Как найти уравнение медианы пирамиды

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти уравнение медианы пирамиды

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет – тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку “Зарегистрироваться” вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Пирамида в геометрии – элементы, формулы, свойства с примерами

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

• боковые ребра равны;
• боковые грани равны;
• апофемы, равны;
• двугранные углы при основании равны;
• двугранные углы при боковых ребрах равны;
• каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
• каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
• каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

• боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
• двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

• а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
• в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Конус в геометрии
• Сфера в геометрии
• Шар в геометрии
• Правильные многогранники в геометрии
• Возникновение геометрии
• Призма в геометрии
• Цилиндр в геометрии
• Стереометрия – формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshka.feniks.help/vysshaya-matematika/analiticheskaja-geometrija/dany-koordinaty-vershin-piramidy

http://www.evkova.org/piramida

[/spoiler]

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Раздел 1.5

Задача
1.6

Даны
вершины пирамиды A(x₁,y₁,z₁),
B(x₂,y₂,z₂),
C(x₃,y₃,z₃),
D(x₄,y₄,z₄).
Найти: а) угол между гранями АВС и ABD;

б)
каноническое и параметрические уравнения
прямой CD;

в)
уравнения плоскости параллельной
плоскости АВС, проходящую через точку
D;

г)
каноническое уравнение высоты пирамиды.

x₁=7
x₂=5
x₃=5
x₄=2

y₁=2
y₂=7
y₃=3
y₄=3

z₁=2
z₂=7
z₃=1
z₄=7

Вектор
АВ={xB-xA,
yB-yA, zB-zA}={-2, 5, 5}
Длина
ребра
АВ=7.3

Вектор
BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}={0, -4, -6}
Длина
ребра
ВC=7.2

Вектор
АC={xC-xA,
yC-yA, zC-zA}={-2, 1, -1}
Длина
ребра
АC=2.4

Вектор
АD={xD-xA,
yD-yA, zD-zA}={-5, 1, 5}
Длина
ребра
АD=7.1

Вектор
BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}={-3, -4, 0}
Длина
ребра
BD=5

Вектор
CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}
Длина
ребра
CD=6.7

А)
Угол между гранями ABC и ABD

Угол
между гранями равен углу между нормалями
к этим граням

Уравнение
плоскости ABC:
-5x – 6y + 4z + 39 = 0

Уравнение
плоскости ABD:
20x – 15y + 23z-156 = 0

γ
= arccos (0.27) = 74.338^o

Б)
Каноническое
и параметрические уравнения прямой CD

Вектор
CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}={-3, 0, 6}

С
(5; 3; 1) D
(2; 3; 7)

Решение.
Воспользуемся формулой для уравнения
прямой проходящей через две точки

=
==t

X
= 5 – 3t
Y
= 3 + t
Z
= 1 + 6t

В)
Уравнения плоскости параллельной
плоскости АВС, проходящую через точку
D

Решение:
Вектор n
( -5; -6; 4) есть нормальный вектор
плоскости ABC
= -5x
– 6y
+ 4z
+ 39 = 0.

Уравнение
плоскости, которая проходит через
точку D
(2; 3; 7) и имеет нормальный вектор n
= (-5; -6; 4), имеет вид 

-5
* (x
– 2) – 6 * (y
– 3) + 4 * (z
– 7) = 0 ↔ –5x
– 6y
– 4z
+ 51 = 0.

Это
искомое уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку параллельно
заданной плоскости.

Г)
Каноническое уравнение высоты пирамиды.

Уравнение
плоскости ABC: −5x
− 6y + 4z + 39 = 0 или,
если умножить на -1: 5x
+ 6y – 4z – 39 = 0

Получаем
уравнение прямой, перпендикулярной
плоскости ABC
и проходящей через точку D (т.е. высоту
пирамиды)

Из
уравнения плоскости 5x
+ 6y – 4z – 39 = 0 берем
коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный
вектор: {5, 6, -4}. Параметрическое уравнение
прямой с заданным направляющим вектором
(A,B,C) и проходящей через данную точку
(2, 3, 7):

x=
2+At y= 3+Bt z= 8+Ct

Подставляем
нормальный вектор плоскости и точку D:

x=
2+5t y= 3+6t z= 7-4t

Получили
параметрическое уравнение высоты
пирамиды. Если нужно каноническое
уравнение, в каждом уравнении выражаем
параметр t, а потом приравниваем:

t
=
t
=
t
=

Уравнение
высоты: t
=
t
=
t
=

Задача
1. 7.

