Как найти уравнение графика гиперболы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола.

Сечения конусов плоскостью (с эксцентриситетом, большим единицы)

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») — геометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

${bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{bigr |}=2a,$

причём $|F_{1}F_{2}|>2a>0.$

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, бо́льшим единицы.

История[править | править код]

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения[править | править код]

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение[править | править код]

Три основных конических сечения

Гипербола может быть определена как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающиеся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек[править | править код]

Через фокусы[править | править код]

Гипербола может быть определена как геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний от любой её точки до фокусов — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус[править | править код]

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения[править | править код]

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного из каждой из вершин до пересечения с асимптотой
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
Середина большой оси называется центром гиперболы.
Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
- Обычно обозначается a.
Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
- Обычно обозначается c.
Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной, или поперечной, осью гиперболы.
Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр, называется мнимой, или сопряжённой, осью гиперболы.
Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
- Обычно обозначается b.
В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям, расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
- Обычно обозначается $r_{p}$ .

Соотношения[править | править код]

Для характеристик гиперболы, определённых выше, существуют следующие соотношения

${displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$ .
.
${displaystyle b^{2}=a^{2}left(varepsilon ^{2}-1right)}$ .
${displaystyle r_{p}=aleft(varepsilon -1right)}$ .
${displaystyle a={frac {p}{varepsilon ^{2}-1}}}$ .
${displaystyle b={frac {p}{sqrt {varepsilon ^{2}-1}}}}$ .
${displaystyle c={frac {pvarepsilon }{varepsilon ^{2}-1}}}$ .
$p={frac {b^{2}}{a}}$ .

Равнобочная гипербола[править | править код]

Гиперболу, у которой a=b , называют равнобочной, или равносторонней.
Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

$xy=a^{2}/2,$

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a, −a).
Равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности, задаваемой формулой

${displaystyle y={frac {k}{x}},quad kneq 0.}$

Эксцентриситет такой гиперболы равен .

Гипербола Киперта[править | править код]

Точка на гиперболе Киперта

Равнобочная гипербола как гипербола Киперта может быть определена через треугольники в трилинейных координатах^[1] в виде геометрического места точек (см. рис.):

Если три треугольника , и построены на сторонах треугольника , являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые , и пересекаются в одной точке .

Если общий угол при основании равен theta , то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты:

{displaystyle X{big (}-sin theta :sin(C+theta ):sin(B+theta ){big )},}

{displaystyle Y{big (}sin(C+theta ):-sin theta :sin(A+theta ){big )},}

{displaystyle Z{big (}sin(B+theta ):sin(A+theta ):-sin theta {big )}.}

Уравнения[править | править код]

Декартовы координаты[править | править код]

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

$A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}}y+C,=,0$

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

${displaystyle D={begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\A_{xy}&A_{yy}end{vmatrix}}<0}$

$Delta :={begin{vmatrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\B_{{x}}&B_{{y}}&Cend{vmatrix}}not =0.$

Канонический вид[править | править код]

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду:

${frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}=1$

где — действительная полуось гиперболы; — мнимая полуось гиперболы^[2]. В этом случае эксцентриситет равен

${displaystyle varepsilon ={frac {c}{a}}={sqrt {1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

Полярные координаты[править | править код]

Гипербола в полярных координатах

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

$r={frac {p}{1-varepsilon cos varphi }}$

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

${frac {1}{r}}={frac {a}{b^{2}}}left(1-cos theta right)+{frac {1}{b}}sin theta$

Уравнения в параметрической форме[править | править код]

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции^[3].

${displaystyle {begin{cases}x=pm aoperatorname {ch} t,\y=boperatorname {sh} t,end{cases}}quad -infty <t<+infty .}$

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «−» — её левой ветви.

Свойства[править | править код]

Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
Каждая гипербола имеет сопряжённую гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Сопряжённая гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; гиперболы различаются формой при .
Отрезок касательной в каждой точке гиперболы, заключенный между двумя асимптотами гиперболы, делится точкой касания пополам и отсекает от двух асимптот треугольник постоянной площади.

