Как найти уравнение окружности проходящей через точку

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Решение:

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

   

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

   

   

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Решение:

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

   

   

   

Следовательно, уравнение данной окружности

   

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Решение:

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

   

   

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

   

   

   

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

   

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Решение:

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

   

получаем систему уравнений:

   

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

   

   

   

   

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

   

   

   

Умножив уравнение

   

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

   

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

   

   

получаем R²=100.

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

   

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

   

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Как составить уравнение окружности по одной точке

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

Уравнения окружностей имеющих одну общую точку

Уравнение окружности.

Окружностью принято обозначать множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра.

В формулировке окружности упоминается расстояние между точкой окружности и центром.

Формула расстояния между двумя точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

,

Применив формулу и формулировку окружности, получаем уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r.

Отметим произвольную точку М(х; у) на этой окружности.

.

Предположим, что М принадлежит окружности с центром С и радиусом r, то МС = r.

Следовательно, МС 2 = r 2 и координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности (х – х₀ ) 2 +(у – у₀ ) 2 = r 2 .

Из выше изложенного делаем вывод, что уравнение окружности с центром в точке С (х₀; у₀) и радиусом r имеет вид:

В случае когда центр окружности совпадает с началом координат, то получаем частный случай уравнения окружности с центром в точке О (0;0):

§ 3. Уравнения окружности и прямой

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например график функции у-х. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через точки О (0; 0) и А(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки М (х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют уравнению у = х (так как ММ₁ = ММ₂), а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = х является уравнением прямой О А. Введём теперь понятие уравнения произвольной линии.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства. В следующем пункте мы рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построении графиков функций.

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x₀; у₀) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС 2 = r 2 , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС 2 ≠ r 2 , и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид:

(х — х₁) 2 + (у — у₀) 2 = r 2 .

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3) 2 + (у — 4) 2 = r 2 , где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3) 2 + (0 — 4) 2 = r 2 . Отсюда r 2 = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3) 2 + (у — 4) 2 = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х 2 + у 2 + 6х — 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.

Уравнение прямой

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки А (x₁; у₁) и В (х₂; у₂) так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) лежит на прямой l, то АМ = ВМ, или AM 2 = ВМ 2 , т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

Если же точка М (x; у) не лежит на прямой l, то AM 2 ≠ ВМ 2 , и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой I в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение (2) принимает вид

где а = 2 (х₁ — х₂), b = 2(у₁ — у₂), Так как А (x₁; у₁) и В (x₂; y₂) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (х₁ — х₂) и (у₁ — у₂) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Если в уравнении (3) коэффициент b отличен от нуля, то это уравнение можно записать так:

где Число k называется угловым коэффициентом прямой, заданной этим уравнением. Докажите самостоятельно, что:

две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; вели две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку М₀ (x₀; у₀) и параллельной оси Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у) прямой l равна x₀, т. е. координаты любой точки М (x; у) прямой l удовлетворяют уравнению х = х₀. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х₀ является уравнением прямой l.

Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = О, а ось Оу — уравнение х = 0.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R.

Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а).

Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид

х 2 + у 2 = R 2 , (х — d) 2 + у 2 = r 2 . (4)

Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х₀, у = у₀, то точка М0 (х₀; у₀) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М₀ (x₀; у₀) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х₀, у = у₀ является решением системы уравнений (4).

Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х₀, у = у₀, т. е. справедливы числовые равенства

Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x₀d — d 2 = R 2 — r 2 , откуда

Заметим, что х₀ > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), х₀ = т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R 2 + d 2 — r 2 ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d — R) 2 ≤ r 2 . Отсюда следует, что -r ≤ d — R ≤ r, или

Отметим, что х₀ = R, если d = R — r или d = R + r, и x₀ R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая:

3) d = R — r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x₀ = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y₀ = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри.

4) d = R + r. В этом случае также х₀ = R, поэтому y₀ = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне.

5) R — r 2 + у 2 = 9; б) (х — 1) 2 + (у + 2) 2 = 4; в) (х + 5) 2 + (у — 3) 2 = 25; г) (х — 1) 2 + у 2 = 4; д) х 2 + (у + 2) 2 = 2.

960. Какие из точек А (3; -4), В (1; 0), С (0; 5), D (0; 0) и Е (0; 1) лежат на окружности, заданной уравнением:

а) х 2 + у 2 = 25; б) (х — 1) 2 + (у + 3) 2 = 9; в) (х — 0,5) 2 — у 2 = 0,25;

961. Окружность задана уравнением (х + 5) 2 + (у — 1) 2 = 16. Не пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;
6) на окружности;
в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

962. Даны окружность х 2 + у 2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.

963. На окружности, заданной уравнением х 2 + у 2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.

