Найти угол, зная косинус угла: примеры решения
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Имея на руках значение косинуса угла, выяснить угол, которому он принадлежит, совсем не сложно.
Существует специальная тригонометрическая функция, которой можно воспользоваться для этого и называется она арккосинусом (записывается как $arccos$).
Замечание 1
Для того чтобы воспользоваться ей и узнать значение угла, можно применить специальную расширенную таблицу со значениями углов и соответствующих им тригонометрических функций. Эта таблица называется таблицей Брадиса.
Также наиболее часто встречающиеся значения углов и соответствующих им синусов-косинусов собраны в небольшую таблицу внизу:
Рисунок 1. Зная косинус или синус, найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽
Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online
Бесплатное пробное занятие
*количество мест ограничено
Но есть и другой, более современный вариант нахождения угла по значению косинуса: достаточно включить режим Scientific (Научный) и найти кнопку переключения функций на калькуляторе.
В Windows 10 она обозначается стрелкой как показано на рисунке. При её нажатии кнопка $sin$ поменяется на $sin^{-1}$, а $cos$ на $cos^{-1}$. Теперь для того чтобы узнать значение угла по косинусу — просто набираете значение функции и жмёте кнопку $cos^{-1}$. Не забудьте выбрать нужную единицу измерения — градусы или радианы.
Рисунок 2. Как узнать угол, зная косинус угла. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Найдите, чему равен $arccos 0,456$.
Решение:
Воспользуемся калькулятором в Научном режиме, на рисунке представлен калькулятор Mac OC, кнопка переключения между $sin$ и $sin^{-1}$ обведена красным:
Рисунок 3. Как по косинусу угла найти угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
После нажатия кнопки мы получили значение $α = 27,129°$.
Пример 2
Определите, чему равен угол, если известен его косинус, и он равен $0,95$.
Решение:
Воспользуемся вновь калькулятором и получим, что $α = 18,19°$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023
Как найти угол,зная синус либо косинус этого угла?
Знаток
(334),
закрыт
14 лет назад
Наталья
Гений
(53571)
14 лет назад
Для нахождения угла по его синусу, косинусу и т. д. используются так называемые аркфункции: арксинус, арккосинус и т. д. Их обозначают arcsin a, arccos a и т. д.
На Вашем калькуляторе над кнопками с синусом и косинусом есть надписи: sin в степени -1 и cos в степени -1.Это создатели калькулятора так кратко обозначили аркфункции. Чтобы ими воспользоваться, надо набрать число ( например, 0,4965), нажать клавишу SHIFT или 2nd, а затем клавишу, над которой написано cos в степени -1 и равно. У Вас получится угол, косинус которого равен 0,4965.
Понятно?
Sleeper
Знаток
(267)
5 лет назад
Здравствуйте! Я тоже столкнулся с аналогичной проблемой ( учусь программированию языку MQL4), и вот Европа вся сидит на радианах, а нам углы подавай. Вот, я зашел в справочник и там ка-раз все функции в радианах, я сделал свои функции перевода углов в радианы и радианы в углы (они очень просты и не какой сложности), и вот только что написал как по катету и гипотенузе находить косинус, и теперь мне надо найти по косинусу угол, то есть, зная катет и гипотенузу я буду знать угол и наоборот. И хочу использовать в своих расчетах функцию арккосинус которая вернет мне радиану и которую я своей (ранее созданной функцией), переведу в угол. Вот, по ходу и все. Логика понятна?! До свидание. Извините: и совсем не знаю зачем она Вам?! И выпалил, как из пушки – весь свой негатив на Европу. Да будет так – они нам не товарищи. А так я только что был на каком-то сайте и там забиваешь значения и он тебе выводит ответ. Сайты где-то в самом начале поисковиков.
Дмитрий Маштаков
Ученик
(182)
2 года назад
Тут вопрос точности – зная только косинус угла, вы не сможете уверенно вычислить угол, если этот угол маленький. Также и знание синуса вряд ли поможет, если угол близок к 90 градусам. Но если вы знаете одновременно и синус и косинус угла, то
Вот подпрограмма, которая сделает это –
Public Function Usc() As Integer ‘
Dim A As Single, U As Integer
If Abs(Caa) > Abs(Saa) Then
A = Atn(Saa / Caa) * 57.29578
If Caa < 0 Then If Saa > 0 Then A = 180 + A Else A = A – 180
Else: A = Atn(Caa / Saa) * 57.29578
If Saa < 0 Then A = -90 – A Else A = 90 – A
End If: U = A
Usc = U
End Function
‘========
здесь Caa и Saa – косинус и синус, а U это искомое значение угла.