Асимптоты[править | править код]

Две сопряжённые гиперболы (голубая и зелёная) обладают совпадающими асимптотами (красные). Эти гиперболы единичные и равнобочные, так как a = b = 1

Уравнения асимптот для гиперболы, заданной в каноническом виде

${frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

выводятся следующим образом. Пусть . Предположим, что асимптота существует и имеет вид . Тогда

${displaystyle k=lim _{xto +infty }{frac {f(x)}{x}}=lim _{xto +infty }{frac {{frac {b}{a}}{sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({frac {sqrt {x^{2}-a^{2}}}{x}}right)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({sqrt {1-{frac {a^{2}}{x^{2}}}}}right)={frac {b}{a}},}$

${displaystyle l=lim _{xto +infty }left(f(x)-kxright)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}left({sqrt {x^{2}-a^{2}}}-xright)=lim _{xto +infty }{frac {b}{a}}cdot {frac {a^{2}}{{sqrt {x^{2}-a^{2}}}+x}}=0.}$

Таким образом, уравнения двух асимптот имеют вид:

${displaystyle y=pm {frac {b}{a}}x}$

или

${displaystyle {frac {x}{a}}pm {frac {y}{b}}=0.}$

Диаметры и хорды[править | править код]

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряжённый диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент $k_{1}$ соответствующего диаметра связан соотношением

${displaystyle kcdot k_{1}=varepsilon ^{2}-1={frac {b^{2}}{a^{2}}}.}$

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряжёнными. Главными диаметрами называются взаимно сопряжённые и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Определение центра гиперболы

Касательная и нормаль[править | править код]

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1$

или, что то же самое,

$y=y_{0}+{frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Вывод уравнения касательной
Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид $y-y_{0}=y'left(x_{0},y_{0}right)cdot left(x-x_{0}right)$ Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Тогда производная этих функций имеет вид $y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$ . Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим $y-y_{0}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x_{0}}{y_{0}}}left(x-x_{0}right)$ ${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Вывод уравнения касательной

Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид

$y-y_{0}=y'left(x_{0},y_{0}right)cdot left(x-x_{0}right)$

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

$y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$

Тогда производная этих функций имеет вид

$y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$

Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим

$y-y_{0}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x_{0}}{y_{0}}}left(x-x_{0}right)$

${frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{frac {yy_{0}}{b^{2}}}={frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

$y=y_{0}-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Вывод уравнения нормали
Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид $y-y_{0}={frac {1}{y'left(x_{0},y_{0}right)}}left(x_{0}-xright)$ . Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций $y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Тогда производная этих функций имеет вид $y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$ . Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим $y-y_{0}=-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$ .

Вывод уравнения нормали

Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид

$y-y_{0}={frac {1}{y'left(x_{0},y_{0}right)}}left(x_{0}-xright)$

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

$y=pm {sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$

Тогда производная этих функций имеет вид

$y'=pm {frac {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{sqrt {{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}}}={frac {b^{2}}{a^{2}}}{frac {x}{y}}$

Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим

$y-y_{0}=-{frac {a^{2}}{b^{2}}}{frac {y_{0}}{x_{0}}}left(x-x_{0}right)$

Кривизна и эволюта[править | править код]

Синим цветом показана гипербола. Зелёным цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в её вершине)

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

$K={frac {ab}{left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}}$

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

$R={frac 1K}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

$Rleft(a,0right)={frac {b^{2}}{a}}=p$

Вывод формулы для радиуса кривизны
Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид: $R_{c}={frac {left(x'^{2} +y'^{2}right)^{{3/2}}}{left\|x'y''-x''y'right\|}}$ . Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: ${begin{cases}x=acdot {mathrm {ch}},(t)\y=bcdot {mathrm {sh}},(t)end{cases}}$ Тогда, первая производная x и y по t имеет вид ${begin{cases}x'=acdot {mathrm {sh}},(t)={frac {a}{b}}y\y'=bcdot {mathrm {ch}},(t)={frac {b}{a}}xend{cases}}$ , а вторая производная – ${begin{cases}x''=acdot {mathrm {ch}},(t)=x\y''=bcdot {mathrm {sh}},(t)=yend{cases}}$ Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем: $R_{c}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{left\|a{frac {y^{2}}{b}}-b{frac {x^{2}}{a}}right\|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ableft\|{frac {y^{2}}{b}}-{frac {x^{2}}{a}}right\|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$ .

