Как найти угол треугольника примеры

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Как найти углы прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для угла α:
  • угол β
  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
• для угла β:
  • угол α
  • длины катетов a и b
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Формула

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Катет a =
Катет b =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Гипотенуза c =
Катет =

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://poschitat.online/ugly-pryamougolnogo-treugolnika

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

[/spoiler]

Была ли эта статья полезной?

Содержание:

В этой лекции вы узнаете, что представляют собой синус, косинус и тангенс угла

Решение треугольников

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам).

Синус, косинус и тангенс угла от 0 до 180

Понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла вам известны из курса геометрии 8 класса. Расширим эти понятия для произвольного угла где

В верхней полуплоскости координатной плоскости рассмотрим полуокружность с центром в начале координат, радиус которой равен 1 (рис. 1.1). Такую полуокружность называют единичной.

Будем говорить, что углу соответствует точка единичной полуокружности, если где точки имеют соответственно координаты (рис. 1.1). Например, на рисунке 1.1 углу, равному соответствует точка углу, равному — точка углу, равному — точка

Пусть — острый угол. Ему соответствует некоторая точка дуги единичной полуокружности (рис. 1.2). В прямоугольном треугольнике имеем:

Поскольку то

Итак, косинус и синус острого угла — это соответственно абсцисса и ордината точки единичной полуокружности, соответствующей углу

Полученный результат подсказывает, как определить синус и косинус произвольного угла где

Определение. Косинусом и синусом угла называют соответственно абсциссу и ординату точки единичной полуокружности, соответствующей углу (рис. 1.3).

Пользуясь этим определением, можно, например, установить, что

Если — произвольная точка единичной полуокружности, то Следовательно, для любого угла где имеем:

Если — тупой угол, то абсцисса точки, соответствующей этому углу, отрицательна. Следовательно, косинус тупого угла является отрицательным числом. Справедливо и такое утверждение: если — тупой или развернутый угол.

Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что для любого острого угла а выполняются равенства:

Эти формулы остаются справедливыми также для и для (убедитесь в этом самостоятельно).

Пусть углам соответствуют точки единичной полуокружности (рис. 1.4).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу Отсюда Следовательно,

Убедитесь самостоятельно, что эти равенства остаются верными для

Если — острый угол, то, как вы знаете из курса геометрии 8 класса, справедливо равенство, которое называют основным тригонометрическим тождеством:

Это равенство остается верным для (убедитесь в этом самостоятельно).

Пусть — тупой угол. Тогда угол является острым. Имеем:

Следовательно, равенство выполняется для всех

Определение. Тангенсом угла где называют отношение то есть

Поскольку не определен для

Очевидно, что каждому углу соответствует единственная точка единичной полуокружности. Значит, каждому углу соответствует единственное число, которое является значением синуса (косинуса, тангенса для Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса) от величины угла является функциональной.

Функции соответствующие этим функциональным зависимостям, называют тригонометрическими функциями угла

Пример №1

Докажите, что

Решение:

Пример №2

Найдите

Решение:

Имеем:

Теорема косинусов

Из первого признака равенства треугольников следует, что две стороны и угол между ними однозначно определяют треугольник. А значит, по указанным элементам можно, например, найти третью сторону треугольника. Как это сделать, показывает следующая теорема.

Теорема 2.1 (теорема косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Докажем, например, что

Возможны три случая:

1. угол острый;
2. угол тупой;
3. угол прямой.

Первый случай. Пусть угол острый. Тогда хотя бы один из углов или является острым.

Пусть Проведем высоту Она будет полностью принадлежать треугольнику (рис. 2.1). В прямоугольном треугольнике :

В прямоугольном треугольнике

Пусть Проведем высоту треугольника из вершины Она будет полностью принадлежать треугольнику Доказательство для этого случая аналогично рассмотренному. Проведите его самостоятельно.

Второй случай. Пусть угол тупой. Проведем высоту треугольника (рис. 2.2).

В прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике BDC:

Третий случай. Пусть угол прямой (рис. 2.3). Тогда Надо доказать, что Это равенство следует из теоремы Пифагора для треугольника

Доказательство теоремы косинусов показывает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, а теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора.

Если воспользоваться обозначениями для длин сторон и величин углов треугольника (см. форзац), то, например, для стороны, длина которой равна можно записать:

С помощью теоремы косинусов, зная три стороны треугольника, можно определить, является ли он остроугольным, тупоугольным или прямоугольным.

