Перед тем как перейти к умножению дробей, вспомним теоретические основы. Итак, дробь — это форма записи числа:
где a — числитель, b — знаменатель.
Дробь называется правильной — если числитель меньше знаменателя (к примеру, 4/5), неправильной — если числитель больше знаменателя (например, 8/7).
Как умножать обыкновенные дроби?
Умножение дробей — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число, содержащее произведение заданных чисел. Разберем на конкретных примерах: как находить произведение дробей, как натуральное число умножить на дробь, познакомимся с умножением смешанных дробей.
Многие по аналогии со сложением и вычитанием, считают, что существует какая-то разница между умножением дробей в зависимости от их знаменателей. На самом деле её нет. Сейчас на примерах мы в этом убедимся.
Как умножать дроби с одинаковым знаменателем?
Умножение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к умножению и числителей и знаменателей и в общем виде выглядит следующим образом:
Пример 1:
2 5
×
3 5
Решение:
2 5
×
3 5
=
2 ∙ 3 5 ∙ 5
=
6 25
Как умножать дроби с разными знаменателями?
Умножение дробей с разными знаменателями заключается в умножении и числителей и знаменателей. В общем виде выглядит следующим образом:
Пример 2:
5 6
×
4 5
Решение:
5 6
×
4 5
=
5 ∙ 4 6 ∙ 5
=
20 30
=
2 3
Как вы могли заметить, разницы между умножением дробей с разными и одинаковыми знаменателями — нет, а сам алгоритм сводится к умножению обоих компонентов.
Как умножить дробь на целое число?
Чтобы умножить дробь на число необходимо числитель умножить число, а знаменатель оставить без изменения. Т.е.:
Пример 3:
5 ×
3 4
Решение:
5
×
3 4
=
5 ∙ 3 4
=
15 4
=
3
3 4
Таким образом, умножение дроби на целое число, сводится к умножению числителей.
Как умножать смешанные дроби?
Умножение смешанных дробей сводится к переводу их к неправильному виду и дальнейшим действиям согласно вышеописанным алгоритмам. Перевод смешанного числа в неправильную дробь, в общем виде, выглядит следующим образом:
Пример 4:
6
3 5
×
6 4
Решение:
6
3 5
×
6 4
=
6 ∙ 5 + 3 5
×
6 4
=
33 5
×
6 4
=
33 ∙ 6 5 ∙ 4
=
198 20
=
99 10
=
9
9 10
Правила умножения дробей
Резюмируя вышесказанное, выведем общий алгоритм умножения дробей:
- Если дробь смешанная — приводим её к неправильному виду;
- Неважно одинаковые или разные знаменатели у дробей — перемножаем и числители и знаменатели;
- При необходимости сокращаем и приводим к неправильному виду.
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Калькулятор умножения дробей
Оцените материал:
Загрузка…
Если вы забыли, как умножать дробные числа с разными знаменателями, какие бывают дроби, то прочитайте статью. Вы вспомните правила умножения дробей и некоторые их свойства, которые учили еще в школе.
Содержание
- Умножение дробей с разными знаменателями: виды дробей
- Умножение дробей с разными знаменателями — 5 класс
- Умножение дробей с разными знаменателями 6 класс — примеры
- Видео: Умножение обычных дробей с разными знаменателями
Дробями называют части целого числа. Они состоят из долей единицы. С дробями можно выполнять разные действия: делить, умножать, прибавлять, вычитать. Дальше рассмотрим умножение дробей с разными знаменателями. Узнаем, как умножать между собой простые дроби правильные, неправильные, смешанные, как найти произведение двух, трех и более дробей.
Умножение дробей с разными знаменателями: виды дробей
Правило умножения дробей с разными знаменателями и одинаковыми — ничем не разнятся. Числители и знаменатели дробных чисел перемножаются отдельно друг от друга. Когда необходимо найти произведение смешанных дробных чисел, следует их вначале перевести в неправильные, а потом уже выполнять действия с ними. Дальше подробней о том, какие бывают дробные числа.
Существует несколько типов дробных чисел с разными знаменателями:
- Правильные — это те дробные числа, у которых числитель меньше знаменателя.
- Неправильные — те, у которых знаменатель меньше числителя или же равен ему.
- Смешанные — те числа, у которых имеется целое число.
Примеры:
Правильные дроби: 2/3, 3/5, 9/8, 11/12, 23/30, 123/145.
Неправильные дроби: 12/5, 11/3, 5/5, 34/11, 122/7, 151/76.