964. На окружности, заданной уравнением (x — 3) 2 + (у — 5) 2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале координат и радиусами r₁ = 3, r₂ = √2, r₂ = 5/2.

966. Напишите уравнение окружности радиуса r с центром А, если: а) А (0; 5), r = 3; б) А (-1;2), r = 2; в) А (-3;-7), r = 1/2; г) А (4;-3), r =10.

967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).

969. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).

970. Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?

971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и N (-4; -5).

а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + by + с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = 0,
или а — b + с = 0, -3а + 2b + с = 0.

Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с: а = 3с, b = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой, получим 3сх + 4су + с = 0. При любом с ≠ 0 это уравнение является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое уравнение в виде 3х + 4у + 1 = 0.

973. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ.

974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3;1), С (7; 7) и D (3; 1). Напишите уравнения прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD трапеции; б) среднюю линию трапеции.

975. Найдите координаты точек пересечения прямой 3х — 4у + 12 = О с осями координат. Начертите эту прямую.

976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + 3у — 6 = О и 2х + у — 4 = 0.

977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2; в) у = -4; г) х = 7.

979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.

980 Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его диагонали лежат на осях координат.

Использование уравнений окружности и прямой при решении задач

981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 289,а. Тогда точки А и В имеют координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ.

Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то

AM = 2ВМ, или AM 2 = 4ВМ 2 .

Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению

х 2 + у 2 = 4 ((х — а) 2 + у 2 ). (8)

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Следовательно, уравнение (8) и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение (8) к виду

Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3a с центром в точке C(4/3a; 0). Эта окружность изображена на рисунке 289, б.

Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса с центром в точке

Эти окружности, соответствующие различным значениям k ≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.

Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: a) AM 2 + ВМ 2 + СМ 2 = 50; б) AM 2 + 2ВМ 2 + 3СМ 2 = 4.

983. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM 2 + ВМ 2 = k 2 , где k — данное число.

984. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM 2 — ВМ 2 = k, где k — данное число.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0), где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у) до точек А и В:

Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то AM 2 — ВМ 2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х 2 + у 2 — (х — а) 2 — у 2 = k, или 2ах — а 2 — k = 0.

Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная оси Оу, если а 2 + k ≠ 0, и сама ось Оу, если a 2 + k = 0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

985. Даны две точки А и B. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых ВМ 2 — AM 2 = 2АВ 2 .

986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

(AM 2 + DM 2 ) — (ВМ 2 + СМ 2 ) = 2АВ 2 .

987.* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых

AM 2 + DM 2 = ВМ 2 + СМ 2 .

Ответы к § 3

960. а) А и С; б) В; в) В и D.

961. а) С; б) В; в) А и D.

963. а) (-4; -3), М;3);б) (4; 3), (-4; 3).

964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5).

965. 1) х 2 + у 2 = 9; 2) х 2 + у 2 = 2; 3)

966. а) х 2 + (у-5) 2 = 9; б) (х + 1) 2 + (y — 2) 2 = 4; в) г) (х — 4) 2 + (y + 3) 2 = 100.

967. х 2 + у 2 = 10.

968. х 2 + (у — 6) 2 = 25.

969. а) (х — 2) 2 + (y — 1) 2 = 41; б) (х — 3) 2 + (у — 1) 2 = 5.

970. (х — 5) 2 + у 2 = 25, (х + 3) 2 + у 2 = 25; две окружности.

971. х 2 + (у — 4) 2 = 25.

972. б) х + у- 7 = 0; в) 3х — 2у + 2 = 0.

973. 7х — у + 3 = 0.

974. а) х — у = 0, у — 1 = 0; б) 3х — 5у + 5 = 0.

977. х = 2 и у = 5.

980. 5х + 2у — 10 = 0, 5х — 2у — 10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0, 5х — 2у + 10 = 0 или 2х + 5у- 10 = 0, 2х — 5у -10 = 0, 2х + 5y + 10 = 0, 2х — 5у+ 10 = 0.

982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса 1/3 с центром D, лежащим на отрезке ВС, причём BD = 1/3

983. Окружность с центром в точке О радиуса , если k 2 > 2а 2 , и точка О, если k 2 = 2а 2 , где О — середина отрезка АВ и Если k 2 2 , то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует.

985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ’, где В’ и В — точки, симметричные относительно точки А.

986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были симметричны относительно оси Оу.

987. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.

Геометрия. 9 класс

Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.
Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.
Рассмотрим окружность с центром О₁ и окружность с центром О₂. Тогда расстояние между их центрами равно О₁О₂.
I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:
II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.

Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:
Если одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:
III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку – точку касания.
При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:
Если центры окружностей совпадают, то такие окружности называются концентрическими.
Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются: О₁О₂ = 0
В случае равенства радиусов они совпадают.
Если же радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой – образуется кольцо.

