Как найти угол вектора комплексного числа

Угол между векторами через скалярное произведение в комплексном пространстве

Primary tabs

Forums:

Скалярное произведение комплексных векторов

Норма вектора через скалярное произведение

Евклидова норма через скалярное произведение для вектора $x$ выглядит так:
$Large ||x|| = sqrt<(x,x)>$

Косинус угла через скалярное произведение и норму

Косинус угла $m$ между векторами $x$ и $y$ в комплексном пространстве определяется равенством:
$Large cos , m = <(x, y)over<||x|| * ||y||>>$
где:

• $(x,y)$ — скалярное произведение этих векторов
• а $||x|| * ||y||$ — произведение их норм

Пример расчета косинуса для комплексных векторов

Возьмём два вектора:
$[1+i, 2]$ и $[2+i, i]$
Вычислим:

• Их скалярное произведение: $ [1+i, 2] cdot [2+i, i] = (1+i) cdot (overline<2+i>) + 2 cdot overline i = (1+i) cdot (2-i) + 2 cdot (-i) = 3-i$
• Норму $[1+i, 2]$:
  $sqrt <[1+i, 2] cdot [1+i, 2]>= sqrt <1 – i^2 + 4>= sqrt<6>$
• Норму $[2+i, i]$:
  $sqrt <[2+i, i] cdot [2+i, i]>= sqrt <4 – i^2 – i^2>= sqrt<6>$

Тогда для косинуса угла между этими векторами получаем:
$large cos , m = <3 – i over<sqrt<6>* sqrt<6>>> = <3 – i over<6>>$
т.е. фактически комплексное число (т.е. комплексное значение косинуса).

Вычисление угла между комплексными векторами

Вычисление угла требует получения арккосинуса для комплексного числа.

Угол вектора комплексного числа

Комплексные числа и операции с ними

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Известно, что область определения некоторых функций на множестве вещественных чисел ограничена. Например функция определена для , аналогично можно вспомнить, что функция определена для 0″/>, а функция определена для .

Однако, ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел не означает, что , или не имеют смысла. Ограниченная область определения функций на множестве вещественных чисел говорит лишь о том, что не может быть представлено вещественным числом. Действительно, среди вещественных чисел не найти такого числа , квадрат которого был бы равен .

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Все бесконечное множество вещественных чисел можно представить в виде одной числовой прямой (смотри рисунок 1), на которой мы можем откладывать рациональные и иррациональные вещественные числа. Но на этой прямой нет числа , значит его надо искать вне числовой прямой. Таким образом мы должны расширить множество вещественных чисел до множества в котором значения , или уже не бессмысленны, а являются такими же обычными числами в этом расширенном множестве, как на множестве вещественных чисел.

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число .

Значение вещественного числа однозначно определяет его позицию на числовой прямой, однако для определения позиции на плоскости одного числа недостаточно.

Для «навигации» по комплексной плоскости вводятся две прямые и , которые пересекаются в начале координат. Прямая это числовая прямая, называемая реальной осью, на которой лежат все вещественные числа. Прямая называется мнимой осью и она перпендикулярна реальной оси . Оси и делят комплексную плоскость на четверти, как это показано на рисунке 1.

Любая точка комплексной плоскости задается двумя координатами и по осям и соответственно. При этом само комплексное число можно записать как , где называется реальной частью и задает координату точки комплексной плоскости на вещественной прямой , а называется мнимой частью и задает координату точки комплексной плоскости на мнимой оси .

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей .

Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как , но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой .

Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси .

Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси .

Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось	0	φ = 2kπ
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение числа z	Отрицательная вещественная полуось
Знаки x и y	Третий квадрант
Знаки x и y	Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y	Четвёртый квадрант
Знаки x и y

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z₀ , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂ , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

то по формуле (10) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Аргумент и модуль комплексного числа

Вычислить аргумент и модуль комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что . Обозначается: arg(z).

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Как найти угол вектора комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z ₁ имеем . Поэтому .

Для действительного числа . Поэтому

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z ₁ – z ₂ изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z ₁ и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z ₂, дает число z ₁, то есть , если .

Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .

Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен P_n ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib

В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/ugol-vektora-kompleksnogo-chisla

http://www.sites.google.com/site/vyssaamatem/glava-vii-kompleksnye-cisla/vii-1-formy-zapisi-kompleksnyh-cisel-i-dejstvia-nad-nimi

[/spoiler]

Содержание:

Хроника возникновения комплексных чисел:

Исследование.

1) Подтвердите примерами справедливость следующих высказываний. Если высказывание ложно, то сделайте так, чтобы оно стало истинным.

• а) Если а и b – натуральные числа, то корень уравнения х + а = b также является натуральным числом.
• б) Если а и b -целые числа, то корень уравнения ах = b также является целым числом
• в) Если а неотрицательное рациональное число, то корень уравнения х₁ = а также является рациональным числом.
• г) Если а неотрицательное действительное число, то корень уравнения х₂ = а также является действительным числом.

2) Существует ли действительное число квадрат которого равен -1?

3)

• а) Существуют ли действительные корни уравнения х₂ = а при
• б) Можно ли решить эту задачу расширив множество действительных чисел?

4) Существует ли однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой оси? А какие числа соответствуют точкам на координатной плоскости?

На множестве действительных чисел уравнение х₂ = -1 не имеет решений. Значит, мы должны расширить множество действительных чисел так, чтобы корни этого уравнения входили в него. Для этого введём новое число и примем, что оно является корнем уравнения х₂ + 1 = 0, т.е. . Отсюда . После этого, корнями уравнения х₂ + 1 = 0 являются числа . Число называется мнимой единицей.

Расширим множество действительных чисел так, чтобы в него входили все действительные числа и число , и были справедливы все свойства сложения и умножения. Для произвольных действительных чисел а и b введём “произведение” и “сумму” , и назовём комплексным числом следующее выражение . Выражение вида называется комплексным числом, где а и b – действительные числа, мнимая единица.Комплексные числа можно обозначать через и т.д.Например, . Запись называется алгебраической формой комплексного числа, а является действительной частью, b – мнимой частью комплексного числа , и записывается так: . При а = 0 получается число вида . Эти числа называются чисто мнимыми числами. При а = 0, b = 0 комплексное число равно нулю и наоборот, если а + = 0, то а = 0 и b = 0.

Следствие: для комплексных чисел а + и с + равенство

а + = с + справедливо тогда и только тогда, если а = с, b = d.

Пример. Из равенства найдите х и у.

Решение: Из равенства действительных и мнимых частей получаем: х = 5

.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число

Действия над комплексными числами

Произведением комплексных чисел и называется число , т.е.

Значит, два комплексных числа умножаются по правилу умножения многочленов при условии, что .

Пример №1

Рассмотрим частные случаи степеней мнимых единиц:

Как видно, натуральные степени мнимой единицы равны , -1, –‘, 1 и повторяются через каждые четыре шага, т.е.справедливо равенство

Пример №2

Вычислите: а) б)

Решение: а) б)

Число называется сопряжённым для числа и обозначается как : . Ясно, что если число является сопряжённым для числа , то число является сопряжённым для числа . Поэтому, числа называются взаимно сопряжёнными комплексными числами. Действительные части взаимно сопряжённых чисел равны, а мнимые части являются противоположными числами.

Произведение взаимно сопряжённых комплексных чисел является действительным числом: .

В частном случае, сопряжённым для действительного числа является само число, для мнимого – произведение числа и (-1).

Для каждого комплексного числа существует противоположное число и . Для каждого, отличного от нуля, комплексного числа существует противоположное.

Вычитание и частное комплексных чисел определяется равенствами:

Для нахождения отношения комплексных чисел, удобнее числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое для знаменателя .

Пример №3

Найдём разность и отношение чисел .

Решение:

Все свойства арифметических операций для действительных чисел, справедливы для комплексных чисел. Как следствие, получаем, что любые алгебраические тождества справедливы для множества комплексных чисел. Например, для комплексных чисел и справедливы тождества

Квадратный корень комплексного числа

Число, квадрат которого равен называется квадратным корнем комплексного числа и обозначается как .

Пример №4

Найдём квадратный корень комплексного числа

Решение: Пусть . Возведём обе части равенства в квадрат:

Из равенства действительных и мнимых частей имеем:

Отсюда получаем решение (2; -1) и (-2; 1). Значит,

Примечание: В отличии от действительных чисел, говоря о квадратном корне комплексного числа, имеется в виду каждое из двух значений, различающихся знаками. Корни квадратного уравнения для множества комплексных чисел находится по тому же правилу, что и для действительных чисел.

Пример №5

Решим уравнение .

Решение:

.