Смешанные дроби: это те же неправильные дробные числа с выделенным целым числом: 5/5 = 1, 12/5 = 2 2/5; 57/9 = 6 3/9 = 6 1/3.
Умножение дробей с разными знаменателями — 5 класс
Уже с пятого класса в школе изучают умножение дробей. Важно в этом возрасте не упустить возможность разобраться с этой темой, потому что в жизни такие знания могут пригодиться в реальности. Все начинается с рассматривания долей. Предметы часто делят на равные части, именно их и называют долями. Ведь на практике не всегда допустимо выражать размеры предметов, длину или объем целым числом.
Наука о дробях впервые возникла в Арабских Эмиратах. В России начали изучать дроби в восьмом веке. Раньше математики считали, что раздел: Дроби — самая сложная тематика. После появления первых книг по арифметике в 17 веке, дробные числа называли — ломаными.
Ученикам сложно было понять раздел дробных чисел, а действия с дробями продолжительное время считали самой непростой темой арифметики. Великие ученые-математики писали статьи, чтобы, как можно проще, описать действия с дробями. Ниже читайте правило умножения дробей с разными знаменателями и смотрите примеры действий с ними:
Правило умножения: Для умножения дробей с разными знаменателями понадобится вначале перемножить числители дробей, а потом знаменатели. Иногда требуется сократить дробное число для того, чтобы было удобно производить дальнейшие вычисления с ним. Наглядно пример умножения выглядит следующим образом: b/с • d/m = (b•d)/(c•m).
Сокращение дробей — означает деление и числителя, и знаменателя на общее кратное число, если оно есть. Перед началом деления проверьте, можно ли так сократить дроби, чтобы облегчить умножение. Ведь намного удобней перемножать однозначные или двузначные числа, чем громоздкие трехзначные и т.п. Ниже представлены примеры сокращения дробей, которые изучают в пятом классе.
Интересный факт: Дроби и сейчас остаются сложными для понимания людям с не математическим складом ума, которые склонны к гуманитарным наукам. Немцы на этот счет придумали свою поговорку: попал в дроби. Она означает, что человек попал в затруднительное положение.
Сокращение дробного числа происходит благодаря свойству этой дроби.
После того, как дробное число сократили можно выполнять умножение дробей. Интересно то, что в отличие от сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробных чисел проводится одинаково хоть с одинаковыми знаменателями, хоть с разными. Дробные выражения необязательно приводить к общему знаменателю, а достаточно просто перемножить верхние и нижние значения и все.
Умножение дробей с разными знаменателями 6 класс — примеры
Достаточно подробно изучаются новые темы по умножению дробей с разными знаменателями в шестом классе. Дети уже готовы научиться проводить такие действия с дробными числами. Тем более, что сокращать их они уже научились в пятом классе.
Пример: умножение дробей с разными знаменателями.
- Следует умножить 3/27 на 5/15. Для решения понадобится вначале провести сокращение представленных дробных чисел.
- На выходе получится: 3/27 = 1/9 (верхнюю и нижнюю части дроби разделили на три), вторую дробь делим на: 5, получится: 5/15 = 1/3.
- Далее перемножаем дроби: 1/9 • 1/3 = 1/27.
Результат: 1/27.
ВАЖНО: В том случае, если у дробных чисел имеется минус перед скобками, то готовое произведение будет иметь такой же знак, как и при умножении обычных чисел. Точнее, если минусов нечетное количество в выражении, то и дробное произведение будет иметь знак минус.
Умножение нескольких дробей с разными знаменателями:
Перемножить три, четыре и т.д. дроби — не составит труда, если знать все правила, описанные выше. Еще для удобства счета разрешается перемещать числовые значения отдельно в числителе, и отдельно в знаменателе. Полученные числовые значения при этом в произведении не изменятся. Если вам удобно, можете ставить скобки — это может облегчить значительно счет.
Чтобы не ошибаться при расчетах, выполняйте следующие правила:
- Распишите числа в числителе отдельно, а в знаменателе отдельно. Посмотрите, что получится, может дробь можно сократить.
- Если числа большие можете их разбить на множители, так легче проводить сокращение дроби.
- Когда проведете процесс сокращения, выполняйте умножение дробей вначале в числителе, а потом в знаменателе.
- Неправильную дробь, полученную в результате, преобразите в смешанную, выделив целое число впереди дроби.
Примеры:
- 4/9 • 14/28 • 1/3 = (4•14•1)/(9•28•3) = (2•1•1)/(9•1•3) = 2/27;
- 25/3 • 21/5 • 4/3 = (25•21•4)/(3•5•3) = (5•7•4)/(1•1•3) = 140/3 = 46 2/3.