Gras Deus
Профи
(658)
7 месяцев назад
Челу на 2 сообщения выше: хошь прикол? Sin(x)² + Cos(x)² = 1 а знаешь, что это значит? Правильно, это очень простое уравнение, решение которого можно вбить даже в просто компьютер
Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
| arccos(1) = 0° | arccos(-0.5) = 120° | arccos(-0.5) = 240° |
| arccos(0.9998476952) = 1° | arccos(-0.5150380749) = 121° | arccos(-0.4848096202) = 241° |
| arccos(0.999390827) = 2° | arccos(-0.5299192642) = 122° | arccos(-0.4694715628) = 242° |
| arccos(0.9986295348) = 3° | arccos(-0.544639035) = 123° | arccos(-0.4539904997) = 243° |
| arccos(0.9975640503) = 4° | arccos(-0.5591929035) = 124° | arccos(-0.4383711468) = 244° |
| arccos(0.9961946981) = 5° | arccos(-0.5735764364) = 125° | arccos(-0.4226182617) = 245° |
| arccos(0.9945218954) = 6° | arccos(-0.5877852523) = 126° | arccos(-0.4067366431) = 246° |
| arccos(0.9925461516) = 7° | arccos(-0.6018150232) = 127° | arccos(-0.3907311285) = 247° |
| arccos(0.9902680687) = 8° | arccos(-0.6156614753) = 128° | arccos(-0.3746065934) = 248° |
| arccos(0.9876883406) = 9° | arccos(-0.629320391) = 129° | arccos(-0.3583679495) = 249° |
| arccos(0.984807753) = 10° | arccos(-0.6427876097) = 130° | arccos(-0.3420201433) = 250° |
| arccos(0.9816271834) = 11° | arccos(-0.656059029) = 131° | arccos(-0.3255681545) = 251° |
| arccos(0.9781476007) = 12° | arccos(-0.6691306064) = 132° | arccos(-0.3090169944) = 252° |
| arccos(0.9743700648) = 13° | arccos(-0.6819983601) = 133° | arccos(-0.2923717047) = 253° |
| arccos(0.9702957263) = 14° | arccos(-0.6946583705) = 134° | arccos(-0.2756373558) = 254° |
| arccos(0.9659258263) = 15° | arccos(-0.7071067812) = 135° | arccos(-0.2588190451) = 255° |
| arccos(0.9612616959) = 16° | arccos(-0.7193398003) = 136° | arccos(-0.2419218956) = 256° |
| arccos(0.956304756) = 17° | arccos(-0.7313537016) = 137° | arccos(-0.2249510543) = 257° |
| arccos(0.9510565163) = 18° | arccos(-0.7431448255) = 138° | arccos(-0.2079116908) = 258° |
| arccos(0.9455185756) = 19° | arccos(-0.7547095802) = 139° | arccos(-0.1908089954) = 259° |
| arccos(0.9396926208) = 20° | arccos(-0.7660444431) = 140° | arccos(-0.1736481777) = 260° |
| arccos(0.9335804265) = 21° | arccos(-0.7771459615) = 141° | arccos(-0.156434465) = 261° |
| arccos(0.9271838546) = 22° | arccos(-0.7880107536) = 142° | arccos(-0.139173101) = 262° |
| arccos(0.9205048535) = 23° | arccos(-0.79863551) = 143° | arccos(-0.1218693434) = 263° |
| arccos(0.9135454576) = 24° | arccos(-0.8090169944) = 144° | arccos(-0.1045284633) = 264° |
| arccos(0.906307787) = 25° | arccos(-0.8191520443) = 145° | arccos(-0.08715574275) = 265° |
| arccos(0.8987940463) = 26° | arccos(-0.8290375726) = 146° | arccos(-0.06975647374) = 266° |
| arccos(0.8910065242) = 27° | arccos(-0.8386705679) = 147° | arccos(-0.05233595624) = 267° |
| arccos(0.8829475929) = 28° | arccos(-0.8480480962) = 148° | arccos(-0.0348994967) = 268° |
| arccos(0.8746197071) = 29° | arccos(-0.8571673007) = 149° | arccos(-0.01745240644) = 269° |
| arccos(0.8660254038) = 30° | arccos(-0.8660254038) = 150° | arccos(0) = 270° |
| arccos(0.8571673007) = 31° | arccos(-0.8746197071) = 151° | arccos(0.01745240644) = 271° |
| arccos(0.8480480962) = 32° | arccos(-0.8829475929) = 152° | arccos(0.0348994967) = 272° |
| arccos(0.8386705679) = 33° | arccos(-0.8910065242) = 153° | arccos(0.05233595624) = 273° |
| arccos(0.8290375726) = 34° | arccos(-0.8987940463) = 154° | arccos(0.06975647374) = 274° |
