| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
lim_{xto 3}(frac{5x^2-8x-13}{x^2-5})
-
lim_{xto 2}(frac{x^2-4}{x-2})
-
lim_{xto infty}(2x^4-x^2-8x)
-
lim _{xto :0}(frac{sin (x)}{x})
-
lim_{xto 0}(xln(x))
-
lim _{xto infty :}(frac{sin (x)}{x})
-
lim_{(x,y)to (3,3)}(frac{x-y}{sqrt{x}-sqrt{y}})
-
lim_{(x,y)to (0,0)}(frac{3x^{3}y}{x^{4}+y^{4}})
- Показать больше
Описание
Поэтапное вычисление пределов
limit-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Limits Calculator, Factoring
In a previous post, we talked about using substitution to find the limit of a function. Sometimes substitution…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Предел функции при ( x to x_0 )
Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )
Возьмем из (X) последовательность точек, отличных от (x_0) :
(x_1 ;, ; x_2 ;, ; x_3 ;, …, ; x_n ; , ; … tag{1} )
сходящуюся к (x^*).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
( f(x_1) ;, ; f(x_2) ;, ; f(x_3) ;, …, ; f(x_n) ; , ; … tag{2} )
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.
Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если для
любой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу (A).
Символически это записывается так:
$$ lim_{xto x_0}{ f(x)} = A $$
Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left{ f(x_n) right} )
имеет только один предел.
Существует другое определение предела функции.
Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )
существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| < delta ),
выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon )
Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| < delta): |f(x)-A| < varepsilon )
Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| < delta ) можно записать в виде ( 0 < |x-x_0| < delta )
<>Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon – delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке ( varepsilon – delta )» — определением предела функции по Коши.
Предел функции при ( x to x_{0-} ) и при ( x to x_{0+} )
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любой сходящейся
к (x_0) последовательности (1), элементы (x_n) которой больше (меньше) (x_0), соответствующая
последовательность (2) сходится к (A).
Символически это записывается так:
$$ lim_{x to x_{0+}} f(x) = A ; left( lim_{x to x_{0-}} f(x) = A right) $$
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon – delta )»:
Определение число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого
( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех (x), удовлетворяющих неравенствам
( x_0 < x < x_0 + delta ; (x_0 -delta < x < x_0 ) ) , выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon ).
Символические записи:
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 < x < x_0 + delta ): |f(x)-A| < varepsilon )
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < varepsilon )
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Теорема
Функция (f(x)) имеет в точке (x_0) предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Предел функции при ( x to infty ), при ( x to -infty ) и при ( x to +infty )
Кроме рассмотренных понятий предела функции при ( x to x_0 ) и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to infty ), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к (A).
Символическая запись:
$$ lim_{x to infty} f(x) = A $$
Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to +infty ; (x to -infty) ) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы (x_n) которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к (A).
Символическая запись:
$$ lim_{x to +infty} f(x) = A ; left( lim_{x to -infty} f(x) = A right) $$
Теоремы о пределах функций
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции (f(x)) и (g(x)) имеют в точке (x_0) пределы (B) и (C). Тогда функции ( f(x) pm g(x) ; , ; f(x) cdot g(x) ) и
( frac{f(x)}{g(x)} ) (при ( C neq 0 ) ) имеют в точке (x_0) пределы, равные соответственно ( B pm C ; , ; B cdot C ), и ( frac{B}{C} ).
Теорема. Пусть функции ( f(x) ; , ; g(x) ) и ( h(x) ) определены в некоторой окрестности точки (x_0), за исключением, быть
может, самой точки (x_0), и функции ( f(x) ; , ; h(x) ) имеют в точке (x_0) предел, равный (A), т.е.
$$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leqslant g(x) leqslant h(x) ).
Тогда $$ lim_{x to x_0} g(x) = A $$
Теорема Лопиталя. Если $$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} g(x) = 0 $$ или (infty ), (f(x)) и (g(x))
дифференцируемы в окрестности (x_0) , и ( g'(x) neq 0 ) в окрестности (x_0) ,
и существует $$ lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac{0}{0} ) и ( frac{infty}{infty} ).
Первый замечательный предел
$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$
Второй замечательный предел
$$ lim_{x to infty} left( 1+ frac{1}{x} right)^x = e $$
Решение пределов
Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0, сходящейся к точке x0(lim xn = x0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:
1. Не знаю
2. Пределы вида 
(см. пример).
3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
4. Пределы простейших иррациональности вида 
5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела 
, 
6. Нахождение пределов, используя свойства второго замечательного предела 
, 
, 
Для нахождения предела слева
используйте знак -, справа
: +. Например, 0-, 1+
Примечание: число “пи” (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity
Некоторые виды записи пределов
Например, найти предел 
запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.
см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.
Примеры.
Вычислить указанные пределы:
1. 
= 
.
2. 
= 
3. 
. Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.
4. 
.
5. 
= 
= 
6. 
– не существует, так как -1<cos(x)<1.
7. 
. Обозначим 
, причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.
8. 
. (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)
9. 
. Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; 
.