Пояснение к записям: нам дано три дроби с разными знаменателями, чтобы их перемножить, вначале распишите для удобства под общей чертой, все значения числителей в виде произведения множителей, а под чертой все числовые значения знаменателей, если есть общие множители сократите дроби. Например, в первом примере были сокращены дроби на 14 и 2. Точнее и числитель, и знаменатель дроби разделили на эти общие кратные. В результате вышло дробное произведение 2/27.
Второе выражение было сокращено на 5 и 3, в результате получилась неправильная дробь, которую записали в виде смешанной дроби: 46 2/3
Умножение смешанных дробей с разными знаменателями:
Как видите, вначале дробь переводят в неправильную, после сокращают ее и перемножают числители, знаменатели: 3/1 • 16/7 = 48/7. Теперь остается выделить целое число 6 6/7 — это и есть результат.
Видео: Умножение обычных дробей с разными знаменателями
Умножение дробей
Как научиться легко и быстро умножать дроби, можно ли научиться делать это в уме и как успешно подготовиться к контрольной – разбираем тему из школьной программы по математике вместе с экспертом
Как высчитать, чему равно произведение пяти восьмых и трех девятых? Или как умножить семь тринадцатых на четыре? Школьники России учатся этому, проходя одну из основных тем программы по математике – умножение дробей. Разберемся, для чего пригодится это умение, и узнаем у эксперта, как успешно подготовиться к контрольной.
Полезная информация об умножении дробей
| Умножение дробей – одна из базовых тем школьной программы по математике | Согласно Федеральным государственным образовательным стандартам (ФГОС) 2022 года, дроби и основные действия с ними изучают в 5 классе. |
| Умножение дробей можно изучать на визуальных примерах | Используя счетный материал, рисунки или реальные предметы (например, отрезать две трети от половинки пиццы или четверть от трети торта). |
| Дроби умножать удобнее, если их предварительно сократить | При наличии такой возможности перед умножением дробей желательно их сократить (разделить числитель и знаменатель на одно и то же число). |
Умножение обыкновенных дробей
Для умножения дроби на дробь необходимо умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель – на числитель. Полученные результаты составят знаменатель и числитель результата соответственно.
Полезные факты:
- Если числитель одной из дробей имеет общий делитель со знаменателем другой, то можно произвести сокращение произведения до выполнения умножения.
- Если одна или обе дроби являются смешанными, то перед выполнением действия можно перевести их в неправильные, либо представить смешанную дробь в виде суммы целого числа и правильной дроби, провести умножение, а после представить результат вновь в виде смешанной дроби.
Примеры
Сначала сократим первую дробь на 5 (числитель и знаменатель поделили одновременно на 5), числа стали меньше, действия с ними уже сделать намного проще. Во втором действии мы также не умножили сразу, а сократили на тройку в числителе и тройку в знаменателе.
В этом примере подробно рассмотрено сокращение дробей, сначала на 5, а затем на 7. Здесь в результате получилась неправильная дробь. Ее, в зависимости от задания, можно либо перевести в десятичную, получится 1,5, либо перевести в смешанное число 1 1/2.
Еще один, более сложный, пример умножения правильной дроби на смешанное число путем представления смешанного числа в виде суммы целого и дроби. После получения произведения дроби на сумму приводим полученные слагаемые к единому знаменателю путем домножения первого слагаемого на три. Далее складываем и выделяем целую часть.
Данный пример вычисляется без сокращения: первым действием перемножаем числители и знаменатели дробей, вторым – выделяем целую часть неправильной дроби, превращая ее в смешанную.
Умножение дроби на натуральное число
Умножение дроби на натуральное число – пожалуй, самый простой вариант умножения дробей. Чтобы выполнить это действие, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений. После подсчета можно выделить целую часть, превратив обыкновенную дробь в смешанную.
Если число-множитель делится нацело на знаменатель дроби, то в результате получится целое число.
Примеры
В первом примере для умножения дроби на целое число проводим умножение числителя дроби на число-множитель, а знаменатель остался без изменений. Во втором примере можем сократить произведение на 4, получив в результате целое число.
Умножение смешанных дробей
Для умножения смешанных дробей необходимо перевести их обе в вид обыкновенных и далее действовать по стандартному алгоритму: произведение знаменателей станет знаменателем результата, произведение числителей – числителем.
Далее производится сокращение и перевод обратно в смешанную дробь.
