Как найти уравнение грани тетраэдра

1. Решение типовых задач

Задача 1.1. Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку

,если задан нормальный вектор.

Решение.Воспользуемся уравнением (1.2):

Подставляя координаты вектора
и точки,
получим

Ответ:

Задача 1.2. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкупараллельно векторами(их называют направляющими векторами
плоскости).

Решение.

Первый
способ.Пусть– ­произвольная точка на плоскости.Тогда векторы


и(рис. 1.2) должны быть компланарны, т. е.
их смешанное произведение должно быть
равно 0:.Запишем смешанное произведение через
координаты векторов. Получим

Подставим заданные координаты и вычислим
определитель разложением по элементам
первой строки:

,

или

.

Окончательно:

Второй способ. Найдем сначала вектор(рис. 1.1). Очевидно, что вектор
нормали
к плоскости должен быть ортогонален
также векторами.
Поэтому его можно выбрать как
векторное произведение

Затем выпишем общее уравнение плоскости,
используя
,(см.
формулу (1.2)). Получим

Ответ:

Полезная
формула. Если
плоскость проходит через точку
,
и– ее направляющие векторы, то уравнение
плоскости имеет вид

(1.7)

Замечание.Первый способ решения
задачи предпочтительнее. Второй способ
отличается лишь тем, что в нем смешанное
произведение трех векторов,,вычисляется последовательно. А именно:
сначала находим векторное произведениеи затем результат умножаем скалярно на
вектор.
В дальнейшем при решении задач будем
придерживаться первого способа.

Задача 1.3. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкиипараллельно вектору.

Р

ешение.Пусть
произвольная точка на плоскости.
Тогда векторы,икомпланарны (рис. 1.3). Запишем условие
компланарности векторов через их
координаты:

Подставляя заданные координаты, получим

или

Окончательно:

Ответ:

Полезная
формула.Если плоскость проходит
через две заданные точкиипараллельно вектору,
то ее уравнение имеет вид

(1.8)

Задача 1.4. Составить уравнение
плоскости, проходящей через точкупараллельно плоскости

Решение. В качестве вектораискомой плоскости можно выбрать
нормальный вектор заданной плоскости,
так как эти плоскости параллельны. Таким
образом, имееми.
Подставляя координатыив уравнение (1.2), получим

Окончательно:

Ответ:

Задача 1.5. Найти величину острого
угла между плоскостямии

Решение. Угол между плоскостями
равен углу между нормальными векторамии(см. формулу 1.4)).

Отсюда

Ответ:

Задача 1.6. Чему равен угол между
плоскостямии?

Решение. Найдем скалярное произведение
нормальных векторов
и

Следовательно, эти плоскости
перпендикулярны:

Ответ:

Задача 1.7. Составить уравнение
плоскостей, которые проходят через
точкуи отсекают на координатных осях отличные
от нуля отрезки одинаковой длины.

Решение.Воспользуемся уравнением плоскости
в отрезках на осях (1.3). Рассмотрим сначала
случай 1:(рис. 1.4). Тогда
получим

Подставляя в уравнение координаты точки
,
найдем

Уравнение плоскости:

Затем следует
аналогично рассмотреть случаи 2:
3:
4:
Получим четыре различные плоскости.

Ответ:

Задача 1.8. Построить
плоскости, заданные уравнениями: 1);2)
;
3)
;
4) плоскость,
проходящую через точкупараллельно плоскости;
5) плоскость,
проходящую через точкуи ось.

Решение.1. Плоскостьпараллельна плоскостии отсекает на осиотрезок,
равный
(рис. 1.5).

2. Плоскость
параллельна оси,
пересекает плоскость
по прямой

,
отсекая на осяхиотрезки, равные 2 (рис. 1.6).

3. Уравнение
плоскости запишем в отрезках на осях
(1.3):.
Плоскость отсекает на осях,,отрезки, длины которых равны соответственно
4, 3, 2 (рис. 1.7).

Рис. 1.8

4. Так как плоскость
параллельна плоскости,
то ее нормальный вектор можно выбрать
в виде.
Тогда согласно формуле (1.2) уравнение
плоскостибудет,
гдепо условию задачи. Таким образом, получаем(рис. 1.8).

5.
Плоскостьпроходит через ось.
Поэтому ее нормальный вектор имеет вид.
Так как плоскость проходит через начало
координат,
то коэффициент
в уравнении
плоскости (1.1) равен 0. Подставляя
координаты точки
в уравнение,
получаем(рис. 1.9).

Задача 1.9. Составить уравнение
плоскости, проходящей через три заданные
точки

Решение.Пусть
произвольная
точка на плоскости. Тогда векторы,,компланарны (рис. 1.10). Запишем условие
компланарности этих векторов через их
координаты:

Подставим
значения координат и найдем уравнение
плоскости:

или

Ответ:

Полезная
формула. Если плоскость проходит
через три заданные точкине лежащие на одной прямой, то ее уравнение
имеет вид

(1.9)

Задача 1.10. Даны
координаты вершин тетраэдра:
,,,(рис. 1.11). Составить уравнения его граней.

Решение.Найдем уравнение грани.
Для этого подставим в формулу (1.9)
координаты вершин:

,

или

.

Уравнение искомой грани имеет вид

Уравнения
граней
,,найдите самостоятельно.

Ответ:

.

Задача 1.11. Найти расстояние от точкидо плоскости

Решение. Используем формулу (1.5):.

Ответ:

Задача 1.12. Найти расстояние между
параллельными плоскостями

.

Решение.

Первый способ.
Выберем
произвольно точку

на плоскости
.
Пусть, например,ТогдаСледовательно,Найдем расстояниеот
точкидо плоскости,
по формуле (1.5):

Второй
способ.Очевидно, что плоскостиилежат по одну сторону относительно
начала координат

Обозначим через
расстояние от начала координат
до плоскости,
через– до плоскости(рис. 1.12).

,

Расстояние между плоскостями равно
.
Отсюда находим

Ответ:

Замечание. Если бы плоскости
находились по разные стороны от начала
координат (рис. 1.13), то расстояние между
ними было бы равно

Задача 1.13. Составить уравнение
плоскости, проходящей через заданную
прямуюи точкуне лежащую на этой прямой.

Решение. Уравнение произвольной
плоскости,
проходящей через заданную прямую, имеет
вид (см. формулу (1.6))

Отсюда

:

Подставляя в это уравнение координаты
точки
,
получим

,

Положим, например,
ТогдаОстается подставить эти коэффициенты
в уравнение плоскости. Получим

Ответ:

Задача 1.14. Написать уравнение
биссектрисыострого двугранного угла между плоскостямии

Решение. Нормальные
векторы первой и второй плоскостей
соответственно равны
иОни образуют острый угол,
так как

Очевидно, что
(Нормальные векторыивсегда можно взять равными по длине,
например, единичными.) Так как,
то параллелограмм, построенный на
векторахикак на сторонах, является ромбом, а
диагональбиссектрисой его угла. Следовательно,
векторможет быть выбран в качестве нормального
вектора искомой биссектрисыДалее следуем рассуждениям задачи 1.13.
Уравнение биссектрисыищем в виде

Отсюда

Учитывая, что
получаем систему уравнений

Подставляя эти значения в уравнение
биссектрисы
,
имеем

Окончательно:

Чертеж к этой задаче предлагаем сделать
самостоятельно.

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Уравнение ребер и граней тетраэдра

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Тетраэдр.

Тетраэдр – это частный случай правильной треугольной пирамиды.

Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.

Медиана тетраэдра – это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).

Бимедиана тетраэдра – это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).

Высота тетраэдра – это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).

Свойства тетраэдра.

Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.

Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.

Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.

Типы тетраэдров.

Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.

У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.

Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.

Правильный тетраэдр – это один из 5-ти правильных многогранников.

Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:

– Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.

– Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.

– Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.

– Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:

• есть сфера, которая касается каждого ребра,
• суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
• суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
• окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
• каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
• перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.

– Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.

– Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Формулы для определения элементов тетраэдра.

Высота тетраэдра:

где h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра.

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

где V – объем тетраэдра, a – ребро тетраэдра.

Основные формулы для правильного тетраэдра:

Где S – Площадь поверхности правильного тетраэдра;

h – высота, опущенная на основание;

r – радиус вписанной в тетраэдр окружности;

[spoiler title=”источники:”]

http://yukhym.com/ru/vektory/tetraedr-treugolnaya-piramida-v-prostranstve.html

http://www.calc.ru/1535.html

[/spoiler]

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория

---

Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.