Легко можно проверить, что также в силе остаётся и теорема Виета. Для квадратного уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни являются сопряжёнными числами. Комплексное число задаётся парой действительных чисел (а; b) и эта пара соответствует определённым точкам на координатной плоскости. Поставим в соответствие числу точку А (а; b) и обозначим её через . Каждая точка на координатной плоскости изображает комплексное число и наоборот, каждое комплексное число на координатной плоскости, соответствует одной точке. Действительные числа располагаются на оси абсцисс, чисто мнимые числа на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат – мнимой, а плоскость – комплексной плоскостью.

Пример:

Точки, соответствующие комплексно сопряжённым числам располагаются симметрично оси абсцисс.

Модуль и аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть на комплексной плоскости комплексному числу соответствует точка М(а; b). Обозначим расстояние ОМ через R, угол между лучом ОМ и положительным направлением оси абсцисс через . Из по теореме Пифагора имеем:

Отсюда:

Расстояние, от начала координат до точки соответствующей комплексному числу, называется модулем комплексного числа и обозначается как: .

Угол, образованный конечной стороной угла поворота луча ОМ,

называется аргументом комплексного числа .

Из :

Модуль числа имеет единственное значение, а аргумент находится с точностью . То есть, если одно из значений аргумента равно , то другое будет иметь вид .

Для аргумента комплексного числа, обычно берётся угол принадлежащий промежутку [0; ).

Пример №6

Найдём модуль и аргумент комплексного числа

Решение: Из того, что следует,что

и принимая внимание, что угол расположен в I четверти,

получим:

Из формул , получаем:

Тогда

Для комплексного числа число называется тригонометрической формой комплексного числа.

В частном случае для модуля и аргумента числа имеем:

Пример №7

Запишем комплексное число

в тригонометрической форме.

Решение:

Так как угол принадлежит II четверги, то

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме .

Чтобы найти произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, надо перемножить их модули и сложить их аргументы.

Пример:

Теперь найдём отношение

Модуль отношение равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример:

Возвести число в степень с натуральным показателем n можно умножив n раз число

Модуль степени комплексного числа с натуральным показателем равен степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания умноженному на показатель степени n.

Пример:

Формулу называют формулой Муавра. При помощи этой формулы можно найти синус и косинус n кратных углов через синус и косинус одинарных углов. Например, при n = 2 имеем:

Отсюда

Из равенства двух комплексных чисел имеем:

Аналогичным образом можно написать формулы для .

Корень n-ой степени комплексного числа

Найдём значение выражения .

Запишем в виде и найдём корень n – ой степени

виде .

Возведём каждую из двух сторон в n-ую степень:

Если два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны, то их модули равны, а аргументы отличаются на .

Это значит,

Таким образом,

Отсюда при для первых значений полученного числа равны значениям, полученным при .

Обозначим корни – ой степени единицы через

Как видно, модули корней -ой степени равны 1, аргументы отличаются друг от друга в раз. То есть, эти числа расположены внутри единичной окружности, центр которой совпадает с началом координат, и соответствуют комплексным числам, являющимися вершинами правильного -угольника.

Корнем -ой степени комплексного числа называется такое число , что . Если , то для корня -ой степени существуют различных значений.

Запишем в виде

.

Для получим:

Из равенства двух комплексных чисел получим:

Значения при отличаются от первых значений на

Поэтому, должно соблюдаться следующее:

Формула корни n-ой степени комплексного числа

Если , то

Пример №8

Найдём все значения

Решение: пусть

Отсюда

При

При

При

Для чего нужны комплексные числа

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений. Так, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Арифметические операции над комплексными числами

Комплексным числом называется выражение вида где — действительные числа, — мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается (от франц. reele — «действительный»), а число — мнимой частью числа и обозначается (от франц. imaginaire — «мнимый»), т.е.

Действительное число является частным случаем комплексного при Комплексные числа вида не являющиеся действительными, т.е. при называются мнимыми, а при т.е. числа вида — чисто мнимыми.

Числа называются сопряженными.

Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если В частности, если

Арифметические операции на множестве комплексных чисел определяются следующим образом.

1.Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел

В частности,

т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен — 1.

3. Деление двух комплексных чисел

Нетрудно убедиться в том, что все арифметические операции (16.1)-(16.3) над комплексными числами определяются естественным образом из правил сложения и умножения многочленов если считать Например, произведение комплексных чисел (16.2) есть

Пример №9

Даны комплексные числа

Найти

Решение:

(учли, что ).

Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число , получим

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки координатной плоскости

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости причем это соответствие взаимно однозначное (рис. 16.1).

Оси , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки , длина которого называется модулем комплексного числа и обозначается (см. рис. 16.1):

Угол образованный радиусом-вектором с осью называется аргументом комплексного числа и обозначается Из значений выделяется главное значение удовлетворяющее условию Например,

Очевидно (см. рис. 16.1), что

Следовательно, комплексное число можно представить как

Представление комплексного числа в виде (16.6), где называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем некоторые свойства арифметических операций над комплексными числами.

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чиселих суммы и разности

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произ ведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент — сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Геометрически умножение числа означает изменение длины радиуса-вектора раз и его поворот вокруг точки против часовой стрелки на угол

Пример №10

Комплексные числа представить в тригонометрической форме и найти

Решение:

По формуле (16.4) найдем модуль комплексного числа а из соотношений (16.5)

получим аргумент числа (берем его главное значение):

Аналогично т.е.

Теперь по формулам (16.7) и (16.8)

Так как в соответствии с формулами (16.7) и (16.8) при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень , известную как формула Муавра:

Пример №11

Найти

Решение:

По формуле Муавра (16.9)

Обратимся к извлечению корня из комплексного числа.

Пусть

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

или

Отсюда следует, что

Итак,

где

При значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень -й степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет различных значений.

Пример №12

Найти

Решение:

В примере 16.2 было получено

откуда получаем три значения корня

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки расположенные на окружности радиуса (рис. 16.3). ►

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выражается формулой Эйлера.

Отсюда следует показательная форма комплексного числа.

где

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня из комплексных чисел.

Формы записи комплексного числа

Решение простейшего квадратного уравнения невозможно в области вещественных чисел. Однако, если выполнить решение формально, то получим

Определение: Выражение называется мнимой единицей.

Определение: Комплексным числом называется выражение вида где х,у

Определение: Приведенная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Определение: Два комплексных числа называются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т.е.

Определение: Комплексное число называется нулевым, если вещественная и мнимая части равны нулю.

Определение: Комплексно-сопряженным к комплексному числу называется комплексное число

Пример №13

Записать комплексно-сопряженное число к комплексному числу

Решение:

Согласно определению комплексно-сопряженного числа получаем

Замечание: Двойное комплексное сопряжение приводит к исходному комплекс- ному числу, т.е.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом невозможно в области вещественных чисел, так как нельзя извлекать корень четной степени из отрицательного числа на множестве действительных чисел. Однако это ограничение снимается в области комплексных чисел.

Пример №14

Решить квадратное уравнение

Решение:

Вычислим дискриминант уравнения таким образом, Следовательно,

Замечание: Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда состоит из комплексно-сопряженных корней.

Комплексное число изобретается на комплексной плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой М(х; у) (Рис. 2):

Рис. 2. Изображение комплексного числа на комплексной плоскости.

Пример №15

Изобразить на комплексной плоскости число z = 2-3i (Рис. 3).

Решение:

Рис. 3. Изображение комплексного на комплексной плоскости. Если перейти от декартовой системы координат к полярной системе отсчета, т.е. то комплексное число

Определение: Полученная форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Обратный переход от полярной системы отсчета к декартовой системе координат осуществляется по формулам:при этом является модулем, а – аргументом комплексного числа z .

Замечание: Аргумент комплексного числа определяется в зависимости от знаков вещественной и мнимой частей:

Действия с комплексными числами

1. Для того чтобы сложить (найти разность) два комплексных числа и сложить (найти разность) отдельно действительные и мнимые части,

Пример №16

Найти сумму и разность чисел Изобразить все числа на комплексной плоскости.

Решение:

Найдем сумму заданных комплексных чисел Вычислим разность данных чисел Изобразим заданные и полученные числа на комплексной плоскости (Рис. 4):

Рис. 4. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости.

Замечание: Отметим, что

2. Для того чтобы найти произведение двух комплексных чисел и надо их перемножить, как два выражения с учетом того, что

Замечание: Отметим, что

Замечание: Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеет вид Из полученной формулы видно, что модули комплексных чисел перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, n-ая степень любого комплексного числа будет иметь вид При извлечении корня п -ой степени применяют формулу Муавра где величина

3. Деление комплексного числа на комплексное число осуществляется так

Замечание: Деление этих чисел в тригонометрической форме записи имеет вид: т.е. при делении комплексных чисел берут отношение модулей этих чисел, а из аргумента первого числа вычитают аргумент второго комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа

Известно, что любую дифференцируемую функцию можно представить по формуле Тейлора-Маклорена (см. Лекцию № 22, Первый семестр), например,

Последняя формула называется формулой Эйлера. Используя эту формулу,

запишем комплексное число в показательной форме: Отсюда видно, что при нахождении произведения и отношения комплексных чисел получаем

Комплексные числа и арифметические операции

Как известно, под комплексным числом понимается выражение вида

где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.

