Как найти ur1 электротехника

Подскажите формулу для задачи по электротехнике

Ученик

(90),
на голосовании

4 года назад

Занятие1

Цели занятия:

1. Ознакомиться с законами коммутации.

2. Научиться использовать классический метод расчета переходных процессов для нахождения мгновенных значений электрических величин, подчиняющихся законам коммутации, в цепях с одним реактивным элементом.

3.Научиться строить графики изменения искомых величин.

4.Научиться определять длительность переходного процесса.

Переходные процессы подчиняются законам коммутации. Согласно первому закону коммутации ток в индуктивной катушке не может измениться скачком. Согласно второму закону коммутации напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком.

При рассмотрении переходных процессов продолжительность коммутации принимают равной нулю. Момент, предшествующий коммутации, обозначают t = 0 −, момент завершения – t = 0 +. Тогда законы коммутации можно записать в следующем виде:

iL (0+) =iL (0−) ,

uC (0+) =uC (0−).

Независимыми начальными условиями называют значения тока в индуктивной катушке и напряжения на конденсаторе в момент коммутации

(t =0+).

В классическом методе расчета переходных процессов расчет токов и напряжений производят при помощи уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений. В общем случае получают систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Общий интеграл дифференциального уравнения получают суммированием частного решения этого уравнения и общего решения уравнения без правой части.

Составляющие токов и напряжений, найденные как частное решение неоднородного уравнения, называют принужденными.

Составляющие, найденные как общее решение однородного уравнения, называют свободными. Свободные составляющие обусловлены изменением энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля индуктивной катушки. Свободные составляющие стремятся к нулю, так как процессы в цепи, обладающей сопротивлением, при отсутствии источников энергии

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

затухают. После переходного процесса остаются только принужденные составляющие, т. е. принужденный режим – это новый установившийся режим после окончания переходного процесса.

В классическом методе токи и напряжения вычисляют как сумму принужденной и свободной составляющих:

i = iпр + iсв, u = uпр + uсв .

Рассмотрим порядок расчета на конкретных задачах.

Задача1

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i

(рис. 5.1), если U =100 В, R =1000 Ом, C =1 мкФ. Определить длительность переходного процесса.

Рис. 5.1

Решение

I. Составим систему уравнений электрического состояния. Так как схема одноконтурная, то можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа:

Ri +uС =U.

В этом уравнении во время переходного процесса происходит изменение двух величин: тока i и напряжения на емкостном элементе uС .

Напряжение uС подчиняется второму закону коммутации, поэтому рационально выразить ток по закону Ома i = iС = C ddutС .

Тогда уравнение примет вид

RC ddutС +uС =U.

2. Решение этого уравнения представим как сумму двух слагаемых:

uС = uСпр + uСсв.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

3. Найдем uСпр .

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому принужденный режим рассмотрим как новый установившийся режим при t = ∞ . Конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0 ), Riпр = 0. Отсюда

uСпр =U =100 В.

4. Вычислим uСсв . Из математики известно, что свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uСсв = Аеpt .

4.1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения.

Для получения характеристического уравнения в уравнении электрического состояния правую часть нужно приравнять к нулю, переменную величину заменить единицей, ее производную – р, вторую производную – р2 и т. д. Получим уравнение RCp +1 = 0.

τ=1013 = 0,001 с.

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий с использованием законов коммутации.

Уравнение, по которому проводим решение, справедливо для любого момента времени, следовательно, и для начального:

uС (0+) = uСпр(0+) +uСсв(0+).

По второму закону коммутации uС (0+) =uС(0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uС(0−) = 0.

Принужденная составляющая в данной задаче является постоянной величиной, значит, uСпр(0+) =U =100 В.

Свободная составляющая uСсв = Аерt при t = 0+ равна А.

После подстановки получим 0 =U + A. Отсюда A = −U = −100 В.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Проиллюстрируем полученные уравнения графиками.

График напряжения uС (рис. 5.2) получаем суммированием графиков uСпр и uСсв. Составляющая uСпр =100 B = const . Свободная составляющая изменяется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент uСсв(0+) = −100 В.

График подтверждает, что напряжение на конденсаторе меняется плавно и принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

График изменения тока представлен на рис. 5.3.

При t = 0– тока не было, при t = 0+ ток iС = 0,1 А, далее он стремится к

нулю по закону экспоненты.

5. Вычислим длительность переходного процесса.

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго.

Задача2

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i (рис. 5.1), если U = 25 В, R = 20 Ом, C = 5 мкФ, uC (0−) =50 В. Построить графики.

Пояснение к решению

Возможны два варианта решения, так как с резистором могут быть соединены разные обкладки конденсатора.