Теорема 2.2 (следствие из теоремы косинусов). Пусть — длины сторон треугольника, причем — длина его наибольшей стороны. Если то треугольник является остроугольным. Если то треугольник является тупоугольным. Если то треугольник является прямоугольным.

Доказательство: По теореме косинусов

Отсюда

Пусть Тогда Отсюда то есть Поэтому угол острый.

Поскольку — длина наибольшей стороны треугольника, то против этой стороны лежит наибольший угол, который, как мы доказали, является острым. Следовательно, в этом случае треугольник является остроугольным.

Пусть Тогда Отсюда то есть Поэтому угол тупой. Следовательно, в этом случае треугольник является тупоугольным.

Пусть Тогда Отсюда Следовательно, В этом случае треугольник является прямоугольным. 

Пример №3

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Решение:

На рисунке 2.4 изображен параллелограмм Пусть тогда Из треугольника по теореме косинусов получаем:

Из треугольника по теореме косинусов получаем:

Отсюда

Сложив равенства (1) и (2), получим:

Пример №4

В треугольнике сторона на 4 см больше стороны Найдите стороны

Решение:

По теореме косинусов

Пусть тогда см.

Имеем:

Корень -10 не удовлетворяет условию

Следовательно,

Ответ:

Пример №5

На стороне треугольника отметили точку так, что Найдите отрезок если

Решение:

По теореме косинусов из треугольника (рис. 2.5) получаем:

Отсюда

Поскольку то

Тогда из треугольника получаем:

Следовательно,

Ответ:

Пример №6

Две стороны треугольника равны 23 см и 30 см, а медиана, проведенная к большей из известных сторон, — 10 см. Найдите третью сторону треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике известно, что отрезок — медиана,

На продолжении отрезка за точку отложим отрезок равный медиане (рис. 2.6). Тогда

В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам по условию, по построению). Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (см. ключевую задачу 1), то

Тогда

Ответ: 11 см.

Теорема синусов

При доказательстве ряда теорем и решении многих задач применяют следующую лемму.

Лемма. Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Доказательство: На рисунке 3.1 отрезок — хорда окружности с центром в точке Проведем диаметр Тогда как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Пусть величина вписанного угла равна Тогда из прямоугольного треугольника получаем:

Все вписанные углы, опирающиеся на хорду равны или Следовательно, их синусы равны. Поэтому полученное равенство (1) справедливо для всех вписанных углов, опирающихся на хорду

Из второго признака равенства треугольников следует, что сторона

и два прилежащих к ней угла однозначно определяют треугольник. Следовательно, по указанным элементам можно найти две другие стороны треугольника. Как это сделать, подсказывает следующая теорема.

Теорема 3.1 (теорема синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство: Пусть в треугольнике известно, что Докажем, что

Пусть радиус описанной окружности треугольника равен Тогда согласно лемме Отсюда

Следствие. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле

где — длина стороны треугольника, — величина противолежащего этой стороне угла.

Пример №7

В треугольнике известно, что см, Найдите угол

Решение:

По теореме синусов

Тогда

Поскольку Следовательно, угол — острый.

Отсюда, учитывая, что получаем:

Ответ:

Пример №8

В треугольнике известно, что Найдите угол

Решение:

По теореме синусов Тогда

Поскольку Тогда угол может быть как острым, так и тупым. Отсюда

Ответ:

Пример №9

На стороне треугольника отметили точку так, что (рис. 3.2). Найдите отрезок если

Решение:

Угол — внешний угол треугольника Тогда отсюда

Из треугольника по теореме синусов получаем:

Следовательно,

Из треугольника по теореме синусов получаем:

Следовательно,

Ответ:

Пример №10

Отрезок — биссектриса треугольника (рис. 3.3). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника если радиус окружности, описанной около треугольника равен см.

Решение:

Пусть — радиус окружности, описанной около треугольника

Поскольку отрезок — биссектриса треугольника, то

Из треугольника получаем:

По следствию из теоремы синусов Отсюда

Из треугольника получаем:

Пусть — искомый радиус окружности, описанной около треугольника

Тогда отсюда

Ответ:

Как решать треугольников

Решить треугольник — это значит найти неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам

Теоремы косинусов и синусов позволяют решить любой треугольник.

