Как найти угол в окружности по координатам

Как найти угол в окружности по координатам

Полосатый жираф Алик

Искусственный Интеллект

(310770)


9 лет назад

Как, по какой? Угол равен 180 градусов + Arctg( (Yb – Ya) / (Xb – Xa) ). Если Xa = Xb, то вместо арктангенса прибавляешь 90 градусов.

Ох, насвистел. . .Тебе же нужно в промежутке от 180 до 360…

Тогда еще к этой формуле добавить, а если Arctg() < 0, то складывать его с 360 градусов, а не со 180.

Mikhail Levin

Искусственный Интеллект

(614567)


9 лет назад

на кой тут окружность и оси координат? Они никакого отношения к задаче вообще не имеют. Да вы еще для пущей путаницы назвали горизонталь OZ, будто это третья ось координат: )

у вас есть точки A и B и горизонталь. опустите из точки B перпендикуляр на линию OZ, получите точку С с координатами Bx, Ау. перед вами треугольник, ваш искомый угол – арксинус |AC| / |AB|

Charli

Ученик

(183)


9 лет назад

координаты точки А (Х1;У1) точки Б (Х2;У2)
из точку Б опускаешь перпендикуляр на ось ОЗ в точку С – получаем БС. получаешь прямоугольный треугольник.
длина БС = У2-У1. длина АС = Х2-Х1
получаешь длину гипотенузы АБ. получаешь площадь треугольника.
площадь треугольника также вычисляется
С = АБ*АБ + АС*АС – 2*АБ*АС*косинус (угла между сторонам АБ и АС)
отсюда вычисляешь косинус, а из него сам угол.

П. С. правда не понимаю зачем дана окружность. А если нужен угол больше 180, то к найденному прибавь просто 180.

Источник

Содержание:

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Единичная окружность - с примерами решения

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью. Единичная окружность - с примерами решения

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

  • начало отсчета — точку Единичная окружность - с примерами решения
  • направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)). Единичная окружность - с примерами решения

Точки на окружности будем получать путем поворота точки Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка Единичная окружность - с примерами решения (рис. 5) получена поворотом

Таким образом, при повороте точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения в заданном направлении получается точка Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 6).

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №2

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как поворот на Единичная окружность - с примерами решения соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки Единичная окружность - с примерами решения против часовой стрелки на Единичная окружность - с примерами решения (полный оборот). Точка Единичная окружность - с примерами решения совпадет с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, а).

Единичная окружность - с примерами решения

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, б).

в) Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Так как Единичная окружность - с примерами решения то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 9).

Единичная окружность - с примерами решения

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности Единичная окружность - с примерами решения получим, что длина единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения равна Единичная окружность - с примерами решения

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки Единичная окружность - с примерами решения соответствующие углам поворота Единичная окружность - с примерами решения (четверть окружности), Единичная окружность - с примерами решения (половина окружности), Единичная окружность - с примерами решения (три четверти окружности), Единичная окружность - с примерами решения (вся окружность).

Числа Единичная окружность - с примерами решения – это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как Единичная окружность - с примерами решения радиан соответствует Единичная окружность - с примерами решения то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Единичная окружность - с примерами решения

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Чтобы выразить радианную меру угла Единичная окружность - с примерами решения в градусной, число Единичная окружность - с примерами решения умножить на Единичная окружность - с примерами решения

Например,

Единичная окружность - с примерами решения

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Построить на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 13).

Единичная окружность - с примерами решения

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка Единичная окружность - с примерами решения говорят, что в такой же четверти находится угол Единичная окружность - с примерами решения

Например, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в первой четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения и Единичная окружность - с примерами решения находятся во второй четверти, углы Единичная окружность - с примерами решения находятся в третьей четверти, а угол Единичная окружность - с примерами решения находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы Единичная окружность - с примерами решения соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Единичная окружность - с примерами решения Так какЕдиничная окружность - с примерами решения то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение.

а) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 15, а).

б) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, а).

в) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом по часовой стрелке точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

Единичная окружность - с примерами решения

г) Точку Единичная окружность - с примерами решения получаем поворотом против часовой стрелки точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

Единичная окружность - с примерами решения — единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то, для того чтобы получить точку Единичная окружность - с примерами решения нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 16, а).

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним один полный оборот и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат против часовой стрелки на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, а).

б) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним три полных оборота и еще поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат по часовой стрелке на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы Единичная окружность - с примерами решения для которых точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Единичная окружность - с примерами решенияТак как, например, Единичная окружность - с примерами решения и т. п., то точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают с точкой Единичная окружность - с примерами решения единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов Единичная окружность - с примерами решения для которых точки единичной окружности Единичная окружность - с примерами решения совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки Единичная окружность - с примерами решения на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом, Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Единичная окружность - с примерами решения

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол:

Единичная окружность - с примерами решения

Решение:

а) Так как Единичная окружность - с примерами решения то выполним поворот точки Единичная окружность - с примерами решения вокруг начала координат на угол Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, а).

б) Поскольку Единичная окружность - с примерами решения то точка Единичная окружность - с примерами решения совпадает с точкой Единичная окружность - с примерами решения (рис. 19, б).

Единичная окружность - с примерами решения

  • Определение синуса и косинуса произвольного угла
  • Определение тангенса и котангенса произвольного угла
  • Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
  • Функция y=sin x и её свойства и график
  • Раскрытие неопределенностей
  • Дробно-рациональные уравнения
  • Дробно-рациональные неравенства
  • Прогрессии в математике – арифметическая, геометрическая
Источник

Сегодня поговорим об единичной окружности 🧑‍🏫

 

Можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота?🤔

Ну, конечно, можно! Записывай и запоминай общую формулу для нахождения координат точки:

x=x0+r⋅cos δ

y=y0+r⋅sin δ

x0,y0 — координаты центра окружности;

r — радиус окружности;

δ —угол поворота радиуса вектора.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Источник

Задачу можно решать многими способами. Например. Рассмотрим векторы образованные центром O(ox,oy) и точками A(ax,ay), B(bx,by). Их сумма по правилу паралеллограмма даст нам направление для биссеткрисы угла
которая образована AOB. Уравнение биссектрисы будет известно.

Решаем пересечение этой прямой с окружностью и получаем искомый центр дуги.

Что в этой задаче плохо. В этой задаче – “ленивый” автор который не удосужился придумать названия для точек и заставил всех придумывать свои нелепые названия или писать словами.

Что еще плохо. В этой задаче на самом деле не одна а две дуги. Но мы каким-то образом должны догадаться что речь идет о малой дуге. Об этом – тоже надо сообщать. Это раздражает.

На будущее – оформляй задачи как в задачнике.

(x – a) ** 2 + (y – b) ** 2 = R ** 2
a, b координаты середины

вычислить можно. но сложная формула. наброски: находим уравнение окружности (как система двух уравнений, радиус знаем). далее соединяем красные точки – хорда, середина хорды – среднее арифметическое координат. далее проводим диаметр перпендикулярно хорде. уравнение этой прямой находим по точке и коэффициенту k. находим точку пересечения этой прямой и окружности.
угол вычислить проще. длина хорды и два радиуса – это равнобедренный треугольник. теорема косинусов

Знаете 2 точки дуги – знаете длину хорды. Дальше надо на листке нарисовать окружность, хорду и серидинный перпендикуляр. Нарисовать несколько прямоугольных треугольников и найти длину куска от центра хорды до искомой середины. Пусть центр O, исходные точки A,B а искомая точка – M. Середина хорды С. OM = R. OС^2+CB^2=R^2, CM = OM-OC.

Итого – длина искомого куска CM = R - sqrt(R^2-|AB|^2/4)

Для нахождения координат M надо взять середину отрезка AB и отложить от нее перпендикулярный AB вектор длины по формуле выше.

A – начало дуги, B – конец дуги, C – искомый центр.
длина AC = длина BC = R (известно);
длину AB вычисляем по теореме Пифагора;
таким образом, имеем длины всех сторон треугольника ABC;
по теореме синусов (и по сумме углов) вычисляем все углы треугольника;
зная угол A, как угол пересечения прямых AB и AC, зная координаты точки A, а также зная уравнение прямой AB, легко построить уравнение прямой AC; остаётся отмерить вектор длиной R вдоль этой прямой, чтобы получить координаты точки C.

Ещё один вариант – после вычисления всех углов перейти в полярную систему координат с центром A, сложить (с учётом знаков) угол A с коэффициентом наклона прямой AB и сразу получить полярные координаты точки C (ведь R известен); затем обратно перейти в декартову систему координат.

Источник

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

( displaystyle angle text{AOB}=angle text{BOC}=angle text{COD}=angle text{DOA}=90{}^circ )

Тогда чему равна их сумма?

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

( displaystyle angle Atext{OC}=angle text{AOB}+angle text{BOC}=180{}^circ )

Что еще можно вытянуть? А вот что:

( displaystyle angle Atext{OD}=angle text{AOB}+angle text{BOC}+angle text{COD}=270{}^circ )

Отметим эти значения также на нашей окружности:

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

  • Через градусы
  • Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

( displaystyle 180{}^circ =pi ~рад.)

