Тригонометрическая форма комплексных чисел
29 ноября 2021
Второй урок по комплексным числам. Если вы только начинаете изучать эту тему (что такое комплексная единица, модуль, сопряжённые), см. первый урок: «Что такое комплексное число».
Сегодня мы узнаем:
- Что такое тригонометрическая форма
- Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
- Формула Муавра (возведение в степень)
- Дополнение 1. Геометрический подход, чтобы не путать, где синус, а где косинус
- Дополнение 2. Как быстро и надёжно искать аргумент комплексного числа?
Начнём с ключевого определения.
1. Тригонометрическая форма
Определение. Тригонометрическая форма комплексного числа — это выражение вида
[z=left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right)]
где $left| z right|$ — модуль комплексного числа, $text{ }!!varphi!!text{ }$ — некоторый угол, который называется аргумент комплексного числа (пишут $text{ }!!varphi!!text{ }=arg left( z right)$).
Любое число $z=a+bi$, отличное от нуля, можно записать с тригонометрической форме. Для этого нужно вычислить модуль и аргумент. Например:
Записать в тригонометрической форме число $z=sqrt{3}+i$.
Переписываем исходное число в виде $z=sqrt{3}+1cdot i$ и считаем модуль:
[left| z right|=sqrt{{{left( sqrt{3} right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=2]
Выносим модуль за скобки:
[z=sqrt{3}+1cdot i=2cdot left( frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}cdot i right)]
Вспоминаем тригонометрию, 10-й класс:
[frac{sqrt{3}}{2}=cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6};quad frac{1}{2}=sin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}]
Окончательный ответ:
[z=2cdot left( cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}+icdot sin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6} right)]
Понятно, что вместо $frac{text{ }!!pi!!text{ }}{6}$ с тем же успехом можно взять аргумент $frac{13text{ }!!pi!!text{ }}{6}$. Синус и косинус не поменяется. Главное — выбрать такой аргумент, чтобы в тригонометрической форме не осталось никаких минусов. Все минусы должны уйти внутрь синуса и косинуса. Сравните:
Записать в тригонометрической форме число $z=-1-i$.
Правильно:
[z=sqrt{2}cdot left( cos frac{5text{ }!!pi!!text{ }}{4}+isin frac{5text{ }!!pi!!text{ }}{4} right)]
Неправильно:
[begin{align} & z=-sqrt{2}cdot left( cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}+isin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ & z=sqrt{2}cdot left( -cos frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4}-isin frac{text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ & z=sqrt{2}cdot left( cos frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4}-isin frac{3text{ }!!pi!!text{ }}{4} right) \ end{align}]
2. Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.
Теорема. Пусть даны два комплексных числа:
[begin{align} & {{z}_{1}}=left| {{z}_{1}} right|cdot left( cos alpha +isin alpha right) \ & {{z}_{2}}=left| {{z}_{2}} right|cdot left( cos beta +isin beta right) \ end{align}]
Тогда их произведение равно
[{{z}_{1}}cdot {{z}_{2}}=left| {{z}_{1}} right|cdot left| {{z}_{2}} right|cdot left( cos left( alpha +beta right)+isin left( alpha +beta right) right)]
А если ещё и $left| {{z}_{2}} right|ne 0$, то их частное равно
[frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=frac{left| {{z}_{1}} right|}{left| {{z}_{2}} right|}cdot left( cos left( alpha -beta right)+isin left( alpha -beta right) right)]
Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!
Найти произведение и частное двух комплексных чисел:
[begin{align} & {{z}_{1}}=2cdot left( cos frac{pi }{3}+isin frac{pi }{3} right) \ & {{z}_{2}}=5cdot left( cos frac{pi }{6}+isin frac{pi }{6} right) \ end{align}]
Считаем произведение:
[begin{align} {{z}_{1}}cdot {{z}_{2}} & =2cdot 5cdot left( cos left( frac{pi }{3}+frac{pi }{6} right)+isin left( frac{pi }{3}+frac{pi }{6} right) right)= \ & =10cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right) \ end{align}]
Считаем частное:
[begin{align} frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} & =frac{2}{5}cdot left( cos left( frac{pi }{3}-frac{pi }{6} right)+isin left( frac{pi }{3}-frac{pi }{6} right) right)= \ & =0,4cdot left( cos frac{pi }{6}+isin frac{pi }{6} right) \ end{align}]
По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)
3. Формула Муавра
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:
[z=left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right)]
Возведём его в квадрат, умножив на само себя:
[begin{align} {{z}^{2}} & =zcdot z = \ & =left| z right|left| z right|cdot left( cos left( text{ }!!varphi!!text{ + }!!varphi!!text{ } right)+isin left( text{ }!!varphi!!text{ + }!!varphi!!text{ } right) right)= \ & ={{left| z right|}^{2}}cdot left( cos 2text{ }!!varphi!!text{ }+isin 2text{ }!!varphi!!text{ } right) \ end{align}]
Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:
[{{z}^{3}}={{left| z right|}^{3}}cdot left( cos 3varphi +isin 3varphi right)]
Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.
Формула Муавра. При возведении всякого комплексного числа
[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]
в степень $nin mathbb{N}$ получим
[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left( cos left( nvarphi right)+isin left( nvarphi right) right)]
Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $nin mathbb{R}$, а не только натуральном. Но об этом позже. Сейчас примеры:
Вычислить:
[{{left( sqrt{3}-i right)}^{16}}]
Представим первое число в тригонометрической форме:
[begin{align} sqrt{3}-i & = 2cdot left( frac{sqrt{3}}{2}+icdot left( -frac{1}{2} right) right)= \ & =2cdot left( cos left( -frac{pi }{6} right)+isin left( -frac{pi }{6} right) right) \ end{align}]
По формуле Муавра:
[begin{align} & {{left( 2cdot left( cos frac{11pi }{6}+isin frac{11pi }{6} right) right)}^{16}}= \ & ={{2}^{16}}cdot left( cos frac{88pi }{3}+isin frac{88pi }{3} right)= \ & ={{2}^{16}}cdot left( cos frac{4pi }{3}+isin frac{4pi }{3} right) \ end{align}]
Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.
Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:
Вычислить:
[{{left( left( -frac{sqrt{2}}{2} right)+left( -frac{sqrt{2}}{2} right)i right)}^{2022}}]
Теперь второе число запишем в комплексной форме:
[begin{align} & left( -frac{sqrt{2}}{2} right)+left( -frac{sqrt{2}}{2} right)i= \ & =1cdot left( cos frac{5pi }{4}+isin frac{5pi }{4} right) \ end{align}]
По формуле Муавра:
[begin{align} & {{left( 1cdot left( cos frac{5pi }{4}+isin frac{5pi }{4} right) right)}^{2022}}= \ & ={{1}^{2022}}cdot left( cos frac{5055pi }{2}+isin frac{5055pi }{2} right)= \ & =1cdot left( cos frac{3pi }{2}+isin frac{3pi }{2} right)=-i \ end{align}]
Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.
4. Дополнение 1. Геометрический подход
Многие путают местами косинус и синус. Почему комплексная единица стоит именно у синуса? Вспомним, что есть декартова система координат, где точки задаются отступами по осям $x$ и $y$:
А есть полярная система координат, где точки задаются поворотом на угол $varphi $ и расстоянием до центра $r$:
А теперь объединим эти картинки и попробуем перейти из декартовой системы координат в полярную:
Комплексное число $z=a+bi$ задаёт на плоскости точку $C$, удалённую от начала координат на расстояние
[AC=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=left| z right|]
Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $angle BAC=varphi $. Тогда:
[begin{align} & AB=ACcdot cos varphi =left| z right|cdot cos varphi \ & BC=ACcdot sin varphi =left| z right|cdot sin varphi \ end{align}]
С другой стороны, длины катетов $AB$ и $BC$ — это те самые отступы $a$ и $b$, с помощью которых мы задаём комплексное число. Поэтому:
[begin{align} a+bi & =left| z right|cos varphi +icdot left| z right|sin varphi = \ & =left| z right|left( cos varphi +isin varphi right) \ end{align}]
Итак, мы перешли от пары $left( a;b right)$ к паре $left( left| z right|;varphi right)$, где $left| z right|$ — модуль комплексного числа, $varphi $ — его аргумент (проще говоря, угол поворота).
Важное замечание. А кто сказал, что такой угол $varphi $ существует? Возьмём число $z=a+bi$ и вынесем модуль за скобку:
[begin{align} z & =a+bi= \ & =sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}cdot left( frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}+icdot frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)= \ & =left| z right|cdot left( cos text{ }!!varphi!!text{ }+isin text{ }!!varphi!!text{ } right) \ end{align}]
Осталось подобрать такой угол $varphi $, чтобы выполнялось два равенства:
[begin{align} & frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=cos text{ }!!varphi!!text{ } \ & frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=sin text{ }!!varphi!!text{ } \ end{align}]
Такой угол обязательно найдётся, поскольку выполняется основное тригонометрическое тождество:
[begin{align} {{sin }^{2}}text{ }!!varphi!!text{ } & +{{cos }^{2}}text{ }!!varphi!!text{ }= \ & ={{left( frac{a}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=1 \ end{align}]
На практике основная трудность заключается именно в поиске подходящего аргумента.
5. Дополнение 2. Как найти аргумент?
В учебниках пишут много разной дичи, типа вот этой:
Формула правильная, но пользы от неё — ноль. Запомнить сложно, а применять и вовсе невозможно. Мы пойдём другим путём.
5.1. Точки на координатных осях
Для начала рассмотрим точки, лежащие осях координат.
Тут всё очевидно:
- На положительной полуоси абсцисс $varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
- На отрицательной — $varphi =pi $ (синяя точка $B$).
- На положительной полуоси ординат $varphi =frac{pi }{2}$ (зелёная точка $B$).
- На отрицательной — $varphi =frac{3pi }{2}$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $varphi =-frac{pi }{2}$ — результат будет тем же самым.:)
5.2. Точки с арктангенсом
А если точки не лежат на осях, то в записи комплексного числа $a+bi$ числа $ane 0$ и $bne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол
[{{varphi }_{1}}=operatorname{arctg}left| frac{b}{a} right|]
Очевидно, это острый угол:
[0 lt operatorname{arctg}left| frac{a}{b} right| lt frac{pi }{2}]
Зная знаки чисел $a$ и $b$, мы немедленно определим координатную четверть, в которой располагается искомая точка. И нам останется лишь отложить вспомогательный угол ${{varphi }_{1}}$ от горизонтальной оси в эту четверть.
В правой полуплоскости мы откладываем от «нулевого» луча:
Точка $Aleft( 3;4 right)$ удалена от начала координат на расстояние 5:
[begin{align} 3+4i & =5cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =operatorname{arctg}frac{4}{3} end{align}]
Для точки $Bleft( 6;-6 right)$ арктангенс оказался табличным:
[6-6i=6sqrt{2}cdot left( cos left( -frac{pi }{4} right)+isin left( -frac{pi }{4} right) right)]
В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $pi $:
Итого для точки $Cleft( -2;5 right)$ имеем:
[begin{align} -2+5i & =sqrt{29}cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =pi -operatorname{arctg}frac{5}{2} end{align}]
И, наконец, для точки $Dleft( -5;-3 right)$:
[begin{align} -5-3i & =sqrt{34}cdot left( cos varphi +isin varphi right) \ varphi & =pi +operatorname{arctg}frac{3}{5} end{align}]
Звучит просто, выглядит красиво, работает идеально! Но требует небольшой практики. Пробуйте, тренируйтесь и берите на вооружение.
А в следующем уроке мы научимся извлекать корни из комплексных чисел.:)
Смотрите также:
- Как извлекать корни из комплексных чисел
- Комплексные числа — первый и самый важный уок
- Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
- Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
- Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
- Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла
Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах
Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе (рис. 1.3,a).
Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол может принимать бесчисленное множество значений (при этом ): если точке соответствует некоторое значение , то ей также соответствуют значения . Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .
Используя связь декартовых и полярных координат точки (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму:
(1.3)
Показательная форма комплексного числа
Если обозначить комплексное число , у которого , а , через , то есть , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:
(1.4)
Равенство называется формулой Эйлера.
Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , то есть , а направление — под углом к оси (рис. 1.3,б).
Модуль комплексного числа
Число — длина радиуса-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .
Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме
(1.5)
Очевидно, что и только для числа .
С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и
А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .
Таким образом, число есть расстояние между точками и на комплексной плоскости.
Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:
Решение
Аргумент комплексного числа
Полярный угол точки называется аргументом комплексного числа . Обозначение: .
В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под будем понимать значение , удовлетворяющее условию . Так, для точки (см. рис. 1.1) .
Формулу для нахождения аргумента комплексного числа , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для , у которых , имеем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для , у которых , соответственно .
Аргумент числа — величина неопределенная.
Нахождение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , т.е. когда — число действительное, имеем при и при . При решение уравнения зависит от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка , определяется по знакам и . В результате получаем:
(1.6)
При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.
Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.
Решение
Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа .
Решение. Находим . Так как , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства получаем (рис. 1.5).
Главное значение аргумента комплексного числа
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций и .
Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается и записывается равенством:
(1.7)
где — главное значение аргумента, .
Пример 1.16. Записать и для чисел .
Решение. Числа и — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому
числа и — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому
Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:
а) в тригонометрической форме;
б) в показательной форме.
Решение
Модули всех чисел, очевидно, равны 1. Поэтому, используя решение предыдущего примера и формулы (1.3) и (1.4), получаем:
а)
б) .
Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа .
Решение
Числа и записаны в алгебраической форме (заметим, что заданная запись числа не является тригонометрической формой записи (сравните с (1.3)). Находим модули чисел по формуле (1.5):
Далее находим аргументы. Для числа имеем и, так как (точка расположена в третьей четверти), получаем (см. рис. 1.5). Для числа имеем , или , и, так как (точка расположена в четвертой четверти (см. рис. 1.5)), получаем .
Записываем числа и в тригонометрической форме
Заметим, что для числа решение можно найти иначе, а именно используя свойства тригонометрических функций: .
Число является произведением двух чисел. Выполнив умножение, получим алгебраическую форму записи (найдем и ): . Здесь, как и для числа , при решении удобно использовать преобразования тригонометрических выражений, а именно .
Рассуждая, как выше, найдем . Для числа , записанного в алгебраической форме, получаем тригонометрическую форму:
Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме
Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел из условия . очевидно, следует:
или
(1.8)
Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное .
Для пары сопряженных комплексных чисел и справедливы следующие равенства:
(1.9)
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:
или
Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .
Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:
(1.10)
В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.
Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:
Решение
Каждое из заданных чисел записано в виде произведения. Найдем модули и аргументы сомножителей и воспользуемся правилом (1.10) умножения чисел, заданных в тригонометрической форме:
Для чисел и находим модули и аргументы: . Используя формулы (1.10), получаем
б) . Для числа имеем: ; для числа , и так как (точка расположена в четвертой четверти), то . Используя формулы (1.10), получаем .
Заметим, что для решения этой задачи можно раскрыть скобки, записать каждое число в алгебраической форме, а затем найти и , используя формулы (1.5), (1.6).
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем .
Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:
(1.11)
В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.
Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число .
Решение. Обозначим . Для чисел и находим модули и аргументы: (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем и
Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме
Из определения степени и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем
, где .
Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:
(1.12)
Записывая число в тригонометрической форме , получаем формулу возведения в степень:
(1.13)
При это равенство принимает вид и называется формула Муавра
(1.14)
Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа .
Решение. Обозначим . Находим модуль и аргумент числа . Поэтому и . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие , то .
Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число .
Решение
Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для и через тригонометрические функции угла .
Решение
Из формулы (1.14) при имеем . Возведем левую часть в степень, учитывая, что (см. пример 1.8):
Используя условие равенства комплексных чисел, получаем:
Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме
Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме , или . Искомое число также запишем в показательной форме: . Используя определение операции извлечения корня и условия (1.8), получаем соотношения
или
(1.15)
Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент разделить на показатель корня:
(1.16)
Теперь можно записать число в показательной форме:
Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где :
(1.17)
Замечания 1.1
1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, .
Для решения уравнения нужно найти значений , а для этого необходимо найти и использовать формулу извлечения корня.
2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на , так как , т.е. каждое последующее значение может быть получено из предыдущего поворотом радиуса-вектора точки на .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.
Точки, соответствующие значениям , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой , причем аргумент одного из значений равен (рис. 1.7).
Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0
1. Найти модуль и аргумент числа .
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении .
3. Выписать значения корней уравнения , придавая значения .
Пример 1.24. Решить уравнения: a) ; б) .
Решение
Задача равносильна задаче нахождения всех значений корня из комплексного числа. Решаем в каждом случае по алгоритму.
а) Найдем .
1. Определим модуль и аргумент числа .
2. При полученных значениях и записываем формулу (1.17):
Заметим, что справа стоит — арифметический корень, его единственное значение равно 1.
3. Придавая последовательно значения от 0 до 5, выписываем решения уравнения:
Геометрически соответствующие точки расположены в вершинах правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса , одна из точек (соответствует ) . Строим шестиугольник (рис. 1.8,в). Отметим свойства корней этого уравнения с действительными коэффициентами — его комплексные корни являются попарно сопряженными: и — действительные числа.
б) Найдем .
1. Определим модуль и аргумент числа .
2. По формуле (1.17) имеем
3. Выписываем корни .
Для геометрического представления решения уравнения достаточно изобразить одно значение, например (при ) — это точка окружности , лежащая на луче . После этого строим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 1.8,б).
Пример 1.25. Найти корень уравнения , для которого .
Решение
Задача равносильна задаче нахождения при условие .
1. Находим модуль и аргумент числа .
2. По формуле (1.17) имеем: .
3. Для нахождения искомого решения нет необходимости выписывать все значения корня. Нужно выбрать значение , при котором выполняется условие (соответствующая точка — точка второй четверти). Удобно при этом использовать чертеж (рис. 1.9).
Условию поставленной задачи удовлетворяет корень (при ): .
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
В
данном параграфе больше речь пойдет о
тригонометрической форме комплексного
числа. Показательная форма в практических
заданиях встречается значительно реже.
Рекомендую закачать и по возможности
распечатать тригонометрические
таблицы,
методический материал можно найти на
странице Математические
формулы и таблицы.
Без таблиц далеко не уехать.
Любое
комплексное число (кроме нуля)
можно
записать в тригонометрической форме:
,
где
–
это модуль
комплексного числа,
а
– аргумент
комплексного числа.
Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.
Изобразим
на комплексной плоскости число
.
Для определённости и простоты объяснений
расположим его в первой координатной
четверти, т.е. считаем, что
:
Модулем
комплексного числа
называется
расстояние от начала координат до
соответствующей точки комплексной
плоскости. Попросту говоря, модуль
– это длинарадиус-вектора,
который на чертеже обозначен красным
цветом.
Модуль
комплексного числа
стандартно
обозначают:
или
По
теореме Пифагора легко вывести формулу
для нахождения модуля комплексного
числа:
.
Данная формула справедлива для
любых значений
«а» и «бэ».
Аргументом
комплексного
числа
называется угол
между положительной
полуосьюдействительной
оси
и
радиус-вектором, проведенным из начала
координат к соответствующей точке.
Аргумент не определён для единственного
числа:
.
Аргумент
комплексного числа
стандартно
обозначают:
или
Из
геометрических соображений получается
следующая формула для нахождения
аргумента:
. Внимание! Данная
формула работает только в правой
полуплоскости! Если комплексное число
располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной
четверти, то формула будет немного
другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но
сначала рассмотрим простейшие примеры,
когда комплексные числа располагаются
на координатных осях.
Пример
7
Представить
в тригонометрической форме комплексные
числа:
,
,
,
.
Выполним
чертёж:
На
самом деле задание устное. Для наглядности
перепишу тригонометрическую форму
комплексного числа:
Запомним
намертво, модуль – длина (которая
всегда неотрицательна),
аргумент – угол.
1)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что
.
Формальный расчет по формуле:
.
Очевидно,
что
(число
лежит непосредственно на действительной
положительной полуоси). Таким образом,
число в тригонометрической форме:
.
Ясно,
как день, обратное проверочное действие:
2)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что
.
Формальный расчет по формуле:
.
Очевидно,
что
(или
90 градусов). На чертеже угол обозначен
красным цветом. Таким образом, число в
тригонометрической форме:
.
Используя таблицу
значений тригонометрических функций,
легко обратно получить алгебраическую
форму числа (заодно выполнив проверку):
3)
Представим в тригонометрической форме
число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что
.
Формальный расчет по формуле:
.
Очевидно,
что
(или
180 градусов). На чертеже угол обозначен
синим цветом. Таким образом, число в
тригонометрической форме:
.
Проверка:
4)
И четвёртый интересный случай. Представим
в тригонометрической форме число
.
Найдем его модуль и аргумент. Очевидно,
что
.
Формальный расчет по формуле:
.
Аргумент
можно записать двумя способами: Первый
способ:
(270
градусов), и, соответственно:
.
Проверка:
Однако
более стандартно следующее правило: Если
угол больше 180 градусов,
то его записывают со знаком минус и
противоположной ориентацией («прокруткой»)
угла:
(минус
90 градусов), на чертеже угол отмечен
зеленым цветом. Легко заметить, что
и
–
это один и тот же угол.
Таким
образом, запись принимает вид:
Внимание! Ни
в коем случае нельзя использовать
четность косинуса, нечетность синуса
и проводить дальнейшее «упрощение»
записи:
Кстати,
полезно вспомнить внешний вид и свойства
тригонометрических и обратных
тригонометрических функций, справочные
материалы находятся в последних
параграфах страницы Графики
и свойства основных элементарных
функций.
И комплексные числа усвоятся заметно
легче!
В
оформлении простейших примеров так и
следует записывать:
«очевидно, что модуль равен… очевидно,
что аргумент равен…».
Это действительно очевидно и легко
решается устно.
Перейдем
к рассмотрению более распространенных
случаев. Как я уже отмечал, с модулем
проблем не возникает, всегда следует
использовать формулу
.
А вот формулы для нахождения аргумента
будут разными, это зависит от того, в
какой координатной четверти лежит
число
.
При этом возможны три варианта (их
полезно переписать к себе в тетрадь):
1)
Если
(1-ая
и 4-ая координатные четверти, или правая
полуплоскость), то аргумент нужно
находить по формуле
.
2)
Если
(2-ая
координатная четверть), то аргумент
нужно находить по формуле
.
3)
Если
(3-я
координатная четверть), то аргумент
нужно находить по формуле
.
Пример
8
Представить
в тригонометрической форме комплексные
числа:
,
,
,
.
Коль
скоро есть готовые формулы, то чертеж
выполнять не обязательно. Но есть один
момент: когда вам предложено задание
представить число в тригонометрической
форме, точертёж
лучше в любом случае выполнить.
Дело в том, что решение без чертежа часто
бракуют преподаватели, отсутствие
чертежа – серьёзное основание для
минуса и незачета.
Эх,
сто лет от руки ничего не чертил,
держите:
Как
всегда, грязновато получилось =)
Я
представлю в комплексной форме
числа
и
,
первое и третье числа будут для
самостоятельного решения.
Представим
в тригонометрической форме число
.
Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку
(случай
2), то
–
вот здесь нечетностью арктангенса
воспользоваться нужно. К сожалению, в
таблице отсутствует значение
,
поэтому в подобных случаях аргумент
приходится оставлять в громоздком
виде:
–
число
в
тригонометрической форме.
Расскажу
о забавном способе проверки. Если вы
будете выполнять чертеж на клетчатой
бумаге в том масштабе, который у меня
(1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и
измерить модуль в сантиметрах. Если
есть транспортир, то можно непосредственно
по чертежу измерить и угол.
