Как найти угол в кубе ответ

Сколько плоских углов у куба? Сколько двугранных углов у куба? У куба 12 двугранных углов (по числу ребер), образованных пересечениями граней. Величина этих телесных углов составляет четверть полной сферы или пи стерадиан. У куба 8 трехгранных углов (по числу вершин), образованных пересечением трех граней. Каждый из этих телесных углов имеет величину 1/8 полной сферы или пи/2 стерадиан. У куба 24 плоских угла (по 4 на каждой квадратной грани), образованных парами ребер, сходящихся в одной вершине. Все эти углы являются прямыми, то есть имеют величину пи/2 или 90°. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Самое интересное – определение количества плоских углов у куба, поскольку с двугранными углами все боле понятно. Двугранный угол – это по простому угол между плоскостями. То есть можно считать число граней линиями пересечения различных плоскостей у куба и таким образом найти количество двугранных углов. Граней у куба 12 – 4 сверху, 4 снизу и 4 по бокам, следовательно и двугранных углов 12. Плоский угол – это по простому угол лежащий в одной плоскости, между лучами, который легко обнаружить при вершине куба. У каждой вершины находятся 3 плоских угла, поскольку куб – фигура объемная. Умножаем число 3 на число вершин 8 и получаем, что плоских углов в кубе 24. Кстати, совокупность трех плоских углов имеющих общую вершину как раз и называется трехгранным углом. То есть сколько у куба вершин, столько и трехгранных углов – 8. Андре­й В Б [211K] 8 лет назад  Термин “плоский угол” мне вообще как-то непонятен! Что же касается количества углов, то в принципе в предыдущем ответе всё верно, вот только всё же можно поспорить. Ведь сама геометрия позиционирует угол, как фигуру из двух лучей. А можно ли считать фигуру из двух плоскостей углом, – это вопрос, о которм до сих пор ведутся споры среди учёных. Так, что если рассматривать куб именно с такой стороны, то тогда нужно количество вершин умножить на три. Ведь три луча дают между собой три угла. Итогом выходит, что 24 точно геометрических угла. У куба 8 трёхгранных углов. Двугранных углов у него видимо столько же, сколько и рёбер, так как угол образуется двумя перпендикулярными по отношению друг к другу гранями, между которыми ребро куба. Соответственно рёбер у него 12, а соответственно 12 и двугранных углов. Одногранных углов у него в 4 раза больше, чем граней. Так как граней у него 6, то соответственно одногранных углов у куба 24. Ответ: Трёхгранных – 8. Двугранных – 12. Одногранных – 24. Для того, чтобы разобраться, сколько плоских углов у куба, сначала нужно посчитать его грани – их у куба шесть. Каждая грань – квадрат, имеющий четыре угла. Соответственно, плоских улов у куба – 4*6=24 штуки.Теперь посчитаем двухгранные улы, то есть, соответственно, углы между гранями. Для этого достаточно посчитать ребра фигуры, их число будет равно числу двухгранных углов – их всего 12 штук. gemat­ogen [29.9K] 8 лет назад  Всего в Кубе 12 двугранных углов. Обычных углов, точнее плоских у куба в 2 раза больше – 24. Многие делают ошибки в подсчете двугранных углов, считая НАПРИМЕР углы : ABCD – DCBA разными. У многих возникает ошибка и они говорят, что в кубе 24 угла – двугранных, но это НЕ ТАК. DaRkn­eSs56­47 [4K] 8 лет назад  В геометрии такого понятия ,как “угол куба” не существует. У куба есть вершины, углы его граней, углы двухгранные (при ребрах), трехгранные (при вершинах). Поэтому: Двухгранных углов – 12 Трехгранных углов – 8 Вершин куба – 8 Углов граней – 24 ЗВЕЗД­ОЧКА НА НЕБЕ [12.4K] 8 лет назад  Куб – довольно не сложная геометрическая фигура, которая представляет собой правильный 6-тигранник. Она имеет 24 плоских угла (число граней умножается на число его углов); 12 углов, которые называются двугранными (складываются из ребер куба); Влади­слав Ч [4.2K] 8 лет назад  Обобщая 3 предыдущих ответа: 1) Трехгранных углов 8: по числу вершин куба. 2) Двугранных углов 12: по числу ребер. 3) Просто углов (плоских) 24: 4(на каждой грани)*6(число граней). bezde­lnik [34.1K] 8 лет назад  У куба 24 плоских угла, 12 двугранных углов и 6 трехгранных, объёмных углов. Знаете ответ?