И все, больше знать ничего не надо!

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

  • Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
  • Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
  •  Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы; 
  •  Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы; 
  •  Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы; 
  •  Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы; 
  • Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

  • ( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
  • ( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ ) ( displaystyle 30{}^circ ) ( displaystyle 45{}^circ ) ( displaystyle 60{}^circ ) ( displaystyle 90{}^circ ) ( displaystyle 120{}^circ ) ( displaystyle 135{}^circ ) ( displaystyle 150{}^circ ) ( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0) ( displaystyle frac{pi }{6}) ( displaystyle frac{pi }{4}) ( displaystyle frac{pi }{3}) ( displaystyle frac{pi }{2}) ( displaystyle frac{2pi }{3}) ( displaystyle frac{3pi }{4}) ( displaystyle frac{5pi }{6}) ( displaystyle pi )
( displaystyle 210{}^circ ) ( displaystyle 225{}^circ ) ( displaystyle 240{}^circ ) ( displaystyle 270{}^circ ) ( displaystyle 300{}^circ ) ( displaystyle 315{}^circ ) ( displaystyle 330{}^circ ) ( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6}) ( displaystyle frac{5pi }{4}) ( displaystyle frac{4pi }{3}) ( displaystyle frac{3pi }{2}) ( displaystyle frac{5pi }{3}) ( displaystyle frac{7pi }{4}) ( displaystyle frac{11pi }{6}) ( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

  • ( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
  • ( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

  • ( y=sin alpha )
  • ( x=cos alpha )

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

  • Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
  • Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
  •  Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла; 
  • Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

( sin 30{}^circ =0,5)

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1) или, что то же самое,

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот.

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

( frac{1}{4}+co{{s}^{2}}30{}^circ =1)

( displaystyle co{{s}^{2}}30{}^circ =frac{3}{4})

( displaystyle cos 30{}^circ =pm sqrt{frac{3}{4}}=pm frac{sqrt{3}}{2})

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60{}^circ ) и ( displaystyle 45{}^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60{}^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60{}^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30{}^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

( displaystyle sin 30{}^circ =cos 60{}^circ )

( displaystyle sin 60{}^circ =cos 30{}^circ )

Тогда так как ( displaystyle sin 30{}^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60{}^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}), то и ( displaystyle sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ +co{{s}^{2}}45{}^circ =2si{{n}^{2}}45{}^circ =1)

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ =co{{s}^{2}}45{}^circ =1/2)

Откуда: ( displaystyle sin 45{}^circ =cos 45{}^circ =sqrt{1/2}=frac{sqrt{2}}{2})

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0{}^circ =0), ( displaystyle cos 0{}^circ =1), ( displaystyle sin 90{}^circ =1), ( displaystyle cos 90{}^circ =0).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text{t}g alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }), ( displaystyle ctg alpha =frac{cos alpha }{sin alpha })

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

( displaystyle ctg 0=frac{cos 0}{sin 0}=frac{1}{0}=?????)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

  • Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
  • Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

…вот такой:

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

  • ( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
  • ( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
  • ( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
  • ( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

В целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}), 

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Тогда если ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=text{x}),

то и ( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{x})

( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{cos} text{ }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{tg }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{ctg} text{ }!!alpha!!text{ })

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

( displaystyle sinleft( -x right)=-sin x)
( displaystyle tgleft( -x right)=-tgleft( x right))
( displaystyle cosleft( -x right)=cosleft( x right))

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Например:

( displaystyle sinleft( -855{}^circ right)=-sin855{}^circ),

( displaystyle cosleft( -855{}^circ right)=cos855{}^circ).

Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: ( displaystyle 2pi k) (по ( displaystyle 360) градусов), а для тангенса – ( displaystyle pi k) (( displaystyle 180) градусов). 

Например:

( displaystyle sin 855{}^circ =sinleft( 2cdot 360{}^circ +135{}^circ right)=sin 135{}^circ )( displaystyle tg 225{}^circ =tgleft( 180{}^circ +45{}^circ right)=tg 45{}^circ )

Если оставшийся «уголок» меньше ( displaystyle 90) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

  • ( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
  • ( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
  • ( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
  • ( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
  • ( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
  • ( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

…так, чтобы оставшийся угол ( displaystyle beta ) был больше нуля и меньше ( displaystyle 90) градусов.

Например:

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. 

Если же ты выбрал запись через ( displaystyle 90) или ( displaystyle 270) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Источник

Добавить комментарий