В следующих задачах значения тригонометрических функций будем находить с помощью калькулятора и округлять эти значения до сотых. Величины углов будем находить с помощью калькулятора и округлять эти значения до единиц. Вычисляя длины сторон, результат будем округлять до десятых.

Пример №11

Решите треугольник (рис. 4.1) по стороне см и двум углам

Решение:

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

По теореме синусов

Отсюда

Имеем:

Вновь применяя теорему синусов, запишем:

Отсюда

Имеем:

Ответ:

Пример №12

Решите треугольник по двум сторонам см, см и углу между ними.

Решение:

По теореме косинусов

Отсюда

Далее имеем:

Отсюда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Ответ:

Пример №13

Решите треугольник по трем сторонам см,

Решение:

По теореме косинусов Отсюда

Получаем:

Пo теореме синусов Отсюда

Поскольку — длина наименьшей стороны данного треугольника, то угол является острым. Тогда находим, что Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Ответ:

Пример №14

Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из сторон:

Решение:

1) По теореме синусов

Отсюда

Поскольку угол данного треугольника тупой, то угол является острым. Тогда находим, что

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

По теореме синусов

Отсюда

Ответ:

2) По теореме синусов

Отсюда что невозможно.

Ответ: задача не имеет решения.

3) По теореме синусов Отсюда

Возможны два случая: или

Рассмотрим случай, когда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Пo теореме синусов

Отсюда (см).

Рассмотрим случай, когда

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

Поскольку (см)

Ответ:

Тригонометрия наука об измерении треугольников

Вы знаете, что древние путешественники ориентировались по звездам и планетам. Они могли достаточно точно определить положение корабля в океане или каравана в пустыне по расположению светил на небосклоне. При этом одним из ориентиров служила высота, на которую поднималось над горизонтом то или иное небесное светило в данной местности в данный момент времени.

Понятно, что непосредственно измерить эту высоту невозможно. Поэтому ученые стали разрабатывать методы косвенных измерений. Здесь существенную роль играло решение треугольника, две вершины которого лежали на поверхности Земли, а третья являлась звездой (рис. 4.3) — знакомая вам задача 3.17.

Для решения подобных задач древним астрономам необходимо было научиться находить взаимосвязи между элементами треугольника. Так возникла тригонометрия — наука, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Термин «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» — треугольник и «метрео» — измерять) означает «измерение треугольников».

На рисунке 4.4 изображен центральный угол равный Из прямоугольного треугольника имеем: Следовательно, если в единичной окружности измерить половины длин хорд, на которые опираются центральные углы с величинами то тем самым мы можем вычислить значения синусов углов соответственно.

Измеряя длины полухорд, древнегреческий астроном Гиппарх (II в. до н. э.) составил первые тригонометрические таблицы.

Понятия синуса и косинуса появляются в тригонометрических трактатах индийских ученых в IV-V вв. н. э. В X в. арабские ученые оперировали понятием тангенса, которое возникло из потребностей гномоники — учения о солнечных часах (рис. 4.5).

В Европе первой работой, в которой тригонометрия рассматривалась как отдельная наука, был трактат «Пять книг о треугольниках всех видов», впервые напечатанный в 1533 г. Его автором был немецкий ученый Региомонтан (1436-1476). Этот же ученый открыл и теорему тангенсов:

где — длины сторон треугольника, — величины углов треугольника, противолежащих соответственно сторонам с длинами

Современный вид тригонометрия приобрела в работах великого математика Леонарда Эйлера.

Леонард Эйлер

(1707-1783) Выдающийся математик, физик, механик и астроном, автор более 860 научных работ. Член Петербургской, Берлинской, Парижской академий наук, Лондонского королевского общества, многих других академий и научных обществ. Имя Эйлера встречается почти во всех областях математики: теоремы Эйлера, тождества Эйлера, углы, функции, интегралы, формулы, уравнения, подстановки и т. д.

Формулы для нахождения площади треугольника

Из курса геометрии 8 класса вы знаете, что площадь треугольника со сторонами и высотами можно вычислить по формулам

Теперь у нас появилась возможность получить еще несколько формул для нахождения площади треугольника.

Теорема 5.1. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что

Возможны три случая:

1. угол острый (рис. 5.1);
2. угол тупой (рис. 5.2);
3. угол прямой.