Каталог заданий.
13. Вычисление углов между элементами куба

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА₁, КА₂, КА₃…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅ – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅ – это сечение многогранного угла. Углы ∠А₁КА₂, ∠А₂КА₃, ∠А₃КА₄… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А₁А₂А₃…А_n, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А₁А₂А₃…А_n. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂А₃…А_n. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

Начнем разбирать это задание с самых легких задач. Необходимо найти угол между двумя прямыми в кубе.

В кубе много параллельных ребер, поэтому задачи решаются просто. Если прямые скрещивающиеся, то используем определение угла между скрещивающимися прямыми: “Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым”.

В треугольной призме так же можно найти параллельные прямые.

В треугольной призме можно выполнить дополнительные построения, выходящие за пределы многогранника.

Из треугольника КАС легко можно найти угол КАС.

Вот еще случай, когда точка пересечения прямых лежит вне многогранника

Логические задачи и головоломки

Чему равен угол в кубе?

Ответ: Угол в кубе равен 90 0

Комментарии

Ну в смысле угол не в 3 степени а в геометрической фигуре

Как раз собирался ответить: который угол и в качестве одного варианта Pi/2 стерео радиан. Какой-то неинтересный вопрос.

не понимаю в чём подвох? это и так ясно что 90градусов.

Подвох заключается в том, что слово «куб» понимают как третью степень, а не геометрическую фигуру 🙂

Ну не знаю, не знаю, я лично сразу подумала про объёмный квадрат.

Лучше думай про плоский куб. Будет проще.

Если куб в москве, то угол будет равен немеряно. Немеряно бабла на него надо будет, чтобы снять.

Какие еще могли быть варианты.

угол в кубе равен другому углу в этом же кубе

Вот не надо на Кубу гнать была два раза и нашла себе угл.

угол в кубе равен комнате

угол в кубе равен другому углу куба

точно точно угол равен другим углам

Ответ какой то непонятный, мне кажется другому углу!

А вот здесь как раз всё коротко и ясно.

слово куб можно понять как число в 3 степени и поэтому ответа тут не будет))) ну или другим углам

понимать ты можешь как хочешь, а если не дошло так и говори!

Так подвоха нет, если ответить с подвохом, то стоит говорить о том, что углы в кубе объемные и измеряются в стерадианах, а не градусах, это у граней куба углы плоские.

Подвох в том, что подвоха нет.

видимо, да, если никто больше не знает.

тоже самое, что и угол в квадрате)

В чем подвох-то, легкотня полная

В таком виде как тут написана задача не выглядитт интересной, но устно ее можно довольно неплохо приподать:
— два в квадрате?
— 4
— три в квадрате?
— 9
— четыре в квадрате?
— 16
— угол в квадрате?
-.

Источник

10 разминок для мозга

Ответьте на десять вопросов, чтобы проверить, насколько вы сообразительны (в ответы только не подглядывать!):

1. У мамы Джонни трое детей. Одного зовут Апрель, второго — Май. Как зовут третьего ребенка?
2. Курица, стоящая на одной ноге, весит 2 кг. Сколько весит курица, стоящая на двух ногах?
3. До того, как открыли гору Эверест, какая гора была самой высокой в мире?
4. Сколько земли содержится в яме шириной, длиной и глубиной в 3 метра?
5. Какое слово всегда пишется неправильно?
6. Билли родилась 28 декабря, однако, ее день рождения всегда приходится на лето. Как такое может быть?
7. Чему равен угол в кубе?

8. Если на соревнованиях по бегу вы обгоните человека, который бежит вторым, на каком месте вы окажетесь?
9. Как правильно говорить: «Желток в яйце белый» или «Желтки в яйцах белые»?
10. Почему парикмахер в Женеве скорее предпочтет постричь двух французов, чем одного немца?