Даны
три точки на плоскости: A(0;2)
B(6;6)
С(-12;3)

Найти:

а)
уравнение стороны AB;

б)
уравнение высоты, опущенной из вершины
A;

в)
уравнение медианы, опущенной из вершины
B;

г)
уравнение прямой, параллельной прямой
BС, проходящей через точку

А;

д)
угол при вершине B.

А)
Уравнение стороны AB

Решение:
Даны
три вершины треугольника, поэтому
уравнения сторон будем искать ка
уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки  =
Подставляем
координаты вершин: уравнение
стороны AB,
при известных координатах вершины
A(0;-2) и B(6;6

AB
=
=

Б)
Уравнение высоты, опущенной из вершины
A

Решение:

Прямая,
проходящая через точку A(0;-2)
и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0
имеет направляющий вектор (A;B) и, значит,
представляется уравнениями:

Найдем
уравнение высоты через вершину Ay
= -6x -2 или y +6x + 2 = 0

В)
Уравнение медианы, опущенной из вершины
B

Решение:
Обозначим
середину стороны AC буквой М. Тогда
координаты точки M найдем по формулам
деления отрезка пополам.
M(-6;¹/₂)
Уравнение
медианы BM найдем, используя формулу для
уравнения прямой, проходящей через две
заданные точки. Медиана BМ проходит
через точки B(6;6) и М(-6;¹/₂),
поэтому:

Каноническое
уравнение прямой:
илиили
y =¹¹/₂₄x
+ ¹³/₄ или
24y -11x – 78 = 0

Найдем
длину медианы:
Расстояние между двумя
точками выражается через координаты
формулой:

ВМ
= √(-6-6)²
+ √(
-6)²
= √12²
+ ()²
= √=√697

Г)
Уравнение прямой, параллельной прямой
BС, проходящей через точку А

Решение:
Прямая,
проходящая через точки В(6; 6) и С(-12; 3),
представляется уравнениями:

Уравнение
прямой BC
Каноническое уравнение
прямой:

y
= ¹/₆x
+ 5 или 6y -x – 30 = 0

Уравнение
прямой BC: y = ¹/₆x
+ 5
Уравнение AB
параллельно BC находится по формуле:
y
– y₀ =
k(x – x₀)
Подставляя
x₀ =
0, k = ¹/₆,
y₀ =
-2 получим:
y-(-2) = ¹/₆(x-0)
y
= ¹/₆x
-2 или 6y -x +12 = 0

Д)
Угол при вершине B.

Решение:
Найдем угол B как угол между двумя
прямыми.
Уравнение прямой AB: y = ⁴/₃x
-2
Уравнение прямой BC: y = ¹/₆x
+ 5
Угол φ между двумя прямыми, заданными
уравнениями с угловыми коэффициентами
y = k₁x
+ b₁ и
y₂ =
k₂x
+ b₂,
вычисляется по формуле:

Угловые
коэффициенты данных прямых равны ⁴/₃ и ¹/₆.
Воспользуемся формулой, причем ее правую
часть берем по модулю:

tg
φ =²¹/₂₂
Ответ:
φ = arctg (²¹/₂₂)
= 43.67⁰

Задача
1.8

Перевести
уравнение кривой второго порядка а₁₁x²
+ a₂₂y²
+ 2a₁x
+ 2a₂y
+ a₀
= 0 к каноническому виду, выяснить, что
это за кривая. Найти координаты смещённого
центра. Построить кривую на плоскости.

а₁₁
=
3 а₂₂
= 2 а₁
= 3
а₂
= 4 а₀
= -45

Дано
уравнение кривой:
3x² +
2y² +
6x + 8y – 45 = 0
1. Определить тип кривой.
2.
Привести уравнение к каноническому
виду и построить кривую в исходной
системе координат.
3. Найти соответствующие
преобразования координат.

