть шестидесяти градусов, равен корню из трёх, который поделен на два; косинус — одной второй; тангенс корню из трёх; а котангенс корню из трёх делённому на три.
Получаем следующие выражения:
Сделав все операции по вычислению, можно прийти к выводу, что справедливость для угла альфа тридцати градусов, подтверждена.
Теперь мы понимаем, что применение формул тригонометрии двойного угла, это видоизменение тригонометрических выражений. Стоит также рассмотреть пример применения формул двойного угла, в случае, когда угол не равен 2a. К примеру возьмём значение [frac{5 pi}{6}]. Имея такое значение, для решения задания, его необходимо преобразовать, поэтому получаем следующее:
[a=frac{5 pi}{6}: 2=frac{5 pi}{12}], применив данное выражение формула двойного угла для косинуса получит следующий вид:
[ cos frac{5 pi}{6}=cos ^{2} frac{5 pi}{12}-sin ^{2} frac{5 pi}{12} ]
Пример:
Необходимо, через тригонометрические функции представить [sin frac{2 a}{3} text { при } frac{a}{6}].
Решение:
Так как в условии уже [frac{2 a}{3}=4 * frac{a}{6}], то применив дважды выше обозначенную формулу удвоенного угла, что выражая [sin frac{2 a}{3}], через функции угла [frac{a}{6}], с применением формулы двойного угла, выходит , [sin frac{2 a}{3}=2 * sin frac{a}{3} * cos frac{a}{3}], затем к [sin frac{a}{3} text { и } cos frac{a}{3}]в данном примере подставим снова данную формулу удвоенного угла и получим следующее выражение:
Формулы тройного угла и более углов
Так как зачастую в тригонометрии возникает необходимость вычисления не только двойного угла, но и больше, например тройного, четверного и тд. Стоит рассмотреть примеры их вычисления. Выведение их формул аналогично с выведением формул двойного угла, но для этого будем применять формулы сложения (суммы) двойного угла.
Пример:
sin 3α = sin ( 2 α + α ) = sin 2α * cos α + cos 2 α * sin α = 2 * sin α ⋅ cos α * cos α + ( cos2α — sin2α ) * sin α =
=3 * sin α * cos2α — sin3α
Заменим cos2α, на выражение 1 — sin2α, и теперь получившаяся ранее формула тройного угла sin 3α =3 * sin α * cos2α — sin3α, примет следующий вид: sin 3α = 3 * sin α * cos2α — sin3α = 3 *sin α — 4* sin3α
Аналогично поступим и с формулами cos тройного угла:
cos 3α = cos ( 2 α + α ) = cos 2α * cos α − sin 2α *sin α = ( cos2α — sin2α ) * cos α − 2* sin α * cos α * sin α =
= cos3α − 3* sin2α * cos α
Заменяем sin2α на выражение разности единицы и косинуса, 1 — cos2α, выходит следующая формула : cos 3α =
= -3 * cos α + 4* cos3α
Так как теперь у нас есть формулы тройного угла синуса и косинуса, мы можем вывести формулы тройного угла для тангенса и котангенса, подставив полученные выражения в первичные формулы:
И так далее…
К примеру, чтобы привести формулу угла четыре альфа, для удобства лучше 4а представить, как 2 * 2а, и в результате мы получим, что для выведения формулы для 4а, нужно использовать две формулы двойного угла.
А для выведения формулы угла пятой степени, 5а, необходимо выполнить 5а как сумму тройного и двойного угла, то есть 2а+3а.
В результате мы получим выражение из суммы двух формул двойного и тройного угла. Стоит отметить, что такое же правило будет действовать если необходимо вывести формулу половинного угла.
Область применения
Для того чтобы найти значение тригонометрических функций, берётся окружность на оси координат, у которой радиус равен единице, а диаметры у неё находятся в перпендикулярном положении.
Для такого вычисления нам понадобится отложить от точки, которая принадлежит окружности различные дуги, любой длины. Соответственно если мы отложим их против часовой стрелки они примут положительное значение, а если по часовой, то отрицательное.
Допустим конец дуги имеет некую длину s, в таком случае проекция радиуса в любом выбранном значении диаметра станет значением косинуса данной дуги. Выбранная длина s, или радианная мера угла, будет считаться числом аргумента. А если этот самый аргумент, это тригонометрическая функция угла, то мы знаем, что значение может быть и в градусах.
Мы знаем, что острый угол имеет значения больше нуля, но меньше п2. В таком случае тригонометрическая функция рассматривается как катет делённый на гипотенузу. Такие названия сторон связаны с прямоугольным треугольником, в котором величина угла равна 90 градусов.
Чтобы решить задачи с функциями тригонометрии, используют теорему Пифагора. Такая теорема основана на свойствах того самого прямоугольного треугольника, в котором квадрат гипотенузы равен сумму квадратов катетов.
Так как дуга делит окружность на несколько частей, то мы можем увидеть, что углы лежащие в первой четверти больше нуля. А во второй синус меньше, а косинус больше нуля, а в третьей все функции будут меньше нуля, то есть отрицательными, четвёртая имеет значения противоположные второй. Не стоит забывать, что для построения окружности вам понадобится циркуль.
Как мы видим формулы двойного угла, не так трудно вывести, для этого необходимо знать основные тригонометрические тождества и разобраться в единичной окружности на оси координат. Также необходимо отметить, что формулы двойного угла, как и другие формулы тригонометрии используются в разных сферах жизни:
- В астрономии, учёные с помощью формул вычисляют положение небесных тел, а также расстояние до них;
- Для различного вида навигации, к примеру, морской и воздушной;
- В медицине и биологии, при построении биоритма живых организмов, а также тригонометрия служит основой работы некоторой медицинской техники;
- Архитекторам она важна при создании планов строений;
- но и это не всё, тригонометрия важна и для экономики, в производстве и создании электроники, в различных аналитических вычислениях, акустических построениях и многом другом.
Синус двойного угла
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула синуса двойного угла имеет вид
(
sin 2 alpha=2 sin alpha cdot cos alpha
)
Эта формула легко получается из формулы синусоиды.
(
sin (alpha+beta)=sin alpha cdot cos beta+cos alpha cdot sin beta
)
вставляя его (
beta=alpha
)
В самом деле
(
sin 2 alpha=sin (alpha+alpha)=sin alpha cdot cos alpha+cos alpha cdot sin alpha=2 sin alpha cdot cos alpha
)
Синусоидальный угол может все еще выражаться через касательную и кокасательную:
(
sin 2 alpha=frac{2 operatorname{tg} alpha}{1+operatorname{tg}^{2} alpha}
), (
sin 2 alpha=frac{2 operatorname{ctg} alpha}{1+operatorname{ctg}^{2} alpha}
), (
sin 2 alpha=frac{2}{operatorname{tg} alpha+operatorname{ctg} alpha}
)
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Упростите выражение:
(
sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} cdot cos alpha
)
Выделите первые два фактора через синус двойного угла:
(
2 sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2}=sin left(2 cdot frac{alpha}{2}right) sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2}=frac{sin alpha}{2}
)
Тогда исходное выражение принимает вид
(
sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} cdot cos alpha=frac{sin alpha}{2} cdot cos alpha=frac{sin alpha cdot cos alpha}{2}
)
Умножьте числитель и знаменатель наклейки на 2:
(
sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} cdot cos alpha=frac{2 sin alpha cdot cos alpha}{2 cdot 2}
)
давайте применим к числителю формулу синуса двойного угла (
sin 2 alpha=2 sin alpha cdot cos alpha
) и, наконец, получим
(
sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} cdot cos alpha=frac{sin 2 alpha}{4}
)
(
sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} cdot cos alpha=frac{sin 2 alpha}{4}
)
ПРИМЕР 2
Найти значение выражения
(
frac{operatorname{tg} 22^{circ} 30^{prime}}{1+operatorname{tg}^{2} 22^{circ} 30^{prime}}
)
Мы используем формулу с двойным углом синуса (
sin 2 alpha=frac{2 operatorname{tg} alpha}{1+operatorname{tg}^{2} alpha}
) , получаем
(
frac{operatorname{tg} 22^{circ} 30^{prime}}{1+operatorname{tg}^{2} 22^{circ} 30^{prime}}=sin left(2 cdot 22^{circ} 30^{prime}right)=sin 45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}
)
(
frac{operatorname{tg} 22^{circ} 30^{prime}}{1+operatorname{tg}^{2} 22^{circ} 30^{prime}}=frac{sqrt{2}}{2}
)
ПРИМЕР 3
Упростить выражение
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}
)
Запишем в числителе и знаменателе синусов двойного угла, используя формулу (
sin 2 alpha=2 sin alpha cdot cos alpha
) , получим:
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{(2 sin alpha cdot cos alpha)^{2}-4 sin ^{2} alpha}{(2 sin alpha cdot cos alpha)^{2}+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{4 sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha-4 sin ^{2} alpha}{4 sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha+4 sin ^{2} alpha-4}
)
Мы выставляем скобки в числителе (
4 sin ^{2} alpha
) , а в знаменателе – 4:
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{4 sin ^{2} alphaleft(cos ^{2} alpha-1right)}{4left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha+sin ^{2} alpha-1right)}=frac{sin ^{2} alphaleft(cos ^{2} alpha-1right)}{left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha+sin ^{2} alpha-1right)}
)
В полученном выражении мы используем основное тригонометрическое тождество и представляем единицу как (
1=sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha
), получаем
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{sin ^{2} alphaleft(cos ^{2} alpha-left(sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpharight)right)}{left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha+sin ^{2} alpha-left(sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpharight)right)}==frac{sin ^{2} alphaleft(cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpharight)}{left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha+sin ^{2} alpha-cos ^{2} alpharight)}=frac{sin ^{2} alphaleft(-sin ^{2} alpharight)}{left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha-cos ^{2} alpharight)}
)
Мы помещаем знаменатель(
cos ^{2} alpha
) для скобок
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{sin ^{2} alphaleft(-sin ^{2} alpharight)}{left(sin ^{2} alpha cdot cos ^{2} alpha-cos ^{2} alpharight)}=frac{-sin ^{4} alpha}{cos ^{2} alphaleft(sin ^{2} alpha-1right)}
)
Снова в числителе записываем единицу, используя основное тригонометрическое тождество
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=frac{-sin ^{4} alpha}{cos ^{2} alphaleft(sin ^{2} alpha-1right)}=frac{-sin ^{4} alpha}{cos ^{2} alphaleft(sin ^{2} alpha-left(sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpharight)right)}=frac{-sin ^{4} alpha}{cos ^{2} alphaleft(sin ^{2} alpha-sin ^{2} alpha-cos ^{2} alpharight)}=frac{-sin ^{4} alpha}{cos ^{2} alphaleft(-cos ^{2} alpharight)}=frac{-sin ^{4} alpha}{-cos ^{4} alpha}=operatorname{tg}^{4} alpha
)
(
frac{sin ^{2} 2 alpha-4 sin ^{2} alpha}{sin ^{2} 2 alpha+4 sin ^{2} alpha-4}=operatorname{tg}^{4} alpha
)
Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.
Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)
sin(2α)- через sin и cos:
sin(2α)- через tg и ctg:
cos(2α)- через sin и cos:
cos(2α)- через tg и ctg:
tg(2α) и сtg(2α):
Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):
Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов
sin(α)=OA
cos(α)=OC
tg(α)=DE
ctg(α)=MK
R=OB=1
Значения функций для некоторых углов, α
В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).
Способы преобразования
Чтобы понять, как выражаются тригонометрические функции двойных углов, необходимо воспользоваться их записью в виде nα, где n принадлежит натуральному числу. Значение основного выражения отображается математически без скобок. Используя это свойство, можно составить следующее уравнение: sin nα = sin (nα).
Для приведения произведения sin nα х sin nα, используется аналогичное свойство. Выражение можно упростить до 2 (n sin α). Основой тождества является n sin α. В математике используются и другие равенства:
- Косинус двойного угла: косинус 2α = косинус2α – синус2α.
- Разность косинуса и тангенса двойного угла.
- Тангенс минус двойной тангенс.
- Котангенс минус тангенс.
В геометрии и алгебре чаще применяются следующие известные формулы: синус2α = cos2α – sin2α, cos2α = 1 − 2·sin2α. Можно разложить производные sin и cos, если угол имеет любой градус. Решение тангенса потребуется, если в основе задачи находится tg2α, при этом значение угла отлично от суммы π4 и π2. Частный случай, когда в задании есть целое число z, а α ≠ π4 + π2·z. Если рассматривать для котангенса ФДУ при любом альфа, ctg2α не определён на промежутке π2. Для косинуса двойного угла характерна тройная запись.
Доказательства равенств
Чтобы подтвердить уравнения на сложение, вычитание и умножение, понадобится подойти к доказательству комплексным способом. Используя формулы синуса с плюсом для углов (α+β) и косинуса для β и α, получится синусα·косинусβ+косинусα·синусβ. Пример для вычитания: соsα ·cosβ-синусα·синусβ.
При вычислении разницы следует придерживаться аналогичного принципа. Результат будет следующим: косинус (α+α) равен двойному значению косинуса минус двойное значение синуса. Формула двойного угла косинуса и синуса доказана. При решении задач из дидактических материалов используются и другие уравнения при положительном и отрицательном значении альфа, при нуле либо половинном π.
Для их доказательства необходимо находить корень из числа z, возводить целое значение в квадрат либо иную степень. Чтобы определиться с ходом решения, необходимо следить за графиком функции:
- возрастанием;
- понижением.
Сложные действия вычисляются с помощью калькулятора. Если задача состоит из нескольких частей, для нахождения результата потребуется преобразовать первичное уравнение в более простое. Используются следующие равенства:
- косинус2α=1−2⋅синус2α;
- косинус 2α=2·косинус2α – 1.
Их можно привести к косинус2α – синус2α. Если заменить единицу суммой квадратов, тогда sin2α + cos2α = 1. Получается, что синус2α + косинус2α = 1. Подставив данные, выходит: 1 − 2·sin2α.
Чтобы доказать ФДУ котангенса, применяется равенство ctg2α = cos2αsin2α. Преобразовав данные, получится для tg2α равенство 2·sinα·cosαcos2α – sin2α. Разделив выражение на cos2α, отличное от нуля, получится, что tgα определен. Другое выражение поделится на sin2α. Значение sin2α ≠ 0 будет иметь смысл при любом α, если ctg2α имеет смысл.
Решение задач
Для убеждения в справедливости 2α для α=30° применяется значение тригонометрических функций для углов. Если α=30°, тогда 2α будет соответствовать 60°. Необходимо проверить значение sin 60° = 2·sin 30°·cos 30°, cos 60° = cos2 30° – sin2 30°. Если подставить данные, получится подробная функция: tg 60°= 2·tg 30°1 — tg2 30° и ctg 60° = ctg230° – 12·ctg 30°.
Так как sin 30° = 12, cos 30° = 32, tg 30° = 33, ctg 30° = 3 и sin 60° = 32, cos 60° = 12, tg 60° = 3, ctg 60° = 33, тогда выводится следующее: 2·sin 30°·cos 30° = 2·12·32 = 32, cos230° – sin230° = (32)2-(12)2 = 12,2·tg 30°1-tg230° = 2·321 — (33) = 3 и ctg230° – 12·ctg 30° = (3)2 − 12·3 = 33.
Задача 1: дан угол, отличный от 2α, например 3π5. Нужно найти его значение. Решение: угол 3π5 необходимо преобразовать. Получается α = 3π5:2 = 3π10. Из результата следует, что ФДУ для косинуса принимает следующий вид: cos3π5 = cos23π10 — sin23π10.
Задача 2: необходимо представить sin2α3 через функции, когда α = 6. Решение: заменить 2α3 = 4·α6. Если подставить данные, получится sin2α3. Выражая через функцию, принимая формулу двойного угла, записывается выражением: sin2α3 = 2·sinα3·cosα3. Используя cosα3, применяя sin2α2, получится результат sin2α3 = 4·sinα6·cos3α6 − 4·sin3α6·cosα6.
Тождества при других значениях
На практике студенты высших учебных заведений математических факультетов встречаются с задачами, для решения которых применяются формулы тройного, четверного и другого угла. В их основе находятся тригонометрические функции. Чтобы их вывести, используются формулы сложения двойного угла: sin3α = sin (2α+α) = 3·sinα·cos2α – sin3α.
При замене cos2α на 1-sin2α формула примет новый вид: sin3α = 3·sinα-4·sin3α. По аналогичной схеме приводится формула косинуса тройного угла: косинус3α = косинус (2α+α) = косинус3α – 3·синус2α·косинусα.
При замене sin2α на 1-cos2α, получится формула вида cos3α = -3·cosα+4·cos3α. С помощью полученных равенств преобразовывается формула тройного угла для тангенса и котангенса: tg3α = sin3αcos3α = ctg3α – 3·ctgα3·ctg2α – 1.
По такой же методике выводятся формулы четвёртой степени. Значение 4α нужно представить в виде 2·2α. Равенство выводится с помощью ФДУ дважды. Для получения равенства пятой степени представляется значение угла 5α в виде 3α+2α.
Такая сумма позволяет использовать формулы двойного и тройного углов с целью преобразования в конечный результат. По аналогичной схеме преобразовываются разные степени тригонометрических функций, но их применяют в тригонометрии редко.
Область применения
Чтобы определить значение тригонометрической функции (ТФ), рассматривается окружность с радиусом в единицу и диаметрами, взаимно перпендикулярными. Для вычислений потребуется отложить от точки, принадлежащей окружности, дуги любых длин. Они будут положительными, если их отложить против часовой стрелки.
Отрицательное значение принимают те, которые размещены по часовой стрелке. Если конец дуги имеет длину f, тогда проекция радиуса на любом диаметре примет значение косинуса дуги. Под аргументом понимается число, которое рассматривается геометрически как f либо радианная мера угла. Если аргумент ТФ взят за угол, тогда его значение выражается и в градусах.
Доказано, что значение острых углов больше нуля, но меньше p/2. Для таких величин ТФ рассматривается как отношение катетов к гипотенузе. Эти элементы принадлежат прямоугольному треугольнику. Название связано с наличием угла в 90 градусов. Для решения задач с тригонометрическими функциями используется и теорема Пифагора, в основе которой находится свойство прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дуга делит окружность на несколько частей. Углы, размещенные в первой четверти, больше нуля, во второй косинус меньше, но синус больше, в третьей ТФ меньше 0, а в четвёртой получаются значения, противоположные второй. Для построения окружности потребуется циркуль, а для измерения углов транспортир.
Для получения точного чертежа рекомендуется наносить данные на миллиметровую бумагу либо тетрадь в клетку.