Да, часть вопросов довольно банальна. Но все они наглядно иллюстрируют некоторые особенности нашего мышления, влияющие на процесс принятия решений.
Мы всегда стремимся увидеть то, что хотим и что ожидаем увидеть – так работает наш мозг. Эту особенность очень важно учитывать в бизнесе при изучении клиентов, рынков, конкурентов, также различных данных, на основе которых люди принимают важнейшие деловые решения.

Когда мы видим только то, что хотим или ожидаем увидеть, мы можем пропустить потенциальную угрозу со стороны кого-то из конкурентов, потому что наш мозг говорит, что с той стороны опасаться нечего. Мы не замечаем новые возможности, потому что обращаем внимание в основном на то, что сработало в прошлом, а не на то, что может принести пользу в будущем. Мы упускаем изменения на рынках и в поведении потребителей, которые потом, если оглянуться, покажутся очевидными, но в данный момент они ускользают от нашего внимания, потому что мы сосредоточены на том, что и так уже знаем.

Наш мозг не любит информационных пробелов, поэтому мы торопимся дать первый более или менее подходящий ответ, вместо того чтобы как следует подумать и проанализировать все имеющиеся у нас данные. Ситуация усугубляется тем, что мы живем в мире, где каждый день на нас сваливается информации больше, чем мы в состоянии «переварить». Кроме того, наш мозг любит находить закономерности и взаимосвязи. И эта особенность оказывается весьма полезной в повседневной жизни, однако, мозг не всегда срабатывает правильно.

Как вы, например, ответили на первый вопрос (только честно)? Первое, что приходит в голову большинству людей – «июнь», потому что наш мозг быстро улавливает последовательность апрель-май-июнь. Если перечитать вопрос и проанализировать его, становится очевидно, что правильный ответ – Джонни.
А как насчет вопроса про угол в кубе? Ответ зависит от того, как вы поняли слово «куб»: как третью степень или как геометрическую фигуру. Вопрос с подвохом, но он наглядно показывает, как использование тех или иных слов формирует нашу картину мира.

А самым лучшим примером, как легко можно пропустить важную информацию, является вопрос про яичный желток. Каждый знает, что желток желтый. Но вопрос сформулирован таким образом, что наше внимание переключается на выбор правильной грамматической формы, и мы не замечаем очевидную информацию и еще более очевидный ответ.

Мы не можем изменить то, как работает наш мозг – по крайней мере, пока не можем. Дайте ученым еще 50 лет – и кто знает, какие вещи станут реальными. Пока мы можем лишь изучить, как он работает, и время от времени останавливаться и задавать себе вопрос, не упускаем ли мы чего-то важного, в том числе, не пропустили ли мы неосознанно какую-то важную информацию или дополнительные источники данных, чтобы проверить ожидаемый результат.
Тренируйте сообразительность регулярно, и спустя какое-то время вы удивитесь, как много стали замечать вещей, которые раньше ускользали от вашего внимания.

Ответы:
1. Джонни.
2. 2 кг.
3. Эверест. Просто об этом еще не знали.
4. В яме нет земли, на то она и яма.
5. Слово «неправильно» (за исключением тех случаев, когда оно пишется «не правильно»).
6. Билли живет в южном полушарии.
7. Угол в кубе равен 900.
8. Вы окажетесь на втором месте. Ведь вы обогнали того, кто бежал вторым, а не первым.
9. Ни так и ни так. Яичный желток желтый.
10. Потому что он заработает в два раза больше денег.

Источник

Чему равен угол в кубе

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Все ребра куба равны.

Свойства куба:

2. Противоположные грани попарно параллельны.

3. Все двугранные углы куба – прямые.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$с$-высота(она же боковое ребро);

$S_<п.п>$-площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

Пирамида

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Источник

Если бы вы взяли квадрат и нарисовали две диагональные линии, они пересеклись бы в центре и образовали четыре прямоугольных треугольника. Две диагонали пересекаются под углом 90 градусов. Вы можете интуитивно догадаться, что две диагонали куба, каждая из которых проходит от одного угла куба к противоположному углу и пересекается в центре, также пересекаются под прямым углом. Вы бы ошиблись. Определить угол, под которым две диагонали в кубе пересекают друг друга, немного сложнее, чем это может показаться на первый взгляд, но это действительно хорошая практика для понимания принципов геометрии и тригонометрии.