Перечертите
чертеж в тетрадь и измерьте линейкой
расстояние от начала координат до
числа
.
Вы убедитесь, что действительно
.
Также транспортиром можете измерить
угол и убедиться, что действительно
.
Представим
в тригонометрической форме число
.
Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку
(случай
1), то
(минус
60 градусов).
Таким
образом:
–
число
в
тригонометрической форме.
А
вот здесь, как уже отмечалось, минусы не
трогаем.
Кроме
забавного графического метода проверки,
существует и проверка аналитическая,
которая уже проводилась в Примере 7.
Используем таблицу
значений тригонометрических функций,
при этом учитываем, что угол
–
это в точности табличный угол
(или
300 градусов):
–
число
в
исходной алгебраической форме.
Числа
и
представьте
в тригонометрической форме самостоятельно.
Краткое решение и ответ в конце урока.
В
конце параграфа кратко о показательной
форме комплексного числа.
Любое
комплексное число (кроме нуля)
можно
записать в показательной форме:
,
где
–
это модуль комплексного числа, а
–
аргумент комплексного числа.
Что
нужно сделать, чтобы представить
комплексное число в показательной
форме? Почти то же самое: выполнить
чертеж, найти модуль и аргумент. И
записать число в виде
.
Например,
для числа
предыдущего
примера у нас найден модуль и аргумент:
,
.
Тогда данное число в показательной
форме запишется следующим образом:
.
Число
в
показательной форме будет выглядеть
так:
Число
–
так:
И
т.д.
Единственный
совет – не
трогаем показатель экспоненты,
там не нужно переставлять множители,
раскрывать скобки и т.п. Комплексное
число в показательной форме
записывается строго по
форме
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание
Комплексные числа
Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ mathbb N_{} $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ mathbb N_{} $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ mathbb Z_{} $
целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ mathbb Z_{} $ дробными числами до множества $ mathbb Q_{} $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения
$ acdot x=b $ если только $ a_{}ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ mathbb Q_{} $ не
имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ mathbb R_{} $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.
Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.
Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:
1.
$ {mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2={mathfrak a}_2+{mathfrak a}_1 $;
2.
$ ({mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2)+{mathfrak a}_3={mathfrak a}_1+({mathfrak a}_2
+{mathfrak a}_3) $;
3.
$ {mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_2={mathfrak a}_2cdot {mathfrak a}_1 $;
4.
$ ({mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_2)cdot {mathfrak a}_3={mathfrak a}_1cdot ({mathfrak a}_2cdot
{mathfrak a}_3) $;
5.
$ ({mathfrak a}_1+{mathfrak a}_2)cdot {mathfrak a}_3={mathfrak a}_1cdot {mathfrak a}_3+
{mathfrak a}_2cdot {mathfrak a}_3 $;
6.
существует нейтральный элемент $ {mathfrak o} $ относительно сложения:
$ {mathfrak a}+{mathfrak o}={mathfrak a} $;
7.
существует нейтральный элемент $ {mathfrak e} $ относительно умножения:
$ {mathfrak a}cdot {mathfrak e}={mathfrak a} $.
Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ {mathfrak a},
{mathfrak a}_1,{mathfrak a}_2,{mathfrak a}_3 $.
Определение
Комплéксным1) числом
называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства
комплексных чисел, а также правила действий над ними.
Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.
?
Доказать, что
$$left(2,, sqrt{12} right)=left(frac{1}{2} sqrt{7+4sqrt{3}}+
frac{1}{2} sqrt{7-4sqrt{3}},, 2sqrt{3} right) .$$
Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) . $$
П
Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=qquad qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=qquad $ .
Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число
$$ z_4=z_1cdot z_2 = (ac-bd, ad+bc) . $$
§
Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ times_{} $; часто его вовсе опускают: $ z_1cdot z_2 = z_1times z_2 = z_1z_2 $.
П
Пример. $ (2,3)cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)cdot(1,1)= qquad $ ,
$ (0,1)cdot(0,1)=qquad $ .
В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно
искусственным. Ответ на вопрос
Что послужило основанием для такого правила умножения?
будет дан
☟
НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно,
тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые
упомянуты выше. Имеем, например:
$$z_1cdot z_2=(ac-bd, ad+bc), z_2cdot z_1=(ca-db,, da+cb) Rightarrow
z_1cdot z_2=z_2cdot z_1 . $$
Остальные свойства проверяются аналогично.
Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.
Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают:
$ z_5 = z_1-z_2 $.
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда
$$(c,d)+(x,y)=(a,b) iff c+x=a, d+y=b iff x=a-c, y=b-d ,
$$
т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,, b-d) $. В частности,
$$(a,b)-(a,b)=(0,0) quad mbox{ или }quad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$
для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное
число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.
Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают:
$$ z_6= z_1colon z_2 quad mbox{ или } z_6 = z_1big/ z_2 . $$
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно:
его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда
$$(c,d)cdot (x,y)=(a,b) iff
left{begin{array}{c}
cx-dy=a, \
dx+cy=b
end{array} right.
iff
left{begin{array}{c}
(c^2+d^2)x=(ac+bd), \
(c^2+d^2)y=(bc-ad).
end{array} right.
$$
Таким образом, необходимым условием существования частного является
$ c^2+d^2ne 0 $ т.е. $ z_2ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное
будет единственно и определяется формулой:
$$(a,b) colon (c,d) =left( frac{ac+bd}{c^2+d^2} , ,
frac{bc-ad}{c^2+d^2} right) . $$
Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим,
в этом и нет необходимости.
А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции
полностью подчиняются указанной в начале раздела
системе аксиом
1
–
7
чисел вещественных.
Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $:
$$
(a,b)cdot (x,y)=(a,b) iff
left{
begin{array}{l}
a,x-b,y=a, \
b,x+a,y=b,
end{array}
right.
iff
left{
begin{array}{l}
left(a^2+b^2 right)x=left(a^2+b^2 right), \
left(a^2+b^2 right)y=0
end{array}
right. qquad Rightarrow y=0,, x=1 .
$$
Каждое комплексное число может быть представлено в виде
$$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) , $$
т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй
компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется
обозначение2)
$$ mathbf i = (0,1) . $$
Следует заметить, что множество комплексных чисел, имеющих нулевую вторую компоненту
$$ left{ (a,0) mid ain mathbb R right} $$
обладает
свойством замкнутости относительно операций сложения и умножения.
Замкнутость понимается в том смысле, что сумма и произведение чисел с нулевой второй компонентой
снова будет числом с нулевой второй компонентой; то же справедливо и
для разности и произведения:
$$(a,0)+(b,0)=(a+b,0), (a,0)-(b,0)=(a-b,0), $$
$$ (a,0)cdot(b,0)=(ab,0) , (a,0)colon (b,0)= left( frac{a}{b} ,0 right) ( npu bne 0) . $$
Как легко видеть, первые компоненты под действием таких операций ведут себя
в точности как обычные вещественные числа (с сохранением
системы аксиом
1
–
7
). Исходя из этого обстоятельства,
производится отождествление комплексного числа $ (a,0) $ с вещественным
числом $ a_{} $. Результатом этого является следующая нормальная форма
записи комплексного числа
$$ (a,b)=a+ b mathbf i = a+ mathbf i b npu quad {a,b } subset mathbb R .$$
Для числа $ mathbf i $ получаем одно определяющее равенство:
$$
mathbf i^2=(0,1)cdot (0,1)=(-1,0)=-1 .
$$
Из соображений упрощения записи, договорились число $ 0+mathbf i b $
записывать просто в виде $ mathbf i b $, а числа $ a+mathbf i 1 $ и $ a-mathbf i 1 $
записывать в виде $ a+mathbf i $ и $ a-mathbf i $.
Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме,
можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных
чисел:
$$(a+mathbf i , b)(c+ mathbf i , d)=ac + mathbf i, ad+ mathbf i, bc+ mathbf i^2 bd , $$
а затем воспользоваться равенством $ mathbf i^2 = -1 $:
$$= (ac-bd)+mathbf i , (ad+bc) . $$
Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.
Если $ n_{} $ — целое число, то число
$$
z^n =
left{
begin{array}{cl}
overbrace{ztimes dots times z}^{n} & npu n>0, \
1 & npu n=0, zne 0, \
1/z^{-n} & npu n<0, zne 0
end{array} right.
$$
называется $ mathbf n $-й степенью числа $ z_{} $.
Для вычисления $ z^n $ при $ n>1 $ и $ z=a+ mathbf i, b $ можно применить формулу бинома Ньютона:
$$
left(a+ mathbf i, b right)^n =
$$
$$
=a^n+C_n^1 a^{n-1}bmathbf i+C_n^2 a^{n-2}b^2mathbf i^2
+C_n^3 a^{n-3}b^3mathbf i^3+C_n^4 a^{n-4}b^4mathbf i^4+dots+b^n mathbf i^n
$$
(здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент );
и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить
степени $ mathbf i $. Получаем последовательно:
$$mathbf i^2=-1, mathbf i^3=mathbf i^2mathbf i=-mathbf i, mathbf i^4=1, mathbf i^5=mathbf i, dots $$
и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_{} $.
Окончательно:
$$left(a+ mathbf i, b right)^n
=left(a^n- C_n^2 a^{n-2}b^2 +C_n^4 a^{n-4}b^4 – dots right)
+ mathbf i left(C_n^1 a^{n-1}b-C_n^3 a^{n-3}b^3+ dots right) .
$$
П
Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+mathbf i )^3 $.
Решение. Разложение по формуле бинома дает
$ (1+mathbf i)^3= (1-3) +mathbf i (3-1) =-2+2mathbf i $.
♦
П
Пример. Найти нормальную форму числа
$$ frac{(3+2mathbf i )^2(1-3mathbf i )}{(3+mathbf i )^2(1+2mathbf i )}+frac{1+mathbf i }{1-mathbf i } .
$$
Решение.
$$(3+2mathbf i)^2=5+12 mathbf i ,
(5+12 mathbf i)(1-3mathbf i)=5-15mathbf i+12mathbf i-36mathbf i^2=41-3mathbf i ,$$
$$(3+mathbf i)^2=8+6mathbf i ,
(8+6mathbf i)(1+2mathbf i)=8+16mathbf i +6mathbf i +12mathbf i^2=-4+22 mathbf i .$$
Для вычисления частного $ (41-3mathbf i)/(-4+22mathbf i) $
воспользуемся следующим приемом: домножим и числитель и знаменатель дроби
на число $ (-4-22 mathbf i) $. Получим
$$
frac{(41-3mathbf i)(-4-22 mathbf i)}{(-4+22 mathbf i)(-4-22 mathbf i)}=
frac{-164-902 mathbf i +12 mathbf i +66 mathbf i^2}{16+88mathbf i – 88 mathbf i – 484 mathbf i^2}=
frac{-230-890 mathbf i}{500}
=-frac{23}{50}
-frac{89}{50} mathbf i .
$$
Аналогично:
$$
frac{1+mathbf i}{1-mathbf i}=frac{(1+mathbf i)^2}{(1-mathbf i)(1+mathbf i)}=frac{2mathbf i}{2}=mathbf i .
$$
Ответ. $ -frac{23}{50} -frac{39}{50} mathbf i $.
Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.
Число $ a-mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+mathbf i b $.
Оно обозначается $ overline{z} $. Сама операция нахождения $ overline{z} $ называется комплексным сопряжением.
П
Пример. $ overline{-2-2mathbf i}=-2+2mathbf i, overline{3mathbf i}=-3mathbf i, overline{4}=4 $.
?
Доказать, что
а) $ overline{overline{z}}=z $;
б) $ overline{z_1+z_2}=overline{z_1}+overline{z_2} $;
в) $ overline{z_1cdot z_2}=overline{z_1} cdot overline{z_2} $.
Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных
чисел будет числом вещественным:
$$ {.}_{} mbox{ при } z= a+ mathbf i b mbox{ имеем: } z+overline{z}=2a, z cdot overline{z}=a^2+b^2 . $$
На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $.
Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю:
$$
frac{z_1}{z_2}=frac{z_1 overline{z_2}}{z_2 overline{z_2}} ;
$$
при перемножении в знаменателе образуется вещественное число:
$$
=frac{(a+mathbf i b)(c-mathbf i d)}{c^2+d^2} ,
$$
и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения:
$$
=frac{(ac+bd)+ mathbf i (bc-ad)}{c^2+d^2}=frac{ac+bd}{c^2+d^2} +
mathbf i frac{bc-ad}{c^2+d^2} .
$$
Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и
обозначается $ mathfrak{Re}(z) $, число $ b_{} $ называется мнимой частью и
обозначается $ mathfrak{Im} (z) $. Таким образом, $ z=mathfrak{Re}(z) +mathbf i mathfrak{Im}(z) $.
Число $ mathbf i $ называется мнимой единицей. Число $ zne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть:
$ mathfrak{Im}(z) ne 0 $, называется мнимым числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ mathfrak{Re}(z)=0 $, называется чисто мнимым.
В некоторых учебниках (см., к примеру, [5]) мнимая часть числа $ a+mathbf i b $ определяется как число $ mathbf i b $; но всё же чаще я встречал это определение именно в приводимом здесь (и в дальнейшем используемом) варианте.
Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде:
$$z_1=z_2 quad iff quad mathfrak{Re}(z_1)=mathfrak{Re} (z_2), mathfrak{Im} (z_1)=mathfrak{Im} (z_2) .$$
?
Найти вещественное число $ x_{} $, удовлетворяющее уравнению
$$ (1+ mathbf i)x^3+(1+2, mathbf i)x^2- (1+4,mathbf i)x – 1+ mathbf i = 0 . $$
?
Верно ли равенство $ mathfrak{Re}(z_1z_2)= mathfrak{Re}(z_1) mathfrak{Re}(z_2) $?
Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ mathbb C_{} $ . Отождествление комплексного числа
$ z_{} $, у которого
$ mathfrak{Im} (z)=0 $, с вещественным числом $ mathfrak{Re}(z) $ позволяет говорить, что множество
$ mathbb C_{} $ включает в себя множество вещественных чисел $ mathbb R_{} $: $ mathbb R_{} subset mathbb C_{} $.
Комплексные числа «наследуют» все привычные нам свойства чисел вещественных, кроме одного: их нельзя сравнивать в смысле отношений $ >_{} $ или $ < $:
неравенство $ 1+7mathbf i>3-2mathbf i $ так же бессмысленно, как и $ 1+7mathbf i<3-2mathbf i $.
Геометрическая интерпретация
Определение комплексного числа как упорядоченной пары вещественных чисел
напоминает определение вектора на плоскости. Если на плоскости $ (x,y) $
задана декартова прямоугольная система координат, то задание точки $ {mathbf A} $
ее координатами $ x=a,y=b $ однозначно определяет вектор, имеющий начало в начале координат $ {mathbf O} $ ($ x=0,y=0 $), а конец — в точке $ {mathbf A} $. Такое соответствие
$$
vec{mathbf OA} longleftrightarrow (a,b) longleftrightarrow
z=a+mathbf i , b $$
позволяет дать интерпретацию комплексного числа как вектора на плоскости.
Сама эта плоскость называется комплексной плоскостью, ось абсцисс на ней — вещественной осью (на ней располагаются вещественные числа), ось ординат — мнимой осью
(на ней располагаются чисто мнимые числа).
?
Изобразить на комплексной плоскости а) число $ (-z) $; б) число $ overline{z} $.
Определения равенства и суммы (разности) векторов и комплексных чисел
оказываются идентичными: сумма комплексных чисел определяет вектор на
плоскости, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым (по какому бы
способу — параллелограмма или треугольника — она ни вычислялась).
Подмеченная аналогия между алгебраическим объектом и геометрическим
прекращается как только мы попытаемся установить соответствие между
операциями умножения. В самом деле, согласно
введенному в предыдущем пункте определению, произведение комплексных чисел есть снова
комплексное число, т.е. — в нашей геометрической интерпретации
— вектор. Вспомним, что скалярное произведение векторов определяется
как число вещественное, т.е. является скаляром3).
Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между
свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы
исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов
лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не
только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной
и углом, образованным с полярной осью.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Для числа $ z=a+mathbf i , b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как
$$|z|=sqrt{a^2+b^2}= sqrt{z, overline{z}} ; $$
при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.
Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина
вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ mathfrak{Im} (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.
Аргументом комплексного числа $ z=a+mathbf i , bne 0 $
называется величина угла4),
образованного на комплексной плоскости вектором $ vec{mathbf OA} $
с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся,
что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении,
т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2, pi[ $
если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_{} $ не определяется.
Будем обозначать аргумент числа $ z_{} $ через $ operatorname{arg}, (z) $.
Для определения $ operatorname{arg}, (z) $ мы имеем две формулы:
$$
cos left( operatorname{arg}, (z) right) = frac{a}{sqrt{a^2+b^2}} ,
sin left( operatorname{arg}, (z) right) = frac{b}{sqrt{a^2+b^2}} ,
$$
которые позволяют однозначно восстановить5)
угол в интервале $ [0, 2, pi[ $.
Итак, ненулевое комплексное число $ zne 0 $, наряду со своей нормальной формой
$ z=a+mathbf i , b $, может быть представлено еще и в форме
$$
z= rho left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad npu
rhoge 0, 0 le varphi < 2, pi .
$$
Последняя называется тригонометрической формой комплексного числа. Формулы, связывающие две формы:
$$ rho=|z|=sqrt{a^2+b^2}, cos varphi = a / rho, sin varphi = b / rho , . $$
П
Пример. Найти тригонометрическую форму комплексных чисел
а) $ -4 $ ; б) $ mathbf i $ ; в) $ -6,mathbf i $ ; г) $ -1+mathbf i $;
д) $ frac{1}{2}-mathbf i frac{sqrt{3}}{2} $;
е) $ -2+mathbf i $ .
Решение.
$$
begin{array}{c|c|c|c|c}
z & |z| & cos &operatorname{sign} (sin ) & operatorname{arg}(z) \
hline
-4=-4+0mathbf i & 4 & -1 & & pi \
mathbf i=0+1mathbf i & sqrt{0+1}=1 & 0 & >0 & pi/2 \
-6,mathbf i=0-6,mathbf i & sqrt{0+36}=6 &
0 &<0 & 3pi/2\
-1+mathbf i=-1+1mathbf i & sqrt{1+1}=sqrt{2}&
-frac{scriptstyle 1}{scriptstyle{sqrt{2}}}=-frac{scriptstyle{sqrt{2}}}{scriptstyle 2} &
>0 & 3pi/4 \
frac{1}{2}-mathbf i frac{scriptstyle{sqrt{3}}}{scriptstyle 2} &
sqrt{frac{1}{4}+frac{3}{4}}=1 & frac{1}{2} & <0 & 5pi/3 \
-2+mathbf i & sqrt{4+1}=sqrt{5} & scriptstyle{-2}/{scriptstyle sqrt{5}}&
>0 & arccos left(-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) approx \
& & & & approx 2.67794
end{array}
$$
Ответ. а) $ 4left(cos pi + mathbf i , sin pi right) $;
б) $ cos pi/2 + mathbf i , sin pi/2 $;
в) $ 6left(cos 3pi/2 + mathbf i , sin 3pi/2 right) $;
г) $ sqrt{2} left(cos 3pi/4 + mathbf i , sin 3pi/4 right) $;
д) $ cos 5pi/3 + mathbf i , sin 5pi/3 $;
е)
$ sqrt{5} left{cos left( arccos left(
-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) right) +mathbf i
sin left( arccos left(-scriptstyle{2}/scriptstyle{sqrt{5}} right) right) right}
approx 2.23606 left( cos 2.67794 + mathbf i sin 2.67794 right) $.
?
Пусть $ z=a+mathbf i , b $.
Выразить а) $ operatorname{arg} (-z) $ ; б) $ operatorname{arg} (overline{z}) $
в) $ operatorname{arg} (1/z) $; г) $ operatorname{arg} (b+mathbf i, a) $ через
$ operatorname{arg} (z) $.
В дальнейшем я иногда буду пренебрегать требованием, чтобы в тригонометрической форме аргумент
соответствовал интервалу $ [0, 2, pi[ $, т.е. буду допускать
неоднозначность в определении $ operatorname{arg} (z) $.
С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_{1} $ и $ z_{2} $, представленных в тригонометрической форме.
Т
Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2, pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2, pi $:
$$
rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right)=
rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right) iff
$$
$$
iff rho_1=rho_2 , varphi_1 equiv varphi_2 pmod{2, pi} .
$$
Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел.
♦
В каждом разделе математики имеется исторически сложившаяся система названий
и обозначений, при этом иногда одни и те же слова или символы в разных разделах
обозначают совершенно не связанные по смыслу объекты. В частности, это
относится к слову «модуль»: если в разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА оно означает натуральное число $ M_{} $, по отношению к которому сравниваются два других целых числа (одинаковы ли у них остатки при делении на $ M_{} $), то в теории комплексных чисел оно закреплено за другим понятием. К сожалению, в настоящем разделе приходится использовать оба этих определения; хорошо хоть обозначения у них разные…
В противоположность предыдущему замечанию — удобное обозначение почему бы не тиражировать? В разделе МОДУЛЯРНАЯ АРИФМЕТИКА сравнимость понималась по отношению к натуральному числу и формально вводилось через операцию деления на модуль; мы же использовали в только что приведенной теореме обобщение этого понятия: $ varphi_1 equiv varphi_2 pmod{2, pi} $, основанное на свойстве разности двух чисел $ varphi_1 – varphi_2 $ быть целым кратным (иррационального!) числа $ 2, pi $. В дальнейшем мы заимствуем и другое полезное обозначение из теории чисел: $ varphi_1 = varphi pmod{2, pi} $ означает, что угол $ varphi_1 $ — это «загнанный в интервал» $ [0, 2, pi[ $ угол $ varphi $, т.е. $ varphi_1 $ отличается от $ varphi_{} $ на целое кратное числа $ 2, pi $ и, при этом, $ varphi_1 in [0, 2, pi[ $.
Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию
правилам их умножения и деления.
Т
Теорема. Имеет место равенство:
$$rho_1 left(cos varphi_1 + mathbf i , sin varphi_1 right) cdot
rho_2 left(cos varphi_2 + mathbf i , sin varphi_2 right)=
$$
$$
= rho_1 rho_2 left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1+varphi_2) right) ;
$$
иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и
складываются аргументы (по модулю $ 2, pi $):
$$
left| z_1cdot z_2 right| = left| z_1 right| cdot left| z_2 right| ,
operatorname{arg} (z_1 cdot z_2)= operatorname{arg} (z_1) + operatorname{arg} (z_2) pmod{2, pi} .
$$
Доказательство.
$$ z_1z_2=rho_1 rho_2big(left[cos varphi_1cos varphi_2 –
sin varphi_1sin varphi_2 right] + mathbf i ,
left[cos varphi_1sin varphi_2 +
sin varphi_1cos varphi_2 right] big) =
$$
$$
=rho_1 rho_2left(cos (varphi_1+varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1+varphi_2) right) .
$$
♦
Настоящее замечание может быть пропущено без ущерба для понимания оставшейся части раздела.
Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ):
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 , $$
иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_{} $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_{} $-х квадратов были получены Эйлером (см.
☞
ЗДЕСЬ ), а для $ 8_{} $-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см.
☞
ЗДЕСЬ ).
=>
Справедлива формула
$$
frac{z_1}{z_2}=frac{rho_1}{rho_2 }left(cos (varphi_1-varphi_2) + mathbf i ,
sin (varphi_1-varphi_2) right) quad npu z_2 ne 0
.
$$
=>
Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:
$$
prod_{j=1}^n z_j= prod_{j=1}^n rho_j
left(cos sum_{j=1}^n varphi_j + mathbf i ,
sin sum_{j=1}^n varphi_j right) .
$$
В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к
одной замечательной формуле —
Формула Муавра
Т
Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:
$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n = cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi
.
$$
Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула
фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа.
