Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Математическая гипербола.
Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти
гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти
2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.
Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$
Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):
Пример №3:
$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$
(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
$$y=frac{1}{x}$$
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
$$y=frac{1}{x}$$
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
$$y=frac{-1}{x-1}-1$$
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$
Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).
е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).
7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.
8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама
-
Решение
-
Видеорешение
Воспользуемся правилом
Правило
Для гиперболы, записанной в общем виде:
(displaystyle y=frac{k}{x+color{blue}{b}}+color{green}{c}{small,}) где (displaystyle k,cancel{=},0{ small ,})
горизонтальная асимптота задается уравнением прямой
(displaystyle y=color{green}{c}{small,})
а вертикальная асимптота задается уравнением прямой
(displaystyle x=color{blue}{-b}{small.})
На рисунке изображены
- горизонтальная асимптота гиперболы – прямая (displaystyle y=color{green}{1}{small;})
- вертикальная асимптота гиперболы – прямая (displaystyle x=color{blue}{3}{small.})
Значит, (displaystyle color{green}{c}=color{green}{1}) и (displaystyle color{blue}{b}=color{blue}{-3}{small.})
Тогда уравнение гиперболы имеет вид (displaystyle y=frac{1}{xcolor{blue}{-3}}+color{green}{1}{small.})
Ответ: (displaystyle {b}={-3}) и (displaystyle {c}={1}{small.})
Гипербола
Гиперболой называется
геометрическое место точек плоскости,
для каждой из которых абсолютная величина
разности расстояний до двух фиксированных
точек той же плоскости, называемых
фокусами гиперболы, есть величина
постоянная.
Так же, как и в случае эллипса, для
получения уравнения гиперболы выберем
подходящую систему координат. Начало
координат расположим на середине отрезка
между фокусами, ось
направим
вдоль этого отрезка, а ось ординат –
перпендикулярно к нему.
Пусть расстояние между фокусами
и
гиперболы равно
,
а абсолютная величина разности расстояний
от точки гиперболы до фокусов равна
.
– текущая точка гиперболы (рис. 5).
Рис.5.
Так как разность двух сторон треугольника
меньше третьей стороны, то
,
то есть
,
.
По условию, фокусы
,
.
По определению гиперболы
Это уравнение запишем в виде
Обе части возведем в квадрат:
После приведения подобных членов и
деления на 4, приходим к равенству
Опять обе части возведем в квадрат:
Раскрывая скобку и приводя подобные
члены, получим
С учетом того, что
уравнение принимает вид
Разделим обе части уравнения на
и
получим уравнение
(4)
Уравнение (4) называется каноническим
уравнением гиперболы.
Гипербола обладает двумя взаимно
перпендикулярными осями симметрии, на
одной из которых лежат фокусы гиперболы,
и центром симметрии. Если гипербола
задана каноническим уравнением, то ее
осями симметрии служат координатные
оси Ox
и
,
а начало координат – центр симметрии
гиперболы.
Проведем построение гиперболы, заданной
уравнением (4). Заметим, что из-за симметрии
достаточно построить кривую только в
первом координатном угле. Выразим из
канонического уравнения y
как функцию х,
при условии, что
,
и построим график этой функции.
Область определения – интервал
,
,
функция монотонно растет. Производная
существует во всей области определения,
кроме точки. Следовательно, график –
гладкая кривая (без углов). Вторая
производная
во всех точках интервала
отрицательна, следовательно, график –
выпуклый вверх.
Проверим график на наличие асимптоты
при
.
Пусть асимптота имеет уравнение
.
Тогда по правилам математического
анализа
Выражение под знаком предела домножим
и разделим на
.
Получим
Итак, график функции имеет асимптоту
.
Из симметрии гиперболы следует, что
– тоже асимптота. (рис. 6).
Рис.6.График
функции
Окончательно, используя симметрию
гиперболы, получаем кривую рисунка 7.
Рис.6.Гипербола
Точки пересечения гиперболы, заданной
каноническим уравнением (4) с осью
называются
вершинами гиперболы, отрезок между
ними называется действительной осью
гиперболы. Отрезок оси ординат между
точками (0;-b) и (0; b)
называется мнимой осью. Числа
и
называются
соответственно действительной и
мнимой полуосями гиперболы. Начало
координат называется ее центром.
Величина
называется эксцентриситетом
гиперболы.
Из равенства
следует, что у гиперболы
.
Эксцентриситет
характеризует
угол между асимптотами, чем
ближе
к
1, тем меньше этот угол.????
Замечание
12.4 В отличие от эллипса в каноническом
уравнении гиперболы соотношение между
величинами
и
может
быть произвольным. В частности, при
мы
получим равностороннюю гиперболу,
известную из школьного курса математики.
Ее уравнение имеет знакомый вид
,
если взять
,
а оси
и
направить по биссектрисам четвертого
и первого координатных углов (рис. 7).
Рис.7.Равносторонняя
гипербола
Для отражения на рисунке качественных
характеристик гиперболы достаточно
определить ее вершины, нарисовать
асимптоты и нарисовать гладкую кривую,
проходящую через вершины, приближающуюся
к асимптотам и похожую на кривую рисунка
7.
Пример 2.4 Постройте гиперболу
,
найдите ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. Разделим обе части уравнения
на 4. Получим каноническое уравнение
,
.
Проводим асимптоты
и строим гиперболу (рис. 8).
Рис.8.Гипербола
Из формулы
получим
.
Тогда фокусы –
,
,
Пример 12.5 Постройте гиперболу
.
Найдите ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. Преобразуем уравнение к
виду
Данное уравнение не является каноническим
уравнением гиперболы, так как знаки
перед
и
противоположны знакам в каноническом
уравнении. Однако, если переобозначить
переменные
,
,
то в новых переменных получим каноническое
уравнение
Действительная ось этой гиперболы лежит
на оси
,
то есть на оси
исходной
системы координат, асимптоты имеют
уравнение
,
то есть уравнение
в исходных координатах. Действительная
полуось равна 5, мнимая — 2. В соответствии
с этими данными проводим построение
(рис. 12.14).
Рис.9.Гипербола
с уравнением
,
,
фокусы лежат на действительной оси –
,
,
где координаты указаны в исходной
системе координат.
Соседние файлы в папке модуль2
- #
- #
- #
-
Гипербола и её форма.
Начать изучение
-
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Начать изучение
-
Точки гиперболы и их свойства.
Начать изучение
-
Уравнение касательной к гиперболе.
Начать изучение
Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
$$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Утверждение.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
$$
Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
$$
x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).
Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).
К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Определение.
Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.nonumber
$$
Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
$$
h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.nonumber
$$
Утверждение.
Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно и равно (a^{2}b^{2}/(a^{2}+b^{2})).
Отсюда следует важное свойство асимптот.
Свойство.
Если точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно возрастает, то расстояние от точки до одной из асимптот стремится к нулю.
Доказательство.
Действительно, хотя бы одно из расстояний (h_{1}) или (h_{2}) при этих условиях должно неограниченно возрастать, и, если бы предложение было неверно, произведение не было бы постоянно.
Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.
Определение.
Введем число (c), положив
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}label{ref10}
$$
и (c > 0). Фокусами гиперболы называются точки (F_{1}) и (F_{2}) с координатами ((c, 0)) и ((-c, 0)) в канонической системе координат.
Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).
Утверждение 9.
Расстояния от произвольной точки (M(x, y)) на гиперболе до каждого из фокусов следующим образом зависят от ее абсциссы (x):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=|a-varepsilon x|, r_{2}=|F_{2}M|=|a+varepsilon x|.label{ref11}
$$
Доказательство.
Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает с доказательством аналогичного утверждения для эллипса.
Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:
- для правой ветви гиперболы ((x geq a))
$$
r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;nonumber
$$ - для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
$$
r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;nonumber
$$
Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}
$$
Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
$$
x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
$$
Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.
Точки гиперболы и их свойства.
Утверждение 10.
Для того чтобы точка (M) лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась вещественной оси гиперболы (2a).
Доказательство.
Необходимость условия уже доказана. Для доказательства достаточности условия его нужно представить в виде
$$
sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=pm 2a+sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}nonumber
$$
Дальнейшее отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса только тем, что нужно воспользоваться равенством (c^{2}=a^{2}+b^{2}), а не (c^{2}=a^{2}-b^{2}).
Утверждение 11.
Для того чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету (varepsilon) (рис. 8.10).
Доказательство.
Доказательство повторяет доказательство предложения 4. Докажем, например, необходимость условия для фокуса (F_{2}(-c, 0)). Пусть (M'(x, y)) — точка гиперболы. Расстояние от (M’) до директрисы с уравнением (x=-a/varepsilon) по формуле (9) § 3 гл. II равно
$$
d’=left|x+frac{a}{varepsilon}right|=frac{1}{varepsilon}|varepsilon x+a|.nonumber
$$
Из формулы eqref{ref11} мы видим теперь, что (r’/d’=varepsilon).
Уравнение касательной к гиперболе.
Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}
$$
Утверждение 12.
Касательная к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})) есть биссектриса угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство.
Доказательство почти не отличается от доказательства соответствующего утверждения для эллипса.