Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов.
Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
и расширенная теорема синусов:
Доказательства[править | править код]
Доказательство обычной теоремы синусов[править | править код]
Воспользуемся только определением высоты 
треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:
. Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎
Доказательство расширенной теоремы синусов[править | править код]
Доказательство через формулы нахождения площади треугольника
Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника 
и 
∎
Вариации и обобщения[править | править код]
В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
В симплексе
где 
— угол между гранями 
и 
; 
— общая грань и ; 
— объём симплекса.
История[править | править код]
- В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
- Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
- Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].
Вариации и обобщения[править | править код]
- Теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
- Формулы Мольвейде
Примечания[править | править код]
- ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics (англ.). — 5th edition. — 1991. — P. 47.
- ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
- ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine & D’Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602
- ↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Дата обращения: 24 августа 2011. Архивировано 29 мая 2016 года.
Таблица синусов, найти угол синуса
Тригонометрические функции: синус угла
Зачем надо знать значение синуса? Представим ситуацию: известен один из углов (А=60⁰), вписанный в прямоугольный треугольник, и длина гипотенузы. Больше нет никакой информации. Надо узнать вычислить дальний к углу (А) катет. Как поступить?
Ситуация очень простая: смотрим таблицы Брадиса, находим значение sin(60⁰)=0,866, подставляем данные в формулу тригонометрической функции и решаем линейное уравнение. Из школьного курса известно, что sin угла – это отношение дальнего к углу, в данном случае А=60⁰, катета к гипотенузе.
Произвести все расчеты проще, если воспользоваться онлайн калькулятором на сайте. Таким образом можно вычислить длину любой из сторон прямоугольного треугольника. Знаем угол – значит, знаем sin этого угла. И наоборот, знаем sin – найти угол не составит проблемы.
Таблица синусов 0°- 360°
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
На странице содержится информация о теореме синусов, калькулятор, с помощью которого можно найти стороны и угол треугольника, а также формула теоремы синусов.
Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость между сторонами треугольника и величиной противолежащих им углов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Кроме того теорему синусов можно записать в расширенной форме. В этом случае в нее добавляется значение радиуса описанной окружности треугольника.
Формула теоремы синусов
{dfrac{a}{sin alpha} = dfrac{b}{sin beta} = dfrac{c}{sin gamma} = 2R}
a, b, c – стороны треугольника,
α, β, γ – углы треугольника.
R – радиус описанной около треугольника окружности.
Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
asinA=bsinB=csinC
(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).
Теорема синусов используется для вычисления:
-
неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
-
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения
sin180°−α=sinα
.
Наиболее часто используемые тупые углы:
sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.
Радиус описанной окружности
, где (R) — радиус описанной окружности.
Выразив радиус, получаем
R=a2sinA
, или
R=b2sinB
, или
R=c2sinC
.
Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).
Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:
Теорема косинусов используется для вычисления:
-
неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
-
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.
Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения
cos180°−α=−cosα
.
Наиболее часто используемые тупые углы:
cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22.
Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.
Источники:
Рис. 1-3. Треугольник, окружность, © ЯКласс.
|
Как найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса,котангенса? например есть значение sin a=0,3452 какой угол этому соответствует?
Функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), называются тригонометрическими. Они выражают зависимости длин сторон от углов треугольника при гипотенузе. Определяются отношением какой-либо из сторон треугольника к другой. То есть, показывают, насколько одна сторона больше другой. Это отношение может быть характерно только для строго определенного угла. Выражаются тригонометрические функции в безразмерных единицах. Если известно значение какой-либо тригонометрической функции (в данном случае, синуса – sin), а требуется найти соответствующий ему угол в градусах, то нужно:
Определение значения arcsin угла (в радианах) и значения в градусах – с помощью функций Excel Итак, ответ получен: Синусу угла альфа со значением 0,3452 соответствует угол 20,194 градуса. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
RIOLIt 6 лет назад Данному значению синуса соответствует угол- немногим более 20 градусов, это- по таблице, а если есть значение гипотенузы, то- по отношению- можно найти катет и другие элементы треугольника и- возможно- все улы, здесь- главное- зацепка- кончик ниточки, чтобы размотать весь клубочек,( а имея в хозяйстве инженерный калькулятор, можно сразу- по функции найти угол с точностью до н- ого знака после запятой…)
Можно без компьютера, без калькулятора, без таблиц Брадиса найти этот угол. Для этого нужен такой инструмент, как транспортир. Можно воспользоваться угломером. Если есть чертежный прибор, который еще называют кульман, то и им. Но сначала высисляют катет и гипотенузу. Чем больше длина, тем точгее. Допустим, гипотенуза 100 мм, тогда противолежащий катет будет равен 100*0,3452=34,52мм. Берем клетчатую бумагу, по вертикали откладываем 35 мм от горизонтальной линии вверх. Из верхней точки циркулем с разведенными ножками на 100 мм делаем засечку на глризонтальной линии. Соединяем три точки линиями и измеряем угол. Если честно, то в повседневной жизни не припомню, чтобы приходилось определять углы по синусу или тагенсу. Вот строить углы приходится постоянно. Например, нужно обрезать плинтуса под углом 45 градусов. Никакой транспортир или угломер не нужен. На заводе плинтус обрезан под прямым углом, тогда просто отмеряешь два одинаковых катета и проводишь гипотенузу, угол получантся сам собой. Так же легко строить углы 30 и 60 градусов, так как гипотенуза равна двум противолежащим катетам. Еще углы можно измерять смартфоном илитпланшетом, если в нем установлено приложение по измерению углов, очень удобная штука, не надо покупать строительный уровень.
bezdelnik 6 лет назад Найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса можно по таблицам Брадиса, на логарифмической линейке или на калькуляторе. Если sin a=0,3452, то a=20,194… градуса. Можно найти приближенное значение тригонометрических функций по их графикам, для синуса и косинуса это графики синусоиды и косинусоиды. Найдя значения синуса и косинуса значения тангенса и котангенса можно вычислить по формулам tg a = Sin a /Cos a, ctg a = Cos a/Sin a
DartFallen 6 лет назад Я открою Вам одну старую и великую тайну! Все эти величины давно вычислены и сведены в таблицу. Носит она название таблицы Браддиса. Когда я учился в старших классах у каждого ученика была желтенькая такая брошюрка, в которой и представлены многие данные и не только для градусной меры углов. Величины эти постоянные и периодического пересчета не требуют. Вот как-то так…
Blockphild 8 месяцев назад Зачем так все сложно и это в век компьютеров? Иди сюда -> https://allcalc.ru/node/1039 вставляй величины катетов и гипотенуз –> жми на кнопку -> ВЫЧИСЛИТЬ и вот тебе результат в градусах и радианах. Недостаток: нужно иметь интернет Не надо никаких там EXCEL, таблиц Брадисов и прочей ерунды, мы в 21 веке живем, все делается очень быстро. Успехов!
bezdelnik 5 лет назад Для некоторых значений тригонометрических функций соответствующие углы общеизвестны из учебников по математике. Например,для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ,соответственно, а косинус такие же значения в обратном порядке. Это должны знать все получившие среднее школьное образование. Знаете ответ? |
Смотрите также: В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=10, АС=√51. Как найти sin A? Как вычислить площадь параллелограма по формуле S=a·b·sin A с след.данными? В треугольнике ABC угол C = 90°, sin A = 4/5, AC=9. Найти AB. Как решить? Как доказать теорему о равенстве синусов острых углов? Как построить угол, если известен синус? Если синус X равен 1, чему равен косинус X(см)? Как найти котангенс, тангенс, синус, косинус? Как выучить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса разных углов? Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс? Как записать две различные функции для синуса и косинуса? |