Примеры
При умножении смешанной дроби на число удобно представить дробь в виде суммы целой и дробной части, произвести умножение и сложить полученные результаты.
Для перемножения двух смешанных дробей переводим обе в неправильные, затем умножаем по стандартным правилам. Вторым действием производим сокращение (делим числитель и знаменатель произведения на 7), а в полученном результате выделяем целую часть.
В данном примере не удалось провести сокращение, поэтому итоговый результат содержит четырехзначные числа. Приводим его к более простому виду, выделив целую часть.
Советы эксперта, как подготовиться к контрольной работе по умножению дробей
Альбина Бабурчина, репетитор по математике, автор курсов по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ по математике:
Дроби бывают обыкновенные (с дробной чертой) и десятичные (с запятой). Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить числитель одной дроби с числителем другой, а знаменатель со знаменателем. Если получится сначала сократить дроби, а потом их перемножить, то это освободит вас от действий с большими числами. Поэтому везде, где можно, сначала лучше упростить и только потом делать основное действие.
Популярные вопросы и ответы
Отвечает Альбина Бабурчина
Почему умножение дробей начинают изучать в 5 классе?
Тема дробей раскрывается именно в 5 классе, так как к этому моменту ученики уже имеют в своем арсенале все необходимые для этого знания. Дроби – это азы. Без понимания этой темы дальнейшее изучение математики практически невозможно.
Зачем изучать умножение дробей?
После того как дети в школе изучают дроби, далее ни одна тема не обходится без них. По моему многолетнему опыту могу сказать, что если дроби не усвоены вовремя и на должном уровне, то все следующие темы без исключения будут «хромать». То есть без преувеличения, дроби (сначала обыкновенные, а затем и десятичные) – важнейшая тема в математике. И моя большая рекомендация для ребят в 5 классе – максимально сконцентрировано и детально изучать эту тему, уметь применять в разных ситуациях и задавать учителю все возникающие вопросы и сомнения.
Можно ли научиться умножать дроби в уме?
Все действия с дробями, разумеется, можно выполнять и в уме, все зависит от способностей конкретного ученика. А также существует много лайфхаков, которые упрощают умножение.
Дроби с разными знаменателями перемножаются точно так же, ничуть не сложнее, чем дроби с одинаковыми знаменателями. При перемножении простых дробей числитель одной дроби умножаем на числитель другой дроби, то же самое проделываем со знаменателями, затем при возможности сокращаем полученный числитель и знаменатель итоговой дроби, и получаем ответ.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
андрей4100
[65.7K]
5 лет назад
Умножение дробей с разными знаменателями происходит также,как и умножение дробей с одинаковыми знаменателями.
Сперва нам нужно перемножить числители обеих дробей,а затем перемножить знаменатели этих дробей.
Рассмотрим пример на картинке:
Сразу ввергает в сомнение уточнение “дробь с разными знаменателями..” Однако здесь нет какого то другого правила умножения. Процесс тот же самый что и в дробях с одинаковым знаменателем.
Перемножив числители, делаем тоже самое со знаменателями (пусть и разными) получаем новую дробь.
Так что с разными или с одинаковыми знаменателями, разницы нет. Умножаем точно так же.
Bart Jay
[20.9K]
6 лет назад
На картинке видно, каким образом умножаем между собой дроби: сначала числа над чертой (числители) переумножаем и числа под чертой (знаменатели) переумножаем, получаем дробь которую иногда можно сократить ().
Бекки Шарп
[71.2K]
5 лет назад
Умножать дроби с разными знаменателями легче, чем производить с ними сложение и вычитание. Общий знаменатель искать не нужно. Чтобы умножить такие дроби, нужно умножить числители и умножить знаменатели. Можно пойти дальше и проверить действительно ли это так. Умножим целое число на дробь, представив целое число в виде дроби (просто сделать знаменателем единицу).
1/2 х 2 = 1/2 х 2/1 = 2/2 = 1
То есть если мы половинку яблока умножим на 2, то получим одно целое яблоко.
Nelli4ka
[114K]
5 лет назад
Искать общий знаменатель точно не нужно, это не сложение и не вычитание.
Все предельно просто: перемножьте между собой как числители, так и знаменатели. Если в итоге получится дробь, которую можно сократить, то, конечно, мы сделаем это.