Решение:

Приводим
квадратичную форму B = 3x² +
2y²
к
главным осям, то есть к каноническому
виду. Матрица этой квадратичной формы:

B =

3 0 0 2

Находим
собственные числа и собственные векторы
этой матрицы:
(3 – λ)x₁ +
0y₁ =
0
0x₁ +
(2 – λ)y₁ =
0
Характеристическое уравнение:

3 – λ 0 0 2 – λ

= λ 2 – 5λ + 6 = 0

λ² -5
λ + 6 = 0
D = (-5)² –
4 • 1 • 6 = 1

Исходное
уравнение определяет эллипс (λ₁ >
0; λ₂ >
0)
Вид квадратичной формы:
3x² +
2y²
Выделяем
полные квадраты:
для x₁:
3(x₁²+2•1x₁ +
1) -3•1 = 3(x₁+1)²-3
для
y₁:
2(y₁²+2•2y₁ +
2²)
-2•2² =
2(y₁+2)²-8

В
итоге получаем:
3(x₁+1)²+2(y₁+2)² =
56
Разделим все выражение на 56
Полуоси
эллипса:Данное
уравнение определяет эллипс с центром
в точке:
C(-1; -2)
Найдем координаты
фокусов F₁(-c;0)
и F₂(c;0),
где c – половина расстояния между
фокусами
Итак,
фокусы эллипса:С
учетом центра, координаты фокусов
равны:Тогда
эксцентриситет будет равен:Вследствие
неравенстваc
< a эксцентриситет
эллипса меньше 1.

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти:

1) координаты и модули векторов А₁ А₂и А₁ А₄;  

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А₁ А₂;

6) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3.

Сделать чертеж.

А₁ (0; 4; -4), А₂ (5; 1; -1), А₃ (-1; -1; 3), А₄ (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

1. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-3)(1*2-0*3) – (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.267) = 15.486^o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Уравнение плоскости через вершину A₄(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 

1. Уравнение плоскости. 
   Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости A₁A₂A₃ 

(x-0)(3*2-8*3) – (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x – 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A₁A₄ и плоскостью A₁A₂A₃. 
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A₁A₄: 

γ = arcsin(0.193) = 11.128^o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A₄(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A₁A₂A₃: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A₄(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и параллельная плоскости

5)  Координаты вектора  A₁A₄(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А₁(0,1,1) параллельно вектору А₁А₂(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A₁(0,1,1), A₂(3,4,4), A₃(-3,9,3), A₄(0,5,4) 
Координаты векторов. 
Координаты векторов:       A₁A₂(3;3;3)        A₁A₄(0;4;3) 

 Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   ,    где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
Найдем угол между ребрами A₁A₂(3;3;3) и A₁A₃(0;4;3): 

А₁ = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) – j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i – 15j + 33k 

3) Объем пирамиды. 
Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

Координатывекторов:A₁A₂(3;3;3)    A₁A₃(-3;8;2) A₁A₄(0;4;3) :      

Пример 7:

Решение от преподавателя:

1. Угол между ребрами. 
   Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле: 
   
   где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   γ = arccos(0) = 90.003⁰ 
2. Площадь грани 
   Площадь грани можно найти по формуле: 
   
   где 
   
   Найдем площадь грани A₁A₂A₃ 
   Найдем угол между ребрами A₁A₂(-2;1;3) и A₁A₃(3;0;2): 
   
   
   Площадь грани A₁A₂A₃ 
3. Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен: 

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄ . Найти:

1) длину ребра А₁А₂;

2) угол между рёбрами А₁А₂  и А₁А₄ ;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

Сделать чертёж.

А₁(3; 5; 4),        А₂(8; 7; 4),            А₃(5; 10; 4),          А₄(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

Найдем уравнение стороны А₁А₄:

Вектор нормали:  к плоскости А₁А₂А₃.

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁А₂;

7) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

A₄O – высота:

Уравнение A₄O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Найти: 1) длину ребра А₁ А₂;

2) угол между ребрами А₁ А₂и А₁ А₄;          

3) угол между ребром А₁ А₄ и гранью А₁ А₂ А₃;

4) площадь грани А₁ А₂ А₃;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А₁ А₂;

7) уравнение плоскости А₁ А₂ А₃;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А₄ на грань А₁ А₂ А_3. Сделать чертеж.

А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Задача 61691 По координатам вершин пирамиды А1 А2 А3…