| arccos(0.8191520443) = 35° | arccos(-0.906307787) = 155° | arccos(0.08715574275) = 275° |
| arccos(0.8090169944) = 36° | arccos(-0.9135454576) = 156° | arccos(0.1045284633) = 276° |
| arccos(0.79863551) = 37° | arccos(-0.9205048535) = 157° | arccos(0.1218693434) = 277° |
| arccos(0.7880107536) = 38° | arccos(-0.9271838546) = 158° | arccos(0.139173101) = 278° |
| arccos(0.7771459615) = 39° | arccos(-0.9335804265) = 159° | arccos(0.156434465) = 279° |
| arccos(0.7660444431) = 40° | arccos(-0.9396926208) = 160° | arccos(0.1736481777) = 280° |
| arccos(0.7547095802) = 41° | arccos(-0.9455185756) = 161° | arccos(0.1908089954) = 281° |
| arccos(0.7431448255) = 42° | arccos(-0.9510565163) = 162° | arccos(0.2079116908) = 282° |
| arccos(0.7313537016) = 43° | arccos(-0.956304756) = 163° | arccos(0.2249510543) = 283° |
| arccos(0.7193398003) = 44° | arccos(-0.9612616959) = 164° | arccos(0.2419218956) = 284° |
| arccos(0.7071067812) = 45° | arccos(-0.9659258263) = 165° | arccos(0.2588190451) = 285° |
| arccos(0.6946583705) = 46° | arccos(-0.9702957263) = 166° | arccos(0.2756373558) = 286° |
| arccos(0.6819983601) = 47° | arccos(-0.9743700648) = 167° | arccos(0.2923717047) = 287° |
| arccos(0.6691306064) = 48° | arccos(-0.9781476007) = 168° | arccos(0.3090169944) = 288° |
| arccos(0.656059029) = 49° | arccos(-0.9816271834) = 169° | arccos(0.3255681545) = 289° |
| arccos(0.6427876097) = 50° | arccos(-0.984807753) = 170° | arccos(0.3420201433) = 290° |
| arccos(0.629320391) = 51° | arccos(-0.9876883406) = 171° | arccos(0.3583679495) = 291° |
| arccos(0.6156614753) = 52° | arccos(-0.9902680687) = 172° | arccos(0.3746065934) = 292° |
| arccos(0.6018150232) = 53° | arccos(-0.9925461516) = 173° | arccos(0.3907311285) = 293° |
| arccos(0.5877852523) = 54° | arccos(-0.9945218954) = 174° | arccos(0.4067366431) = 294° |
| arccos(0.5735764364) = 55° | arccos(-0.9961946981) = 175° | arccos(0.4226182617) = 295° |
| arccos(0.5591929035) = 56° | arccos(-0.9975640503) = 176° | arccos(0.4383711468) = 296° |
| arccos(0.544639035) = 57° | arccos(-0.9986295348) = 177° | arccos(0.4539904997) = 297° |
| arccos(0.5299192642) = 58° | arccos(-0.999390827) = 178° | arccos(0.4694715628) = 298° |
| arccos(0.5150380749) = 59° | arccos(-0.9998476952) = 179° | arccos(0.4848096202) = 299° |
| arccos(0.5) = 60° | arccos(-1) = 180° | arccos(0.5) = 300° |
| arccos(0.4848096202) = 61° | arccos(-0.9998476952) = 181° | arccos(0.5150380749) = 301° |
| arccos(0.4694715628) = 62° | arccos(-0.999390827) = 182° | arccos(0.5299192642) = 302° |
| arccos(0.4539904997) = 63° | arccos(-0.9986295348) = 183° | arccos(0.544639035) = 303° |
| arccos(0.4383711468) = 64° | arccos(-0.9975640503) = 184° | arccos(0.5591929035) = 304° |
| arccos(0.4226182617) = 65° | arccos(-0.9961946981) = 185° | arccos(0.5735764364) = 305° |
| arccos(0.4067366431) = 66° | arccos(-0.9945218954) = 186° | arccos(0.5877852523) = 306° |
| arccos(0.3907311285) = 67° | arccos(-0.9925461516) = 187° | arccos(0.6018150232) = 307° |
| arccos(0.3746065934) = 68° | arccos(-0.9902680687) = 188° | arccos(0.6156614753) = 308° |
| arccos(0.3583679495) = 69° | arccos(-0.9876883406) = 189° | arccos(0.629320391) = 309° |
| arccos(0.3420201433) = 70° | arccos(-0.984807753) = 190° | arccos(0.6427876097) = 310° |
| arccos(0.3255681545) = 71° | arccos(-0.9816271834) = 191° | arccos(0.656059029) = 311° |
| arccos(0.3090169944) = 72° | arccos(-0.9781476007) = 192° | arccos(0.6691306064) = 312° |
| arccos(0.2923717047) = 73° | arccos(-0.9743700648) = 193° | arccos(0.6819983601) = 313° |