Вывод формулы для радиуса кривизны

Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид:

$R_{c}={frac {left(x'^{2} +y'^{2}right)^{{3/2}}}{left|x'y''-x''y'right|}}$

Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:

${begin{cases}x=acdot {mathrm {ch}},(t)\y=bcdot {mathrm {sh}},(t)end{cases}}$

Тогда, первая производная x и y по t имеет вид

${begin{cases}x'=acdot {mathrm {sh}},(t)={frac {a}{b}}y\y'=bcdot {mathrm {ch}},(t)={frac {b}{a}}xend{cases}}$

а вторая производная –

${begin{cases}x''=acdot {mathrm {ch}},(t)=x\y''=bcdot {mathrm {sh}},(t)=yend{cases}}$

Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем:

$R_{c}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{left|a{frac {y^{2}}{b}}-b{frac {x^{2}}{a}}right|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ableft|{frac {y^{2}}{b}}-{frac {x^{2}}{a}}right|}}={frac {left({frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} +{frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}right)^{{3/2}}}{ab}}$

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

${begin{cases}x_{c}={frac {x^{3}}{a^{2}}}left(1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}right)\y_{c}=-{frac {y^{3}}{b^{2}}}left(1+{frac {a^{2}}{b^{2}}}right)end{cases}}$

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

${begin{cases}x=pm a,{mathrm {ch}}^{3},tleft(1+{frac {b^{2}}{a^{2}}}right)\y=b,{mathrm {sh}}^{3},tleft(1+{frac {a^{2}}{b^{2}}}right)end{cases}}$

Эллиптическая система координат

Обобщение[править | править код]

Гипербола есть синусоидальная спираль при .

Применение[править | править код]

Семейство конфокальных (софокусных) гипербол вместе с семейством софокусных эллипсов образуют двумерную эллиптическую систему координат.

Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

Инверсией гиперболы с центром, лежащим в её собственном центре, в фокусе или на вершине можно получить соответственно лемнискату Бернулли, улитку Паскаля или строфоиду.

Гиперболы можно видеть на многих солнечных часах. В течение любого дня года Солнце описывает окружность на небесной сфере, и его лучи, падающие на верхушку гномона солнечных часов, описывают конус света. Линия пересечения этого конуса с плоскостью горизонтальных или вертикальных солнечных часов является коническим сечением. На наиболее населённых широтах и в большую часть года это коническое сечение является гиперболой. На солнечных часах часто показаны линии, описываемые тенью от верхушки гномона в течение дня для нескольких дней года (например, дней летнего и зимнего солнцестояний), таким образом, на них часто можно видеть определённые гиперболы, вид которых различен для различных дней года и различных широт.

Гиперболы, соответствующие на плоскости траекториям первых межзвёздных объектов — 1I/Оумуамуа (зелёная линия) и 2I/Borisov (синия линия)

АМС, преодолевая притяжение основного влияющего на неё тела и далеко улетая от него, при отсутствии возмущений, должна двигаться по гиперболической траектории или параболической траектории, поскольку в таком случае теоретически возможно удаление до бесконечности от данного тела^[4]. В частности, гиперболическими относительно Солнца являются траектории АМС «Вояджер-1» и АМС «Вояджер-2», с эксцентриситетом 3,7 и 6,3 и большой полуосью 480,9 млн км и 601,1 млн км соответственно^[5]^[6]. Гиперболическая траектория небесного тела в Солнечной системе может указывать на его межзвёздное происхождение. В конце 2010-х годов были открыты первый межзвёздный астероид и первая межзвёздная комета^[7], их траектории — гиперболические. Однако известные ранее кометы с гиперболической траекторией небольшого эксцентриситета только собираются стать межзвёздными: испытав во время своей «жизни» в Солнечной системе возмущение от такой планеты, как Юпитер, они ложатся на межзвёздный курс^[8].

См. также[править | править код]

Гиперболоид
Гиперболы, описанные около треугольника
Каустика
Конические сечения
Кривая второго порядка
Окружность
Парабола
Эллипс
Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс,
Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола,
Кривая постоянного отношения — окружность Аполлония,
Кривая постоянного произведения — овал Кассини.
Сглаженный восьмиугольник § Построение

Примечания[править | править код]

↑ Eddy, R. H. and Fritsch, R. The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle. Math. Mag. 67, pp. 188—205, 1994.
↑ Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. — Рипол Классик. — ISBN 9785458255349.
↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 15—16. — 288 с.
↑ Сихарулидзе Ю. Г. Баллистика летательных аппаратов. — М.: Наука, 1982. — С. 162—163. — 5750 экз.
↑ Voyager – Hyperbolic Orbital Elements. НАСА. Дата обращения: 29 октября 2019. Архивировано 6 мая 2021 года.
↑ Ulivi P., Harland D. M. Robotic Exploration of the Solar System. Part I: The Golden Age 1957-1982. — Springer, Praxis, 2007. — P. 441. — ISBN 978-0-387-49326-8. Содержит эксцентриситет орбиты АМС «Вояджер-2» относительно Солнца после пролёта Нептуна.
↑ Naming of New Interstellar Visitor: 2I/Borisov. МАС (24 сентября 2019). Дата обращения: 24 сентября 2019. Архивировано 23 апреля 2020 года.
↑ Carl Sagan, Ann Druyan. Comet. — New York: Ballantine Books, 1997. — P. 104. — ISBN 0-345-41222-2.

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Гипербола // Квант. — 1975. — № 3.
Граве Д. А. Гиперболы // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Математическая энциклопедия (в 5 томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1952. — Вып. 4. Архивировано 14 сентября 2008 года.

Источник

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Математическая гипербола.

Функция заданная формулой (y=frac{k}{x}), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac{k}{x}) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти

гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти

2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$yneqcolor{red} {frac{1}{x}}+0$$
(frac{1}{x}) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{1}{x+2}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{1}{x+2}}) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Пример №3:

$$begin{align*}
&y=frac{2+x}{1+x} \\
&y=frac{color{red} {1+1}+x}{1+x} \\
&y=frac{1}{1+x}+frac{1+x}{1+x}\\
&y=frac{1}{1+x}+1\\
&y=frac{1}{color{red} {1+x}}+1
end{align*}$$

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red}{frac{1}{1+x}}+1$$

(color{red}{frac{1}{1+x}}) Дробь убираем.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{1}{x}$$

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

$$y=frac{1}{x}$$

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

$$f(-x)=frac{1}{-x}=-frac{1}{x}=-f(x)$$

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

$$y=frac{-1}{x-1}-1$$

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

$$y=color{red} {frac{-1}{x-1}}-1$$

Дробь (color{red} {frac{-1}{x-1}}) удаляем.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k<0 функция возрастающая.

8. Для более точного построения взять несколько дополнительных точек. Пример смотреть в пункте №6.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
реклама

Источник

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение $e=frac{c}{a}$ , где $c=sqrt{a^2+b^2}$ , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.50)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Гипербола и фокальное свойство гипербол

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:

$left||overrightarrow{F_1M}|-|overrightarrow{F_2M}|right|=2a.$

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}-sqrt{(x-c)^2+y^2}=pm2a.$

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

$frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,,$

где $b=sqrt{c^2-a^2}$ , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $a^2!!not{phantom{|}},c$ от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

Директрисы гиперболы и директориальное свойство

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=eleft(x-frac{a^2}{c}right)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :

$frac{r_1}{rho_1}=e quad Leftrightarrow quad sqrt{(x+c)^2+y^2}= eleft(x+frac{a^2}{c} right).$

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2rvarphi (рис.3.41,б) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$ , где $p=frac{p^2}{a}$ — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,varphi) и F_1(2c,pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$F_1M=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)^2cdot rcdotcos(varphi-pi)}=sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.$

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

$sqrt{r^2+4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}-r=2a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2+4crcdotcosvarphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 quad Leftrightarrow quad aleft(1-frac{c}{a}cosvarphiright)r=c^2-a^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замены $e=frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{c^2-a^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{a(1-ecosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecosvarphi},$

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0leqslant e<1 для эллипса).

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),,(0,b) , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые $y=pmfrac{b}{a},x$ , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox'y' (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид $y'=frac{a^2}{2x'}$ (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

Асимптоты гиперболы и равносторонняя гипербола

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол $varphi=-frac{pi}{4}$ (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

$left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y',\ y&=-frac{sqrt{2}}{2}cdot x'+frac{sqrt{2}}{2}cdot y'end{aligned}right. quad Leftrightarrow quad left{!begin{aligned}x&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(x'+y'),\ y&=frac{sqrt{2}}{2}cdot(y'-x')end{aligned}right.$

Подставляя эти выражения в уравнение $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{a^2}=1$ равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

$frac{frac{1}{2}(x'+y')^2}{a^2}-frac{frac{1}{2}(y'-x')^2}{a^2}=1 quad Leftrightarrow quad 2cdot x'cdot y'=a^2 quad Leftrightarrow quad y'=frac{a^2}{2cdot x'}.$

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: $operatorname{tg}frac{gamma}{2}=frac{b}{2}$ . Учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2+b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{left(frac{b}{a}right)!}^2=1+operatorname{tg}^2frac{gamma}{2}.$

Чем больше , тем больше угол gamma . Для равносторонней гиперболы (a=b) имеем e=sqrt{2} и $gamma=frac{pi}{2}$ . Для e>sqrt{2} угол gamma тупой, а для 1<e<sqrt{2} угол gamma острый (рис.3.43,а).

Эксцентриситет гиперболы и сопряжённая гипербола

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ и $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы $-frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}-frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение $-frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$ определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotoperatorname{ch}t,\y=bcdotoperatorname{sh}t,end{cases}tinmathbb{R},$

где $operatorname{ch}t=frac{e^t+e^{-t}}{2}$ — гиперболический косинус, a $operatorname{sh}t=frac{e^t-e^{-t}}{2}$ гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ .

Построение гиперболы в канонической системе координат

Пример 3.21. Изобразить гиперболу $frac{x^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — действительная полуось, b=3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6 с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4 в уравнение гиперболы, получаем

$frac{4^2}{2^2}-frac{y^2}{3^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=27 quad Leftrightarrow quad y=pm3sqrt{3}.$

Следовательно, точки с координатами (4;3sqrt{3}) и (4;-3sqrt{3}) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

$2cdot c=2cdotsqrt{a^2+b^2}=2cdotsqrt{2^2+3^2}=2sqrt{13}$

эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{2}$ ; фокальныи параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{3^2}{2}=4,!5$ . Составляем уравнения асимптот $y=pmfrac{b}{a},x$ , то есть $y=pmfrac{3}{2},x$ , и уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}=frac{4}{sqrt{13}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

3.4.1. Каноническое уравнение и построение гиперболы

Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то

есть, значение «а» может быть и меньше, чем «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… – уравнение «школьной» гиперболы и

близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока раскинем на экране своего воображения график функции …. Какие мысли?

У гиперболы две симметричные ветви.

У гиперболы две асимптоты.

Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас вы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:

Задача 99

Построить гиперболу, заданную уравнением

Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому

обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но технически грамотнее сделать каждую из них трёхэтажной (см. Приложение Школьные

материалы):

и только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Готово.

Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить .

Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае получится что-нибудь вроде и без 3-го этажа не обойтись: .

Воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :

Как построить гиперболу?

Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический. С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля я бы

даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.

Целесообразно придерживаться следующего алгоритма (читайте и смотрите на чертёж ниже):

1) Сначала находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт

обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.

2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует,

что . Наша гипербола имеет вершины

3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала

координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения на черновике выражаем:

и уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.

Напрашивается нахождение точек с абсциссами :

4) Изобразим асимптоты , вершины , дополнительные и

симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.