Как найти уравнение окружности если известен радиус

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Центр окружности

Уравнение окружности

Уравнение окружности – это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство – эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

• общее уравнение окружности
• стандартное уравнение окружности 1
• параметрическое уравнение окружности
• уравнение окружности в полярных координатах

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь – Метод выделения полного квадрата и здесь – Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется “параметрическим”, потому что и x и y зависят от “параметра” тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности – это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a – радиус окружности.

Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Uravneniye-Okruzhnosti.html

[/spoiler]

Уравнение окружности

Уравнение окружности – это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство – эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

• общее уравнение окружности
• стандартное уравнение окружности¹
• параметрическое уравнение окружности
• уравнение окружности в полярных координатах

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь – Метод выделения полного квадрата и здесь – Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется “параметрическим”, потому что и x и y зависят от “параметра” тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности – это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a – радиус окружности.

In geometry, a circle can be defined as the set of all points that are equidistant from a fixed point in the plane, where the fixed point is the center of the circle. The radius is defined as the distance between any point on the circumference of a circle and the center of the circle. The largest chord that passes through the center of the circle; this diameter is referred to as the circle’s diameter. 

Equation of a Circle

A circle can be defined as a closed curve traced out by a point that moves in a plane such that the distance from the given point in that plane is always constant. By using the equation of a circle, we can describe a circle in an algebraic way when the center of the circle and its radius length is known. We require an algebraic equation to represent the circle on a Cartesian plane. So, to find the position of the circle on a Cartesian plane, we require the coordinates of the center and the length of its radius.

The standard form of the equation of a circle

Let’s consider a circle with a center (h, k) and P (x, y) to be any point on the circumference of the circle for finding the standard form of the equation. From the definition of the radius of the circle, 

The radius of the given circle (r) = CP

We can find the value of CP By using the formula for the distance between two points i.e.,

CP = r = √[(x – h)² + (y – k)²]

Now, by squaring on both sides we get,

(x – h)² + (y – k)² = r²

Hence, the standard form of the equation of a circle is,

(x – h)² + (y – k)² = r²

Where (h, k) is the center of the circle and r is the length of the radius.

• Equation of the circle with the center at the origin

Let’s consider that the center of the circle lies at the origin (0, 0) and its radius is “r”. Now, the distance between the origin and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

OP = r

By using the formula for the distance between two points, 

OP = r = √[(x – 0)² + (y – 0)²]

Now, by squaring on both sides, 

r² = x² + y²

Hence, the equation of the circle with the center at the origin is

x² + y² = r²

• Equation of the circle passing through the origin

Let’s consider that a circle with a center C (h, k) and a radius “r” is passing through the origin. The distance between the center of the circle and the origin is the radius of the circle, i.e.,

OC = r

Draw a line from the center to a point M (h, 0) on the X-axis such that CM is perpendicular to OM.

From the Pythagorean theorem;

OC² = OM² + CM²

r² = h² + k²

Hence, the equation for the circle passing through the origin is,

r² = h² + k²

• Equation of the circle with the center lying on the X-axis

Assume that the center of circle C (h, 0) is on the X-axis and its radius is “r.”

Now, the distance between the center of the circle and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

CP = r

By using the formula for the distance between two points, we get

CP = r = √[(x – h)² + (y – 0)²]

Now, by squaring on both sides, we get

r² = (x – h)² +y²

Hence, the equation for the circle passing through the origin is,

(x – h)² +y² = r²

• Equation of the circle with the center lying on the Y-axis

Let’s consider that the center of circle C (0, k) lies on the Y-axis and its radius is “r”. Now, the distance between the center of the circle and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

CP = r

By using the formula for the distance between two points, 

CP = r = √[(x – 0)² + (y – k)²]

Now, by squaring on both sides we get,

r² = x² +(y – k)²

Hence, the equation of the circle with the center lying on the Y-axis is,

x² +(y – k)² = r²

• Equation of the circle touching the X-axis

Let us consider that the center of circle C (h, r) is touching the X-axis and its radius is “r”. Now, the y-coordinate of the center of the circle touching the X-axis is equal to the radius “r”.