| arccos(0.2756373558) = 74° | arccos(-0.9702957263) = 194° | arccos(0.6946583705) = 314° |
| arccos(0.2588190451) = 75° | arccos(-0.9659258263) = 195° | arccos(0.7071067812) = 315° |
| arccos(0.2419218956) = 76° | arccos(-0.9612616959) = 196° | arccos(0.7193398003) = 316° |
| arccos(0.2249510543) = 77° | arccos(-0.956304756) = 197° | arccos(0.7313537016) = 317° |
| arccos(0.2079116908) = 78° | arccos(-0.9510565163) = 198° | arccos(0.7431448255) = 318° |
| arccos(0.1908089954) = 79° | arccos(-0.9455185756) = 199° | arccos(0.7547095802) = 319° |
| arccos(0.1736481777) = 80° | arccos(-0.9396926208) = 200° | arccos(0.7660444431) = 320° |
| arccos(0.156434465) = 81° | arccos(-0.9335804265) = 201° | arccos(0.7771459615) = 321° |
| arccos(0.139173101) = 82° | arccos(-0.9271838546) = 202° | arccos(0.7880107536) = 322° |
| arccos(0.1218693434) = 83° | arccos(-0.9205048535) = 203° | arccos(0.79863551) = 323° |
| arccos(0.1045284633) = 84° | arccos(-0.9135454576) = 204° | arccos(0.8090169944) = 324° |
| arccos(0.08715574275) = 85° | arccos(-0.906307787) = 205° | arccos(0.8191520443) = 325° |
| arccos(0.06975647374) = 86° | arccos(-0.8987940463) = 206° | arccos(0.8290375726) = 326° |
| arccos(0.05233595624) = 87° | arccos(-0.8910065242) = 207° | arccos(0.8386705679) = 327° |
| arccos(0.0348994967) = 88° | arccos(-0.8829475929) = 208° | arccos(0.8480480962) = 328° |
| arccos(0.01745240644) = 89° | arccos(-0.8746197071) = 209° | arccos(0.8571673007) = 329° |
| arccos(0) = 90° | arccos(-0.8660254038) = 210° | arccos(0.8660254038) = 330° |
| arccos(-0.01745240644) = 91° | arccos(-0.8571673007) = 211° | arccos(0.8746197071) = 331° |
| arccos(-0.0348994967) = 92° | arccos(-0.8480480962) = 212° | arccos(0.8829475929) = 332° |
| arccos(-0.05233595624) = 93° | arccos(-0.8386705679) = 213° | arccos(0.8910065242) = 333° |
| arccos(-0.06975647374) = 94° | arccos(-0.8290375726) = 214° | arccos(0.8987940463) = 334° |
| arccos(-0.08715574275) = 95° | arccos(-0.8191520443) = 215° | arccos(0.906307787) = 335° |
| arccos(-0.1045284633) = 96° | arccos(-0.8090169944) = 216° | arccos(0.9135454576) = 336° |
| arccos(-0.1218693434) = 97° | arccos(-0.79863551) = 217° | arccos(0.9205048535) = 337° |
| arccos(-0.139173101) = 98° | arccos(-0.7880107536) = 218° | arccos(0.9271838546) = 338° |
| arccos(-0.156434465) = 99° | arccos(-0.7771459615) = 219° | arccos(0.9335804265) = 339° |
| arccos(-0.1736481777) = 100° | arccos(-0.7660444431) = 220° | arccos(0.9396926208) = 340° |
| arccos(-0.1908089954) = 101° | arccos(-0.7547095802) = 221° | arccos(0.9455185756) = 341° |
| arccos(-0.2079116908) = 102° | arccos(-0.7431448255) = 222° | arccos(0.9510565163) = 342° |
| arccos(-0.2249510543) = 103° | arccos(-0.7313537016) = 223° | arccos(0.956304756) = 343° |
| arccos(-0.2419218956) = 104° | arccos(-0.7193398003) = 224° | arccos(0.9612616959) = 344° |
| arccos(-0.2588190451) = 105° | arccos(-0.7071067812) = 225° | arccos(0.9659258263) = 345° |
| arccos(-0.2756373558) = 106° | arccos(-0.6946583705) = 226° | arccos(0.9702957263) = 346° |
| arccos(-0.2923717047) = 107° | arccos(-0.6819983601) = 227° | arccos(0.9743700648) = 347° |
| arccos(-0.3090169944) = 108° | arccos(-0.6691306064) = 228° | arccos(0.9781476007) = 348° |
| arccos(-0.3255681545) = 109° | arccos(-0.656059029) = 229° | arccos(0.9816271834) = 349° |
| arccos(-0.3420201433) = 110° | arccos(-0.6427876097) = 230° | arccos(0.984807753) = 350° |