Числа вида отождествляются с действительными числами; в частности, . Числа вида 0 + iy = iy называются чисто мнимыми.

Действительные числа х и у называются соответственно действительной и мнимой частями числа z и обозначаются следующим образом:

Под модулем комплексного числа z понимается неотрицательное число

Сопряженным числом к числу (1) называется комплексное число

Таким образом,

На множестве комплексных чисел следующим образом определено отношение равенства двух чисел, а также операции сложения, вычитания, умножения и деления.

I. Пусть z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂.Тогда

Rez₁ = Re z₂, Im z₁ = Im z₂

В частности, z = 0 Re z = 0, Im z = 0.

II. z₁±z₂= (x₁± x₂) + i(y₁ ± y₂)-

Отсюда следует, что

Re (z₁ ± z₂) – Re z₁ ± Re z₂,

Im (z₁ ± z₂) – Imz₁ ± 1mz₂

III. z₁z₂ = (x₁x₂ – y₁y₂) + i(x₁y₂+x₂y₁).

Отсюда, в частности, получаем важное соотношение

==+=-1

Заметим, что правило умножения III получается формально путем умножения двучленов + и + с учетом (7).

Очевидно также, что для имеем

==

Легко проверить следующие свойства:

1)

• Заказать решение задач по высшей математике

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть поставлена в соответствие точка плоскости z(x, у) (рис. 161), причем это соответствие взаимно однозначно. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью, и вместо комплексных чисел говорят о точках комплексной плоскости.

На оси Ох расположены действительные числа: z =:, поэтому она называется действительной осью. На оси Оу расположены чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, она носит название мнимой оси.

Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки г от начала координат.

С каждой точкой z связан радиус-вектор этой точки Oz; угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, называется аргументом ф = Arg z этой точки. Здесь . Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наименьшее по модулю значение Arg z называется главным значением его и обозначается через arg z:

Для аргумента ср имеем (рис. 161)

где

Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = ; 3) arg i = .

Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассматривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда получаем

Таким образом, имеем тригонометрическую форму комплексного числа

где

Теорема: При сложении комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).

Действительно, если число соответствует точке с координатами , а число — точке с координатами то числу отвечает точка Так как (рис. 162) заштрихованные прямоугольные треугольники с катетами х₂ и у₂ равны между собой, то четырехугольник с вершинами 0, есть параллелограмм. Следовательно, радиус-вектор точки является суммой радиусов-векторов точек и .

Следствие. Так как есть длина вектора , то

Теорема: При вычитании комплексных чисел их радиусы-векторы вычитаются. Так как , то равен второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах (рис. 163), т. е. равен разности радиусов-векторов точек .

Следствие. Расстояние между двумя точками равно

Теоремы о модуле и аргументе

Теорема: Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. Действительно, если

то имеем

Отсюда

и

где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и правой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на показатель степени, т. е.

( — целое положительное число).

Доказательство непосредственно вытекает из рассмотрения произведения равных сомножителей.

Пример №17

Построить точку .

Решение:

Имеем

Следовательно, при умножении на i вектор поворачивается на прямой угол против хода часовой стрелки (рис. 164).

Теорема: Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Пусть

Так как

то на основании теоремы 1 имеем

Отсюда

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть

где . Тогда на основании имеем

Отсюда получаем

Таким образом,

Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня.

Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения , так как при всех прочих значениях k получаются повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем

Из формулы (4) следует, что корень -й степени из любого комплексного числа =0 имеет точно л значений.

Пример №18

Найти

Решение:

Так как , то на основании формулы (4) имеем

Отсюда

Точки представляют собой равноотстоящие друг от друга точки, расположенные на окружности радиуса (рис. 165).

Понятие функции комплексной переменной

Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость г) и O’uv (плоскость w).

Определение: Если каждой точке z Е (Е — множество точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка w Е’ (Е’ — множество точек плоскости w), то говорят, что w есть функция от z (однозначная)

с областью определения Е, значения которой принадлежат множеству Е’ (рис. 166). Если множество значений функции f(z) исчерпывает все множество Е то Е’ называется множеством значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае пишут

Множества Е и Е’ можно изображать на одной комплексной плоскости.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят свое применение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика, так как с их помощью удобно описывать «историю» движения объема жидкости (или газа).

Раздел математики, изучающий свойства комплексных функций, носит название теории функций комплексной переменной.

Пример:

Во что переходит сектор Е

(рис. 167, а) при отображении

Решение:

Имеем

Поэтому отображенная область E’ представляет собой полукруг (рис. 167, б).

Определение комплексных чисел

Определение комплексного числа и основные функции комплексной переменной

Определение 7.1. Множеством комплексных чисел называется множество пар действительных чисел на котором введены операции сложения и умножения следующим образом. Если то Элементы множества называются комплексными числами. Два комплексных числа называются равными, если

Операции сложения и умножения на множестве обладают привычными свойствами (коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения).

Лемма 7.1. Для любых комплексных чисел выполняются равенства

• 1)
• 2)
• 3)
• 4)
• 5)

□ Докажем, например, свойство 4 (свойство 5 доказывается аналогично, свойства 1, 2, 3 очевидны).

Пусть  Тогда

Два последних комплексных числа совпадают. После раскрытия скобок оказывается, что оба они равны

■

Определение 7.2. Комплексное число отождествляется с действительным числом а.

Это определение оправдывается тем, что установлено взаимно однозначное соответствие между множеством пар и множеством действительных чисел, сохраняющее операции сложения и умножения:

Такое соответствие в высшей алгебре называется изоморфизмом.

Определение 7.3. Комплексное число (0,1) обозначается буквой

Легко видеть, что т.е.

Далее, так как то пару можно записать в виде В дальнейшем комплексное число так и будем записывать: где Определения операций при этом запишутся так:

Иными словами, комплексные числа можно складывать и умножать, пользуясь известными законами сложения и умножения (лемма 7.1), имея в виду, что

Определение 7.4. Разностью двух комплексных чисел и называется такое комплексное число что (обозначается ). Частным двух комплексных чисел () называется такое комплексное число z, что (обозначается ).

Проверим, что эти операции однозначно определены.

□ Пусть Для разности имеем: откуда  Тогда Разность двух комплексных чисел определяется однозначно: т.е. вычитание можно осуществлять непосредственно.

Для частного имеем: откуда Так как то определитель этой системы решая систему по правилу Крамера, получим:    Частное двух комплексных чисел определено однозначно:

Такое деление можно осуществлять непосредственно:

Комплексное число называется сопряжённым к числу Мы воспользовались тем, что Произведённые действия аналогичны домножению числителя и знаменателя дроби со знаменателем вида где на число сопряжённое к знаменателю (такие действия применяются для избавления от иррациональности в знаменателе).

Определение 7.5. Пусть где Тогда числа называются соответственно действительной и мнимой частью числа                   (). Комплексное число называется числом, сопряжённым к  Действительное неотрицательное число называется модулем числа

Лемма 7.2. Для любых комплексных чисел имеют место следующие соотношения: 

Доказать эти утверждения будет предложено самостоятельно в качестве упражнения.

Множество комплексных чисел геометрически интерпретируется как множество точек плоскости (комплексная плоскость ). Если координаты точек заданы в прямоугольной системе координат 0, (кратчайший поворот от осуществляется против часовой стрелки), то комплексное число соответствует точке с координатами Такое соответствие является взаимно однозначным. Точка симметрична точке относительно оси абсцисс, которая называется действительной осью, ось ординат называется мнимой осью. Расстояние от точки до начала координат равно (см. рис. 7.1).

Аргументом числа называется угол поворота от положительного луча действительной оси к лучу (против часовой стрелки). Этот угол определён с точностью до и обозначается Аргумент нулевого комплексного числа не определён. Фактически мы ввели полярные координаты на комплексной плоскости: При этом и комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

Пример:

Записать в тригонометрической форме числа

□  1) 

При записи комплексного числа в тригонометрической форме обычно берут одно фиксированное («наиболее простое») значение аргумента. Возьмём Тогда

2)  Тогда ().

Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, удобно умножать и делить. При умножении модули чисел перемножаются, аргументы складываются. При делении модули делятся, аргументы вычитаются.