Now, the distance between the center of the circle C (h, r) and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

CP = r 

By using the formula for the distance between two points, we get

CP = r = √[(x – h)² + (y – r)²]

Now, by squaring on both sides we get,

r² = (x – h)² +(y – r)²

Hence, the equation of the circle touching the X-axis is

 (x – h)² +(y – r)² = r²

• Equation of the circle touching the Y-axis

Let’s consider that the center of circle C (r, k) is touching the Y-axis and its radius is “r”. Now, the x-coordinate of the center of the circle touching the Y-axis is equal to the radius “r”. Now, the distance between the center of the circle C (r, k) and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

CP = r

By using the formula for the distance between two points,

CP = r = √[(x – r)² + (y – k)²]

Now, by squaring on both sides we get,

r² = (x – r)² +(y – k)²

Hence, the equation of the circle touching the Y-axis is

(x – r)² +(y – k)² = r²

• Equation of the circle touching both the X-axis and the Y-axis

Let’s assume that a circle with a center C (r, r) with a radius “r” is touching both the X-axis and the Y-axis. As the circle touches both the X-axis and the Y-axis, the x and y coordinates of the center become equal to the radius of the circle “r”.

Now, the distance between the center of the circle C (r, r) and any point P (x, y) on the circle is the radius of the circle, i.e.,

CP = r

By using the formula for the distance between two points, 

CP = r = √[(x – r)² + (y – r)²]

Now, by squaring on both sides we get

r² = (x – r)² +(y – r)²

Hence, the equation of the circle touching both the X-axis and Y-axis is

(x – r)² +(y – r)² = r²

General Equation of a Circle

The general equation of a circle is given as,

x²+ y² + 2gx + 2fy + c = 0

For all values of g, f, and c.

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0

By adding g² + f² on both sides we get,

x² + y² + 2gx + 2fy + c + g² + f² = g² + f²

Now, by arranging the equation we get

(x² + 2gx + g²) + (y² + 2fy + f²) = g² + f² – c

We know that, (x + g)² =(x² + 2gx + g²) and (y + f)² = (y² + 2fy + f²). So, by substituting these values in the above equation we get

(x + g)² + (y + f)² = g² + f² – c

By comparing the above equation with the standard form of the equation we get

h = -g, k = -f and r² = g² + f² – c 

Where (h, k) are the coordinates of the center of a circle and “r” is its radius.

Hence, the equation x²+ y² + 2gx + 2fy + c = 0 represents a circle having center (-g, -f) and radius r equal to r² = g² + f² – c

• The radius of a circle is real if g² + f² > c.
• The radius of a circle becomes imaginary if g² + f² < c. Hence, the circle will be having a real center and an imaginary radius.

Sample Problems

Problem 1: Find the equation of a circle with the center at the origin and having a radius of 6 units.

Solution:

Given data,

Center of the circle = (0,0) and the radius = 6 units

We know that,

The equation of a circle whose center is at the origin is,

x² + y² = a²

Where a is the radius of the circle.

So, the equation of the circle having a radius of 6 units is,

x² + y² = (6)²

x² + y² = 36

Hence, the equation of the given circle is x² + y² = 36

Problem 2: Find the radius and the center of a circle if the equation of the circle is x² + y² – 8x + 6y + 9 = 0

Solution:

Given data,

The equation of the circle is x² + y² – 8x + 6y + 9 = 0

We can see the  given equation is in the form of  x²+ y² + 2gx + 2fy + c = 0

Now by comparing the both equations,

2g = -8 ⇒ g = -4

2f = 6 ⇒ f = 3

c = 9

Center of the circle = (-g, -f) = (4, -3)

Radius of the circle (a) = √(g² + f² – c)

⇒ a = √[(-4)² + 3² – 9] = √(16 + 9 – 9)

a = √16 = 4 units

Hence, the center of the given circle is (4, -3) and its radius is 4 units.

Problem 3: Find the equation of the circle whose center is (5, 0), and radius is 7 units.

Solution:

Given data,

Center of a circle = (5, 0)

Radius of the circle = 7 units

The general equation of a circle with center (h, k) and radius “a” units is,

(x – h)² + (y – k)² = a²

Now, the equation of the given circle is,

(x – 5)² + (y – 0)² = (7)²

⇒ x² – 10x + 25 + y² = 49

⇒ x² + y² – 10x – 24 = 0

Therefore, the equation of the given circle is x² + y² – 10x – 24 = 0

Problem 4: Find the equation of the circle center passing through the Y-axis whose center is (0,-6) and radius is 10 units. 

Solution:

Given data,

Center of a circle = (0,-6)

The radius of the circle = 10 units.

We know that,

The equation of the circle with the center lying on the Y-axis is,

x² +(y – k)² = r²

x² + (y + 6)² = (10)²

x² + y² + 12y + 36 = 100

x² + y² + 12y – 64 = 0

Hence, the equation of the circle is x² + y² + 12y – 64 = 0

Problem 5: Find the equation of the circle with a radius of 6 inches that touches both the X-axis and the Y-axis.

Solution:

Given data,

The radius of the circle = 6 inches.