Следовательно, 
– не существует (так как у функции разные односторонние пределы).
Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а)
= 
Ответ: 1/5
б) 
= 
Ответ: 1/6
в) 
= e-2/2 = e-1
Ответ: 1/e
г) 
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0
D=22-4•1•(-3)=16
, 
Найдем корни второго многочлена: x2-1=(x-1)(x+1)
Получаем:
Ответ: 2
д) 
Ответ: 1/10
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Предел по-шагам
Примеры пределов
- Пределы от рациональных дробей на бесконечности
-
(x - 1)/(x + 1)
-
(x^3 + 2*x - 1)/(-7*x^3 - 4*x^2)
- Пределы от рациональных дробей в конечной точке
-
(x - 1)/(sqrt(x) - 1)
- Пределы от дроби в нуле
-
log(x)/x
- Первый замечательный предел
-
sin(7*x)/x
-
(1 - cos(x)^2)/x^2
- Второй замечательный предел
-
(1 - 7/x)^x
-
(1 + x/2)^((5*x + 3)/x)
- Пределы с квадратными корнями
-
sqrt(x + 5) - sqrt(x + 2)
-
x - sqrt(x^2 - 7)
- Правило Лопиталя
-
(e^(x) - x^e)/(x - e)
-
log(1+2*x^2)/x
Что умеет калькулятор пределов?
- Детальное решение для указанных методов:
- Правило Лопиталя
- Теорема о двух милиционерах
- Второй замечательный предел
- Разложение функции на множители
- Использование замены
- Первый замечательный предел
- Типы пределов:
- От одной переменной
- На бесконечности
- Односторонние пределы
- Строит график функции и её предела
- Предлагает другие пределы
Подробнее про Предел функции
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
Что такое предел? Понятие предела
Все без исключения где-то в глубине души понимают, что такое предел, но как только слышат «предел функции» или «предел последовательности», то возникает легкая растерянность.
Не волнуйтесь, это всего лишь от незнаний! Через 3 минуты прочтения ниженаписанного, вы станете грамотнее.
Важно раз и навсегда понять, что имеют в виду, когда говорят о каких-то предельных положениях, значениях, ситуациях и вообще, когда по жизни прибегают к термину предела.
Взрослые люди это понимает интуитивно, а мы разберем на нескольких примерах.
Пример первый
Вспомним строки из песни группы «Чайф»: «… не доводи до предела, до предела не доводи …».
В данном случае по задумке автора предельная ситуацию в отношениях между людьми – это расставание.
Автор как бы предупреждает, что в результате последовательности конкретных действий мы придем к конкретному результату – расставанию.
Пример второй
Наверняка вы слышали фразу о предельно устойчивом положении предмета в пространстве.
Вы сами можете без труда смоделировать такую ситуацию с подручными вещами.
Например, слегка наклоните пластиковую бутылку и отпустите её. Она обратно встанет на днище.
Но есть такие предельные наклонные положения, за границами которых она просто упадет.
Опять же предельное положение в данном случае — это нечто конкретное. Важно это понимать.
Можно много приводить примеров использования термина предела: предел человеческих возможностей, предел прочности материала и так далее.
Ну а с беспределами так вообще каждый день сталкиваемся)))
Но сейчас нас интересуют предел последовательности и предел функции в математике.
Предел числовой последовательности в математике
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. На понятии предельного перехода базируются сотни и сотни теорем, определяющие современную науку.
Сразу конкретный пример для наглядности.
Допустим есть бесконечная последовательность чисел, каждое из которых в два раза меньше предыдущего, начиная с единицы: 1, ½, ¼, …
Так вот предел числовой последовательности (если он существует) – это какое-то конкретное значение.
В процессе деления пополам каждое последующее значение последовательности неограниченно приближается к определенному числу.
Несложно догадаться, что это будет ноль.
Важно!
Когда мы говорим о существовании предела (предельного значения), это не значит, что какой-то член последовательности будет равен этому предельному значению. Он может лишь только стремиться к нему.
Из нашего примера это более чем понятно. Сколько бы раз мы не делили единицу на два, мы никогда не получим ноль. Будет лишь число в два раза меньше предыдущего, но никак не ноль!
Предел функции в математике
В математическом анализе безусловно самое важное – это понятие предела функции.
Не углубляясь в теорию, скажем следующее: предельное значение функции не всегда может принадлежать области значений самой функции.
При изменении аргумента, функция будет стремиться к какому-то значению, но может его не принять никогда.
Например, гипербола 1/x не имеет значения ноль ни в какой точке, но она неограниченно стремится к нулю при стремлении x к бесконечности.
Калькулятор пределов
Нашей целью не является дать вам какие-то теоретические знания, для этого есть куча умных толстых книжек.
Но мы предлагаем вам воспользоваться онлайн калькулятором пределов, с помощью которого сможете сравнить ваше решение с правильным ответом.
Помимо всего, калькулятор выдает пошаговое решение пределов, применяя зачастую правило Лопиталя с использованием дифференцирования числителя и знаменателя непрерывной в точке или на некотором отрезке функции.