Лемма 7.3. Пусть Тогда

 

Если
откуда следует, что

Степень с целым показателем для комплексных чисел определяется так же, как и для действительных. Поэтому мы можем сформулировать

Следствие (формула Муавра). Если то при любом целом имеет место равенство

Иными словами, при возведении комплексного числа в целую степень модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример:

Применяя формулу Муавра, получить известные формулы тригонометрии для

□ Имеем: Возводя двучлен в куб, получим: (мы воспользовались тем, что ). Приравнивая действительные и мнимые части двух равных выражений, имеем

Определение 7.6. Пусть — натуральное число, Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.4. Если принимает единственное значение 0 при любом Если то принимает ровно комплексных значений, имеющих одинаковый модуль различных значений аргумента 

□ Правая часть леммы очевидна, так как и если
 Пусть теперь Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на (пока значение стояло только под знаком косинуса и синуса, неоднозначность определения можно было не учитывать, если сравнивать сами углы — эту неоднозначность учитывать необходимо). Итак, откуда (арифметический корень степени из положительного числа),

При замене получим тот же угол, увеличенный на поэтому существенно различные значения дают лишь значений далее значения корня повторяются).    

Замечание. значений на комплексной плоскости соответствуют точкам, лежащим в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример №19

Найти все значения

□ 1) поэтому  Получим 3 значения: (см. рис. 7.2).

Первое из них — арифметическое значение кубического корня из положительного числа 8.

2) поэтому

Получим 4 значения:

(см. рис. 7.3). здесь — арифметическое значение корня 4-й степени из положительного числа 5.

3) ,  поэтому

Получим 3 значения:

(см. рис. 7.4).    ■

Определение 7.7. Пусть Тогда определяется как комплексное число

Если (при получаем обычное действительное значение ). Отмстим, что при любых

Лемма 7.5. Для любых имеют место равенства 

□ Пусть Тогда

Далее, так как откуда следует второе утверждение леммы.    

Пример №20

Вычислить

□ Имеем:

Так как при всех выполняются равенства
, то функция комплексной переменной  имеет мнимый период Привычной взаимной однозначности отображения при помощи функции уже нет.

Определение 7.8. Логарифмом комплексного числа называется комплексное число такое, что (обозначение: ).

Лемма 7.6. Если не определен. Если принимает бесконечно много значений, имеющих одинаковую действительную часть (обычный натуральный логарифм положительного числа) и бесконечное число значений мнимой части

□ Первая часть леммы следует из того, что при любых Пусть теперь  Тогда (откуда ),

Таким образом, множество значений функции есть вся комплексная плоскость, кроме точки 0.

Пример №21

Найти все значения  

Определение 7.9. Для любых определим так:

Если

Поэтому

Аналогично,

Отметим также, что все известные формулы тригонометрии сохраняются для комплексных значений аргументов (при этом ).   Например, для всех

Так как

Легко видеть, что Косинус на действительной оси соответствует гиперболическому косинусу на мнимой оси и наоборот: аналогично для синусов. Поэтому формально все операции для тригонометрических и гиперболических функций проводятся одинаково с точностью до некоторых степеней числа (если работать только с действительными числами, то всё будет происходить одинаково с точностью до степеней числа —1). Этим и объясняется сходство формул тригонометрии с соответствующими формулами для гиперболических функций, включая формулы для производных и разложения по формуле Тейлора.

Комплекснозначные функции действительной переменной

Рассмотрим функцию такую, что  Тогда при всех можно рассмотреть

Так как можно интерпретировать как плоскость , то комплекснозначная функция действительной переменной фактически есть двумерная вектор-функция, значения которой записываются как комплексные числа.

Определение 7.10. Комплекснозначная функция действительной переменной называется непрерывной (дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д.) в точке или на промежутке, если таковыми же являются обе функции Для дифференцируемой функции по определению  

Для комплекснозначных функций сохраняются формулы производной суммы, произведения и частного.

Лемма 7.7. Если комплекснозначные функции действительной переменной дифференцируемы в точке то функции также дифференцируемы в этой точке, причем

в точке (в последнем случае нужно требовать, чтобы

□ Докажем лемму для случая производной произведения. Утверждение для производной суммы доказывается проще, а для производной частного — несколько сложнее, но, по сути дела, аналогично.

Пусть функции дифференцируемы в точке Тогда

Функция дифференцируема в точке так как существуют и конечны все производные в последнем выражении. Далее,

Легко видеть, что это выражение совпадает с

Пример №22

Доказать, что при любом имеет место равенство

т.е. привычная для действительных формула сохраняется и при комплексных

□ Пусть

Тогда

С другой стороны,

что совпадает с

Отметим, что производная комплекснозначной функции берётся по действительной переменной. Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении комплекснозначных функций комплексной переменной и при дифференцировании их по комплексной переменной. Здесь имеют место совершенно неожиданные эффекты (например, если функция дифференцируема в окрестности точки, то она имеет производные всех порядков в этой окрестности), которые студенты обычно изучают на III курсе (курс ТФКП — теория функций комплексной переменной).

Многочлены

Функция комплексной переменной

где называется многочленом степени от переменной Многочлен степени 0 — это постоянная функция где Нулевому многочлену не приписывается никакая степень (иногда удобно считать, что его степень равна ). Если все , то говорят о многочлене с действительными коэффициентами ( или по смыслу задачи). Если все то говорят о многочлене с комплексными коэффициентами

Если — многочлен степени то многочлен можно разделить с остатком на

где

Теорема 7.1 (Безу). Остаток от деления многочлена на двучлен равен

□ Из (7.1) имеем при

Следствие. Многочлен делится без остатка на  тогда и только тогда, когда число является корнем многочлена

□ Утверждение немедленно следует из теоремы Безу.

Таким образом, число является корнем многочлена  тогда и только тогда, когда где степень многочлена на единицу меньше степени Р.

Теорема 7.2 (основная теорема алгебры). Любой многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

В настоящее время мы не располагаем математическим аппаратом для доказательства этой теоремы, поэтому примем её без доказательства. Доказана она будет очень просто в курсе ТФКП (и даже двумя способами — как простое следствие из теоремы Лиувилля или теоремы Руше).

Теорема 7.3. Многочлен с комплексными коэффициентами

раскладывается в произведение линейных множителей

где (среди чисел  возможно, есть равные).

□    По основной теореме алгебры где — многочлен степени Применяя такую же процедуру к получим: — многочлен степени и т.д. В конце концов дойдём до многочлена степени 0.

где (комплексная постоянная). Здесь — комплексные числа, среди которых могут быть равные.

Если раскрыть скобки в правой части (7.2), то коэффициент при будет равен С, т.е.

Определение 7.11. Комплексное число называется корнем кратности многочлена степени  если  — многочлен такой, что При корень называется простым, при — кратным.

Если , то число не является корнем многочлена

В общем случае, учитывая кратность корней, многочлен степени раскладывается на линейные множители:

где все комплексные числа различны, корень имеет кратность , при этом степень многочлена равна

Лемма 7.8. Пусть  (многочлен, сопряжённый к P). Число является корнем многочлена Р  кратности тогда и только тогда, когда число а является корнем многочлена той же кратности

 □ Так как то утверждение достаточно доказать лишь в одну сторону. Пусть Тогда

Так как — любое комплексное число, то в последней записи можно заменить Получим

Это и означает, что — корень многочлена кратности

Следствие. Если — многочлен с действительными коэффициентами, то числа одновременно являются его корнями, причем кратности их совпадают (т.е. недействительные корни появляются «парочками» — взаимно сопряжённые корни одинаковой кратности).

□ Это очевидно из леммы 7.8, так как — один и тот же многочлен.  

Теорема 7.4. Многочлен степени с действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных и неприводимых квадратичных множителей:

□ По теореме 7.3 и лемме 7.8

где  — действительные корни многочлена кратностей соответственно, a — оставшиеся корни ( имеют одинаковую кратность ). Очевидно, что степень многочлена равна т.е. эта сумма равна

Пусть  Тогда

Получили квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами который имеет отрицательный дискриминант Остаётся символически заменить подчёркивая этим, что нас интересуют лишь действительные значения и мы получим нужное равенство. 

Теорема 7.4 является примером утверждения, в формулировке которого отсутствуют комплексные числа (чисто действительное утверждение), а естественное доказательство его получается с выходом во множество комплексных чисел. Таких утверждений можно встретить немало в различных математических курсах и прикладных науках.