Для отрицательного показателя $ n=-m, min mathbb N $ справедливость формулы доказывается
сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя:
$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{n}=
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{-m}=
$$
$$
=frac{1}{left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^{m}}
=
frac{1}{cos mvarphi + mathbf i , sin mvarphi}= frac{cos mvarphi – mathbf i , sin mvarphi }{cos^2 mvarphi + sin^2 mvarphi }
=
$$
$$
=cos mvarphi – mathbf i , sin mvarphi=
cos (- mvarphi) + mathbf i , sin (- mvarphi)=cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi .
$$
♦
=>
Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
$$
left[ rho left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right) right]^n
= rho^n left( cos nvarphi + mathbf i , sin n varphi right)
npu forall rho ne 0 u nin mathbb Z
.
$$
П
Пример. Вычислить
$$
left[frac{1}{2 sqrt{2}}left(sqrt{3} – mathbf i , sqrt{5} right) right]^{117}
.
$$
Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона —
мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует
приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число
в тригонометрической форме:
$$
left| z right| = 1,
cos (operatorname{arg} (z)) = frac{1}{2}sqrt{frac{3}{2}} approx 0.61237,
sin (operatorname{arg} (z)) <0 qquad Rightarrow
$$
$$
Rightarrow qquad operatorname{arg} (z) = 2pi – arccos left( frac{1}{2}sqrt{frac{3}{2}} right) approx
5.37144 .
$$
Применяем формулу Муавра:
$$z^{117}approx cos left( 117 times operatorname{arg} (z) right) +
mathbf i , sin left( 117 times operatorname{arg} (z) right)
$$
и отбрасываем целое кратное $ 2 pi_{ } $:
$$ 117 times operatorname{arg} (z) approx 0.14077
+ 200 pi quad Rightarrow quad
z^{117}approx cos 0.14077 + mathbf i , sin 0.14077 .$$
Ответ.
$$frac{sqrt{2}}{2^{60}} left[466022392183308159, sqrt{3}+
mathbf i , 51153470739918917, sqrt{5} right] approx
0.99010 + mathbf i , 0.14030 .
$$
?
Вычислить
а) $ left(sqrt{3}+ mathbf i , right)^n $ ; б)
$ left[ sin varphi_1 – sin varphi_2 + mathbf i , left( cos varphi_1 –
cos varphi_2 right) right]^n $.
И
Биографические заметки о Муавре
☞
ЗДЕСЬ
Неравенства для модуля
Т
Теорема. Справедливо неравенство треугольника:
$$
left| z_1 + z_2 right| le left| z_1right| + left| z_2right| .
$$
Доказательство. Имеем:
$$left| z_1 + z_2 right|^2=left( z_1 + z_2 right)overline{left( z_1 + z_2 right)}=
left( z_1 + z_2 right)left( overline{z_1} + overline{z_2} right)=
z_1overline{z_1} + z_1overline{z_2}+ overline{z_1}z_2+ z_2 overline{z_2}=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 + mathbf i sin varphi_1
right)left( cos varphi_2 – mathbf i sin varphi_2
right) +
$$
$$
+ rho_1 rho_2 left( cos varphi_1 – mathbf i sin varphi_1
right)left( cos varphi_2 + mathbf i sin varphi_2 right)=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 left(cos varphi_1 cos varphi_2+
sin varphi_1 sin varphi_2 right)=
$$
$$
=rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 cos left( varphi_1 – varphi_2 right) le
rho_1^2 + rho_2^2 +2,rho_1 rho_2 = left( rho_1 +rho_2 right)^2
$$
поскольку $ left| cos left( varphi_1 – varphi_2 right) right|le 1 $.
Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство.
♦
?
При каких условиях на $ z_{1} $ и $ z_{2} $ неравенство треугольника
превращается в равенство?
=>
$ displaystyle left| sum_{j=1}^n z_j right| le sum_{j=1}^n |z_j | $.
=>
$ displaystyle left| z_1 + z_2 right| ge big| | z_1 | – | z_2 | big| ,
left| z_1 – z_2 right| ge big| | z_1 | – | z_2 | big| $.
?
Доказать «равенство параллелограмма»:
$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 quad mbox{ при }
{z_1, z_2 } subset mathbb C . $$
Выведение тригонометрических формул
Сумма синусов (косинусов)
Задача. Найти компактное выражение для
$$
B= sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi .
$$
Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие
суммы арифметической и геометрической прогрессий:
$$
a+(a+d)+dots+(a+(n-1)d)=frac{(2a+(n-1)d)n}{2} ,
$$
$$
a+aq+dots+aq^{n-1}
=afrac{q^n-1}{q-1} quad npu qne 1 .
$$
О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».
Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно
с указанной суммой свернуть и сумму
$$
A= cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi .
$$
Для этого составим выражение
$$
A+ mathbf i B= left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) +
left( cos 2, varphi + mathbf i sin 2,varphi right) + dots +
left( cos n, varphi + mathbf i sin n, varphi right)=
$$
на основании формулы Муавра:
$$
=left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) +
left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^2 + dots +
left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)^n .
$$
Введем новую переменную: $ z= cos varphi + mathbf i sin varphi $. Тогда
последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии:
$$ A+ mathbf i B =z+z^2+dots +z^n =frac{z^{n+1} – z}{z-1} quad npu zne 1
. $$
Возвращаемся к исходной переменной $ varphi $:
$$
A+ mathbf i, B =frac{left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)^{n+1} –
left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)}
{cos varphi + mathbf i, sin varphi-1}
npu varphi ne 2, pi k , kin mathbb Z .
$$
(последнее условие можно записать в виде $ varphi notequiv 0 pmod{2, pi} $)
и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»:
$$
A+ mathbf i, B =
frac{left(cos (n+1), varphi + mathbf i, sin (n+1), varphi right) –
left(cos varphi + mathbf i, sin varphi right)}
{cos varphi + mathbf i, sin varphi-1}
$$
при $ varphi notequiv 0 pmod{2, pi} $.
Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части.
Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель
с использованием известных тригонометрических формул:
$$
cos alpha – cos beta = 2 sin frac{alpha + beta }{2} ,
sin frac{beta – alpha}{2} quad , quad
sin alpha – sin beta = 2 cos frac{alpha + beta }{2} ,
sin frac{ alpha – beta}{2} .
$$
Итак, числитель правой части формулы равен
$$
left(cos (n+1), varphi – cos , varphi right) +
mathbf i , left(sin (n+1), varphi – sin , varphi right)=
$$
$$
=-2, sin frac{(n+2), varphi}{2} , sin frac{n, varphi}{2} +
2, mathbf i, cos frac{(n+2), varphi}{2} , sin frac{n, varphi}{2}=
$$
$$
=2, mathbf i, sin frac{n, varphi}{2}
left(cos frac{(n+2), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+2), varphi}{2} right)
;
$$
а знаменатель:
$$
(cos varphi -1) + mathbf i, sin varphi =-2, sin^2 frac{varphi}{2} +
2, mathbf i, sin frac{varphi}{2} , cos frac{varphi}{2}
=2, mathbf i, sin frac{varphi}{2}
left(cos frac{varphi}{2} + mathbf i, sin frac{varphi}{2} right) .
$$
Следовательно,
$$
A+ mathbf i, B =
frac{sin displaystyle frac{n, varphi}{2} }{sin displaystyle frac{varphi}{2} }
cdot
frac{displaystyle cos frac{(n+2), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+2), varphi}{2}}
{displaystyle cos frac{varphi}{2} + mathbf i, sin frac{varphi}{2}}=
$$
ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме:
$$
=
frac{sin displaystyle frac{n, varphi}{2} }{sin displaystyle frac{varphi}{2} }
left(cos frac{(n+1), varphi}{2} + mathbf i, sin frac{(n+1), varphi}{2} right)
,
$$
и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда.
Окончательно имеем:
$$
sin varphi + sin 2, varphi + dots + sin n, varphi =
frac{sin displaystyle frac{n}{2} , varphi , sin displaystyle frac{n+1}{2} , varphi }
{sin displaystyle frac{1}{2} , varphi}
npu varphi notequiv 0 pmod{2, pi} .
$$
В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов:
$$
cos varphi + cos 2, varphi + dots + cos n, varphi =
frac{sin displaystyle frac{2,n+1}{2} , varphi}{2 sin displaystyle frac{1}{2} ,
varphi} – frac{1}{2} .
$$
После того, как искомая формула выведена,
не составляет труда доказать ее другим способом —
без применения аппарата комплексных чисел. В самом
деле, домножим левую ее часть на $ sin varphi/2 $:
$$
sin varphi cdot sin frac{1}{2} , varphi +
sin 2, varphi cdot sin frac{1}{2} , varphi + dots +
sin n, varphi cdot sin frac{1}{2} , varphi =
$$
и преобразуем каждое произведение в разность косинусов:
$$
=frac{1}{2} bigg(cos frac{3}{2} , varphi – cos frac{1}{2} , varphi
+ cos frac{5}{2} , varphi – cos frac{3}{2} , varphi + dots +
$$
$$
+ cos left( n + frac{1}{2} right) , varphi –
cos left( n – frac{1}{2} right) , varphi
bigg) =
$$
все слагаемые, кроме двух, сокращаются:
$$
=frac{1}{2} left(cos left( n + frac{1}{2} right) , varphi –
cos frac{1}{2} , varphi right) =
sin displaystyle frac{n}{2} , varphi ,
sin displaystyle frac{n+1}{2} , varphi ,
$$
и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы.
В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать
формулу можно и без их использования? — Да в том, что эти числа позволили
нам вывести эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.
?
Свернуть сумму
$$cos varphi + cos 3, varphi + dots + cos (2n-1)varphi . $$
Ответ
☞
ЗДЕСЬ
§
Применение формулы суммы косинусов см. в разделе
☞
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Синус и косинус кратного угла
Задача. Найти общую формулу, выражающую $ cos n varphi $ через
$ cos varphi $ и $ sin varphi $.
Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_{}=2 $: $ cos 2 varphi =
cos^2 varphi – sin^2 varphi $.
Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения
$ left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n $: формулой бинома Ньютона
$$
left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n =
$$
$$
=cos^{n} varphi+C_n^1 cos^{n-1} varphi sin varphi mathbf i+C_n^2 cos^{n-2} varphi sin^2 varphi mathbf i^2
+C_n^3 cos^{n-3} varphi sin^3 varphi mathbf i^3+
$$
$$
+C_n^4 cos^{n-4} varphi sin^4 varphi mathbf i^4+dots+sin^n varphi mathbf i^n
$$
и формулой Муавра. Получаем:
$$ cos nvarphi + mathbf i , sin nvarphi =left(cos varphi + mathbf i , sin varphi right)^n= $$
$$
=left(cos^n varphi – C_n^2 cos^{n-2}varphi sin^2 varphi +
C_n^4 cos^{n-4}varphi sin^4 varphi – dots right) +
$$
$$
+ mathbf i , left(C_n^1 cos^{n-1}varphi sin varphi –
C_n^3 cos^{n-3}varphi sin^3 varphi- dots right) .
$$
На основании аксиомы равенства комплексных чисел:
$$
begin{array}{cl}
cos nvarphi = & cos^n varphi – displaystyle frac{n(n-1)}{2} cos^{n-2}varphi sin^2 varphi +
C_n^4 cos^{n-4}varphi sin^4 varphi – dots \
= & displaystyle sum_{j=0}^{lfloor n/2 rfloor} (-1)^j
C_n^{2, j} sin^{2, j} varphi cos^{n-2,j} varphi ; \
sin nvarphi = & sin varphi left(n cos^{n-1}varphi
-C_n^3 cos^{n-3}varphi sin^2 varphi +C_n^5 cos^{n-5}varphi sin^4 varphi-dots right) = \
= &displaystyle
sum_{j=0}^{lfloor (n-1)/2 rfloor} (-1)^j
C_n^{2, j+1} sin^{2, j+1} varphi cos^{n-2,j-1} varphi
.
end{array}
$$
Здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент,
а $ lfloor quad rfloor $ — целую часть числа.
Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно
вещественных равенства.
П
Пример.
$$
begin{array}{ll}
cos , 4varphi &= cos^4 varphi – 6, cos^2 varphi sin^2 varphi + sin^4 varphi ,\
sin , 5varphi &= 5 , cos^4 varphi sin varphi – 10 , cos^2 varphi sin^3 varphi+ sin^5 varphi .
end{array}
$$
?
Найти выражения $ sin , n varphi $ через $ sin varphi $ и $ cos , n varphi $ через $ cos varphi $.
Решение
☞
ЗДЕСЬ.
?
Найти выражение $ operatorname{tg}, n varphi $ через $ operatorname{tg} , varphi $.
§
Решение обратной задачи: выражение $ cos^n varphi $ и $ sin^n varphi $ через косинусы и
синусы кратных углов, т.е. через $ cos varphi,sin varphi,cos 2varphi ,
sin 2varphi ,dots, cos nvarphi , sin nvarphi $
☞
ЗДЕСЬ.
Извлечение корня из комплексного числа
Пусть $ n_{} $ означает натуральное число. Корнем $ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z_{} $
называется такое комплексное число $ w_{} $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_{} $ совпадает с самим числом $ z_{} $ и корень любой степени из $ 0_{} $ равен $ 0_{} $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ nge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел:
$$ w = sqrt[n]{z}, mbox{ а при } n=2 mbox{ показатель обычно не указывают: } w=sqrt{z} . $$
Задача. Вычислить $ displaystyle sqrt[n]{z} $.
Квадратный корень
Пусть $ z_{} $ представлено в каноническом виде: $ z=a+mathbf i b $ при
$ { a,b }subset mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде:
$ w=x+ mathbf i y $, где $ x_{} $ и $ y_{} $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено:
$$w^2=z iff (x+ mathbf i y)^2 = a+mathbf i b
iff (x^2-y^2) + 2,mathbf i xy = a+mathbf i b iff
$$
$$
iff x^2-y^2 = a, 2, xy = b .
$$
(на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$left(x^2+y^2 right)^2 = a^2+ b^2 iff x^2+y^2 = sqrt{a^2+ b^2}
mbox{(поскольку } {x,y }subset mathbb R mbox{ )} . $$
Вместе с первым уравнением получаем линейную систему
относительно $ x_{}^2 $ и $ y_{}^2 $. Решаем ее относительно $ x_{}^2 $:
$$x^2=frac{1}{2} left(a+sqrt{a^2+ b^2} right)
Rightarrow
x=pm frac{1}{sqrt{2}} sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}
.
$$
Имеем: $ x=0 iff b=0, ale 0 $. В этом случае $ y=pm sqrt{-a} $.
Таким образом:
$$
sqrt{a}= pm mathbf i sqrt{-a} quad npu a<0 .
$$
Если $ b ne 0 $, то
$$
y=frac{b}{2,x}= pm
frac{b}{sqrt{2}, sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}}=
pm frac{1}{sqrt{2}} sqrt{- a+sqrt{a^2+ b^2} } , operatorname{sign}, (b)
;
$$
здесь $ operatorname{sign} $ означает знак числа.
Таким образом:
$$
sqrt{z} =pm frac{1}{sqrt{2}} left(sqrt{a+sqrt{a^2+ b^2}}
+mathbf i sqrt{-a+sqrt{a^2+ b^2}} ,
, operatorname{sign} , (b) right) .
$$
?
Вычислить а) $ sqrt{2, mathbf i} $; б) $ sqrt{-3} $ ; в) $ sqrt{2-3, mathbf i} $.
Формулы для вычисления квадратного корня позволят теперь решить любое
квадратное уравнение
$$z^2+p, z+q=0, quad npu {p,q }subset mathbb C .$$
В самом деле, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:
$$
z^2+p, z+q=z^2+p, z+left(frac{p}{2}right)^2 +left(q-frac{p^2}{4} right)=
left( z + frac{p}{2} right)^2 – frac{mathcal D}{4}
$$
при
$$ mathcal D= p^2-4, q ,$$
т.е. известному нам по вещественному случаю дискриминанте квадратного трехчлена.
Итак, квадратное уравнение преобразовано к виду:
$$left( z + frac{p}{2} right)^2 = frac{mathcal D}{4} ,$$
их которого получаем привычную форму записи его корней
$$
z_{1,2}=frac{1}{2} left(-ppm sqrt{mathcal D} right) ,
$$
с той только оговоркой, что теперь под $ sqrt{mathcal D} $ понимается
два значения корня квадратного из комплексного числа.
П
Пример. Решить уравнение $ z^2-2, z+3=0 $.
Решение. Здесь $ mathcal D=-8 $ и $ sqrt{mathcal D}= pm mathbf i 2 sqrt{2} $.
Ответ. $ 1pm mathbf i sqrt{2} $.
П
Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2, mathbf i ), z +(5+5, mathbf i ) =0 $.
Решение. Здесь $ mathcal D=(3+2, mathbf i )^2-4, (5+5, mathbf i )=-15 – 8, mathbf i $. По
формуле извлечения корня: $ sqrt{mathcal D}=pm (1-4, mathbf i ) $.
Ответ. $ 2- mathbf i , 1+3, mathbf i $.
П
Пример. Решить уравнение $ (3- mathbf i ), z^2+(1+ mathbf i ), z + 6, mathbf i =0 $.
Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $,
но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта:
$$ mathcal D=(1+ mathbf i )^2- 4, (3- mathbf i ), 6, mathbf i=-24-70, mathbf i ,
sqrt{mathcal D}=pm ( 5 – 7, mathbf i ) ,$$
а также формулу вычисления корней:
$$
z_{1,2}=frac{-(1+ mathbf i) pm ( 5 – 7, mathbf i )}{2 (3- mathbf i)}
.
$$
Ответ. $ 1-mathbf i , -frac{6}{5} + frac{3}{5} mathbf i $.
Общий случай
Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^{m+1} $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.
Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ sqrt[3]{z} $.
$$ w^3=z iff (x+ mathbf i y)^3 = a+mathbf i b
iff
left(x^3-3, x y^2 right) + mathbf i , (3, x^2 y-y^3) = a+mathbf i b
$$
$$
iff
left{ begin{array}{c}
x^3-3, x y^2 = a, \
3, x^2 y-y^3 = b .
end{array} right.
$$
Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим:
$$x^6+3, x^4y^2+3, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 iff (x^2+y^2)^3=a^2+b^2
$$
$$
iff x^2+y^2 = sqrt[3]{a^2+b^2} . $$
Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение:
$$
4, x^3 – 3, x sqrt[3]{a^2+b^2} -a =0 .
$$
Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_{} $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см.
☞
ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.
Настоящее замечание может быть пропущено без ущерба для понимания оставшейся части раздела.
Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг6): искомые комплексные величины $ sqrt[3]{z} $ ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.
Попробуем решить получившееся кубическое уравнение хотя бы при частных значениях $ a_{} $ и $ b_{} $. Пусть, например,
$ b=0 $, тогда
$$4, x^3 – 3, x sqrt[3]{a^2} -a=(x- sqrt[3]{a})
left(4, x^2 +4,sqrt[3]{a} x +left( sqrt[3]{a} right)^2 right)=
(x- sqrt[3]{a})left( 2, x + sqrt[3]{a} right)^2 ,$$
т.е. решениями уравнения являются
$$x_1=sqrt[3]{a}, x_{2,3}=- frac{1}{2} sqrt[3]{a} . $$
Подставляя в первое из уравнений, получим соответствующие значения для $ y_{} $:
$$y_1=0, y_{2,3}=pm frac{sqrt{3}}2 sqrt[3]{a} . $$
Таким образом, кубический корень из вещественного числа $ z=a $
имеет три значения:
$$
left{ sqrt[3]{a}, sqrt[3]{a} left(-frac{1}{2} pm mathbf i
frac{sqrt{3}}2 right) right} .
$$
Рассмотрим теперь случай $ a_{}=0 $. Уравнение принимает вид
$$4, x^3 – 3, x sqrt[3]{b^2}=0 ,$$
из которого сразу же находятся значения $ x_{} $:
$$x_1=0, x_{2,3}= pm frac{sqrt{3}}{2} sqrt[3]{b} . $$
Соответствующие значения для $ y $:
$$
y_1=- sqrt[3]{b}, y_{2,3}= frac{1}{2} sqrt[3]{b} . $$
Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=mathbf i b $
имеет три значения:
$$
left{ -mathbf i sqrt[3]{b}, sqrt[3]{b} left( pm
frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2}, mathbf i right) right} .
$$
Теперь приведем другой способ вычисления $ w=sqrt[n]{z} $, основанный на
тригонометрической форме записи чисел $ w_{} $ и $ z_{} $. Пусть
$$z=a+mathbf i b= rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right) ,
w=x+mathbf i y = r left( cos vartheta + mathbf i sin vartheta right) .$$
Применяя формулу Муавра, получаем
$$w^n=r^n left( cos nvartheta + mathbf i sin nvartheta right)=
rho left( cos varphi + mathbf i sin varphi right)$$
и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:
$$r^n = rho , nvartheta equiv varphi pmod{2 pi}$$
Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и
кубических корней, оно равносильно
$$r= sqrt[n]{rho} , $$
т.е. модуль корня $ n_{} $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому)
корню $ n_{} $-й степени из модуля этого числа.
Т
Теорема. Существует $ n_{} $ различных значений корня
$ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z=rho (cos varphi + mathbf i sin varphi ) $.
Все они даются формулой
$$
w_k= sqrt[n]{rho} left(cos frac{varphi+2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{n}right) npu kin {0,1,dots, n-1} .
$$
Доказательство того, что при любом целом числе $ k_{} $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й
степени из $ z_{} $ уже проведено. Далее, из периодичности $ sin $ и $ cos $ следует, что
$$w_{0}=w_{nk}, w_{1}=w_{nk+1},dots , w_{n-1}=w_{nk+n-1} quad npu kin mathbb Z
,
$$
т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать,
что все числа $ w_0,w_1,dots, w_{n-1} $ различны. Но это так и есть, поскольку
их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел.
♦
П
Пример. Вычислить $ sqrt[3]{mathbf i} $ .
Решение. $ mathbf i= cos {pi}/2 + mathbf i sin {pi}/2 $
$$sqrt[3]{mathbf i} = sqrt[3]{cos frac{pi}2 + mathbf i sin frac{pi}{2}}=
cos frac{{pi}/2 + 2pi k}{3} + mathbf i
sin frac{{pi}/2 + 2pi k}{3} npu k in {0,1,2}.$$
Видим, что значения
$$w_0=cos frac{pi}6 + mathbf i sin frac{pi}6=frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2} {mathbf i}
, quad
w_1= cos frac{5pi}6 + mathbf i sin frac{5pi}6=-frac{sqrt{3}}2 + frac{1}{2} {mathbf i}
, quad
w_2=cos frac{3pi}2 + mathbf i sin frac{3pi}2=-mathbf i $$
совпадают с выведенной выше формулой для $ sqrt[3]{mathbf i b} $.
♦
П
Пример. Вычислить $ sqrt[7]{1+9, mathbf i} $.
Решение.
$$ 1+9, mathbf i =sqrt{82}left(cos varphi + mathbf i sin varphi right) quad
npu varphi=arccos frac{1}{sqrt{82}} approx 1.460139106 .
$$
Значения корней получаются по формуле
$$
{w_k}_{k=0}^6=left{ sqrt[14]{82}
left(cos frac{varphi+2 pi k}{7} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{7}right) right}_{k=0}^6
approx
$$
$$
approx big{1.34024 + 0.28368, mathbf i,
0.61383 + 1.22472 , mathbf i, -0.57480 + 1.24351, mathbf i,
-1.33060 + 0.32591, mathbf i, -1.08442 – 0.83710 , mathbf i,
$$
$$
-0.02165 – 1.36976 , mathbf i,
1.05742 – 0.87096 , mathbf i big} .
$$
Изобразим корни на комплексной плоскости:
видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_{} $ и радиусом $ sqrt[14]{82} approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_{} $ дуг одинаковой длины.
Аналитика подтвержает геометрию: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ cos 2 pi k/7 + mathbf i
sin 2 pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ vec{Ow_0} $ на угол кратный $ 2pi/7 $.
♦
Корни из единицы
Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_{} $-й степени из комплексного числа $ z_{} $ можно представить в виде произведения
$$
sqrt[n]{rho} left(cos frac{varphi+2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{varphi+2 pi k}{n}right) =
$$
$$
=sqrt[n]{rho} left(
cos frac{varphi}{n} + mathbf i
sin frac{varphi}{n} right)
left(
cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n} right)=
w_0
left(
cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n} right)
$$
двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_{} $. Числа
$$
varepsilon_k = cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n}
$$
при $ kin {0,1,dots,n-1} $ имеют очевидный смысл — они являются
корнями $ n $-й степени из единицы:
$$
varepsilon_k^n=1 quad npu quad kin {0,1,dots,n-1 } .
$$
Также очевидно, что $ varepsilon_0=1 $.
Т
Теорема. Множество всех корней $ n_{} $-й степени из комплексного
числа $ z_{} $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня
на множество всех корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $:
$${w_k }_{k=0}^{n-1} = {w_j varepsilon_k }_{k=0}^{n-1} .$$
Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $
она очевидно следует из равенства $ w_j varepsilon_k=w_0 varepsilon_{k+j} $
и цикличности последовательности $ {varepsilon_{k}}_{k=0,1,2,dots} $.
♦
П
Пример. Множества корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $:
$$begin{array}{l|l}
n=1& 1 \
& \
n=2& 1,, -1 \
& \
n=3& 1,, -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},,
-frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}2 \
& \
n=4& 1,, mathbf i,, -1,, -mathbf i \
& \
n=5& 1,, frac{1}{4} left( scriptstyle{(sqrt{5}-1)} +displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5+sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( -scriptstyle{(sqrt{5}+1)} +displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5-sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( -scriptstyle{(sqrt{5}+1)} – displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5-sqrt{5})}} right),,
frac{1}{4} left( scriptstyle{(sqrt{5}-1)} – displaystyle{mathbf i} scriptstyle{sqrt{2 (5+sqrt{5})}} right) \
& \
n=6& 1, frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2} , -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},
-1, – frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}{2}, frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}{2}
end{array}
$$
Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ sqrt[5]{z} $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см.
☞
ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде:
$$ (z^9-1)equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 , $$
и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу:
$$ left{ 1,, -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2},,
-frac{1}{2} – mathbf i frac{sqrt{3}}2 right} . $$
Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_{} $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить.
♦
Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 7).
Т
Теорема. Для любых $ {k,ell}subset {0,1,dots,n-1} $ справедливы
равенства
$$ varepsilon_{k}=varepsilon_{1}^k , overline{varepsilon_{k}}= frac{1}{varepsilon_{k}}=varepsilon_{n-k},
varepsilon_{k}varepsilon_{ell}= varepsilon_{k+ell pmod{n}}=
left{
begin{array}{lc}
varepsilon_{k+ell} & npu k+ell<n \
varepsilon_{k+ell-n} & npu k+ellge n
end{array}
right.
.
$$
?
Вычислить сумму всех корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.
Решение
☞
ЗДЕСЬ
Пусть $ varepsilon_{} $ — корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.
Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ varepsilon_{} $ не является корнем меньшей степени из $ 1_{} $:
$$ varepsilon^j ne 1 quad npu jin {1,dots,n-1},quad varepsilon^n = 1 . $$
Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,dots, n $, то первообразным корнем $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.
П
Пример. В приведенном выше примере, корень $ displaystyle -frac{1}{2} + mathbf i frac{sqrt{3}}{2} $ не является первообразным корней $ 6_{} $-й степени из $ 1_{} $, но является
первообразным корнем $ 3_{} $-й степени из $ 1_{} $.
Т
Теорема. Корень
$$ varepsilon_k = cos frac{2 pi k}{n} + mathbf i
sin frac{2 pi k}{n}
$$
будет первообразным степени $ n_{} $ тогда и только тогда, когда $ operatorname{HOD} (k,n)=1 $ ( $ operatorname{HOD} $ означает наибольший общий делитель ).
?
Указать индексы $ kin{0,dots, 15} $, которые соответствуют первообразным корням $ displaystyle cos frac{2 pi k}{16} + mathbf i sin frac{2 pi k}{16} $ степени $ 16 $ из $ 1_{} $.
?
Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_{} $ первообразным корнем степени $ n_{} $ ?
=>
При любом $ nin mathbb N $ корень
$$ varepsilon_1 = cos frac{2 pi }{n} + mathbf i
sin frac{2 pi }{n}
$$
будет первообразным степени $ n_{} $.
?
Будет ли $ varepsilon_{n-1} $ первообразным корнем?
=>
Число первообразных корней $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ равно $ phi (n) $, где $ phi $ — функция Эйлера.
?
[2]. Пусть $ varepsilon_{k} $ — первообразный корень. Доказать, что
$ varepsilon_{k}^{k^{^{phi(n)-1}}} = varepsilon_{1} $.
=>
Произвольный корень $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $.
В самом деле, если $ varepsilon^n=1 $ и $ varepsilon^jne 1 $ при $ jin {1,2,dots,n-1} $, то все числа $ varepsilon, varepsilon^2,dots,varepsilon^{n-1} $ будут корнями $ n_{} $-й степени из $ 1_{} $, все они будут различны между собой и отличны от $ 1_{} $. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней $ varepsilon_1, varepsilon_2,dots, varepsilon_{n-1} $.
?
В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?
§
Подробнее об уравнении деления круга
☞
ЗДЕСЬ
§
Использование корней из единицы
☞
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Экспоненциальное представление комплексного числа
Материал настоящего раздела довольно сложен и может быть пропущен при первом чтении.
Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.
В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела
$$
lim_{nto+infty} left(1+frac{1}{n}right)^n ,
$$
он имеет специальное обозначение8):
$$
e approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595ldots
$$
и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция $ e^x $ (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора
$$
e^x=1+x+ frac{x^2}{2!}+dots + frac{x^n}{n!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{x^j}{j!}
$$
сходящимся при всех $ xin mathbb R $. Аналогичным рядом по комплексной переменной $ z=x+ mathbf i y $ определяется комплексная экспонента:
$$
e^z=1+z+ frac{z^2}{2!}+dots + frac{z^n}{n!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{z^j}{j!} ;
$$
и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех $ zin mathbb C $.
По аналогии с рядами Тейлора для функций
$$
sin x = x – frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}
$$
и
$$
cos x = 1- frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jx^{2j}}{(2j)!}
$$
определяются тригонометрические функции
$$
sin z = z – frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}-frac{z^7}{7!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jz^{2j+1}}{(2j+1)!}
$$
и
$$
cos z = 1- frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-frac{z^6}{6!}+dots = sum_{j=0}^{infty} frac{(-1)^jz^{2j}}{(2j)!} ;
$$
оба ряда сходятся при всех $ zin mathbb C $.
В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества
$$ sin (-z) equiv – sin z,quad cos (-z) equiv cos z , $$
т.е. функция $ sin $ является нечетной, а функция $ cos $ — четной.
Т
Теорема [Эйлер]. Формула
$$ e^{mathbf i z} equiv cos z + mathbf i sin z $$
имеет место при всех $ z in mathbb C $.
Доказательство.
$$
begin{array}{ccl}
e^{mathbf i z}&=& displaystyle 1+mathbf i z+ frac{mathbf i^2 z^2}{2!}+frac{mathbf i^3 z^3}{3!}+frac{mathbf i^4 z^4}{4!}+ dots = 1+mathbf i z- frac{z^2}{2!}-frac{mathbf i z^3}{3!}+frac{z^4}{4!}+ dots \
& = & displaystyle left(1- frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}-dots right) + mathbf ileft(z-frac{z^3}{3!}+frac{z^5}{5!}- dots right) = \
& = & cos z + mathbf i sin z .
end{array}
$$
♦
=>
Для вещественного числа $ varphi $ имеем
$$ e^{{mathbf i}varphi }= cos varphi + mathbf i sin varphi ; $$
сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_{} $ получаем его экспоненциальное представление
$$ z= rho e^{{mathbf i}varphi } . $$
=>
Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:
$$ e^{mathbf i pi}= – 1 . $$
И
См. по поводу этой формулы
☞
цитату А.Н.Крылова.
=>
Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:
$$ cos z= frac{1}{2} left( e^{{mathbf i} z}+e^{-{mathbf i} z} right),quad sin z= frac{1}{2{mathbf i}} left( e^{{mathbf i} z}-e^{-{mathbf i} z} right) .
$$
?
Угадайте первые три цифры числа $ 1001^{1000} $.
А зачем они всё же нужны?
Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых ивещественных результатов?
1.
Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ sin varphi + sin 2,varphi+dots + sin n, varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение9). Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.
2.
Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ { x,y } subset mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек
$$ (x,y) mapsto (x+a,y+b) $$
на фиксированную величину.
Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание:
$$ w mapsto overline{w} quad iff quad (x,y) mapsto (x,-y) ; $$
каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.
Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w mapsto wcdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_{} $: пусть его модуль равен $ 1_{} $, т.е. $ z = cos varphi + mathbf i sin varphi $. Умножение числа $ w_{} $ на такое число $ z_{} $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование
$$ (x,y) mapsto (-x,-y) ; $$
и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ mathbf i^2=-1 $.
Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_{} $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a in mathbb R $ и отлично от $ 0_{} $. Тогда
$$ w mapsto a cdot w quad iff quad (x,y) mapsto (ax,ay) ; $$
и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину10) $ a_{} $.
Теперь понятно, что умножение $ w_{} $ на произвольное число $ z = rho (cos varphi + mathbf i sin varphi) $ (отличное от $ 0_{} $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ varphi $ и растяжению с коэффициентом $ rho $.
Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w mapsto z_1cdot w + z_2 $, $ w mapsto z_1cdot (overline{w} + z_2) $ и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной11). Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.
Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы
$$ X=x+a, Y=y+b ; $$
$$X=x,Y=-y ; $$
$$X= x cos varphi – y sin varphi, quad Y=x sin varphi + y cos varphi ; $$
$$ X=ax, Y=ay $$
полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.
Это мнение следует считать моим личным и весьма субъективным. В книге [3] можно найти ряд приложений комплексных чисел к задачам геометрии. Моих знаний не достаточно для оценки этих задач как представляющих исключительно только исторический интерес.
3.
Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.
П
Пример. Решить уравнение $ x^3-3,x+1=0 $.
Ответом будут три вещественных корня:
$$ 2 cos ({2pi}/9) approx 1.53208, 2 cos ({4pi}/9) approx 0.34729, 2 cos ({8pi}/9) approx -1.87938 , . $$
Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной
☞
ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ?
Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено
☞
ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации
коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя
☞
слова Кардано.
♦
Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^{n-1}+dots+a_n=0 $; здесь $ n_{} $ — натуральное число, $ a_0,a_1,dots,a_n $ — произвольные фиксированные числа, а $ x_{} $ — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые).
Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название “Основной теоремы высшей алгебры”; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.
4.
Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см.
☞
ЗДЕСЬ.
.
Задачи
Источники
[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948
[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010
[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004
[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984
[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965
Содержание:
Хроника возникновения комплексных чисел:
Исследование.
1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.
- а) Если а и b – натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
- б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
- в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х1 = а также является рациональным числом.
- г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х2 = а также является действительным числом.
2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?
3)
- а) Существуют ли действительные корни уравнения х2 = а при
- б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?
4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?
На множестве действительных чисел уравнение х2 = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х2 + 1 = 0, т.е. . Отсюда . После этого, корнями уравнения х2 + 1 = 0 являются числа . Число называется мнимой единицей.
Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число , и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём “произведение” и “сумму” , и назовём комплексным числом следующее выражение . Выражение вида называется комплексным числом, где а и b – действительные числа, мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через и т.д.Например, . Запись называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b – мнимой частью комплексного числа , и записывается так: . При а = 0 получается число вида . Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + = 0, то а = 0 и b = 0.
Следствие: для комплексных чисел а + и с + равенство
а + = с + справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.
Пример. Из равенства найдите х и у.
Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5
.
Суммой комплексных чисел называется комплексное число
Действия над комплексными числами
Произведением комплексных чисел и называется число , т.е.
Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что .
Пример №1
Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц:
Как видно, натуральные степени мнимой единицы равны , -1, –‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство
Пример №2
Вычислите: а) б)
Решение: а) б)
Число называется сопряжённым для числа и обозначается как : . Ясно, что если число является сопряжённым для числа , то число является сопряжённым для числа . Поэтому, числа называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.
Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: .
В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого – произведение числа и (-1).
Для каждого комплексного числа существует противоположное число и . Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа существует противоположное.
Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:
Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .
Пример №3
Найдём разность и отношение чисел .
Решение:
Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел и справедливы тождества
Квадратный корень комплексного числа
Число, квадрат которого равен называется квадратным корнем комплексного числа и обозначается как .
Пример №4
Найдём квадратный корень комплексного числа
Решение: Пусть . Возведём обе части равенства в квадрат:
Из равенства действительных и мнимых частей имеем:
Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит,
Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел.
Пример №5
Решим уравнение .
Решение:
.
Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу точку А (а; b) и обозначим её через . Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат – мнимой, а плоскость – комплексной плоскостью.
Пример:
Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.
Модуль и аргумент комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть на комплексной плоскости комплексному числу соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через . Из по теореме Пифагора имеем:
Отсюда:
Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: .
Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,
называется аргументом комплексного числа .
Из :
Модуль числа имеет единственное значение, а аргумент находится с точностью . То есть, если одно из значений аргумента равно , то другое будет иметь вид .
Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; ).
Пример №6
Найдём модуль и аргумент комплексного числа
Решение: Из того, что следует,что
и принимая внимание, что угол расположен в I четверти,
получим:
Из формул , получаем:
Тогда
Для комплексного числа число называется тригонометрической формой комплексного числа.
В частном случае для модуля и аргумента числа имеем:
Пример №7
Запишем комплексное число
в тригонометрической форме.
Решение:
Так как угол принадлежит II четверги, то
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .
Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.
Пример:
Теперь найдём отношение
Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.
Пример:
Возвести число в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число
Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.
Пример:
Формулу называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:
Отсюда
Из равенства двух комплексных чисел имеем:
Аналогичным образом можно написать формулы для .
Корень n-ой степени комплексного числа
Найдём значение выражения .
Запишем в виде и найдём корень n – ой степени
виде .
Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:
Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на .
Это значит,
Таким образом,
Отсюда при для первых значений полученного числа равны значениям, полученным при .
Обозначим корни – ой степени единицы через
Как видно, модули корней -ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного -угольника.
Корнем -ой степени комплексного числа называется такое число , что . Если , то для корня -ой степени существуют различных значений.
Запишем в виде
.
Для получим:
Из равенства двух комплексных чисел получим:
Значения при отличаются от первых значений на
Поэтому, должно соблюдаться следующее:
Формула корни n-ой степени комплексного числа
Если , то
Пример №8
Найдём все значения
Решение: пусть
Отсюда
При
При
При
Для чего нужны комплексные числа
Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.
Арифметические операции над комплексными числами
Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.
Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.
Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.
Числа называются сопряженными.
Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если
Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.
1.Сложение (вычитание) комплексных чисел
2. Умножение комплексных чисел
В частности,
т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.
3. Деление двух комплексных чисел
Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть
Пример №9
Даны комплексные числа
Найти
Решение:
(учли, что ).
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим
Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости
Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).
Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):
Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,
Очевидно (см. рис. 16.1), что
Следовательно, комплексное число можно представить как
Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.
Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.
1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.
На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности
2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.
Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол
Пример №10
Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти
Решение:
По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)
получим аргумент числа (берем его главное значение):
Аналогично т.е.
Теперь по формулам (16.7) и (16.8)
Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:
Пример №11
Найти
Решение:
По формуле Муавра (16.9)
Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.
Пусть
Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим
или
Отсюда следует, что
Итак,
где
При значения корня уже будут повторяться.
Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.
Пример №12
Найти
Решение:
В примере 16.2 было получено
откуда получаем три значения корня
На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►
Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.
Отсюда следует показательная форма комплексного числа.
где
В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.
Формы записи комплексного числа
Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим
Определение: Выражение называется мнимой единицей.
Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у
Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.
Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.
Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.
Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число
Пример №13
Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу
Решение:
Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем
Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е.
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.
Пример №14
Решить квадратное уравнение
Решение:
Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,
Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.
Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):
Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.
Пример №15
Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).
Решение:
Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. то комплексное число
Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а – аргументом комплексного числа z .
Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:
Действия с комплексными числами
1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,
Пример №16
Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.
Решение:
Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):
Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.
Замечание: Отметим, что
2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что
Замечание: Отметим, что
Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина
3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так
Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.
Показательная форма записи комплексного числа
Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,
Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,
запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем
Комплексные числа и арифметические операции
Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида
где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.
Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.
Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:
Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число
Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число
Таким образом,
На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.
I. Пусть z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2.Тогда
Rez1 = Re z2, Im z1 = Im z2
В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.
II. z1±z2= (x1± x2) + i(y1 ± y2)-
Отсюда следует, что
Re (z1 ± z2) – Re z1 ± Re z2,
Im (z1 ± z2) – Imz1 ± 1mz2
III. z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2+x2y1).
Отсюда, в частности, получаем важное соотношение
==+=-1
Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).
Очевидно также, что для имеем
==
Легко проверить следующие свойства:
1)
- Заказать решение задач по высшей математике
Комплексная плоскость
Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.
На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.
Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.
С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:
Для аргумента ср имеем (рис. 161)
где
Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .
Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем
Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа
где
Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).
Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х2 и у2 равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .
Следствие. Так как есть длина вектора , то
Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .
Следствие. Расстояние между двумя точками равно
Теоремы о модуле и аргументе
Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если
то имеем
Отсюда
и
где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.
Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.
( — целое положительное число).
Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.
Пример №17
Построить точку .
Решение:
Имеем
Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).
Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть
Так как
то на основании теоремы 1 имеем
Отсюда
Извлечение корня из комплексного числа
Пусть
где . Тогда на основании имеем
Отсюда получаем
Таким образом,
Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.
Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем
Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.
Пример №18
Найти
Решение:
Так как , то на основании формулы (4) имеем
Отсюда
Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).
Понятие функции комплексной переменной
Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).
Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)
с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут
Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.
Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).
Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.
Пример:
Во что переходит сектор Е
(рис. 167, а) при отображении
Решение:
Имеем
Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).
Определение комплексных чисел
Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной
Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если
Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).
Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства
- 1)
- 2)
- 3)
- 4)
- 5)
□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).
Пусть Тогда
Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны
■
Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.
Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:
Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.
Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой
Легко видеть, что т.е.
Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:
Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что
Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).
Проверим, что эти операции однозначно определены.
□ Пусть Для разности имеем: откуда Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.
Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим: Частное двух комплексных чисел определено однозначно:
Такое деление можно осуществлять непосредственно:
Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).
Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к Действительное неотрицательное число называется модулем числа
Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения:
Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.
Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).
Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:
Пример:
Записать в тригонометрической форме числа
□ 1)
При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда
2) Тогда ().
Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.
Лемма 7.3. Пусть Тогда
Если
откуда следует, что
Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать
Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство
Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример:
Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для
□ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем
Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).
Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента
□ Правая часть леммы очевидна, так как и если
Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),
При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).
Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Пример №19
Найти все значения
□ 1) поэтому Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).
Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.
2) поэтому
Получим 4 значения:
(см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.
3) , поэтому
Получим 3 значения:
(см. рис. 7.4). ■
Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число
Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых
Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства
□ Пусть Тогда
Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.
Пример №20
Вычислить
□ Имеем:
Так как при всех выполняются равенства
, то функция комплексной переменной имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.
Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).
Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части
□ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь Тогда (откуда ),
Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.
Пример №21
Найти все значения
Определение 7.9. Для любых определим так:
Если
Поэтому
Аналогично,
Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ). Например, для всех
Так как
Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.
Комплекснозначные функции действительной переменной
Рассмотрим функцию такую, что Тогда при всех можно рассмотреть
Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.
Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению
Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.
Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем
в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы
□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.
Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда
Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,
Легко видеть, что это выражение совпадает с
Пример №22
Доказать, что при любом имеет место равенство
т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных
□ Пусть
Тогда
С другой стороны,
что совпадает с
Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).
Многочлены
Функция комплексной переменной
где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами
Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на
где
Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен
□ Из (7.1) имеем при
Следствие. Многочлен делится без остатка на тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена
□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.
Таким образом, число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.
Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.
В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).
Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами
раскладывается в произведение линейных множителей
где (среди чисел возможно, есть равные).
□ По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.
где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.
Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.
Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени если — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.
Если , то число не является корнем многочлена
В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:
где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна
Лемма 7.8. Пусть (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности
□ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда
Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим
Это и означает, что — корень многочлена кратности
Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).
□ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.
Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:
□ По теореме 7.3 и лемме 7.8
где — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна
Пусть Тогда
Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство.
Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.
Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:
Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:
Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:
Пример №23
Решить уравнение
□ Найдём оба значения Пусть Тогда Решая эту систему, получим: Полученное биквадратное уравнение решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны
Пример №24
Найти все значения решая уравнение
□ Левая часть раскладывается на множители:
Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:
Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом). ■
Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей
Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если
Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности то
где — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.
□ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).
Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда
Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.
Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде
где — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.
□ Пусть где и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что
Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:
и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как — многочлены с действительными коэффициентами.
Рассмотрим многочлен (это — многочлен, так как значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.
Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени и дробь правильная. Далее,
откуда
Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение в сумму правильных дробей вида
(здесь
— как разложение многочлена в теореме 7.4).
Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана
Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.
Пример №25
Разложить в сумму простейших дробей:
а) Приводя к общему знаменателю, имеем: При получим при получим Окончательно имеем:
б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем
в)
Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим: откуда Окончательно имеем
Вычисление комплексного числа
Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида
где
х – переменная.
Корнем многочлена (1.1) называется любое число такое, что
Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например:
Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения
Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество
Суммой двух комплексных чисел называется число
.
Произведением двух комплексных чисел называется число
Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения:
Относительно операций «+» и « · » комплексные числа С обладают
такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции
коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции:
вычитание и деление (кроме деления на 0).
Пример №26
Найти
Решение:
Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.
Пример №27
Решить уравнение
Решение:
Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.
Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.
Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.
При этом – длина радиуса-вектора точки z.
Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi называется
угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение называется
главным и обозначается argz.
Замечание.
При этом
Если – аргумент z, то z представляется в виде
тригонометрическая форма комплексного числа.
Теорема 1.2. Пусть
Доказательство
Из формул (1.5) следует, в частности, что – формула Муавра. (1.6)
Пример №28
Представить числа в тригонометрической форме.
Решение:
поэтому по формуле (1.3)
Тогда по формуле (1.4)
поэтому по формуле (1.3)
Тогда
Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим – формула Эйлера. (1.7)
Тогда из теоремы 1.2 следует, что
Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде показательная форма комплексного числа.
Пример №29
Вычислить
Решение:
Согласно примеру 1.3
Поэтому
Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z C называется такое
число , что , при этом обозначается . Таким образом
Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа z, при этом,
если , то
Пример №30
Найти
Решение:
- Координаты на прямой
- Координаты на плоскости
- Линейная функция
- Квадратичная функция
- Степенные ряды
- Элементы матричного анализа
- Уравнение линии
- Функции нескольких переменных