| arccos(-0.3583679495) = 111° | arccos(-0.629320391) = 231° | arccos(0.9876883406) = 351° |
| arccos(-0.3746065934) = 112° | arccos(-0.6156614753) = 232° | arccos(0.9902680687) = 352° |
| arccos(-0.3907311285) = 113° | arccos(-0.6018150232) = 233° | arccos(0.9925461516) = 353° |
| arccos(-0.4067366431) = 114° | arccos(-0.5877852523) = 234° | arccos(0.9945218954) = 354° |
| arccos(-0.4226182617) = 115° | arccos(-0.5735764364) = 235° | arccos(0.9961946981) = 355° |
| arccos(-0.4383711468) = 116° | arccos(-0.5591929035) = 236° | arccos(0.9975640503) = 356° |
| arccos(-0.4539904997) = 117° | arccos(-0.544639035) = 237° | arccos(0.9986295348) = 357° |
| arccos(-0.4694715628) = 118° | arccos(-0.5299192642) = 238° | arccos(0.999390827) = 358° |
| arccos(-0.4848096202) = 119° | arccos(-0.5150380749) = 239° | arccos(0.9998476952) = 359° |
|
Как найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса,котангенса? например есть значение sin a=0,3452 какой угол этому соответствует?
Функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg), называются тригонометрическими. Они выражают зависимости длин сторон от углов треугольника при гипотенузе. Определяются отношением какой-либо из сторон треугольника к другой. То есть, показывают, насколько одна сторона больше другой. Это отношение может быть характерно только для строго определенного угла. Выражаются тригонометрические функции в безразмерных единицах. Если известно значение какой-либо тригонометрической функции (в данном случае, синуса – sin), а требуется найти соответствующий ему угол в градусах, то нужно:
Определение значения arcsin угла (в радианах) и значения в градусах – с помощью функций Excel Итак, ответ получен: Синусу угла альфа со значением 0,3452 соответствует угол 20,194 градуса. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
RIOLIt 6 лет назад Данному значению синуса соответствует угол- немногим более 20 градусов, это- по таблице, а если есть значение гипотенузы, то- по отношению- можно найти катет и другие элементы треугольника и- возможно- все улы, здесь- главное- зацепка- кончик ниточки, чтобы размотать весь клубочек,( а имея в хозяйстве инженерный калькулятор, можно сразу- по функции найти угол с точностью до н- ого знака после запятой…)
Можно без компьютера, без калькулятора, без таблиц Брадиса найти этот угол. Для этого нужен такой инструмент, как транспортир. Можно воспользоваться угломером. Если есть чертежный прибор, который еще называют кульман, то и им. Но сначала высисляют катет и гипотенузу. Чем больше длина, тем точгее. Допустим, гипотенуза 100 мм, тогда противолежащий катет будет равен 100*0,3452=34,52мм. Берем клетчатую бумагу, по вертикали откладываем 35 мм от горизонтальной линии вверх. Из верхней точки циркулем с разведенными ножками на 100 мм делаем засечку на глризонтальной линии. Соединяем три точки линиями и измеряем угол. Если честно, то в повседневной жизни не припомню, чтобы приходилось определять углы по синусу или тагенсу. Вот строить углы приходится постоянно. Например, нужно обрезать плинтуса под углом 45 градусов. Никакой транспортир или угломер не нужен. На заводе плинтус обрезан под прямым углом, тогда просто отмеряешь два одинаковых катета и проводишь гипотенузу, угол получантся сам собой. Так же легко строить углы 30 и 60 градусов, так как гипотенуза равна двум противолежащим катетам. Еще углы можно измерять смартфоном илитпланшетом, если в нем установлено приложение по измерению углов, очень удобная штука, не надо покупать строительный уровень.