Ответ: 1) uC = 25 + 25e−104 t В; i = −1,25e−104 t А. 2) uC = 25 −75e−104 t В; i =3,75e−104 t А.

Задача3

Найти законы изменения напряжения на конденсаторе uC и тока i (рис. 5.4), если U = 200 В, R = 80 Ом, R1 = 20 Ом, С =1,25 мкФ. Определить длительность переходного процесса.

i R

R1

Рис. 5.4

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Решение

1. Составим систему уравнений электрического состояния. Коммутация заключается в размыкании рубильника. После коммутации схема становится одноконтурной, поэтому можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа: R i +uC =U .

После подстановки выражения тока по закону Ома i =iC =C duС dt

уравнение примет вид

RC ddutC +uC =U .

2. Решение этого уравнения представим как сумму двух слагаемых:

uC = uC пр +uC св .

3. Найдем uC пр.

Принужденный режим – это новый установившийся режим после окончания переходного процесса. Конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0) , R iпр = 0 . Отсюда uC пр =U = 200 В.

4. Вычислим uC св .

Свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uC св = Aep t .

4.1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения RC p +1 = 0 .

4.2. Определим постоянную интегрирования А.

Уравнение, по которому проводим решение, справедливо для любого момента времени, следовательно, и для начального:

uC (0+) = uC пр(0+) +uC св(0+) .

По второму закону коммутации uC (0+) = uC (0−) . Схема до

коммутации приведена на рис. 5.5. Ключ замкнут. Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо него можно изобразить разрыв.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Напряжение uC (0−) = R1 i(0−) = 20 2 = 40 В.

Принужденная составляющая в рассматриваемой задаче является

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

uC , B

составляющую uC пр и длительность переходного процесса в схеме рис. 5.1, если U =50 B , R = 5 Ом, C = 2 мкФ.

Ответ: uC (0+) = 0; uC пр = 50 В; tпп = (3 10−5 − 5 10−5 ) с.

Задача5

Вычислить начальное значение напряжения uC (0+) и принужденную

составляющую uC пр (рис. 5.4), если U = 40 В, R = R1 = 20 Ом, C =1 мкФ. Ответ: uC (0+) = 20 В; uC пр = 40 В.

Задача6

Найти законы изменения тока i , а также напряжений uR и uL (рис. 5.8), если U =100 В, R =10 Ом, L =1 Гн.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.8

Решение

1. Составим уравнение электрического состояния в дифференциальной форме:

uL + uR =U .

После подстановки uL и uR , выраженных по закону Ома, получим уравнение с одной переменной:

L dditL + RiL =U .

2. Представим решение этого уравнения как сумму двух слагаемых:

iL = iLпр +iLсв.

3. Найдем iLпр в схеме при t = ∞ . Индуктивный элемент не оказывает

сопротивления постоянному току, вместо него будет «закоротка». Тогда

iLпр = UR =10010 =10 А.

4. Вычислим iLсв по закону экспоненты:

iLсв = Аеpt .

4.1. Составим характеристическое уравнение для определения p : Lp +

+ R = 0 .

Отсюда p = − RL = −101 = −10 с−1 .

Постоянная времени τ = 1p = RL = 0,1 с.

4.2.Определим постоянную интегрирования А из начальных условий

сиспользованием законов коммутации.

Вначальный момент времени

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

iL (0+) = iLпр(0+) + iLсв(0+) .

По первому закону коммутации iL (0+) =iL (0−) . До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0 .

Принужденная составляющая iLпр =10 А – постоянная величина. Свободная составляющая в начальный момент iLсв(0+) = А.

После подстановки получим: 0 =10 + A. Отсюда A = −10 А.

Тогда закон изменения тока iL =10 −10e−10t А.

Закон изменения напряжения uR = RiL =100 −100e−10t В.

Закон изменения напряжения

Проиллюстрируем полученные законы изменения электрических величин графиками.

График тока iL (рис. 5.9) получаем как сумму графиков iLпр и iLсв. Составляющая тока iLпр =10 А = const . Свободная составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iLсв (0+) = −10 А.

L dditL + RiL =u .

2. Закон изменения тока iL ищем как сумму двух слагаемых:

iL = iLпр +iLсв .

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

3. Ток iLпр меняется по синусоидальному закону:

iL пр = ILm пр sin(ωt + ψu − φ)= ILm пр sin(ωt + ψi пр).

Проведем расчет для комплексов максимальных значений:

Тогда закон изменения принужденной составляющей тока

iL пр = 0,46sin(50t +38о) А.

4.Составляющая тока iLсв меняется по закону экспоненты: iL св = Aept .

4.1.Характеристическое уравнение Lp + R =0 дает решение:

p = − RL = − 203 = −6,67с −1 .

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

Вначальный момент времени iL (0+) =iLпр(0+) +iL св(0+).

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−). До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому iL (0−) = 0. Принужденная

составляющая в начальный момент iL пр (0+) = 0,46sin 38о = 0,28 А. Это конкретное значение тока. Свободная составляющая в начальный момент

iL св(0+) = A .

После подстановки получим

0 = 0,28 + A.

Отсюда А= 0,28 А, т. е. iL пр(0+) и iLсв(0+) равны и противоположны.

Тогда закон изменения тока

iL = 0,46sin(50t +38о) −0,28e−6,67t А.

График тока iL (рис. 5.12) получаем как сумму графиков iLпр и iLсв. Составляющая тока iLпр меняется по синусоидальному закону. На рис. 5.12 начальная фаза ψi пр > 0, поэтому синусоида смещена влево. Свободная

составляющая меняется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент iL св(0+) = −iL пр(0+) .

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

iL , А

0,46

0,28 iL iLпр

t

iLсв

38°

Рис. 5.12

График подтверждает плавное изменение тока в индуктивной катушке. Если ψi пр = 0 , свободная составляющая не возникнет и переходного

процесса не будет.

Следующую задачу решите самостоятельно.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Решение

1. Составим систему уравнений электрического состояния. После коммутации, которая заключается в размыкании ключа, схема становится одноконтурной, поэтому можно записать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа

R1iL + L dditL + RiL =U .

2. Закон изменения тока iL ищем как сумму двух слагаемых:

iL = iL пр +iL св.

3. Току iL пр оказывают сопротивление два резистора внешнего контура, так как вместо индуктивного элемента – «закоротка». Поэтому

4.1. Характеристическое уравнение R1 + Lp + R = 0 дает решение:

p= − R1 L+ R = −10 c−1 .

4.2.Определим постоянную интегрирования А.

В начальный момент времени iL (0+) = iL пр(0+) + iL св(0+) .

По первому закону коммутации iL (0+) = iL (0−) . Схема до коммутации представлена на рис. 5.14.

Рис. 5.14

Сделаем расчет методом эквивалентных преобразований. Эквивалентное сопротивление

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i1(0−) = U =100 ≈ 6,67 А. Rэ 15

Сопротивления R2 и R равны по величине, поэтому ток iL (0−) = 12 i1 (0−) = 3,335 A ≈ 3,34 А.

Составляющая тока iL пр(0+) = 5 А. Свободная составляющая в начальный момент iL св(0+) = A .

После подстановки получим

3,34 =5 + A.

Отсюда A = −1,66 A . Тогда закон изменения тока

iL = 5 −1,66e−10t А.

График тока iL получаем как сумму составляющих iLпр и iL св

(рис. 5.15).

t

iLсв

–1,66

Рис. 5.15

Задачи 10–12 решите для самоконтроля.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задача10

Найти начальные значения тока iL (0+) , напряжений uR (0+) и uL (0+)

(рис. 5.8), если U = 25 В, R =10 Ом, L =1 Гн.

Ответ: iL (0+) = 0 ; uR (0+) = 0 ; uL (0+) = 25 В.

Задача11

Найти принужденные составляющие тока iLпр , напряжений uR пр и

uL пр (рис. 5.8), если U = 30 В; R =10 Ом; L =1 Гн. Ответ: iL пр = 3 А, uR пр = 30 В, uL пр = 0 .

Задача12

За какое время переходный процесс в цепи, схема замещения которой представлена на рис. 5.8, практически закончится, если U =100 В; R =1 Ом; L =1 Гн.

Ответ: tпп = (3 −5) с.

Занятие2

Цели занятия:

1.Ознакомиться с вариантами нахождения мгновенных значений электрических величин, не подчиняющихся законам коммутации.

2.Научиться вычислять корень характеристического уравнения в разветвленных цепях с одним реактивным элементом.

3.Научиться определять зависимые начальные условия (ЗНУ) в схемах, составленных с учетом нулевых независимых начальных условий

(ННУ).

4.Научиться определять ЗНУ в схемах, составленных с учетом ненулевых ННУ.

Возможны два варианта решения.

Вариант 1 Если в условии задачи требуется найти закон изменения величины, не

подчиняющейся законам коммутации, то сначала находим закон изменения величины, подчиняющейся законам коммутации, затем из системы уравнений электрического состояния в дифференциальной форме – требуемую величину. При составлении системы рекомендуется выбирать уравнения, связывающие искомые величины с величинами, подчиняющимися законам коммутации.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Вариант 2 Сразу ищем закон изменения требуемой по условию величины как

сумму принужденной и свободной составляющих.

Преподавателями курса ТОЭ разработаны приемы, позволяющие упростить нахождение постоянных интегрирования.

Рассмотрим алгоритм нахождения ЗНУ для схемы с одним реактивным элементом.

1.В схеме при t =0– находим ННУ: iL (0−) и uÑ (0−) .

2.В схеме при t =0+ вычисляем ЗНУ. Схему составляем с учетом ННУ, которые могут быть нулевыми и ненулевыми.

емкостный элемент можно заменить «закороткой» (рис. 5.16, б).

Рис. 5.17

Для вычисления корня характеристического уравнения в схеме с одним реактивным элементом проще всего заменить разветвленную цепь эквивалентной ей одноконтурной. Для этого источники ЭДС закорачиваем, источники тока разрываем, разрываем также ветвь с реактивным элементом и заменяем все резисторы одним с эквивалентным сопротивлением. Схема превращается в последовательное соединение (рис. 5.18, а и б).

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.18

Для схемы рис. 5.18, а корень p = − RLэкв , для схемы рис. 5.18, б –

Рис.5.19

Решение

Вариант 1 1. Составим систему уравнений электрического состояния в

дифференциальной форме. При этом рекомендуется выбирать уравнения, связывающие искомые величины с величинами, подчиняющимися законам коммутации:

i −i1 −i2 = 0,

Ri + L ddit2 =U,

Ri + Ri1 =U.

2.Найдем закон изменения тока iL = i2 = i2пп +i2сс .

3.Вычислим принужденную составляющую при t = ∞, так как теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Цепь подключена к источнику постоянного напряжения. Индуктивное

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

сопротивление X L = = Lω = 0, поэтому в схеме вместо индуктивного элемента будет «закоротка» (рис. 5.20).

Ток i1пр = 0, ток iпр =i2пр = UR =1004 = 25 А.

iпр R

i1пр

Рис. 5.20

4. Свободные составляющие в схемах с одним реактивным элементом изменяются по закону экспоненты:

i2св = Аept .

4.1. Найдем показатель степени р – корень характеристического

уравнения. Разработаны разные способы составления характеристического уравнения. При наличии одного реактивного элемента проще всего перейти к схеме одноконтурной. Для этого источники ЭДС закорачиваем, источники тока разрываем и разрываем ветвь с реактивным элементом (рис. 5.21). Все

резисторы заменяем одним с эквивалентным сопротивлением Rэ = R2 = 2 Ом.

R

L R

Рис. 5.21

В неразветвленной RL-цепи

р = − RLэ = − 2 104 3 = −500 c−1 .

Cкорость протекания переходного процесса характеризуют постоянной времени τ = − 1p . Через промежуток времени, равный τ, свободные

составляющие уменьшаются в e раз. Практически переходный процесс в цепи можно считать законченным через время (3 −τ4) .

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

4.2. Постоянную интегрирования А найдем из начальных условий с использованием законов коммутации.

При t =0+ iL (0+) = i2 (0+) = i2пп(0+) + i2сс (0+).

По первому закону коммутации ток в индуктивной катушке не может измениться скачком. До коммутации цепь была разомкнута. Следовательно,

i2 (0+) = i2 (0−) = 0.

Принужденная составляющая является постоянной величиной, поэтому i2пп(0+) = 25А. Свободная составляющая тока сразу после коммутации

i

12,5

t

iсв

-12,5

Рис. 5.22

Вариант 2

1. Ищем закон изменения тока i как сумму принужденной и свободной составляющих:

i = iпр + iсв.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр = 25 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Bept .

Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p = −500 c−1.

Постоянную интегрирования В найдем из начальных условий с

iL (0−) = 0.

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых

После подстановки получаем: 12,5 = 25 + Â , откуда Â = −12,5 . Окончательное выражение закона изменения тока i :

i = 25 −12,5e−500t А.

Задача2

Найти закон изменения тока i в схеме (рис. 5.24), если U = 50 В, R = R1 = 2Ом, Ñ = 5 мкФ.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рис. 5.24

Решение

Вариант 1 1. Система уравнений электрического состояния в дифференциальной

форме:

Рис. 5.25

Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо емкостного элемента в схеме будет разрыв (рис. 5.25).

uСсв = Aept .

4.1.Ищем корень характеристического уравнения р. Закорачиваем

источник ЭДС, учтенный входным напряжением, разрываем ветвь с емкостным элементом (рис. 5.26).

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

R

С

R 1

Рис. 5.26

Резисторы заменяем одним, с эквивалентным сопротивлением

В неразветвленной RC-цепи

Постоянную интегрирования А ищем из начальных условий с использованием второго закона коммутации. При t =0+

uС (0+) = uСпр(0+) + uСсв(0+) ; uС (0+) = uC (0−) .

До коммутации схема не была подключена к источнику энергии, поэтому uС (0−) = 0 . Принужденная составляющая является постоянной

величиной, поэтому uСпр(0+) = 25 В. Свободная составляющая напряжения на конденсаторе сразу после коммутации uС св(0+) = A.

После подстановки получаем: 0 = 25 + А, отсюда А = −25 В.

Тогда закон изменения напряжения uС во время переходного процесса имеет вид

График изменения тока представлен на рис. 5.27.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

i, А

25

i

t

Рис. 5.27

Вариант 2

1.Ищем закон изменения тока как сумму принужденной и свободной составляющих:

i= iпр + iсв.

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр =12,5 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Be pt .

3.1. Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p= −2 105 c−1.

3.2.Постоянную интегрирования ищем из начальных условий с использованием законов коммутации:

i(0+) = iпр(0+) +iсв(0+) .

Значение тока i(0+) – зависимое начальное условие, которое ищут

в два этапа.

Этап 1. В схеме при t =0– определим независимое начальное условие

(см. вариант 1, п. 4.2):

uС (0−) = 0 .

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых начальных условий, определяем i(0+). Напряжение uC (0+) = uC (0−) = 0 ,

поэтому вместо емкостного элемента будет «закоротка» (рис. 5.28).

i =12,5 +12,5e−2 105 t А.

Рис. 5.29

Ответ: i1 =12,5 −12,5e−5 105 t А.

Задача4

Найти закон изменения тока i в схеме (рис. 5.30), если U = 50 В, R =10 Ом, С =1 мкФ.

3. Вычислим принужденную составляющую uСпр при t = ∞.

Конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому вместо емкостного элемента в схеме будет разрыв (рис. 5.31).

Рис. 5.31

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

uСсв = Aept .

4.1. Ищем корень характеристического уравнения р. Закорачиваем источник ЭДС, разрываем ветвь с емкостным элементом (рис. 5.32).

R

С

R

Рис. 5.32

Постоянная времени τ= RэС .

4.2. Постоянную интегрирования А ищем из начальных условий с использованием второго закона коммутации. При t =0+

uС (0+) = uСпр(0+) +uСсв(0+) .

До коммутации тока в цепи не было, так как конденсатор постоянный

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

График изменения тока представлен на рис. 5.33.

Вариант 2

1.Ищем закон изменения тока как сумму принужденной и свободной составляющих:

i= iпр + iсв.

2.Найдем iпр (см. вариант 1, п. 3): iпр = 2,5 А.

3.Свободная составляющая меняется по закону экспоненты:

iсв = Be pt .

3.1. Вычислим показатель степени p (см. вариант 1, п. 4.1):

p= −2 105 c−1.

3.2.Постоянную интегрирования ищем из начальных условий с использованием законов коммутации:

i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+).

Значение тока i(0+) – зависимое начальное условие, которое ищут в два этапа.

Этап 1. В схеме при t =0– определяем независимые начальные условия

(см. вариант 1, п. 4.2):

uС (0−) =50 В.

Этап 2. В схеме при t =0+, которую составляем с учетом независимых

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Известное напряжение можно учесть источником ЭДС такого же напряжения, направленным противоположно (рис. 5.34).

Рис. 5.35

Решение

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

По первому закону Кирхгофа ток i2пр = iпр −i1пр = 5 −3 = 2 А. 4. Свободная составляющая i1св = Аерt .

4.1. Для нахождения показателя степени р перейдем к одноконтурной схеме. Закоротим источник ЭДС, разорвем ветвь с индуктивным элементом

(рис. 5.37).

R

L R 1 R2

Рис. 5.37

Эквивалентное сопротивление этой схемы

Внеразветвленной RL-цепи

р= − RLэ = − 26,322 = −13,16 c−1 .

i1(0-)

Рис. 5.38

По первому закону коммутации i1(0+) =iL (0+) =iL (0−) . Найдем ток i1(0−) в схеме при t = 0 − (рис. 5.38). Схема одноконтурная, поэтому

i1(0−) =i(0−) = R U+ R1 =10028 =3,57 А.

ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принужденная составляющая является постоянной величиной, поэтому i1пр(0+) = 3 А. Свободная составляющая тока i1св(0+) = А. После подстановки

получим уравнение

3,57 = 3 + А.

Отсюда А= 0,57 .

Ток i1 меняется по закону: