Как найти уравнение касательной параболы

Касательная к параболе

Воскресенье, 3 ноября, 2019

Иногда в заданиях ЕГЭ и даже ОГЭ по математике, особенно в заданиях с параметром, возникают ситуации, когда нужно установить, при каком условии некоторая прямая касается параболы. Составить уравнение касательной к функции можно с помощью производной, и старшеклассникам обычно рассказывают в школе, как это делать. Но в случае с параболой можно обойтись без этих премудростей. Достаточно уметь решать квадратные уравнения, а этому учат уже в основой школе. В данной статье профессиональный репетитор по математике рассказывает о том, как получить уравнение касательной к параболе в некоторой точке без использования производной.

Уравнение касательной к параболе

Давайте изобразим координатную плоскость и нарисуем в ней параболу, которая проходит через начало координат. Так бывает, конечно, не всегда. Но эту проблему можно легко устранить. Достаточно просто перенести начало координат в вершину параболы, и мы получим нужную нам ситуацию. Поэтому целесообразно рассматривать именно случай, когда парабола проходит через начало координат. В этом случае уравнение такой параболы имеет вид :

Мы для определённости взяли положительный коэффициент , поэтому ветви данной параболы направлены вверх. Но на самом деле все дальнейшие рассуждения будут справедливы и для отрицательных .

Отметим некоторую точку A, которая принадлежит нашей параболе. Пусть она имеет координаты . Проведём касательную к параболе в этой точке. Касательная – это прямая. А в общем виде уравнение прямой записывается как . То есть ситуация получается следующая:

Ну и давайте зададимся целью найти неизвестные коэффициенты и через известные значения и . Так у нас и получится касательная к параболе, а точнее её уравнение в точке . Но давайте сразу договоримся, что делать мы это будем без помощи производной, чтобы этот материал был понятен не только старшеклассникам.

Итак, что же у нас есть? У нас есть парабола , причём . Иначе это была бы не парабола, а просто прямая линия, которая совпадает с осью OX. Также у нас есть касательная . Но важно то, что эта касательная и парабола имеют общую точку с координатами .

А это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять и уравнению параболы, и уравнению касательной. Значит, если мы подставим координаты этой точки в уравнение параболы и в уравнение касательной, то мы должны при этом получить верные равенства. Итак, имеет место следующая система уравнений:

   

Именно её нам и нужно решить. Но как это сделать? Ну, во-первых, обратим сразу внимание, что у этих уравнений одинаковые левые части. А значит, равны и правые. То есть получается вот такое уравнение:

   

Это квадратное уравнение, которое может иметь от нуля до двух решений, в зависимости от дискриминанта. Вот здесь и возникает самая главная идея! Поскольку прямая касается параболы (ведь это касательная к параболе), то у них есть только одна общая точка. А это означает, что данное уравнение должно иметь единственное решение. Ну а единственное решение оно имеет только в том случае, если дискриминант равен нулю. Осталось его посчитать:

(1)  

Ну а сам корень уравнения при нулевом дискриминанте равен:

(2)  

Ну а дальше подставляем выражение (2) в уравнение (1) и получаем следующее уравнение:

   

   

(3)  

Ну и получилось, что мы смогли выразить коэффициент и коэффициент через и (уравнения (2) и (3), соответственно), как и было нужно. Подставляя их в уравнение прямой, получаем искомое уравнение касательной к параболе:

Уравнение касательной к параболе в общем виде

В общем виде парабола задаётся формулой: . Как уже отмечалось выше, такую параболу можно всегда свести к параболе путём простого переноса начала системы координат в вершину исходной параболы. Но зададимся вопросом, как будет выглядеть уравнение касательной к такой параболе, если мы не будем осуществлять такой перенос.

Касательная к параболе — это прямая, поэтому в общем виде уравнение этой прямой записывается по аналогии с предыдущим пунктом: . Только здесь мы используем букву , поскольку буква уже занята:

И вновь мы ссылаемся на тот факт, что данная касательная и парабола будут иметь общую точку . Значит, координаты этой точки должны удовлетворять следующей системе уравнений:

   

У записанных уравнений равны левые части, значит, равны и правые. То есть имеет место следующее квадратное уравнение:

   

   

Ну и поскольку у касательной с параболой есть только одна общая точка, то последнее уравнение должно иметь единственное решение. Такое возможно только в том случае, если его дискриминант равен нулю. То есть имеет место равенство:

(4)  

При этом сам корень уравнения должен быть равен:

(5)  

Подставляем выражение (5) в выражение (4) и получаем:

   

   

   

(6)  

Итак, мы получили искомые коэффициенты. Значит, уравнение касательной к параболе в общем виде будет выглядеть так:

При этом легко убедиться, что в частном случае при (то есть когда парабола проходит через начало координат) мы получаем то же самое уравнение, которое уже было нами получено в предыдущем пункте.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Статья дает подробное разъяснение определений, геометрического смысла производной с графическими обозначениями. Будет рассмотрено уравнение касательной прямой с приведением примеров, найдено уравнения касательной к кривым 2 порядка.

Определения и понятия

Угол наклона прямой y=kx+b называется  угол α, который отсчитывается от положительного направления оси ох к прямой y=kx+b в положительном направлении.

На рисунке направление ох обозначается при помощи зеленой стрелки и в виде зеленой дуги, а угол наклона при помощи красной дуги. Синяя линия относится к прямой.

Угловой коэффициент прямой y=kx+b называют числовым коэффициентом k.

Угловой коэффициент равняется тангенсу наклона прямой, иначе говоря k=tg α.

• Угол наклона прямой равняется 0 только при параллельности ох и  угловом коэффициенте, равному нулю, потому как тангенс нуля равен 0. Значит, вид уравнения будет y=b.
• Если угол наклона прямой y=kx+b острый, тогда выполняются условия 0<α<π2 или 0°<α<90°. Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию tg α>0, причем имеется возрастание графика.
• Если α=π2, тогда расположение прямой перпендикулярно ох. Равенство задается при помощи равенства x=c со значением с, являющимся действительным числом.
• Если угол наклона прямой y=kx+b тупой, то соответствует условиям π2<α<π или 90°<α<180°, значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Секущей называют прямую, которая проходит через 2 точки функции f(x). Иначе говоря, секущая – это прямая, которая проводится через любые две точки графика заданной функции.

По рисунку видно, что АВ является секущей, а f(x) – черная кривая, α – красная дуга, означающая угол наклона секущей.

Когда угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла наклона, то видно, что тангенс из прямоугольного треугольника АВС можно найти по отношению противолежащего катета к прилежащему.

Очевидно, что угловой коэффициент секущей определен при помощи равенства k=f(xB)-f(xA)xB-xA или k=f(xA)-f(xB)xA-xB, причем уравнение необходимо записать как y=f(xB)-f(xA)xB-xA·x-xA+f(xA) или
y=f(xA)-f(xB)xA-xB·x-xB+f(xB).

Секущая делит график визуально на 3 части: слева от точки А, от А до В, справа от В. На располагаемом ниже рисунке видно, что имеются три секущие, которые считаются совпадающими, то есть задаются при помощи аналогичного уравнения.

По определению видно, что прямая и ее секущая в данном случае совпадают.

Секущая может множественно раз пересекать график заданной функции. Если имеется уравнение вида у=0 для секущей, тогда количество точек пересечения с синусоидой бесконечно.

Касательная к графику функции f(x) в точке x0; f(x0) называется прямая, проходящая через заданную точку x0; f(x0),  с наличием отрезка, который имеет множество значений х, близких к x0.

Для определения касательной следует рассмотреть поведение касательной АВ при бесконечном приближении точки В к точке А. Для наглядности приведем рисунок.

Секущая АВ, обозначенная при помощи синей линии, стремится к положению самой касательной, а угол наклона секущей α начнет стремиться к углу наклона самой касательной αx.

Касательной к графику функции y=f(x) в точке А считается предельное положение секущей АВ при В стремящейся к А, то есть B→A.

Теперь перейдем к рассмотрению геометрического смысла производной функции в точке.