Кстати, квадратный трехчлен с комплексными коэффициентами имеет такой же вид разложения на линейные множители, как и квадратный трёхчлен с действительными корнями в элементарной алгебре:

Корни — комплексные, и они обязательно существуют. Роль дискриминанта сводится только к определению того, различны ли корни или они совпадают (т.е. квадратный трёхчлен имеет один корень кратности 2). Если то квадратный трёхчлен имеет два различных простых корня, если  — один корень кратности 2. В самом деле, решая квадратное уравнение методом выделения полного квадрата, получим, как и в элементарной алгебре:

Если и уравнение имеет один корень кратности 2 Если то (писать ± не имеет смысла, так как  и под понимаются оба значения квадратного корня из ненулевого комплексного числа). Окончательно получим привычную формулу корней квадратного уравнения:

Пример №23

Решить уравнение

□ Найдём оба значения Пусть Тогда   Решая эту систему, получим:  Полученное биквадратное уравнение  решается при помощи замены Квадратное уравнение имеет корни Так как Получили два значения квадратного корня: Тогда корни данного уравнения равны

Пример №24

Найти все значения  решая уравнение 

□ Левая часть раскладывается на множители:

Поэтому один из корней равен 2. Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней поэтому  имеет всего одно действительное значение 2. Найдём оставшиеся два комплексно-сопряжённых значения. Решаем квадратное уравнение по формуле чётного коэффициента:

Во множестве комплексных чисел имеет два значения поэтому имеет 3 комплексных значения: (такой же результат был получен в примере 7.3 другим способом).    ■

Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей

Мы будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции — многочлены степеней соответственно где Дробь называется правильной, если и неправильной, если

Лемма 7.9. Если правильная дробь и —действительный корень многочлена кратности  то

где  — многочлен, для которого является корнем кратности a — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Так как — корень кратности то где — многочлен такой, что Рассмотрим число  и многочлен (это многочлен, так как и числитель делится нацело на ).

Так как степень G меньше степени Q и степень Р меньше степени Q, то степень числителя последней дроби меньше степени Q; значит, степень меньше степени т.е. дробь правильная. Далее, откуда

Утверждение леммы, очевидно, сохраняется, если все числа и многочлены считать комплексными.

Лемма 7.10. Пусть — неприводимый квадратный трёхчлен, входящий в разложение многочлена на множители в степени Тогда правильная дробь представляется в виде

где  — многочлен, в разложение которого входит в степени — такой многочлен, что дробь является правильной.

□ Пусть где  и комплексно-сопряжённые корни квадратного трёхчлена — действительный многочлен такой, что Рассмотрим действительные числа А и В такие, что

Такие числа А и В определены единственным образом, так как если то равенство (7.3) перепишется так:

и числа А, В находятся из системы очевидно, имеющей единственное решение. Из (7.3) следует также, что так как  — многочлены с действительными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен  (это — многочлен, так как  значит, числитель делится нацело на и на следовательно, делится на ). Пусть степень Q равна Так как степень G не превосходит то степень многочлена не превосходит т.е. меньше степени Q. Степень Р также меньше степени Q, поэтому степень числителя последней дроби меньше степени Q.

Значит, степень меньше, чем , т.е. меньше степени  и дробь правильная. Далее,

откуда

Последовательно выделяя из многочлена линейные, а затем неприводимые квадратичные множители, и применяя соответственно леммы 7.9 и 7.10, получим разложение  в сумму правильных дробей вида

(здесь

— как разложение многочлена в теореме 7.4).

Все слагаемые последней суммы называются простейшими дробями. Все коэффициенты, обозначенные символом , являются действительными числами (вообще говоря, различными). Всего их штук. Можно доказать, что они определены единственным образом. Процесс выделения слагаемых по леммам 7.9 и 7.10 прекратится, когда в знаменателе останется ровно один множитель вида Но такая правильная дробь сама будет простейшей. Таким образом, доказана

Теорема 7.5. Любая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами раскладывается в сумму простейших дробей.

Пример №25

Разложить в сумму простейших дробей:

а)  Приводя к общему знаменателю, имеем: При  получим при получим Окончательно имеем: 

б) Приводя в общему знаменателю, имеем:
При получим Приравнивая коэффициенты при получим т.е. Приравнивая свободные члены, получим откуда Окончательно имеем

в)

Приводя к общему знаменателю, имеем: Приравнивая коэффициенты при получим:  откуда Окончательно имеем

Вычисление комплексного числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени n с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

где 
х – переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число  такое, что

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют
действительных корней, например: 

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому
множеству символ i , такой что  ( i называется мнимой единицей).
Тогда ±i – два корня уравнения 
 

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество

Суммой двух комплексных чисел  называется число
.
Произведением двух комплексных чисел  называется число

Для числа z= a +bi число а называется действительной частью,
число b – мнимой частью. Обозначения: 

Пример №26

Найти 

Решение:

 

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2)
имеет решение во множестве С.
 

Пример №27

Решить уравнение

Решение:

 

Определение 1.3. Для комплексного числа z =a +bi число z =a -bi называется комплексно-сопряженным, число называется модулем z.

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат ( O,x,y ) и на оси Ох отложить а – действительную часть z, а на оси Oy – b – мнимую часть z, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех
комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом  – длина радиуса-вектора точки z.

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа z =a +bi  называется
угол , который образует радиус-вектор точки z с положительным
направлением оси Ох Аргумент будем обозначать Argz . Аргумент
определен с точностью до 2 πn. При этом значение  называется
главным и обозначается argz.
 

Замечание.

При этом

Если – аргумент z, то z представляется в виде 

тригонометрическая форма комплексного числа.
 

Теорема 1.2. Пусть 

Доказательство
 

Из формул (1.5) следует, в частности, что  – формула Муавра. (1.6)

Пример №28

Представить числа  в тригонометрической форме.

Решение:

поэтому по формуле (1.3)

Тогда по формуле (1.4)

поэтому по формуле (1.3)

Тогда 

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент комплексного числа z при
умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель
степени. Обозначим  – формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для z можно переписать в виде показательная форма комплексного числа.

Пример №29

Вычислить 

Решение:

Согласно примеру 1.3 

Поэтому

 

Определение 1.5. Корнем n-й степени из числа z C называется такое
число , что , при этом обозначается . Таким образом

Из формулы (1.8) видно что корней n-й степени из числа z, при этом,
если , то

 

Пример №30

Найти 

Решение:

Содержание:

• Модуль комплексного числа
• Аргумент комплексного числа

Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой
системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат – мнимой осью (рис. 1).

Комплексному числу $z=a+b i$ будет однозначно соответствовать
на комплексной плоскости точка
$(a ; b)$:
$z=a+b i leftrightarrow(a ; b)$ (рис. 2). То есть на действительной оси
откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой – мнимая.

Например. На рисунке 3 на комплексной плоскости изображены числа
$z_{1}=2+3 i$,
$z_{2}=i$ и
$z_{3}=-2$ .

Модуль комплексного числа

Комплексное число также можно изображать радиус-вектором
$overline{O M}$ (рис. 2). Длина радиус-вектора, изображающего
комплексное число $z=a+b i$, называется модулем
этого комплексного числа.

Модуль любого ненулевого комплексного числа есть положительное число. Модули
комплексно сопряженных чисел равны.
Модуль произведения/частного двух комплексных чисел равен произведению/частному модулей каждого из чисел.

Модуль вычисляется по формуле:

То есть модуль есть сумма квадратов действительной и мнимой частей заданного числа.

Аргумент комплексного числа

Угол $phi$ между положительным направлением
действительной оси и радиус-вектора $overline{O M}$, соответствующим
комплексному числу $z=a+b i$, называется аргументом
этого числа и обозначается $arg z$ .

Аргумент $phi$ комплексного числа
$z=a+b i$ связан с его
действительной и мнимой частями соотношениями:

$phi=operatorname{tg} frac{b}{a}, cos phi=frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, sin phi=frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

На практике для вычисления аргумента комплексного числа обычно пользуются формулой:

$phi=arg z=arg (a+b i)=left{begin{array}{l}{operatorname{arctg} frac{b}{a}, a geq 0} \ {operatorname{arctg} frac{b}{a}+pi, a lt 0}end{array}right.$

Аргумент действительного положительного числа равен
$0^{circ}$, действительного отрицательного –
$pi$ или
$180^{circ}$. Чисто мнимые числа с положительной мнимой частью имеют
аргумент равный $frac{pi}{2}$, с отрицательной мнимой частью –
$frac{3 pi}{2}$ .

У комплексно сопряженных чисел аргументы отличаются знаком (рис. 3).

Читать дальше: комплексно сопряженные числа.

Геометрический смысл комплексного числа

Комплексное
число
изображается в плоскоститочкойс координатамилибо вектором, начало которого находится
в точке,
а конец в точке(рис. 1.3).

Длина
вектораназываетсямодулем
комплексного числа и обозначается

(2.3)

Рис.
2.1

Угол
,
образованный положительным направлением
оси ОХ и вектором,
называетсяаргументом
комплексного числа и обозначается

,
где
–главное
значение аргумента,
.
Главное значение аргумента комплексного
числа может быть найдено с помощью
формулы:

(2.5)

Если
в алгебраической форме записи комплексного
числа вместо декартовых координат точки
подставить их полярное представление
(1.4), то получим тригонометрическое
представление комплексного числа.

Определение.
Каждое комплексное число, отличное от
нуля, можно записать в тригонометрической
форме

(2.6)

где
.