Если, кстати, нужно делить дробь на дробь, мы все равно в итоге все перемножаем, только одну из дробей нужно перевернуть.
arinca3579
[201]
6 лет назад
Чтобы перемножить дроби с разными знаменателями надо просто перемножить числители и знаменатели.Напрмер: 3|4•1|2 = 3•1|4•2 = 3|8
Эл Лепсоид
[139K]
5 лет назад
Умножение дроби на дробь абсолютно не зависит от того, какие у них знаменатели – разные или одинаковые. Правило действует одно: для перемножения дробей надо взаимно перемножить их числители и их знаменатели и записать результат в виде дроби, где в числите – произведение числителей исходных дробей, а в знаменателе – произведение знаменателей.
Например.
1/4 * 7/9 = (1*7)/(4*9) = 7/36
2/3 * 3/7 = (2*3)/(3*7) = 6/21
7/2 * 5/8 = (7*5)/(2*5) = 35/10
Azamatik
[55.3K]
5 лет назад
Для того, чтобы умножить одну дробь на другую с другим (отличным от первой дроби) знаменателем, нужно перемножить числители и знаменатели, не приводя их к общему знаменателю.
Полученную же дробь сокращаем, если такое возможно.
Пример:
Нужно перемножить две дроби – 6/8 на 8/10.
Перемножаем числители: 6 х 8 = 48;
Перемножаем знаменатели: 8 х 10 = 80;
Получаем 48/80.
Осталось сократить эту дробь. Получаем 3/5.
ЯАлечка
[35.7K]
6 лет назад
В умножении дробей знаменатели не имеют значения, как например, в сложении дробей, где необходимо привести слагаемые дроби к единому знаменателю.
При умножении дробей (не важно какие у них знаменатели – одинаковые или разные) действует следующее правило: числитель умножаем на числитель, знаменатель – на знаменатель. Главное не забыть полученную дробь сократить (если она сократима).
moreljuba
[62.5K]
5 лет назад
Умножение дробей с разными знаменателями вообще не представляет никакой трудности. Вы просто напросто перемножаете числители и перемножаете знаменателе, сокращая при этом их по возможности.
Пример:
2/3*5/4= 2*5/
Знаете ответ?
Как умножать обыкновенные и десятичные дроби
Простая шпаргалка для тех, кто подзабыл школьную программу по математике.
Умножение дробей друг на друга
Обыкновенные дроби
Всё просто: числитель умножьте на числитель, а знаменатель на знаменатель. Потом проверьте, можно ли сократить дробь. Например:
Правило работает для дробей и с разными, и с одинаковыми знаменателями. Если дробь большая, допустим 24/35, постарайтесь сразу сократить её — так будет легче вести подсчёты.
Если в примере есть смешанное число, сначала преобразуйте его в неправильную дробь, а потом умножайте способом, описанным выше. Полученный результат переведите обратно в смешанное число.
Десятичные дроби
Процесс умножения происходит в три шага:
- Запишите дроби в столбик и умножьте как натуральные числа, пока не думая о запятых.
- Посмотрите, сколько знаков после запятой было в каждой дроби, и сложите их количество.
- Двигаясь справа налево, отсчитайте в результате умножения столько же цифр, сколько получилось в предыдущем шаге. Поставьте там запятую. Это и есть ответ. Например:
Если умножаете на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, то переместите запятую влево на столько знаков, сколько их после запятой в множителе: 0,18 × 0,1 = 0,018; 0,5 × 0,001 = 0,0005.
Умножение дробей на натуральные числа
Обыкновенные дроби
Нужно умножить только числитель, а знаменатель оставить без изменений. Если результат — неправильная дробь, выделите из неё целую часть, чтобы получить смешанное число. Например:
Если нужно умножить смешанное число, переведите его в неправильную дробь и умножайте по тому же принципу. То есть:
Есть и второй способ: разделить знаменатель на данное вам натуральное число, а числитель не трогать. Этот способ удобнее применять, когда знаменатель делится на это натуральное число без остатка. Например:
Сравните этот метод с первым — результат одинаковый.
Десятичные дроби
В этом случае используйте такой же способ, как для умножения дроби на дробь. Перемножьте числа столбиком, потом отсчитайте столько цифр, сколько их было после запятой в десятичной дроби, и там поставьте запятую. То есть:
Если нужно умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и так далее, просто переместите запятую вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы. Например: 0,045 × 10 = 0,45; 0,045 × 100 = 4,5.
Читайте также 🧮👌🤓
- Умножать, делить, складывать как Шелдон Купер? Математические хаки…
- Как научить ребёнка считать играючи
- 6 способов посчитать проценты от суммы с калькулятором и без
- Как выучить таблицу умножения легко и быстро
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