На рисунках 5.1 и 5.2 проведем высоту треугольника

Тогда

Из прямоугольного треугольника в первом случае (см. рис. 5.1) получаем: а во втором (см. рис. 5.2): Отсюда для двух первых случаев имеем:

Если угол прямой, то Для прямоугольного треугольника с катетами имеем:

Теорема 5.2 (формула Герона – Площадь треугольника со сторонами можно вычислить по формуле

где — его полупериметр.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что

Пусть Запишем формулу площади треугольника:

Отсюда

По теореме косинусов Тогда

Поскольку то:

Отсюда

Теорема 5.3. Площадь треугольника со сторонами и можно вычислить по формуле

где — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательство: Рассмотрим треугольник площадь которого равна такой, что Докажем, что — радиус описанной окружности треугольника.

Пусть Запишем формулу площади треугольника:

Из леммы п. 3 следует, что

Тогда

Заметим, что доказанная теорема позволяет находить радиус описанной окружности треугольника по формуле

Теорема 5.4. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.

Доказательство: На рисунке 5.3 изображен треугольник в который вписана окружность радиуса Докажем, что

где — площадь данного треугольника, — его полупериметр.

Пусть точка — центр вписанной окружности, которая касается сторон треугольника в точках Площадь треугольника равна сумме площадей треугольников

Проведем радиусы в точки касания. Получаем: Отсюда:

Следовательно,

Теорему 5.4 обобщает следующая теорема.

Теорема 5.5. Площадь описанного многоугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.

Докажите эту теорему самостоятельно (рис. 5.4).

Заметим, что теорема 5.5 позволяет находить радиус вписанной окружности многоугольника по формуле

Пример №15

Докажите, что площадь параллелограмма можно вычислить по формуле

где — длины соседних сторон параллелограмма, — угол между ними.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм в котором (рис. 5.5). Проведем диагональ Поскольку то запишем:

Пример №16

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

Решение:

Пусть угол между диагоналями четырехугольника равен На рисунке 5.6 Тогда Имеем:

Пример №17

Стороны треугольника равны 17 см, 65 см и 80 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Пусть

Найдем полупериметр треугольника:

Площадь треугольника вычислим по формуле Герона:

Наименьшей высотой треугольника является высота, проведенная к его наибольшей стороне, длина которой равна

Поскольку

Радиус вписанной окружности

Радиус описанной окружности

Ответ:

Вневписанная окружность треугольника

Проведем биссектрисы двух внешних углов с вершинами треугольника (рис. 5.8). Пусть — точка пересечения этих биссектрис. Тогда точка равноудалена от прямых

Проведем три перпендикуляра: Очевидно, что Следовательно, существует окружность с центром в точке которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Такую окружность называют вневписанной окружностью треугольника (рис. 5.8).

Поскольку то точка принадлежит биссектрисе угла

Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. На рисунке 5.9 их центры обозначены Радиусы этих окружностей обозначим соответственно

По свойству касательных, проведенных к окружности через одну точку, имеем: (рис. 5.8). Тогда Следовательно, периметр треугольника равен сумме Однако Тогда где — полупериметр треугольника

Имеем:

Отсюда где — площадь треугольника

Аналогично можно показать, что

Справочный материал

Косинус и синус

Косинусом и синусом угла которому соответствует точка единичной полуокружности, называют соответственно абсциссу и ординату точки

Тангенс

Тангенсом угла называют отношение

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон и косинуса угла между ними:

Следствие из теоремы косинусов

Пусть — длины сторон треугольника, причем — длина его наибольшей стороны. Если то треугольник является остроугольным. Если то треугольник является тупоугольным. Если то треугольник является прямоугольным.

Лемма о хорде окружности

Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Формулы для нахождения площади треугольника

Формула Герона:

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника

Площадь многоугольника, описанного около окружности

Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности.

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным^[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников[править | править код]

У треугольника^[2] общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые (). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная^[3].

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов^[4]:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• две стороны и угол напротив одной из них;
• сторона и два прилежащих угла;
• сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы[править | править код]

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников^[5]:

Теорема косинусов

Теорема синусов

Сумма углов треугольника

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания[править | править код]

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус^[6]. Например, если то угол может быть как , так и , потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от до значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем .

Три стороны[править | править код]

Пусть заданы длины всех трёх сторон . Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

Чтобы найти углы , надо воспользоваться теоремой косинусов^[7]:

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть для определённости известны длины сторон и угол между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны применяется теорема косинусов^[8]:

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: .

Две стороны и угол напротив одной из них[править | править код]

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны и угол . Тогда уравнение для угла находится из теоремы синусов^[9]:

Для краткости обозначим (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D^[10][11].

1. Задача не имеет решения (сторона «не достаёт» до линии ) в двух случаях: если или если угол и при этом
2. Если существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный:

2. Если то возможны 2 варианта.
   1. Если , то угол имеет два возможных значения: острый угол и тупой угол . На рисунке справа первому значению соответствуют точка , сторона и угол , а второму значению — точка , сторона и угол .
   2. Если , то (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для исключён и решение единственно.

Третий угол определяется по формуле . Третью сторону можно найти по теореме синусов:

Сторона и два угла[править | править код]

Пусть задана сторона и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше . В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы , то . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов^[12]:

Решение прямоугольных треугольников[править | править код]

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой , гипотенузу — . Катеты обозначаются и , а величины противолежащих им углов — и соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

и определения основных тригонометрических функций:

Ясно также, что углы и  — острые, так как их сумма равна . Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета[править | править код]

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

или же по только что найденной гипотенузе:

Катет и гипотенуза[править | править код]

Пусть известны катет и гипотенуза — тогда катет находится из теоремы Пифагора:

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и прилежащий к нему угол .

Гипотенуза находится из соотношения

Катет может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

Острый угол может быть найден как

Катет и противолежащий острый угол[править | править код]

Пусть известны катет и противолежащий ему угол .

Гипотенуза находится из соотношения

Катет и второй острый угол могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол[править | править код]

Пусть известны гипотенуза и острый угол .

Острый угол может быть найден как

Катеты определяются из соотношений

Решение сферических треугольников[править | править код]

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера^[13] и формула половины стороны^[14].

Три стороны[править | править код]

Если даны (в угловых единицах) стороны , то углы треугольника определяются из теоремы косинусов^[15]:

,

,

,

Две стороны и угол между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны и угол между ними. Сторона находится по теореме косинусов^[15]:

Углы можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

Две стороны и угол не между ними[править | править код]

Пусть заданы стороны и угол . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

Угол получается из теоремы синусов:

Здесь, аналогично плоскому случаю, при получаются два решения: и .

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера^[16]:

,

.

Сторона и прилежащие углы[править | править код]

В этом варианте задана сторона и углы . Угол определяется по теореме косинусов^[17]:

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

или, если использовать вычисленный угол , по теореме косинусов:

Два угла и сторона не между ними[править | править код]

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона и углы . Сторона определяется по теореме синусов^[18]:

Если угол для стороны острый и , существует второе решение:

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

Три угла[править | править код]

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

,

,

.

Другой вариант: использование формулы половины угла^[19].

Решение прямоугольных сферических треугольников[править | править код]

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений^[20]:

Вариации и обобщения[править | править код]

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

Примеры практического применения[править | править код]

Триангуляция[править | править код]

Чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы и между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника^[23]:

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние^[23].

Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получается^[24]:

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара[править | править код]

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре^[25]:

Точка : широта долгота

Точка : широта долгота

Для сферического треугольника , где  — северный полюс, известны следующие величины:

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

,

где  — радиус Земли.

История[править | править код]

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.^[26]

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии^[27]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников^[28]:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее^[29]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке^[30].

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков^[31]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут^[1].

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных^[32].

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию^[33]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов^[34]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров^[35]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус^[36]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась^[37].

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории^[38]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс^[36].

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века^[29]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника^[39]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения^[40].

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году^[41]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам^[42]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10″^[43]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»^[44]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также[править | править код]

• Признаки подобия треугольников
• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Теория и алгоритмы

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Решение:

Из теоремы косинусов имеем:

Откуда

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos находим углы A и B:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Решение:

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

найдем cosA:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Вычисления выше легко производить инженерным онлайн калькулятором.

Из формулы (3) найдем cosA:

Используя онлайн калькулятор для arcsin и arccos или инженерный онлайн калькулятор находим угол A:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Решение:

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Откуда

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Ответ: