Как найти уравнение директрисы для параболы

Уравнение директрисы параболы

Содержание:

• Что такое директриса параболы
• Каноническое уравнение параболы
• Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат
  • Алгоритм расчета
• Фокус параболы
• Примеры решения задач

Что такое директриса параболы

Определение

Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.

Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

(y^2;=;2px)

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

(y^2;=;-;2px)

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

(х;=;-frac р2)

Если вершину перенести в точку ((x_0;;y_0)), отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:

({(y;-;y_0)}^2;=;2p;times;(x;-;x_0))

Алгоритм расчета

1. Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
2. Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
3. Введем новые переменные ((x_1;;y_1)), чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
4. Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
5. Вернемся к старым координатам, заменив ((x_1;;y_1)) на х и y.

Фокус параболы

Определение

Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Определение

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.

Примеры решения задач

Задача №1

Составить уравнение директрисы параболы (y^2;=;6x).

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

(2р = 6 )

(р = 3)

(frac р2;=;frac32)

Уравнение директрисы — (х;=;-frac р2.)

В данном случае оно будет выглядеть так:

(х;=;-;frac32)

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением (4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0.)

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

(4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;4(х^2;-;3х);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;;4((х^2;-;2;timesfrac32х;+;frac94);-;frac94);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;)

(;Rightarrow;(4;{(х;-;frac32)}^2;-;9;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;y;-;3;=-;4;{(х;-;frac32)}^2;Rightarrow;{(х;-;frac32)}^2;=;-;frac14;(y;-;3))

Пусть ((y — 3)) будет (y_1), а ((х;-;frac32)) — (х_1).

Тогда, перенеся начало координат в точку ((x_1;;y_1)), получим каноническое уравнение (х_1^2;=;-{textstylefrac14}y_1).

(2р;=;frac14;Rightarrow;р;=;frac18;Rightarrow;frac р2;=;frac1{16})

Тогда уравнение директрисы — (y_1=;frac1{16}).

Заменив (y_1) на ((y — 3)), получим уравнение: (y;–;3;=;frac1{16})

Следовательно, (y;–;frac{49}{16};=;0).

В старой системе координат уравнение директрисы:

(16у — 49 = 0, у;=;frac{49}{16}).

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Директриса параболы

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета:
$ε =frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Определение 2

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$.
Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

«Директриса параболы» 👇

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ – в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Пример 1

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

1. Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

   $y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

2. Приводим в форму квадрата:

   $(x + 3)^2 = y$

3. Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

4. Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
5. Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = frac{1}{2}$.
6. Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac{1}{4} cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac{1}{4}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 09.12.2022

1. Парабола, её форма, фокус и директриса.

   Начать изучение
   

2. Свойства параболы.

   Начать изучение
   

3. Уравнение касательной к параболе.

   Начать изучение
   

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

---

Свойства параболы.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

---

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).

Параболой
называется множество всех точек
плоскости, каждая из которых равноудалена
от заданной точки, называемой фокусом
и заданной прямой, называемой директрисой.

Каноническое
уравнение параболы имеет вид

,
(51)

где число

,
равное расстоянию от фокуса

до директрисы

,
называется параметром
параболы. Координаты фокуса

.
Точка

называется вершиной параболы, длина
отрезка

– фокальный
радиус точки

,
ось

– ось симметрии
параболы.

Рисунок
69 Рисунок 70

Уравнение директрисы

параболы имеет вид

;

фокальный радиус
вычисляется по формуле

.

В прямоугольной
системе координат парабола, заданная
каноническим уравнением

,
расположена так, как указано на рисунке
69.

Замечания.

1) Парабола,
симметричная относительно оси

и проходящая через точку

(рисунок 70), имеет уравнение

(52)

Уравнение директрисы:

,
фокальный радиус точки

параболы

.

Рисунок 71 Рисунок
72

(53)

(54)

3) На рисунках 73 –
76 приведены графики парабол с осями
симметрии, параллельными координатным
осям.

Рисунок 73 Рисунок
74

Рисунок 75 Рисунок
76

Практическое занятие № 5 Кривые второго порядка

Задача 1

Составить уравнение
окружности, проходящей через три точки

,

,

.

Решение:

Подставим координаты
точек

и

в данное уравнение:

.

От второго уравнения
отняли первое уравнения и результат
поставили на первое место. От третьего
уравнения отняли первое уравнения и
результат поставили на второе место.
Третье уравнение оставили без изменения.

.

Ответ.

Задача 2

Привести уравнение
кривой к каноническому виду и изобразить
кривую, которая определяется уравнением:

.

Решение:

,
сгруппируем переменные.

,
вынесем за скобки.

,
в скобках дополним до полного квадрата.

,

сгруппируем по
формуле полного квадрата.

,

,

Уравнение окружность
с центром в точке

и

.
Рисунок 77

Задача 3.

Установить вид
кривой по следующим уравнениям:

а)

; б)

;
в)

и сделать чертеж.

Решение.

а)

:

.
Возведем в квадрат правую и левую часть
уравнения.

.
Мы получили уравнения окружности с
центром в точке

и радиусом

.

Рисунок
78

б
)

,

.
Возведем в квадрат правую и левую часть
уравнения.

.

Уравнения окружности
с центром в точке

и радиусом

.

Рисунок
79

в)

,

.
Возведем в квадрат правую и левую часть
уравнения.

.
Дополним до полного квадрата правую
часть.

.

.
Получили уравнения окружности с центром
в точке

и радиусом

.

Рисунок 80

Задача 4

Дано уравнение
эллипса

.
Найти:

а) длины его
полуосей;

б) координаты
фокусов;

в) эксцентриситет
эллипса;

г) уравнения
директрис и расстояние между ними;

д) точки эллипса,
расстояние от которых до левого фокуса

равно 12.

Р
ешение.
Разделив обе части уравнения на 1176 мы
получим уравнение эллипса в каноническом
виде

.

а) длины полуосей
эллипса

,

,
т.е.

,

.

б) координаты
фокусов. Так как

,
то

,

.
Следовательно,

и

.
Рисунок
81

в) эксцентриситет
эллипса. Так как

,
то

.

г) уравнения
директрис имеют вид

и

.
Тогда
,
т.е.

и

;
расстояние между ними

.

д) точки эллипса,
расстояние от которых до левого фокуса

равно 12. По формуле

находим абсциссу точки, расстояние от
которой до точки

равно 12:

,
т.е.

.
Подставляя значение

в уравнение эллипса, найдем ординату
этой точки:

,

,

.

Условию задачи
удовлетворяет точка

.

Задача 5

Показать, что
уравнение

определяет эллипс, найти его оси,
координаты центра и эксцентриситет
(изобразить эллипс).

Р
ешение.
Преобразуем данное уравнение кривой.

,

Сгруппировали
переменные и вынесли за скобки

коэффициенты при
наивысших степенях. В каждой скобке
выделим полный квадрат.

.Раскроем
скобки.

,

.
Получили уравнение эллипса,

центр находится
в точке

.
Из уравнения находим:

,

и

,

.
Рисунок 82

Поэтому

.
Эксцентриситет эллипса

.

Задача 6

Составить уравнение
эллипса с центром в начале координат и
фокусами, лежащими на оси

.
Эллипс проходит через точки

и

.

Решение.

Уравнение эллипса
имеет вид:

.
Так как эллипс проходит через точки

и

,
то их координаты удовлетворяют уравнению
эллипса:

и

.
Умножая второе равенство на

и складывая с первым, находим

,
т.е.

.
Подставляя найденное значение

в первое уравнение, получаем

,
откуда

.
Таким образом, искомое уравнение эллипса
есть

.

Ответ.

Задача 7

Составить уравнение
эллипса, если известны его эксцентриситет

,
фокус

и уравнение соответствующей директрисы

.

Решение.

По теореме:
Отношение
расстояний от любой точки эллипса до
фокуса и соответствующей директрисы
равно эксцентриситету, рассмотрим любую
точку

принадлежащую эллипсу, значит

.

;

,

,

.

Рисунок 82

Ответ.

Задача 8
Установить вид линии, которая определяется
следующим уравнением

и
изобразить ее.

Решение.

.
Возведем в квадрат правую и левую часть
уравнения.

.
Перенесем переменную в левую часть и
выделим полный квадрат.

,

Получили уравнения
эллипса.

Центр эллипса
находится в точке

.

.

.

Рисунок 83

Задача 9

Составить уравнение
эллипса, если известны его эксцентриситет

,
фокус

и уравнение соответствующей директрисы

.

Решение.

Точка

принадлежит эллипсу, если отношение
расстояний до фокуса и соответствующей
директрисы равно

,
т.е.

.

,

,

Рисунок 84

.

Ответ.

.

Задача 10

Дано уравнение
гиперболы

.
Найти:

а) длины его
полуосей;

б) координаты
фокусов;

в) эксцентриситет
гиперболы;

г) уравнения
асимптот и директрис; и нарисовать
кривую.

Решение.

Разделив обе части
уравнения на 16, приведем уравнение
гиперболы к каноническому виду

:

.

а) длины его полуосей

,

,
т.е.

,

;

б) координаты
фокусов. Используя соотношение

,
находим

,
т.е.

.
Координаты фокусов:

и

;

в) эксцентриситет
гиперболы. По формуле

находим

;

г
)
уравнения асимптот и

директрис найдем
по формулам

и

:

и

.

Рисунок 85

Задача 11

Составить уравнение
гиперболы, если ее фокусы лежат на оси

и расстояние между ними равно 10, а длина
действительной оси равна 8.

Решение.

Искомое уравнение
гиперболы имеет вид

.
Согласно условию

,

;

,

.
Из соотношения

найдем мнимую полуось

:

,

,

.
Получаем

– уравнение гиперболы.

Ответ.

Задача 12

Найти уравнение
гиперболы, фокусы которой находятся в
точках

и

,
а длина мнимой оси равна 6.

Решение.

Центр гиперболы
лежит на прямой

,
параллельной оси

.
Уравнение гиперболы имеет вид

.
По условию

,

.
Расстояние между фокусами равно 14, т.е.

,

.
Используя соотношение

,
находим

:

,

.
Центр гиперболы делит расстояние между
фокусами пополам. Поэтому

,

.
Записываем уравнение гиперболы:

.

Ответ.

Задача 13

Найти угол между
асимптотами гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2.

Решение.

Уравнения асимптот
гиперболы имеют вид

.
Найдем отношение

,
воспользовавшись формулами

,

и условием

:

.
Отсюда

,
т.е.

.
Имеем:

.
Следовательно, уравнения асимптот
гиперболы есть

и

.

Угол

между асимптотами найдем через угловые
коэффициенты по формуле

,

.

Ответ.

Задача 14

Дан эллипс

.
Найти уравнение гиперболы, вершины
которой находятся в фокусах эллипса, а
фокусы гиперболы – в вершинах данного
эллипса.

Рисунок 86

Решение.

Найдем координаты
вершин

и

и фокусов эллипса, записав его уравнение
в канонической форме

.
Имеем

,

;

,

.
Из соотношения

находим

:

,

.
Можно записать:

,

,

,

.
Обозначим через

,

,

– соответственно полуоси гиперболы и
половину расстояния между ее фокусами.
Тогда, согласно условиям задачи, можно
записать:

,
т.е.

и

,
т.е.

.
Из соотношения

находим

,
поэтому

,

.
Подставляя найденные значения

и

в уравнение

,
находим

– искомое уравнение гиперболы.

Ответ.

Задача 15

Дано уравнение
гиперболы

.

Найти:

а) длины его
полуосей;

б) координаты
фокусов;

в) эксцентриситет
гиперболы;

г) уравнения
асимптот и директрис;

д) сделать чертеж.

Решение.

,

,

– каноническое
уравнение гиперболы. Центр гиперболы
находится в точке

.

а) длины полуосей
гиперболы.

;

.

б) координаты
фокусов. Так как

.

и

.

в) эксцентриситет
гиперболы.

г) уравнения
асимптот и директрис.

,

– уравнения асимптот.

;

– уравнения директрис.

д) сделать чертеж

Рисунок 87

Задача 16

Составить уравнение
гиперболы, если известны ее эксцентриситет

,
фокус

и уравнение соответствующей директрисы

.

Решение.

При решении
используем теорему.
Отношение расстояний от любой точки
гиперболы до фокуса и соответствующей
директрисы равно эксцентриситету.

Так как точка

принадлежит гиперболе, то

,
где

– расстояние от точки

до

,

– расстояние от точки

до прямой

.
Таким образом

;

.

.

,

,

,

,

.

Ответ.

Задача 17

У
становить
и нарисовать линию, которая определяется
уравнением

.

Решение.

.

,

,

Рисунок
88

.
Уравнение гиперболы, центр в точке

.

.

З
адача
18

Дана парабола

.
Найти координаты ее фокуса, уравнение
директрисы, длину фокального радиуса
точки

.

Решение.

Парабола задана
каноническим уравнением:

.
Следовательно,

,

.
Используя формулы, координаты фокуса

;
Рисунок 89

уравнение директрисы
есть

;
фокальный радиус

точки

равен

.

Ответ.

,

Задача 19

Найти вершину,
фокус и директрису параболы

,
построить эскиз параболы.

Решение.

Преобразуем
уравнение

,
выделив в правой части полный квадрат:

,

т.е.

или

– уравнение параболы с вершиной в точке

:

,

.
Прямая

является осью симметрии параболы.
Рисунок
90

Координаты фокуса

,

,
т.е.

.

Уравнение директрисы

,
т.е.

.
График изображен

на рисунке 90.

Ответ.

,

,

Задача 20

Составить уравнение
параболы, если даны ее фокус

и директриса

.

Решение.

Точка

лежит на параболе, если она

равноудалена от фокуса

и директрисы

.

Таким образом,
точка

лежит на параболе, если

:

и

.

,

Возведем в квадрат
правую и левую части уравнения.

,

,

.

Ответ.

З
адача
21 Установить
и изобразить линию, которая определяется
уравнением:

.

Решение.
.

,

.Получили уравнение
параболы в каноническом виде, центр
которой находится в точке

.

.
Рисунок
91

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Парабола: формулы, примеры решения задач

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы – бордового цвета, директриса – ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы – оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax² – это квадратный трёхчлен ax² + bx + c , в котором b = 0 и c = 0 . График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае – в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p – это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Парабола

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2pxlabel
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^<2>). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^<-1>).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac

<2>.label
$$

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>) и подставим сюда (y^<2>) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=left(x-frac

<2>right)^<2>+2px=left(x+frac

<2>right)^<2>.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac

<2>.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt<left(x-frac

<2>right)^<2>+y^<2>>=x+frac

<2>.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)), лежащей на ней. Пусть (y_ <0>neq 0). Через точку (M_<0>) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt<2px>) или же (y=-sqrt<2px>), смотря по знаку (y_<0>).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^<2>=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_<0>) и (f(x_<0>)=y_<0>), находим (f'(x_<0>)=p/y_<0>) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=frac

>(x-x_<0>).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_<0>^<2>=2px_<0>). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).label
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_ <0>neq 0), уравнение eqref превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref справедливо для любой точки на параболе.

Касательная к параболе в точке (M_<0>) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_<0>) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Рассмотрим касательную в точке (M_<0>(x_<0>, y_<0>)). Из уравнения eqref получаем ее направляющий вектор (boldsymbol(y_<0>, p)). Значит, ((boldsymbol, boldsymbol_<1>)=y_<0>) и (cos varphi_<1>=y_<0>/boldsymbol). Вектор (overrightarrow>) имеет компоненты (x_<0>=p/2) и (y_<0>), а потому
$$
(overrightarrow>, boldsymbol)=x_<0>y_<0>-frac

<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+frac

<2>).nonumber
$$
Но (|overrightarrow>|=x_<0>+p/2). Следовательно, (cos varphi_<2>=y_<0>/|boldsymbol|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_<0>|) (см. рис. 8.12).

Парабола – определение и вычисление с примерами решения

Парабола:

Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.

Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы

Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы.

Возведем обе части уравнения в квадрат

Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: (а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).

Рис. 35а. Параболы и их уравнения.

Рис. 356. Параболы и их уравнения.

Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:

• – точка пересечения параболы с осью абсцисс;
• – точка пересечения параболы с осью ординат.

Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.

Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Пример:

Дано уравнение параболы Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.

Решение:

Так как из уравнения параболы следует, что следовательно, Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке а уравнение директрисы имеет вид

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы до её асимптоты.

Решение:

Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.

Гипербола:

Следовательно, действительная полуось гиперболы а мнимая полуось – Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы Итак, Вычислим расстояние от фокуса до асимптоты которое равно параметру р:

Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид:

Пример:

Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса Написать уравнение директрисы.

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как , то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Так как фокус параболы совпадает с одним из фокусов или эллипса, то параметр р найдем из равенства уравнение параболы имеет вид Директриса определяется уравнением

Уравнение параболоида вращения

Пусть вертикальная парабола

расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).

Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).

Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем

Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения

Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Тела вращения: цилиндр, конус, шар
• Четырехугольник
• Многогранники
• Окружность
• Эллипс
• Гипербола

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/parabola/

http://www.evkova.org/parabola

[/spoiler]