Как найти угол вне окружности по дуге – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Углы в окружности

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

Угол с вершиной в центре окружности.
Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.

Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности.

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами.

Теория и практика окружности

Свойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). На рисунке центр − точка О.

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (самая большая хорда в окружности − диаметр (D)).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Касательная имеет одну общую точку с окружностью. Сразу стоит сказать о том, что радиус, проведенный в точку касания, будет иметь с касательной угол 90°.

Секущая пересекает окружность в двух точках, внутри окружности получается хорда или, в частном случае, диаметр.

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Он в два раза меньше дуги, на которую опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, равен дуге на которую опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой (β=β=α/2) и равны половине дуги, на которую опираются.

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Можно сделать вывод, что вписанный угол, который опирается на половину дуги окружности, будет прямым, а также будет опираться на диаметр:

Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершина которых находится по разные стороны от хорды, составляет в сумме 180°.

Запишем основные свойства углов в окружности:

Нашел что-то общее?

Если угол находится вне окружности, без разницы, чем он получен (касательной или секущей), то найти его можно через половину разности дуг.

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Согласен, что они похожи, особенно если не смотреть на картинки.
Как не перепутать такие равенства? В каждом отрезке должна присутствовать точка, вне окружности (О).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

По своему определению число π показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра, отсюда такая формула: L = πD

Если хочешь вывести площадь круга, можешь проинтегрировать длину окружности относительно R или вывести зависимость, как сделал Архимед!

Задача №1. Дано на рисунке:

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Найти нужно меньшую дугу BD

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Найти меньшую дугу ВС

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Найти отрезок МК

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:

Попробуй найти подобные треугольники

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Как найти угол лежащий вне окружности

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Фигура	Рисунок	Теорема
Вписанный угол

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанный угол

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанный угол

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Фигура	Рисунок	Теорема	Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол, образованный касательной и секущей

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными к окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Теория и практика окружности

Свойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Запишем основные свойства углов в окружности:

Нашел что-то общее?

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

Задача №1. Дано на рисунке:

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Найти нужно меньшую дугу BD

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Найти меньшую дугу ВС

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Найти отрезок МК

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:

Попробуй найти подобные треугольники

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

[spoiler title=”источники:”]

http://ik-study.ru/ege_math/tieoriia_i_praktika_okruzhnosti

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-ugol-lezhaschiy-vne-okruzhnosti

[/spoiler]

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами

Формула:

Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга

Формула:

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания

Формула:

Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей

Формула:

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности

Формулы:

Источник

Рассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.

Угол с вершиной в центре окружности.
Угол с вершиной на окружности (его стороны пересекают окружность).
Угол с вершиной внутри окружности (не в центре).
Угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность.

I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

centralnyj-ugol-i-duga Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:

∪AC=∠AOC.

vpisannyj-ugol-i-duga II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC).

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

$[ angle ABC = frac{1}{2} cup AC. ]$

Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:

$[ angle ABC = frac{1}{2}angle AOC. ]$

ugly-opirayutsya-na-odnu-dugu

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

vpisannyj-ugol-opiraetsya-na-poluokruzhnost Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Другая формулировка этого утверждения:

вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

(обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр).

III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами.

ugol-s-vershinoj-vnutri-okruzhnosti

$[ angle ADC = frac{1}{2}( cup AC + cup MN). ]$

ugol-s-vershinoj-vne-okruzhnosti

$[ angle APC = frac{1}{2}( cup AC - cup MN). ]$

Источник

mat:geom:circle-angles

Содержание

Вписанный и центральный углы. Касательная

Угловой мерой дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается (по определению).

Если провести два радиуса, то образуется два центральных угла (сумма которых 360°) и две дуги окружности (сумма длин которых 2πR). Большему центральному углу соответствует большая дуга.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Когда говорят, что вписанный угол опирается на дугу – имеют в виду часть окружности, не содержащую вершину угла.

Проще говоря, угол (и центральный и вписанный) опирается на ту дугу, которая принадлежит части плоскости между сторонами угла.

Радианы — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Таким образом, на единичной окружности величина центрального угла в радианах равна длине стягивающей дуги.

Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.

Теорема. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или иначе говоря, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следствия:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90° (прямые).

Следствие из 2-го следствия:

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.

Касательная

Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются.

англ Tangent line (танго – касаться)

Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.

Построение касательной

Соединить данную точку P и центр окружности O. На отрезке OP нужно «восстановить» прямоугольный треугольник. Воспользуемся тем, что если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то этот угол прямой.

Разделим отрезок OP пополам – получили точку H. Радиусом OH проводим еще одну окружность. Точка пересечения окружностей и есть точка касания.

Касательная к двум окружностям

Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r

Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

напоминает яйцо – скорлупа и желток – это две окружности радиуса R и r, а белок – это кольцо толщиной R-r

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r

Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Общие касательные к двум окружностям – варианты касательных к двум окружностям, сохранено в pdf

также хорошо написано в Tangent lines to circles – Wikipedia

Касательные прямые и бильярд

Система касательных прямых прицеливания битка использует прямую, проходящую через середину кия, для создания двух касательных прямых от битка в направлении прицельного шара. Две касательные прямые и прямая через середину битка пересекают прямую, проходящую через середину прицельного шара и центр лузы. Необходимо направить удар так, чтобы конечное положение битка (воображаемый шар на рисунке) касалось прицельного шара в точке касания прямой, перпендикулярной направлению на лузу (на рисунке эта касательная выделена зелёным цветом).

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.

Доказательство

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть $angle MCA=varphi$. Тогда $angle OCA = 90 ^{circ}-varphi$. Треугольник $OCA$ – равнобедренный, $OA = OC$ (как радиусы окружности). Значит, $angle AOC= 180 ^{circ}-2left ( 90 ^{circ} – varphi right )=2varphi$, что и требовалось доказать.

Заметим, что $angle ABC = varphi$ – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Теорема о секущей и касательной

Квадрат отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей.

или

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

$ PM cdot PN=PT^2$

Мысленно сближать точки пересечения секущей с окружностью: тогда PN будет стремиться к PT с одной стороны, а PM – с другой стороны, а произведение их длин будет стремиться к $PT^2$

Доказательство следует из подобия треугольников PMT и PTN https://i.imgur.com/C5EMn1t.jpg

Угол между секущими

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.

Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.

Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.

Свойства дуг, хорд и углов окружности

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.
Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.
Наибольшая хорда является диаметром.
Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, раны.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180.
Другими словами: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 180°.
Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.

Угол с вершиной внутри окружности: Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство α = π – γ. Далее получаем γ = 2π – β, значит, α = β – π. Складываем два выражения для α и делим пополам. α = (β-γ)/2