Определите длину ребра как одну единицу. По определению каждое ребро куба имеет одинаковую длину в одну единицу.

Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла на той же грани. Назовите это «короткой диагональю» для ясности. Каждая сторона сформированного прямоугольного треугольника составляет одну единицу, поэтому диагональ должна быть равна √2.

Используйте теорему Пифагора, чтобы определить длину диагонали, бегущей от одного угла до противоположного угла противоположной грани. Назовите это «длинной диагональю». У вас есть прямоугольный треугольник с одной стороной, равной 1 единице, и одной стороной, равной «короткой диагонали», √2 единиц. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов сторон, поэтому гипотенуза должна быть √3. Каждая диагональ, идущая от одного угла куба к противоположному углу, имеет длину √3 единиц.

Нарисуйте прямоугольник, чтобы представить две длинные диагонали, пересекающиеся в центре куба. Вы хотите найти угол их пересечения. Этот прямоугольник будет иметь высоту 1 единицу и ширину √2 единицы. Длинные диагонали делят пополам друг друга в центре этого прямоугольника и образуют два разных типа треугольника. Один из этих треугольников имеет одну сторону, равную одной единице, а две другие стороны равны √3 / 2 (одна половина длины длинной диагонали). Другая также имеет две стороны, равные √3 / 2, но другая ее сторона равна √2. Вам нужно только проанализировать один из треугольников, поэтому возьмите первый и найдите неизвестный угол.

Как найти угол шестиугольника

Как найти угол тета в тригонометрии

Как найти объем стека куба

Источник

Математика для блондинок

Страницы

четверг, 14 марта 2013 г.

Куб и угол между прямыми

Сейчас решим задачу про куб и угол между прямыми. Задача звучит так:

Для начала нужно соорудить конструкцию куба и разукрасить её буквами обозначений. Затем попробуем разобраться, чего надобно этим старцам от математики. Рисуем куб и прямые линии.

Куб и прямые линии

Получилось, что одна прямая линия совпадает с диагональю куба, вторая прямая линия проходит через боковую грань куба. Математики такие лини называют скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми определяется (не в смысле математическое определение типа «бла-бла-бла», а когда конкретное дело делается) как угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым. Это не я такой умный, это у меня книжка умная есть, там и вычитал.

Возьмем ту прямую, которая на боковой грани и проведем параллельную ей прямую линию, проходящую через вершину D1. В этом случае мы получили две пересекающиеся прямые, для которых уже можно определить угол.

Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Для определения угла нам нужны размеры куба. Без этого математика бессильна. Поскольку, по условию задачи, размеры куба нам не заданы, мы можем сами выбрать любой, благо все три размера у куба одинаковы. Примем длину ребра нашего куба за единицу. Получился куб в собственном соку, то есть в собственных единицах измерения. Весь этот математический фокус заключается в том, что угол между заданными нам прямыми совершенно не зависит от размеров куба. И в большом кубе, и в маленьком кубике углы между этими прямыми будут одинаковы.

Дальше всё просто, как в реанимации. Назначаем пациенту, то есть кубу:

1. Две теоремы Пифагора для двухмерного пространства.
2. Одну теорему Пифагора для трехмерного пространства.
3. Одну теорему косинусов.
4. Одну таблицу косинусов.

Теперь разберемся, к каким местам на теле куба всё это нужно прикладывать.

Мы проутюжили наше решение от начала к концу и от конца к началу. Лично у меня оно где-то по середине и срослось, на теореме Пифагора. Что бы там не утверждали наши современные математики, а математических инструментов мощнее тригонометрии и теоремы Пифагора они так и не создали.

Для полного счастья нам нужно ещё рассмотреть теорему косинусов. Ведь тупо записать её могут многие, а вот применять на практике этот калейдоскоп символов нужно ещё уметь. Посмотрите, как буковки в формулах переливаются! Это и есть первозданная красота математики.

Источник