С
помощью формулы Эйлера:

(2.7)

каждое
комплексное число может быть записано
в показательной
форме

. (2.8)

Число
называетсясопряженным
комплексному
числу
.

Выполняются
следующие равенства:
;
;

;

Аналогично
доказывается, что
;;.

Важно
знать, что (2.9)

Операции
над комплексными числами, заданными в

алгебраической форме

Определение.
Два
комплексных числа называются равными,
если у них совпадают действительные и
мнимые части, т.е.

,
еслии.

1. Сложение
   и вычитание

Действие
сложения и вычитания комплексных чисел
ипроизводится по правилу сложения и
вычитания двучленов

.

Группируя
отдельно действительную и мнимую части,
получим формулу:

(2.10)

1. Умножение.

Действие
умножение комплексных чисел
ипроизводится по правилу умножения
двучленов

раскроем
скобки

используя
формулу (2.2) и группируя действительные
и мнимые слагаемые, получим выражение:

(2.11)

1. Деление.

Чтобы
преобразовать дробь
в комплексное число, необходимо числитель
и знаменатель дроби умножить на число
сопряжённое к знаменателю, в числителе
произвести действие умножения, а для
знаменателя воспользоваться формулой
(2.9)

:

(2.12)

Действия
над комплексными числами, заданными в
тригонометрической или в показательной
форме

1. Умножение:

При
умножении двух комплексных чисел
заданных в тригонометрической или
показательной формах их модули
перемножаются, а аргументы складываются:
.

(2.13)

(2.14)

Докажем
формулу (2.14). Пусть
,.

;

1. Деление:

При
делении двух комплексных чисел заданных
в тригонометрической или показательной
формах их модули делятся, а аргументы
вычитаются:
,.

(2.15)

(2.16)

Лекция
3

Понятие
многочлена, корни многочленов, кратность
корня, основные теоремы алгебры, следствия
из теорем.

1. Возведение
   в степень.

Для
возведения комплексного числа в целую
положительную степень
применяют формулу Муавра:

(3.1)

Данная
формула является следствием формулы
(2.14).

Пример.
Возвести комплексное число в степень:

1)
.

Решение.
1.
Пусть
,
тогда для комплексного числа в числителе
и знаменателе найдем модуль и аргумент
и перепишемв показательной форме, имеем,
значит,а,,,,
тогда получим

1. Извлечение
   корня порядка
   .

Определение.
Корнем
-й
степени
из комплексного числа
называется комплексное число,
такое что,
где–
натуральное число. Обычно используется
обозначение.

Корень
-й
степени из комплексного числа имеетразличных значений, которые находятся
по формуле Муавра-Лапласа:

(3.2)

Или
через показательную форму

(3.3)

Где

.

Точки,
соответствующие
являются вершинами правильного–
угольника, вписанного в окружность с
центром в начале координат и радиусом.

Способ
построения для
(рис.3.1):

1. Из
   начала координат описываем окружность
   радиуса
   .

2. Если
   то из начала координат проводим луч
   под угломк положительному направлению.
   Пересечение луча с окружностью дает
   точку.

3. Вписываем
   в окружность правильный
   –
   угольник, одна из вершин которого
   найденная точка.
   Точки пересечения–
   угольника и окружности есть решения.

Рис.
2.2

Пример.
Найдем
все значения
.

Решение.
Тригонометрической формой числа 1
является:
.

Значениями
являются числа:,
различными будут лишь корни при следующих
значениях
,
;;.

Полученные
значения являются вершинами правильного
треугольника вписанного в окружность
радиуса
.

Пример.
Корни
-ой
степени из единицыесть вершины правильногоn-угольника,
вписанного в единичный круг.

Определение.
Многочленом
одной переменной
называется функция
,
где– действительные или комплексныекоэффициенты,
а
– целое неотрицательное число. Если,называютстепенью
многочлена и обозначают
,
а–старшим
коэффициентом. Многочлен
называетсянулевым,
если все его коэффициенты равны нулю.
Коэффициент
прив нулевой степени называютпостоянным
или свободным
членом.

Многочлены
степени
называются соответственнолинейными,
квадратичными
(или квадратными),
кубичными
и т.д. В дальнейшем рассматриваются
только действительные коэффициенты
.

Определение.
Корнем
многочлена
называется такое,
при котором
.

Основная
теорема алгебры.
Всякий многочлен положительной степени
имеет, по крайней мере, один корень
действительный или комплексный.

Деление
многочленов. Из
курса элементарной алгебры известен
метод деления уголком для целых чисел,
аналогичный алгоритм имеет место и для
многочленов.

Пусть
даны два многочлена:
и,
гдеи, тогда многочленусопоставляется одна и только одна пара
многочленов,
для которых,,называютчастным
деления, а
–остатком.

Если
,
тогда говорят, чтоделится
на
.

Если
многочлены имеют действительные
коэффициенты, то
итакже имеют действительные коэффициенты.

Пример.
Проверить, делится ли многочлен
на.

Решение.
Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

:

Итак,
многочлен
делится наи может быть представлен в виде.

Теорема
Безу.
Число
является корнем многочленатогда и только тогда, когдаделится на линейный многочлен ().

Доказательство.
В результате деления
на ()
имеем.
Степень,
значит
тогда
подставим
в,
получим,
следовательнои.

Теорема.
При делении
на,
остаток,
т.е..

Пример.
Проверить, делится ли многочлен
на.

Решение.
Разделим многочлены столбиком, т.е.

_

_

_

_

;

степень
остатка меньше степени делителя,
останавливаем деление.

Итак,
многочлен
не делится наи может быть представлен в виде.

Проверить,
правильно ли выполнено деление можно,
используя предыдущую теорему, согласно
которой
,
действительно,,
значит деление выполнено правильно.

Определение.
Число
называется–кратным
корнем многочлена
,
еслиделится на,
но не делится на.
Корень кратностиназываютпростым
корнем.

Теорема.
Если
– корни многочленастепени– кратностисоответственно и,
тогда,
где– многочлен степени (такой, что.

Доказательство
данной теоремы следует из теоремы Безу.

Правило
определения кратности корня

Пусть
–
корень кратностимногочленастепени,
тогда

,
где
и

,
где
,
продолжая вычислять производные на–
ом шаге получим,

,
т.к.
,
следовательно,
,тогда
можно предложить следующее правило для
вычисления кратности корня многочлена.

Для
того чтобы определить кратность корня
многочлена,
вычисляем значения производныхв точкеи как только,
тогда– кратность корня.

Лекция
4

Векторная
алгебра. Понятие вектора, координаты,
модуль вектора. Линейные операции над
векторами. Базис

Цель:
Изучить понятие вектора, равенства
векторов, как определяются координаты
вектора его модуль, линейные операции
над векторами и их свойства, понятие
базиса.

Определение.
Направленный отрезок (упорядочивающий
пару точек) будем называть вектором
и
обозначать

,,
где точкуназываютначалом
вектора, а
–
егоконцом

(рис.4.1).

Необходимо
знать, что в печатных изданиях часто
векторные величины и векторы обозначают
жирным шрифтом, без стрелки

В

В

ектор, у которого начало и конец
совпадают, будем называтьнулевым
вектором

А

Рис.
4.1

Расстояние
между началом и концом вектора называется
его длиной,
модулем
или абсолютной величиной вектора и
обозначают
,.

Векторы
называются коллинеарными,
если существует прямая, которой эти
векторы параллельны, пишут
.
Коллинеарные векторы могут быть
сонаправленными (направлены в одну
сторону), и противоположно направленными.
Обозначается соответственно,.

Векторы
называются компланарными,
если существует плоскость, которой они
параллельны.

Нулевой
вектор считается коллинеарным любому
вектору т.к. не имеет направления.

Свойство.
Если
вектор
коллинеарен ненулевому вектору,
то существует действительное числотакое, что.

Определение.
Два вектора
считаютсяравными,
если выполнено три условия: 1) их модули
равны, 2) они параллельны, 3) направлены
в одну сторону.

О
равенстве векторов стоит поговорить
отдельно, т.к. оно существенно отличается
от равенства чисел. Два равных числа
могут рассматриваться как одно и тоже.
С векторами все иначе.

Из
курса физики известно, что сила может
быть изображена вектором. Но, силы
изображаемые равными направленными
отрезками производят, вообще говоря
различные действия. Так сила действующая
на упругое тело изображается направленным
отрезком, который не может быть никуда
перенесен из данной точки. Т.е. он
характеризуется направлением и точкой
приложения и называется приложенным
вектором.

Сила
действуещая на абсолютно твердое тело,
изображается скользящим
вектором,
который может быть перенесен не в любую
точку пространства, а лишь вдоль прямой
на которой он лежит.

Все
остальные равные вектора (множество
направленных отрезков, равных данному)
называются свободными
векторами,
с которыми мы и будем работать.