As the circle touches both the X-axis and the Y-axis, the x and y coordinates of the center become equal to the radius of the circle “r”.

Hence, the center of the circle = (6,6)

We have,

The equation of the circle touching both the X-axis and Y-axis is

(x – r)² +(y – r)² = r²

(x – 6)² + (y – 6)² = 6²

x² -12x + 36 + y² – 12y + 36 = 36

x² + y² -12x -12y + 36 = 0

Hence, the equation of the circle touching both the X-axis and Y-axis is x² + y² -12x -12y + 36 = 0

Problem 6: Find the equation of the circle with the center at (-7, 4) and the radius of 4 units and touch the X-axis.

Solution:

Given data,

Center of the circle = (-7, 4)

The radius of the circle = 4 units

The equation of the circle touching the X-axis is

(x – h)² +(y – r)² = r²

(x + 7)² + (y – 4)² = 4²

x² + 14x + 49 + y² – 8y + 16 = 16

x² + y² + 14x – 8y + 49 = 0

Hence, the  equation of the circle touching the X-axis is x² + y² + 14x – 8y + 49 = 0

Problem 7: Find the equation of the circle with a radius of 5 units and is touching the Y-axis at the point (0,-3).

Solution:

Given data,

The radius of the circle = 5 units.

The circle is touching the Y-axis at (0,-3)

Now, the x-coordinate of the center of the circle touching the Y-axis is equal to the radius “4 units”.

Hence, the coordinates of the center = (5, -7)

We have,

The equation of the circle touching the Y-axis is

(x – r)² + (y – k)² = r²

(x – 5)² + (y + 3)² = 5²

x² – 10x + 25 + y² + 6y + 9 = 25

x² + y² -10x + 6y + 25 = 0

Hence, the equation of the circle touching the Y-axis is x² + y² -10x + 6y + 25 = 0

Определение окружности

Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.

В чем ошибочность?

Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.

Дадим правильное определение окружности.

Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.

Формула расстояния между двумя точками (напоминание)

В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками  и

или

Рис. 1. Расстояние между двумя точками

Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точке  радиуса .

Рис. 2. Уравнение окружности

Выбираем произвольную точку  на этой окружности.

Если точка  принадлежит окружности с центром  и радиусом , то .

Тогда  и координаты точки  удовлетворяют уравнению окружности

.

Если же точка  не лежит на окружности, то  и координаты точки  не удовлетворяют уравнению окружности.

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке  радиуса  имеет вид:

.

Частный случай уравнения окружности с центром в точке :

.

Решение задач

Рассмотрим задачи на уравнение окружности.

Задача 1.

Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка , радиус .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:

 .

Общие точки с осью х:;  с осью у: ;

Задача 2.

Дано уравнение окружности: .

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности точка , радиус .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:

Точки пересечения с осями:

С осью х: точка это точка касания, ее координаты

Найдем точки пересечения с осью

Ось  имеет уравнение , подставив  в уравнение окружности, получим уравнение относительно :

Итак, точки пересечения с осью у: ; .

Задача 3.

Дано уравнение окружности: .

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение: центр этой окружности точка  радиус

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

; .

Точки пересечения с осями:

С осью у: точка касания .

С осью : ось  имеет уравнение , подставляем в уравнение окружности :

Итак, точки пересечения с осью y: ; .

Задача 4.

Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.

Решение:

Центр этой окружности точка адиус .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Точки пересечения с осями:

С осью у: уравнение оси   подставляем в уравнение окружности:

                      и            

Точки пересечения с осью у:  

С осью х: уравнение оси    подставляем в уравнение окружности:

        и            

Точки пересечения с осью х:  

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Найти длину хорды .

Решение (рис. 8):

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Зная координаты точек  и , по формуле расстояния между точками находим длину хорды:

Найти координаты точки  – середины отрезка .

Решение (рис. 9):

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Координаты концов отрезка  известны, координаты середины отрезка определяем по формулам:

Найти площадь треугольника .

Решение (рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Треугольник  равносторонний,

;

Задача 5.

Окружность задана уравнением .

Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек  лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

б) на окружности;

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Решение:

Центр окружности – точка  радиус

Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.

Точка :

 т.  лежит вне круга.

Точка :

 т.  лежит на окружности.

Точка

 т.  лежит внутри круга.

Точка :

 т.  лежит вне круга.

Задача 6.

Составить уравнение окружности с диаметром , если

Решение: найдем координаты центра окружности , это координаты середины отрезка

 

Найдем радиус, это половина диаметра:

 – уравнение окружности.

Заключение

Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 959, 960, 962.