На клетчатой бумаге изображён вписанный угол
Дорогие друзья! Мы уже рассматривали с вами задачи на вписанный в окружность угол. Если вы давно не решали подобных заданий, и не помните свойство вписанного угла, то обязательно ознакомьтесь с материалами и решите несколько задач, посмотрите статьи на блоге « Угол вписанный в окружность. Часть 1! » и про вписанный четырёхугольник , либо соответствующий раздел в учебной литературе.
Есть ещё один тип заданий с вписанным углом, которые входят в состав ЕГЭ. Их мы и рассмотрим в этой статье. В заданиях имеется одна особенность – окружность и угол заданы (построены) на листе в клетку и никаких градусных величин в условии не задано. Возникает вопрос: а как тогда углы-то вычислять?
Всё просто! Нужно понимать как «установить» угол, если он построен на листе в клетку, а далее использовать свойство вписанного угла. Запутал?
Начнём с самого простого. Чему равен данный угол?
Конечно же, 90 градусам.
Чему равен этот угол?
Понятно, что 45 градусам.
Правильно, 135 градусам (90 + 45 или по-другому 180 – 45).
225 градусов (180 + 45 или 360 – 135).
Понимания того, как стороны угла расположены относительно клеток вполне достаточно, чтобы решать такие задачи.
Ещё раз напомню основное свойство вписанного угла.
«Вписанный угол равен половине центрального,
опирающегося на ту же дугу»
27891. Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC . Ответ дайте в градусах.
Все подобные задания, в которых дан вписанный в окружность угол (либо центральный угол) на листе в клетку, решаются просто – угол определяется по расположению его сторон относительно клеток. Если необходимо, то используется свойство вписанного угла.
Построим центральный угол соответствующий дуге ВС:
Градусная величина дуги на которую опирается вписанный угол равна центральному углу опирающемуся на эту дугу, то есть нам необходимо найти угол ВОС:
По клеткам видно, что угол ВОС равен 90 0 + 45 0 = 135 0 (ОС проходит по диагонали клеток).
27887. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
27888. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
27889. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
27890. Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Нужно знать свойство вписанного угла (обязательно).
Для решения подобных задач достаточно построить центральный угол и далее использовать указанное свойство.
На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
Когда маленький Дракула не вернулся домой из школы, его мама так и подумала: «Наверное, кол поставили».
Как найти угол треугольника в окружности на клетчатой бумаге
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 72°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 72°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 54° = 36°.
Читатели, знакомые с теоремой «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», могут решить эту задачу в одно действие: ∠ABC = 72° : 2 = 36°.
На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 56°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть точка O — центр окружности. Угол AOB — центральный и равен дуге, на которую опирается. Значит, угол AOB равен 56°. Треугольник AOB — равнобедренный. Значит,
Таким образом, поскольку угол OBC прямой, угол ABC равен 90° − 62° = 28°.
Читатель, знающий правило «Угол между хордой и касательной равен половине дуги, стягиваемой хордой», может решить эту задачу в одно действие:
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Впишем в окружность квадрат так, как показано на рисунке. Стороны квадрата отсекают на окружности равные дуги. Поэтому градусная мера дуги AC, на которую опирается угол ABC, составляет полного угла 360°, т. е. равна 270°. Угол ABC вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, угол ABC равен 135°.
Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах
27887. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Отметим центр окружности. Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС:
Угол АОС равен 90 0 . Это видно по тому как проходят АО и ОС относительно клетчатой сетки. Угол АВС это вписанный угол, построенный на той же дуге.
По свойству вписанного угла:
27888. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Отметим центр окружности. Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС и вписанный угол ADC:
Центральный угол АОС равен 90 0 . По свойству вписанного угла
Известно, что у четырёхугольника вписанного в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусам, следовательно:
27889. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Отметим центр окружности (видно о клетчатой сетке). Обозначим его точкой О, построим центральный угол АОС:
Угол АОС равен 90 градусов. Угол АВС это вписанный угол, построенный на той же дуге. По свойству вписанного угла:
[spoiler title=”источники:”]
http://oge.sdamgia.ru/search?search=%D0%9D%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B5%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20ABC
http://matematikaege.ru/vpisaniy-ugol/27887-najdite-velichinu-ugla-abc-otvet-dajte-v-gradusax.html
[/spoiler]
Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.
Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):
Итак, рассмотрим задание:
Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.
Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.
Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).
АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,
ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,
OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,
По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:
*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.
Теперь можем найти тангенс:
Умножим результат на 8 и запишем ответ:
Ответ: 11
Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.
Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.
Посмотреть решение
Найдите тангенс угла AOB.
Посмотреть решение
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях )
Один из типов задач в задании 3 – это задачи на нахождение углов.
На клетчатой решетке изображен угол, величину которого надо найти.
Это могут быть самые разнообразные углы:
Методы вычисления могут быть разные.
Принцип большинства заданий – найти прямоугольный треугольник и вычислить у него стороны и найти угол используя синус или косинус или тангенс (в зависимости от задания)
Если необходимо найти тангенс тупого угла, то в начале находим тангенс смежного острого угла и применяем формулу приведения (в ответе появится минус). Напомню, что синус тупого и острого угла имеет один и тот же знак, а вот косинус, так же как и тангенс, тупого и острого угла имеет противоположные знаки.
Если так не получается, то начинаем искать отрезки, треугольники и вычислять стороны. Применять свойство равнобедренных треугольников или теорему косинусов.
Если совсем непонятно, что делать, то встройте угол в прямоугольник и посчитайте все стороны и решение придет
Мы рассмотрели один из типов задач. Главное, поймите принцип, а тогда решите любую задачу.
Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:
Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:
Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.
То есть tg(BOA) = DB / DO.
Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.
DO = 2.
DB = 5.
Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.
Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:
ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.
_
А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):
Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.
И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.
Как же нам их найти?
И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).
Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас получится следующее:
tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.
И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.
Углы на клетках
-1-
Как построить прямой угол по клеткам? Очень просто! – скажете вы. – Отметим точку,
вершину угла, от неё чертим вправо или влево луч, затем ещё один луч вверх или
вниз. Угол между горизонталью и вертикалью – прямой. А можно и по диагоналям
соседних клеток.
Всё верно. А если один из лучей уже построен и
он не горизонтальный, не вертикальный и не проходит по диагоналям клеток? Как
начертить второй луч, чтобы угол между ними был прямым?
Найдём узел сетки, через который проходит
начерченный луч. На нашем рисунке до такого узла от начала луча нужно пройти 3
клетки ВЛЕВО и 1 клетку ВНИЗ. Поэтому чтобы получился прямой угол, надо от
начала луча отсчитать 1 клетку ВЛЕВО и 3 клетки ВВЕРХ. Почему? Обозначим
упомянутые нами точки – А, В и О. Построим векторы ОА и ОВ. Координаты вектора ОА
равны (-3; -1), вектора ОВ (-1; 3). Их скалярное произведение равно 0, поэтому
они перпендикулярны.
Можно отсчитывать клетки и так: 1 клетку
ВПРАВО и 3 клетки ВНИЗ. Тогда вектор ОВ имеет координаты (1; -3), при этом
скалярное произведение векторов ОА и ОВ также равно 0.
Вывод. Векторы с координатами (a; b) и (-b; a), или
(a; b) и (b; –a), – перпендикулярны.
Рассмотрим несколько задач, связанных с
умением находить прямой угол на рисунке.
№ 1. Найти угол АВС на рисунке.
Решение. На первом рисунке угол АОС построен
на диагоналях соседних клеток. На втором рисунке векторы ОА и ОС имеют
координаты соответственно (3; -4) и (4; 3). Поэтому на первом и втором рисунках
центральный угол АОС – прямой, а вписанный угол АВС, опирающийся на ту же дугу,
равен его половине, то есть 45°. На третьем рисунке угол АОС – половина прямого,
то есть 45°, а угол АВС соответственно равен 22,5°.
№ 2. Три квадрата расположены так, как показано на рисунке. Чему равен
угол между прямыми АС и ВD?
Решение. Отрезок ВD
переместим параллельно вниз на одну клетку. Появляется отрезок АМ, равный ВD. Угол
между прямыми АС и ВD равен углу между АС и АМ на втором рисунке.
Соединим отрезком точки С и М. Получается, что угол АМС – прямой и АМ = МС. Треугольник
АСМ прямоугольный равнобедренный, поэтому искомый угол равен 45°.
№ 3. Найти тангенс угла, изображенного на рисунке.
Решение. Выделим на этом рисунке узлы сетки –
точки А и С. Рассмотрим треугольник АВС. Заметим, что он является
прямоугольным, к тому же катет ВС в 2 раза больше катета АС. Отсюда следует,
что тангенс угла В равен 1:2 = 0,5.
-2-
Правильный треугольник и описанная около неё
окружность, построенные на клетках, несут в себе много интересных свойств. Известно,
что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной
а, равен 
, а радиус вписанной в него окружности – 
, то есть в два раза меньше. Отсюда
следует, что хорда, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его
середину, является стороной правильного треугольника. Другими словами, острый
вписанный угол, опирающийся на хорду, перпендикулярную радиусу и проходящую
через его середину, равен 60°, а центральный угол и тупой вписанный угол,
опирающиеся на эту хорду, – 120°.
Рассмотрим несколько примеров задач, решаемых
на основе этого свойства.
1) Угол АВС на рисунке равен 60°,
так как хорда АС проходит через середину радиуса и перпендикулярна ему.
2) Угол АВС на рисунке является половиной угла в
60° из предыдущей задачи и равен 30°.
3) Угол АВС на следующем рисунке равен 120°.
При этом четырёхугольник АВСО является ромбом и его острый угол равен 60°.
-3-
Полезным при решении
задач на клетках является знание углов правильных многоугольников. Рассмотрим
правильный шестиугольник и правильный восьмиугольник. Около них описаны
окружности. Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°,
угол между диагоналями-диаметрами равен 60°, угол
между двумя соседними диагоналями, исходящими из одной вершины, равен 30°,
меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне, а с другими
соседними сторонами – угол 30°. Каждый угол правильного восьмиугольника
равен 135°, угол между соседними
диагоналями-диаметрами равен 45°.
Найдите на следующих
рисунках градусные меры отмеченных углов.
Мясникова Т.Ф.