Линейные
операции над векторами

Определение.
Суммой
называется вектор,
который может быть найден по следующим
правилам (рис.4.2).

Свойства
сложения векторов:

1)
,
(коммутативность);

2)
,
(ассоциативность);

3)
прибавление нулевого вектора к любому
другому не меняет последнего
;

4)
вектор, противоположный
вектору
,
обозначается.
Их сумма дает нулевой вектор.

Правило
треугольника

Правило
параллелограмма

Рис.
4.2

Определение.
Разность
есть сумма(рис.4.3).

Рис.4.3

Определение.
Произведением вектора
на вещественное числоназывается любой вектор,
удовлетворяющий следующим условиям:

а)
вектор
коллинеарен вектору;

б)
;

в)
векторы
инаправлены одинаково еслии противоположно направлены если

Свойства
умножения вектора на число

1.
Для любых действительных чисел
и любого вектораверно равенство.(ассоциативность)

2.
Умножение
векторов на число дистрибутивно
относительно сложения чисел

(дистрибутивность).

3.
Умножение векторов на число дистрибутивно
относительно сложения векторов

4.
.

Применяя
линейные операции над векторами мы
можем составлять суммы векторов
умноженных на некоторые вещественные
числа.

Определение.
Выражение вида
,
где–
произвольные постоянные, называетсялинейной
комбинацией
векторов
.

С
помощью введенных выше линейных операций
мы можем преобразовать выражения,
составленные из линейных комбинаций:
раскрывать скобки, приводить подобные
члены, переносить некоторые слагаемые
в другую часть равенства с противоположным
знаком.

Свойства
линейной комбинации

1.
Если
–
параллельны, то каждая их линейная
комбинация параллельна им.

2.
Если
– компланарны, то каждая их линейная
комбинация компланарна с ними.

Определение.
Пусть дана линейная комбинация
,
еслитолько при условии, что,
тогда линейная комбинация векторов
называетсятривиальной
линейной
комбинацией, если
,
и существует хотя бы один,
то–нетривиальная
линейная
комбинация.

Определение.
Если существуют такие
,
что– нетривиальная линейная комбинация,
то говорят, что–линейно
зависимы.
В противном случае, т.е. если
– тривиальная линейная комбинация, то–линейно
независимы.

Теорема.
Векторы
линейно зависимы тогда и только тогда,
когда один из них является линейной
комбинацией остальных.

Доказательство.
Необходимость.
Докажем, что если векторы
линейно зависимы, то один из них является
линейной комбинацией остальных.
Поскольку векторы линейно зависимы,
то, согласно определению, существует,
при котором.

Пусть
,
тогда.
Т.е. векторявляется линейной комбинацией остальных.

Достаточность.
Докажем, что если один из векторов
является линейной комбинацией остальных,
то векторы линейно зависимы. Пусть– линейная комбинация остальных
векторов, тогда– линейно зависимы, посколькупри том, что.

Теорема.

1.
Если хотя бы один из векторов
,
является нулевым, то эти векторы линейно
зависимы.

2.
Любые два коллинеарных вектора линейно
зависимы, и наоборот, два линейно
зависимых вектора коллинеарные.

3.
Каждые три компланарных вектора линейно
зависимы, и наоборот, три линейно
зависимых вектора компланарны.

4.
Каждые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство.
(Приведем доказательство 1–го и 2–го
утверждений теоремы, остальные
доказываются аналогично).

1.
Поскольку среди векторов есть нулевой,
значит, в их линейной комбинации перед
нулевым вектором может стоять любой
ненулевой элемент, а перед остальными
векторами будут стоять нулевые элементы,
это и означает линейную зависимость
векторов.

2.
Докажем, что если два вектора
коллинеарны, то они линейно зависимы.
Если хотя бы один из векторовнулевой, то они линейно зависимы в силу
предыдущего утверждения теоремы.

Если
оба вектора ненулевые, то из свойства
коллинеарности векторов
следует, что существует действительное
числотакое, чтоили,
посколькуиотличны от нуляилинейно зависимы.

Докажем
теперь, что два линейно зависимых вектора
­-
иколлинеарны. Посколькуилинейно зависимы, следовательно, по
определению, существуют действительные
числаи,
хотя бы одно из них отлично от нуля,
такие, что,
пусть,
тогда,
пусть,
имеем,
согласно свойству произведения вектора
на число, это и означает коллинеарность
векторови.

Базис.

Определение.
Базисом
на прямой называется любой ненулевой
вектор лежащий на этой прямой или
коллинеарный с ней.

Определение.
Базисом на плоскости называются два
неколлинеарных вектора лежащих на этой
плоскости или параллельных ей, взятые
в определенном порядке.

Определение.
Базисом
в пространстве называют три некомпланарных
вектора, взятых в определенном порядке.

Определение.
Говорят, что три линейно независимых
вектора
образуютбазис
в пространстве
,
если каждый вектор этого пространства
можно представить как линейную комбинацию
этих векторов, т.е..
Числаназываются координатами векторав базисеи векторобычно записывают как.

Выражение
называется линейной комбинацией вектора
или разложением по базису.

Запись
называется координатной формой записи
вектора.

Равные
векторы в одном базисе имеют равные
компоненты.

При
умножении вектора на число каждая его
координата умножается на это число,
т.е. если
,
то=.

При
сложении двух векторов их координаты,
стоящие перед соответствующими базисными
векторами, складываются, т.е.
=.

Утверждение.
Любые три некомпланарных вектора, взятые
в определенном порядке, образуют базис
пространства.

Любые
два неколлинеарных вектора на плоскости,
взятые в определенном порядке, образуют
базис на этой плоскости.

Любой
ненулевой вектор, лежащий на прямой,
образует базис на этой прямой.

Теорема.

1. Каждый
   вектор, параллельный какой-либо прямой,
   может быть разложен по базису на этой
   прямой.

2. Каждый
   вектор, параллельный какой-либо
   плоскости, может быть разложен по базису
   на этой плоскости.

3. Каждый
   вектор может быть разложен по базису
   в пространстве.

4. Компоненты
   вектора в каждом случае определяются
   однозначно.

Доказательство.

1.
Поскольку вектор, параллельный прямой,
и вектор, лежащий на прямой, ненулевые,
существует число α такое, что
положим,
что.

2.
,
векторявляется диагональю параллелограмма,
построенного на векторах.

3.
,
векторявляется диагональю параллелепипеда,
построенного на векторах.

4.
Доказательство единственности разложения
вектора по определенному базису будем
вести от противного.

Пустьи,
тогда

.

П

усть– противоречие некомпланарности
векторов.

Определение.
Аффинные
координаты в пространстве определяются
заданием базиса
и некоторой точкой,
называемой началом координат.Аффинными
координатами
точки М называются координаты вектора
(относительно
базиса).

Определение.
В случае декартовой прямоугольной
системы координат базисом
являются векторы единичной длины,
лежащие на координатных осях и
сонаправленные с ними,,,.
Векторы взаимно ортогональныи их модули равны единице.

Т.е.
векторы
являются ортонормированным базисом
декартовой системы координат. Базисные
векторы имеют координаты,,.

Тогда
каждый вектор
может, и притом единственным образом,
быть разложен по декартовому прямоугольному
базису,
т.е. существует такая тройка чисел,
что справедливо равенство,– декартовы прямоугольные координаты,
где,тогда,,где– углы между вектороми осямисоответственно (рис. 4.5), а косинусы
называются направляющими косинусами
вектора.

Рис.
4.5

Лекция
5

Проекция
вектора и ее свойства. Деление отрезка
в заданном отношении. Скалярное
произведение векторов

Цель:
Изучить понятие проекции и ее свойства,
методику деления отрезка в данном
отношении, скалярное произведение
векторов, его свойства, физическое
приложение.

Определение.
Проекцией
вектора
на вектор,
обозначаетсяназывается число, равноегде– угол между векторамии(рис.5.1).

B

О

пр

Рис.
5.1.

Свойства
проекции

1. Проекция
   суммы векторов равна сумме проекций
   составляющих
   (рис. 5.2).

Рис.
5.2

2)
Проекция произведения вектора на число
равна произведению числа на проекцию
данного вектора
(рис. 5.3).

Рис
5.3.

Теорема.
Чтобы найти компоненты вектора, нужно
из координат его конца вычесть координаты
его начала, т.е.

,
где

,(рис. 5.4).

Рис. 5.4

Найдем
координаты точки
,
которая делитв отношении().
Отношение,
в котором произвольная точкаделит отрезок(Рис. 5.5) удовлетворяет равенству.

Рис.5.5.

Пусть
,
а,
тогда разложим обе части равенства по
базису,
тогда,,

т.к.
,
следовательно

.

(5.1)

Когда
делит
отрезок пополам, имеем:

. (5.2)

Скалярное
произведение векторов

Определение.
Скалярным
произведением
двух векторов называется число (скаляр)
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними:

(5.3)

где
–
угол между векторами.
Обозначают скалярное произведение как.

Т.к.

,
то скалярное произведение можно вычислить
по формуле

или(5.4)

Физический
смысл скалярного произведения: работа
постоянной силы при прямолинейном
перемещении ее точки приложения.
.

Свойства
скалярного произведения

1)
(коммутативность).

Непосредственно
следует из коммутативности произведения
чисел;

2)
(дистрибутивность).

Для
доказательства этого свойства
воспользуемся линейным свойством
проекции и формулой, связывающей
скалярное произведение и проекцию.
Поскольку
и
,
тогда

=
;

1. Скалярный
   квадрат вектора равен квадрату модуля
   этого вектора:

(5.5)

Выполняется
для любого вектора
,
следует из определения, поскольку уголмежду векторомиравен нулю, тогда;

4)
Скалярный множитель можно выносить за
знак скалярного произведения

где
–
произвольное действительное число.

Доказывается
по аналогии со свойством 2. Поскольку
и
,
тогда
;

5)
Скалярное произведение равно нулю тогда
и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю.

(5.6)

Доказательство.
Докажем,
что если векторы ортогональны, то их
скалярное произведение равно нулю.
Действительно, если
иортогональны, следовательно,–
угол между векторамиравен,
тогда,
тогда из определения следует, что.

Докажем
теперь, что если скалярное произведение
векторов
равно нулю, то они ортогональны. Пусть
оба вектора ненулевые, (т.к. в противоположном
случае доказательство тривиально,
поскольку нулевой вектор не имеет
определенного направления и его можно
считать ортогональным любому вектору).
Тогдаи,
поэтомутолько в том случае, если,
т.е. векторыдолжны быть ортогональны.

6)
векторы ортонормированного базиса
декартовой прямоугольной системы
координат

удовлетворяют соотношениям:

,

т.к. векторы попарно ортогональны
.

Если
базисные векторы

ортогональны, то для каждого вектора
координаты в данном базисе будут равны:,
поскольку
–
ортонормированный базис, тогда
.

Геометрический
смысл скалярного произведения: с
помощью скалярного произведения можно
вычислить проекцию вектора
на вектор,
и косинус угла между векторами:

(5.7)

(5.8)

Теорема.
Если базис ортонормированный и
,,
то

(5.9)

где
–
координаты векторов в ортонормированном
базисе.

Доказательство.
Поскольку
и,
тогда найдем скалярное произведение
векторов используя свойства дистрибутивности
и ассоциативности:

=

=

.

Следствие.
Необходимым
и достаточным условием ортогональности
векторов
иявляется условие.

Следствие.
Длина
(модуль) вектора
равна.

Следствие.

,
где–
угол между векторами.

Следствие.
Если
,
тогда:

.

Лекция
6

Векторное
произведение векторов, смешанное
произведение векторов, основные свойства.
Условия ортогональности, коллинеарности,
компланарности векторов.

Цель:
Изучить векторное и смешанное произведение
векторов, их свойства, методы вычисления,
условия ортогональности, компланарности
и коллинеарности векторов.

Определение.
Векторным
произведением
двух векторов
,
обозначаютназывается векторудовлетворяющий трем условиям:

1)
Модуль вектора равен площади
параллелограмма, построенного на этих
векторах

(6.1)

2)
Вектор ортогонален перемножаемым
векторам:
т.е. ортогонален плоскости построенного
на этих векторах параллелограмма

3)
составляют правую тройку векторов
(рис.6.1).

Рис.
6.1

Свойства
векторного произведения

1)
(антикоммутативность)

Свойство
следует из перемены ориентации векторов;

2)
Скалярный множитель можно вынести за
скобку
;

3)
(дистрибутивность);

4)
Векторный квадрат равен нуль-вектору:

(6.2)

Свойство
непосредственно вытекает из определения
векторного произведения

Теорема.
Чтобы
векторы
ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно,
чтобы их векторное произведение равнялось
нулю.

(6.3)

Доказательство.
Докажем,
что если
векторы
коллинеарны, то их векторное произведение
равно нулю. Действительно, т.к. векторы

иколлинеарны, значит, уголмежду ними составляетлибо.
Тогда,
т.е. длина вектора, полученного в
результате перемножения коллинеарных
векторов, равна нулю, это возможно только
у нулевого вектора.

Докажем
теперь, что если векторное произведение
равно нулю, то векторы коллинеарны.
Пусть оба вектора
иненулевые (в противном случае доказательство
тривиально), тогдаи,
поэтомутолько в том случае, если,
т.е. векторыдолжны быть коллинеарны.

Теорема.
В ортонормированном базисе декартовой
прямоугольной системы координат
компоненты векторного произведения
могут быть вычислены по формуле:

(6.4)

где
,.

Доказательство.
Поскольку

и

,
,,,,

тогда

=(учитывая
выше записанные равенства, упрощаем
полученное выражение)

.

Вместо
можно взять любой ортонормированный
базис.

Теорема
(о
коллинеарных векторах). Если
два вектора коллинеарны, то их координаты
пропорциональны:

(6.5)

Доказательство.
Пусть
и,
т.к. вектор
коллинеарен

,
тогда
,согласно
предыдущей теореме, выполняются
равенства
,
получаем пропорцию
.

Геометрический
смысл векторного произведения

Поскольку

,
то значение длины векторного произведения
совпадает с значением площади
параллелограмма, построенного на
векторах
как на сторонах.– площадь параллелограмма, построенного
на векторахкак на сторонах.

–площадь
треугольника, построенного на векторах
.

Пример.
Найти площадь треугольникапостроенного на векторахи,
если;;.Решение.

Смешанное
произведение

Определение.
Под смешанным
произведением
векторов
подразумевают число обозначаемоеи получающееся в результате скалярного
произведения векторана векторное произведение.

Теорема

(геометрический
смысл смешанного произведения).
Смешанное произведение трех некомпланарных
векторов
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на сомножителях.

,
причем
– имеет знак «»
еслиобразуют правую тройка и «»
если–
левая тройка.

Доказательство.

–объем
параллелепипеда, где
–
площадь основания,
–
высота параллелепипеда,
–
угол между вектороми вектором(рис.
6.2), тогда
.

Рис.
6.2

Следствие.
–
объем пирамиды.

Свойства
смешанного произведения

1)
,
данное свойство позволяет записывать
смешанное произведение в виде.
Действительно, из коммутативности
скалярного произведения следует, что,
докажем, что,
равенство очевидно, поскольку и справа,
и слева стоит объем параллелепипеда,
построенного на одних и тех же векторах,
знаки совпадают, поскольку векторы–
имеют одинаковую ориентацию;

2)
При перестановки местами двух соседних
множителей, смешанное произведение
меняет знак на противоположный

.

Данное
свойство следует из антикоммутативности
векторного произведения.

3)

.
Действительно, т.к. выполняется первое
свойство, тогда
,
согласно линейным свойствам скалярного
произведения, получаем равенство.

Теорема
(смешанное
произведение векторов в ортонормированном
базисе).
В ортонормированном базисе
смешанное произведение может быть
вычислено по формуле:

(6.6)

Доказательство.
Действительно, смешанное произведение
равно скалярному произведению векторов
и,
поскольку координаты,
для скалярного произведения векторов
в координатах получим=(т.к.
четное число перестановок не меняет
знак определителя) =

Теорема
(о
компланарных векторах). Для
того, чтобы
были компланарны, необходимо и достаточно,
чтобы их смешанное произведение равнялось
нулю, т.е. выполняется равенство:

(6.7)

В
самом деле, если векторы компланарны,
то они по определению лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях,
следовательно, объем параллелепипеда,
построенного на этих векторах, будет
равен нулю, учитывая запись смешанного
произведения в координатной форме,
получаем требуемое равенство. В обратную
сторону доказательство аналогично.

Следствие.
Смешанное произведение трех векторов
два из которых совпадают, равно нулю,
например,
.

Действительно,
поскольку такие векторы заведомо
компланарны, их сшешанное произведение
будет равно нулю.

Определение.
Вектор
–
называетсядвойным
векторным произведением.

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число — это выражение вида a + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен –1, то есть i² = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. Видно, что действительные числа — это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число  = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·  = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a; b) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой — концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a; b) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z|. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) — ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ; r · sin φ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z| · (cos(Arg z) + i sin(Arg z)). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z₁ · z₂ = |z₁| · |z₂| · (cos(Arg z₁ + Arg z₂) + i sin(Arg z₁ + Arg z₂)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра: zⁿ = |z|ⁿ · (cos(n · (Arg z)) + i sin(n · (Arg z))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z — это такое комплексное число w, что wⁿ = z. Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, …, n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n-й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n-угольника).

Далее: Фрактальные размерности