bezdelnik 6 лет назад Найти угол имея цифровое значение синуса, косинуса, тангенса можно по таблицам Брадиса, на логарифмической линейке или на калькуляторе. Если sin a=0,3452, то a=20,194… градуса. Можно найти приближенное значение тригонометрических функций по их графикам, для синуса и косинуса это графики синусоиды и косинусоиды. Найдя значения синуса и косинуса значения тангенса и котангенса можно вычислить по формулам tg a = Sin a /Cos a, ctg a = Cos a/Sin a
DartFallen 6 лет назад Я открою Вам одну старую и великую тайну! Все эти величины давно вычислены и сведены в таблицу. Носит она название таблицы Браддиса. Когда я учился в старших классах у каждого ученика была желтенькая такая брошюрка, в которой и представлены многие данные и не только для градусной меры углов. Величины эти постоянные и периодического пересчета не требуют. Вот как-то так…
Blockphild 7 месяцев назад Зачем так все сложно и это в век компьютеров? Иди сюда -> https://allcalc.ru/node/1039 вставляй величины катетов и гипотенуз –> жми на кнопку -> ВЫЧИСЛИТЬ и вот тебе результат в градусах и радианах. Недостаток: нужно иметь интернет Не надо никаких там EXCEL, таблиц Брадисов и прочей ерунды, мы в 21 веке живем, все делается очень быстро. Успехов!
bezdelnik 5 лет назад Для некоторых значений тригонометрических функций соответствующие углы общеизвестны из учебников по математике. Например,для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° синус равен 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 ,соответственно, а косинус такие же значения в обратном порядке. Это должны знать все получившие среднее школьное образование. Знаете ответ? |
Смотрите также: В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=10, АС=√51. Как найти sin A? Как вычислить площадь параллелограма по формуле S=a·b·sin A с след.данными? В треугольнике ABC угол C = 90°, sin A = 4/5, AC=9. Найти AB. Как решить? Как доказать теорему о равенстве синусов острых углов? Как построить угол, если известен синус? Если синус X равен 1, чему равен косинус X(см)? Как найти котангенс, тангенс, синус, косинус? Как выучить таблицу значений синуса, косинуса, тангенса разных углов? Перечислите все формулы, объединяющие синус, косинус, тангенс и котангенс? Как записать две различные функции для синуса и косинуса? |
Определение арккосинуса(arccos)
Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.
Функция арккосинус не является четной или нечетной
Видео
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a2 = b2 + c2 — 2bc cos α
b2 = c2 + a2 — 2ca cos β
c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Теорема косинусов
Для любого треугольника справедливо равенство:
a2 = b2 + c2 — 2b × c × cosA,
где угол A — это угол, противолежащий стороне a.
Данное уравнение правдиво для любых плоских треугольников и при помощи него легко определить угол или одну из сторон. Если угол A — прямой, то выражение 2b×c×cosA обращается в ноль, так как cos90 = 0. Следовательно, напротив прямого угла лежит наибольшая сторона или гипотенуза, а теорема косинусов превращается в классическую теорему Пифагора:
a2 = b2 + c2,
где a — гипотенуза.
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
Как решаем:
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6. Из треугольника АВС найдем cos B:
- Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Ответ: СМ = .
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2 + b2 < c2. Доказать, что ∠C — тупой угол.
Как доказываем:
- Для доказательства нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
- Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, следовательно, ∠C — тупой.
Что и требовалось доказать.
Эта задача нам показала, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой угол или острый.
- Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.
- Если c2 < a2 + b2, то ∠C — острый.