Геометрический смысл производной функции в точке

Перейдем к рассмотрению секущей АВ для функции f(x), где А и В с координатами x0, f(x0) и x0+∆x, f(x0+∆x), а ∆x обозначаем как приращение аргумента. Теперь функция примет вид ∆y=∆f(x)=f(x0+∆x)-f(∆x). Для наглядности приведем в пример рисунок.

Рассмотрим полученный прямоугольный треугольник АВС. Используем определение тангенса для решения, то есть получим отношение ∆y∆x=tg α. Из определения касательной следует, что lim∆x→0∆y∆x=tg αx. По правилу производной в точке имеем, что производную f(x) в точке x0 называют пределом отношений приращения функции к приращению аргумента, где ∆x→0, тогда обозначим как f(x0)=lim∆x→0∆y∆x.

Отсюда следует, что f'(x0)=lim∆x→0∆y∆x=tg αx=kx, где kx обозначают в качестве углового коэффициента касательной.

То есть получаем, что f’(x) может существовать  в точке x0 причем как и касательная к заданному графику функции в точке касания равной x0, f0(x0), где значение углового коэффициента касательной  в точке равняется производной  в точке x0. Тогда получаем, что kx=f'(x0).

Геометрический смысл производной функции в точке в том, что дается понятие существования касательной к графику в этой же точке.

Уравнение касательной прямой

Чтобы записать уравнение любой прямой на плоскости, необходимо иметь угловой коэффициент с точкой, через которую она проходит. Его обозначение принимается как x0 при пересечении.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0, f0(x0) принимает вид y=f'(x0)·x-x0+f(x0).

Имеется в виду, что конечным значением производной f'(x0) можно определить положение касательной, то есть вертикально при условии limx→x0+0f'(x)=∞ и limx→x0-0f'(x)=∞ или отсутствие вовсе при условии limx→x0+0f'(x)≠limx→x0-0f'(x).

Расположение касательной зависит от значения ее углового коэффициента kx=f'(x0). При параллельности к оси ох получаем, что kk=0, при параллельности к оу – kx=∞, причем вид уравнения касательной x=x0 возрастает при kx>0, убывает при kx<0.

Возможно существование бесконечного количества касательных для заданных функций.

Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе

Канонические уравнения кривых 2 порядка не являются однозначными функциями. Уравнения касательных для них составляются по известным схемам.

Касательная к окружности

Для задания окружности  с центром  в точке xcenter; ycenter и радиусом R применяется формула x-xcenter2+y-ycenter2=R2.

Данное равенство может быть записано как объединение двух функций:

y=R2-x-xcenter2+ycentery=-R2-x-xcenter2+ycenter

Первая функция располагается вверху, а вторая внизу, как показано на рисунке.

Для составления уравнения окружности  в точке x0; y0, которая располагается  в верхней или нижней полуокружности, следует найти уравнение графика функции вида y=R2-x-xcenter2+ycenter или y=-R2-x-xcenter2+ycenter в указанной точке.

Когда в точках xcenter; ycenter+R и xcenter; ycenter-R касательные могут быть заданы уравнениями y=ycenter+R и y=ycenter-R, а  в точках xcenter+R; ycenter и
xcenter-R; ycenter будут являться параллельными оу, тогда получим уравнения вида x=xcenter+R и x=xcenter-R.

Касательная к эллипсу

Когда эллипс имеет центр  в точке xcenter; ycenter с полуосями a и b, тогда он может быть задан при помощи уравнения x-xcenter2a2+y-ycenter2b2=1.

Эллипс и окружность могут быть обозначаться при помощи объединения двух функций, а именно: верхнего и нижнего полуэллипса. Тогда получаем, что

y=ba·a2-(x-xcenter)2+ycentery=-ba·a2-(x-xcenter)2+ycenter

Если  касательные располагаются на вершинах эллипса, тогда они параллельны ох или оу. Ниже для наглядности рассмотрим рисунок.

Касательная к гиперболе

Когда гипербола имеет центр в точке xcenter; ycenter и вершины xcenter+α; ycenter и xcenter-α; ycenter, имеет место задание неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=1, если с вершинами xcenter; ycenter+b и xcenter; ycenter-b, тогда задается при помощи неравенства x-xcenter2α2-y-ycenter2b2=-1.

Гипербола может быть представлена в виде двух объединенных функций вида

y=ba·(x-xcenter)2-a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2-a2+ycenter или y=ba·(x-xcenter)2+a2+ycentery=-ba·(x-xcenter)2+a2+ycenter

В первом случае имеем, что касательные параллельны оу, а во втором параллельны ох.

Отсюда следует, что для того, чтобы найти уравнение касательной к гиперболе, необходимо выяснить, какой функции принадлежит точка касания. Чтобы определить это, необходимо произвести подстановку в уравнения и проверить их на тождественность.

Касательная к параболе

Чтобы составить уравнение касательной к параболе y=ax2+bx+c в точке x0, y(x0), необходимо использовать стандартный алгоритм, тогда уравнение примет вид y=y'(x0)·x-x0+y(x0). Такая касательная в вершине параллельна ох.

Следует задать параболу x=ay2+by+c как объединение двух функций. Поэтому нужно разрешить уравнение относительно у. Получаем, что

x=ay2+by+c⇔ay2+by+c-x=0D=b2-4a(c-x)y=-b+b2-4a(c-x)2ay=-b-b2-4a(c-x)2a

Графически изобразим как:

Для выяснения принадлежности точки x0, y(x0) функции, нежно действовать по стандартному алгоритму. Такая касательная будет параллельна оу относительно параболы.

Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.

Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.

Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.

Геометрический смысл производной в точке и касательной

Рассмотрим определение касательной подробнее.

Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.

Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.

В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.

«Уравнение касательной» 👇

Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.

Уравнение касательной через производную

Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.

Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.

Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.

Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:

$k_{секущ.}=frac{Δy}{Δx}left(1right)$.

Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:

$k_{кас.}=lim_{ Δx to 0}(k_{секущ.})$

Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:

$k_{кас.}=lim_{ Δx to 0} frac{Δy}{Δx}$

Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.

Иначе данное утверждение можно записать как

$k_{кас.}(a)=f’(a)$.

То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.

Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.

Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:

$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) left(2right)$,

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная.

Уравнение касательной для параболы

Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе $y=ax^2$ в точке $M$ c координатами $(x; y)$.

Придадим этой точке приращение по оси $OX$, равное $Δx$, приращение по оси $y$ тогда составит $y+Δy=a(x+ Δx)^2$. Точку с координатами $(x+ Δx; y+Δy)$ назовём $P$.

Теперь чтобы определить тангенс угла секущей $MP$с осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник $triangle MNP$. В нём катет $MN$ равен $Δx$, а второй катет $Δy$ — это приращение ординаты, равное $Δy=a(2x cdot Δx + Δx^2)$.

Выразим используя эти данные тангенс угла $φ$.

$mathrm{tg}φ=frac{Δy}{Δx}=2ax + a cdot Δx$

Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине $Δx$. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:

$mathrm{tg}φ= lim_{Δx to 0}(2ax+a cdot x)=2ax$.

Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).

Для этого достаточно рассмотреть треугольник $triangle MPT$, так как отрезок $TP$ будет равен:

$TP=frac{y}{mathrm{tg}α}=frac{ax^2}{2ax}=frac{x}{2}$

То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.

Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента

Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.

Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.

Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.

В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.

Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.

Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. Число $b$ характеризует значение функции $y(x)$ в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке $x=0$.

3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.9 Касательные

 

Пусть на плоскости задана кривая уравнением $F(x,y)=0$ (т.е. неявным образом). Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит этой кривой. Выпишем уравнение касательной к кривой в этой точке.

Напомним, что если кривая задана уравнением $y=f(x)$, то, как известно из курса дифференциального исчисления, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0,y_0)$, лежащей на кривой, равен значению производной $f(x)$ в этой точке, т.е. $k=f'(x_0)$. Таким образом, уравнение касательной (уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку) имеет вид:
[
y-y_0=f'(x_0)(x-x_0).
]
Если кривая задана неявно, то производная $f'(x_0)$ вычисляется согласно соотношению
[
f'(x_0)=-frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}|_{x_0, y_0}.
]
Подставляя в уравнение касательной, получаем уравнение касательной в окончательном виде:
begin{equation}
(y-y_0)cdot frac{partial F}{partial y}(x_0, y_0)+(x-x_0)cdot frac{partial F}{partial x}(x_0, y_0)=0. (26)
label{kasat}
end{equation}

Рассмотрим с помощью этого соотношения касательные к кривым второго порядка.

1. Касательная к эллипсу.
Исходное уравнение
[
frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=frac{2x}{a^2}$, $frac{partial F}{partial y}=frac{2y}{b^2}$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
frac{2(x-x_0)x_0}{a^2}+frac{2(y-y_0)y_0}{b^2}=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на эллипсе, получаем уравнение касательной эллипса, проходящей через эту точку:
begin{equation}
frac{xx_0}{a^2}+frac{yy_0}{b^2}=1. (27)
label{kasell}
end{equation}

2. Касательная к гиперболе.
Исходное уравнение
[
frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=frac{2x}{a^2}$, $frac{partial F}{partial y}=-frac{2y}{b^2}$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
frac{2(x-x_0)x_0}{a^2}-frac{2(y-y_0)y_0}{b^2}=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на гиперболе, получаем уравнение касательной гиперболы, проходящей через эту точку:
begin{equation}
frac{xx_0}{a^2}-frac{yy_0}{b^2}=1. (28)
label{kashyp}
end{equation}

3. Касательная к параболе.
Исходное уравнение
[
y^2-2px=0,
]
так что $frac{partial F}{partial x}=-2p$, $frac{partial F}{partial y}=2y$. При этом уравнение (26) принимает вид
[
-2p(x-x_0)+2(y-y_0)y_0=0.
]
Сокращая на 2 и учитывая, что точка $(x_0,y_0)$ лежит на параболе, получаем уравнение касательной параболы, проходящей через эту точку:
begin{equation}
yy_0=p(x+x_0). (29)
label{kaspar}
end{equation}

 

Пример.

Задачи.

 

Уравнение касательной к графику функции

П. Романов, Т. Романова,
г. Магнитогорск,
Челябинская обл.

Уравнение
касательной к графику функции

Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. Тут, на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.

На современном этапе развития
образования в качестве одной из основных его
задач выступает формирование творчески мыслящей
личности. Способность же к творчеству у учащихся
может быть развита лишь при условии
систематического привлечения их к основам
исследовательской деятельности. Фундаментом для
применения учащимися своих творческих сил,
способностей и дарований являются
сформированные полноценные знания и умения. В
связи с этим проблема формирования системы
базовых знаний и умений по каждой теме школьного
курса математики имеет немаловажное значение.
При этом полноценные умения должны являться
дидактической целью не отдельных задач, а
тщательно продуманной их системы. В самом
широком смысле под системой понимается
совокупность взаимосвязанных взаимодействующих
элементов, обладающая целостностью и устойчивой
структурой.

Рассмотрим методику обучения
учащихся составлению уравнения касательной к
графику функции. По существу, все задачи на
отыскание уравнения касательной сводятся к
необходимости отбора из множества (пучка,
семейства) прямых тех из них, которые
удовлетворяют определенному требованию
– являются касательными к графику некоторой
функции. При этом множество прямых, из которого
осуществляется отбор, может быть задано двумя
способами:

а) точкой, лежащей на
плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок
прямых).

В связи с этим при изучении
темы «Касательная к графику функции» с целью
вычленения элементов системы нами были выделены
два типа задач:

1) задачи на касательную,
заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым
коэффициентом.

Обучение решению задач на
касательную осуществлялось при помощи
алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем [2].
Его принципиальное отличие от уже известных
заключается в том, что абсцисса точки касания
обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем
уравнение касательной приобретает вид

y = f(a) + f ‘(a)(x – a)

(сравните с y = f(x₀) + f ‘(x₀)(x
– x₀)). Этот методический прием, на наш
взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче
осознать, где в общем уравнении касательной
записаны координаты текущей точки, а где
– точки касания.

Алгоритм
составления уравнения касательной к графику
функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a
абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f ‘(x) и f ‘(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f ‘(a) в
общее уравнение касательной y = f(a) = f ‘(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть
составлен на основе самостоятельного выделения
учащимися операций и последовательности их
выполнения.

Практика показала, что
последовательное решение каждой из ключевых
задач при помощи алгоритма позволяет
формировать умения написания уравнения
касательной к графику функции поэтапно, а шаги
алгоритма служат опорными пунктами действий.
Данный подход соответствует теории поэтапного
формирования умственных действий, разработанной
П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной [3].

В первом типе задач были
выделены две ключевые задачи:

• касательная проходит через
  точку, лежащую на кривой (задача 1);
• касательная проходит через
  точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение
касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2)
является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки
касания.
2. f(3) = – 2.
3. f ‘(x) = x² – 4, f ‘(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение
касательной.

Задача 2. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = – x²
– 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не
является точкой касания, так как f(– 3) ­ 6 (рис. 2).

1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a)
– уравнение касательной.

Касательная проходит через
точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты
удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a +
2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0 ^ a₁ = – 4, a₂ = – 2.

Если a = – 4, то уравнение
касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение
касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми
задачами будут следующие:

• касательная параллельна
  некоторой прямой (задача 3);
• касательная проходит под
  некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения
всех касательных к графику функции y = x³ – 3x²
+ 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисса точки
касания.
2. f(a) = a³ – 3a² + 3.
3. f ‘(x) = 3x² – 6x, f ‘(a) = 3a² – 6a.

Но, с другой стороны, f ‘(a) = 9
(условие параллельности). Значит, надо решить
уравнение 3a² – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3
(рис. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f ‘(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение
касательной;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f ‘(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение
касательной.

Задача 4. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = 0,5x² – 3x + 1,
проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f ‘(a) =
tg 45° найдем a:  a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки
касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f ‘(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение
касательной.

Несложно показать, что
решение любой другой задачи сводится к решению
одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим
в качестве примера следующие две задачи.

1. Напишите уравнения
касательных к параболе y = 2x² – 5x – 2, если
касательные пересекаются под прямым углом и одна
из них касается параболы в точке с абсциссой 3
(рис. 5).

Решение. Поскольку дана
абсцисса точки касания, то первая часть решения
сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки
касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f ‘(x) = 4x – 5, f ‘(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой
касательной.

Пусть a – угол наклона первой
касательной. Так как касательные
перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из
уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

Это значит, что угловой
коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к
ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка
касания второй прямой, тогда

1.  – абсцисса второй точки касания.
2. 
3. 
4. 
– уравнение
второй касательной.

Примечание. Угловой
коэффициент касательной может быть найден проще,
если учащимся известно соотношение
коэффициентов перпендикулярных прямых k₁•k₂
= – 1.

2. Напишите уравнения всех
общих касательных к графикам функций

Решение. Задача сводится к
отысканию абсцисс точек касания общих
касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в
общем виде, составлению системы уравнений и
последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть a – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции y = x²
+ x + 1.
2. f(a) = a² + a + 1.
3. f ‘(a) = 2a + 1.
4. y = a² + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a².

1. Пусть c – абсцисса
точки касания, лежащей на графике функции  
2.
3. f ‘(c) = c.
4. 

Так как касательные общие, то

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3
– общие касательные.

Основная цель рассмотренных
задач – подготовить учащихся к
самостоятельному распознаванию типа ключевой
задачи при решении более сложных задач,
требующих определенных исследовательских
умений (умения анализировать, сравнивать,
обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу
таких задач можно отнести любую задачу, в которую
ключевая задача входит как составляющая.
Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную
задаче 1) на нахождение функции по семейству ее
касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и
y = – 2x являются касательными к графику функции
y = x² + bx + c?

Решение.

Пусть t – абсцисса точки
касания прямой y = x с параболой y = x² + bx + c; p
– абсцисса точки касания прямой y = – 2x с
параболой y = x² + bx + c. Тогда уравнение
касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t², а
уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p +
b)x + c – p².

Составим и решим систему
уравнений

Ответ:

 Задачи для
самостоятельного решения

1. Напишите уравнения
касательных, проведенных к графику функции y = 2x²
– 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x +
3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a
касательная, проведенная к графику функции y = x²
– ax в точке графика с абсциссой x₀ = 1,
проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p
прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x² – 4x – 2?

Ответ: p₁ = – 10, p₂
= 2.

4. Найдите все общие точки
графика функции y = 3x – x³ и касательной,
проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее
расстояние между параболой y = x² + 6x + 10 и
прямой

Ответ:

6. На кривой y = x² – x + 1
найдите точку, в которой касательная к графику
параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

Ответ: M(2; 3).

7. Напишите уравнение
касательной к графику функции y = x² + 2x –
| 4x |, которая касается его в двух точках.
Сделайте чертеж.

Ответ: y = 2x – 4.

8. Докажите, что прямая y = 2x
– 1 не пересекает кривую y = x⁴ + 3x² + 2x.
Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ:

9. На параболе y = x²
взяты две точки с абсциссами x₁ = 1, x₂ = 3.
Через эти точки проведена секущая. В какой точке
параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей? Напишите уравнения секущей
и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение
секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными
к графику функции y = x³ – 4x² + 3x + 1,
проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

Ответ: q = 45°.

11. В каких точках
касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена
касательная. Найдите длину отрезка касательной,
заключенного между осями координат.

Ответ:

13. Напишите уравнение всех
общих касательных к графикам функций y = x² –
x + 1 и y = 2x² – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между
касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

Ответ:

15. Определите, под какими
углами парабола y = x² + 2x – 8 пересекает ось
абсцисс.

Ответ: q₁ = arctg 6, q₂ = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все
точки, касательная в каждой из которых к этому
графику пересекает положительные полуоси
координат, отсекая от них равные отрезки.

Ответ: A(– 3; 11).

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y
= x² – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите
точку K пересечения прямых, касающихся параболы в
точках M и N.

Ответ: K(1; – 9).

18. При каких значениях b
прямая y = 9x + b является касательной к графику
функции y = x³ – 3x + 15?

Ответ: – 1; 31.

19. При каких значениях k
прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с
графиком функции y = 2x² + 3x – 2? Для найденных
значений k определите координаты точки.

Ответ: k₁ = – 5, A(– 2;
0); k₂ = 11, B(2; 12).

20. При каких значениях b
касательная, проведенная к графику функции y = bx³
– 2x² – 4 в точке с абсциссой x₀ = 2,
проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

21. Парабола с вершиной на
оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1;
2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ:

22. При каком значении
коэффициента k парабола y = x² + kx + 1 касается
оси Ox?

Ответ: k = д 2.

23. Найдите углы между
прямой y = x + 2 и кривой y = 2x² + 4x – 3.

Ответ:

24. Определите, под какими
углами пересекаются графики функций y = 2x² +
3x – 3 и y = x² + 2x + 3.

Ответ:

25. При каком значении k угол
между кривыми y = x² + 2x + k и y = x² + 4x + 4
будет равен 45°?

Ответ: k = – 3.

26. Найдите все значения x0,
при каждом из которых касательные к графикам
функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в
абсциссой x₀ параллельны.

Ответ:

27. Под каким углом видна
окружность x² + y² = 16 из точки (8; 0)?

Ответ:

28. Найдите геометрическое
место точек, из которых парабола y = x² видна
под прямым углом?

Ответ: прямая

29. Найдите расстояние между
касательными к графику функции образующими с
положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ:

30. Найдите геометрическое
место вершин всех парабол вида y = x² + ax + b,
касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я.,
Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач
для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа,
1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых
учителей. Тема «Приложения производной». – М.,
«Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе
теории поэтапного усвоения умственных действий.
/ Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной.
– М., МГУ, 1968.