Кольцом называют фигуру, заключенную между концентрическими окружностями.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x – 2 ) 2 + (y – ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x – 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 – 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-sostavit-uravnenie-okruzhnosti-po-odnoy-tochke

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/

[/spoiler]

385 Составить уравнение окружности
в каждом из следующих случаев: 385.1 центр окружности
совпадает с началом координат и ее радиус R=3; 385.2 центр окружности
совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7; 385.3 окружность
проходит через начало координат и ее центр
совпадает с точкой С(6; -8); 385.4 окружность
проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с
точкой С(-1; 2); 385.5 точки А(3; 2) и В(-1; 6)
являются концами одного из диаметров окружности; 385.6 центр окружности
совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности; 385.7 центр окружности
совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является
касательной к окружности; 385.8 окружность
проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр
лежит на прямой ; 385.9 окружность
проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0); 385.10 окружность
проходит через три точки: М₁(-1;
5), М₂(-2; -2). М₃(5; 5). 386 Точка С(3; -1)
является центром окружности, отсекающей на
прямой хорду, длина которой равна
6. Составить уравнение этой окружности. 387 Написать уравнения
окружностей радиуса , касающихся
прямой в точке М₁(3; 1). 388 Составить
уравнение окружности, касающейся прямых , , причем
одна из них – в точке А(2; 1). 389 Составить
уравнения окружностей, которые проходят через
точку А(1; 0) и касаются прямых , . 390 Составить
уравнение окружности, которая, имея центр на
прямой ,
касается прямых , . 391 Составить
уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем
одной из них – в точке М₁(1; 2). 392 Составить
уравнения окружностей, проходящих через начало
координат и касающихся прямых , . 393 Составить
уравнение окружностей, которые, имея центры на
прямой ,
касаются прямых , . 394 Написать уравнения
окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и
касающихся прямых , . 395 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 396 Написать уравнения
окружностей, касающихся прямых , , . 397 Какие из
нижеприводимых уравнений определяют окружности?
Найти центр С и радиус R каждой из них: 397.1  ; 397.2  ; 397.3 ; 397.4 ; 397.5 ; 397.6 ; 397.7 ; 397.8 ; 397.9 ; 397.10  . 398 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 398.1 ; 398.2 ; 398.3 ; 398.4 ; 398.5 ; 398.6 ; 398.7 ; 398.8 ; 398.9  ; 398.10 . 399 Установить, как
расположена точка А(1; -2) относительно каждой из
следующих окружностей – внутри, вне или на
контуре: 399.1 ; 399.2 ; 399.3 ; 399.4 ; 399.5 . 400 Определить
уравнение линии центров двух окружностей,
заданных уравнениями: 400.1 и ; 400.2 и ; 400.3 и ; 400.4 и . 401 Составить
уравнение диаметра окружности , перпендикулярного
к прямой . 402 Вычислить
кратчайшее расстояние от точки до окружности в
каждом из следующих случаев: 402.1 А(6; -8), ; 402.2 В(3; 9), ; 402.3 С(-7; 2), . 403 Определить
координаты точек пересечения прямой и
окружности . 404 Определить, как
расположена прямая относительно окружности
(пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее),
если прямая и окружность заданы следующими
уравнениями: 404.1  , ; 404.2  , ; 404.3 , . 405 Определить, при
каких значениях углового коэффициента k прямая : 405.1 пересекает
окружность ; 405.2 касается этой
окружности; 405.3 проходит вне этой
окружности. 406 Вывести условие,
при котором прямая касается окружности
. 407 Составить уравнние
диаметра окружности , проходящего
через середину хорды, отсекаемой на прямой . 408 Составить
уравнение хорды окружности , делящейся
в точке М(8,5; 3,5) пополам. 409 Определить длину
хорды окружности , делящейся в точке
А(1; 2) пополам. 410 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
на которых окружность отсекает хорды
длиною . 411 Даны окружности , , пересекающиеся
в точках М₁(x₁, y₁), М₂(x₂, y₂). Доказать, что любая окружность,
проходящая через точки М₁, М₂, а также
прямая М₁М₂ могут быть определены уравнением
вида при надлежащем выборе числе и . 412 Составить
уравнение окружности, проходящей через точку А(1;
-1) и точки пересечения окружностей , . 413 Составить
уравнение окружности, проходящей через начало
координат и точки пересечения окружностей , . 414 Составить
уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения окружностей , . 415 Вычислить
расстояние от центра окружности до
прямой, проходящей через точки пересечения
окружностей , . 416 Определить длину
общей хорды окружностей , . 417 Центр окружности
лежит на прямой . Составить
уравнение этой окружности, если известно, что она
проходит через точки пересечения окружностей , . 418 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-1; 2). 419 Составить
уравнение касательной к окружности в
точке А(-5; 7). 420 На окружности найти точку М₁, ближайшую к прямой , и
вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой. 421 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 422 Точка М₁(x₁,
y₁) лежит на окружности . Составить
уравнение касательной к этой окружности в точке
М₁. 423 Определить острый
угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой
и окружности называется угол между прямой и
касательной к окружности, проведенной к точке их
пересечения). 424 Определить, при
каким углом пересекаются окружности , (углом между
окружностями называется угол между их
касательными в точке пересечения). 425 Вывести условие,
при котором окружности, пересекаются под
прямым углом. 426 Доказать, что
окружности , пересекаются под прямым углом. 427 Из точки А(5/3; -5/3)
проведены касательной к окружности . Составить
их уравнения. 428 Из точки А(1; 6)
проведены касательные к окружности . Составить
их уравнения. 429 Дано уравнение
пучка прямых . Найти прямые этого пучка,
которые касаются окружности . 430 Из точки А(4; 2)
проведены касательные к окружности . Определить
угол, образованный этими касательными. 431 Из точки Р(2; -3)
проведены касательные к окружности . Составить
уравнение хорды, соединяющий точки касания. 432 Из точки С(6; -8)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от точки С до хорды, соединяющей
точки касания. 433 Из точки Р(-9; 3)
проведены касательные к окружности . Вычислить
расстояние d от центра окружности до хорды,
соединяющей точки касания. 434 Из точки Р(4; -4)
проведены касательные к окружности . Вычислить
длину d хорды, соединяющей точки касания. 435 Вычислить длину
касательной, проведенной из точки А(1; -2) к
окружности . 436 Составить
уравнение касательных к окружности , параллельных
прямой . 437 Составить
уравнения касательных к окружности , перпендикулярных
к прямой . 438 Составить
уравнение окружности в полярных координатах в
полярных координатах по данному радиусу R и
полярным координатам центра C(R, ). 439 Составить
уравнение окружности в полярных координатах по
данному радиусу R и полярным координатам центра
окружности: 439.1 C(R, 0); 439.2 C(R, ); 439.3 C(R, ); 439.4 C(R, ). 440 Определить
полярные координаты центра и радиус каждой из
следующих окружностей: 440.1  ; 440.2 ; 440.3 ; 440.4  ; 440.5 ; 440.6 ; 440.7  ). 441 Окружности заданы
уравнениями в полярных координатах. Составить их
уравнения в декартовых прямоугольных
координатах при условии, что полярная ось
совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс –
с началом координат. 441.1  ; 441.2 ; 441.3 . 442

Окружности
заданы уравнениями в декартовых прямоугольных
координатах. Составить уравнения этих
окружностей в полярных координатах при условии,
что полярная ось совпадает с положительной
полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1 ; 442.2 ; 442.3 ; 442.4 ; 442.5 . 443 Составить полярное
уравнение касательной к окружности в
точке М₁(R, ).

План урока:

Уравнение линии в координатах

Уравнение окружности

Уравнение прямой

Задачи на пересечение двух фигур

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х².

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Ответ: А и D.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

x² + y² = 25

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

32 > 25

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x – 2)² + (y – 4)² = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ – 18 = 7*3 – 18 = 21 – 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3)² + (у – 3)² = 25

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

получим линейную функцию:

y = kx + d (3)

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

4x + 2y + 6 = 0

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

ax + by + c = 0

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Способ 2

Уравнение прямой может иметь либо вид

y = kx + d

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

x = C

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

y = kx + d

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

y = kx + b

Значит, оно имеет другой вид:

x = C

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

x = 2

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

y_M = 0

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Ответ: (3; – 2).

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

Ответ:(5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

Уравнение окружности

Пусть
окружность имеет радиус
,
а ее центр находится в точке
.
Точка
лежит на окружности тогда и только
тогда, когда модуль вектораравен,
то есть.
Последнее равенство выполнено тогда и
только тогда, когда

(1)

Уравнение
(1) и является искомым уравнением
окружности.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть
прямая проходит через точку

перпендикулярно вектору
.

Точка
лежит на прямой тогда и только тогда,
когда векторы
иперпендикулярны. Векторыиперпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю, то есть.
Используя формулу вычисления скалярного
произведения векторов, заданных своими
координатами, уравнение искомой прямой
записываем в виде

(2)

Рассмотрим
пример. Найти
уравнение прямой, проходящей через

середину
отрезка АВ перпендикулярно этому отрезку
если координаты точек соответственно
равны А(1;6), В(5;4).

Будем
рассуждать следующим образом. Чтобы
найти уравнение прямой мы должны знать
точку, через которую эта прямая проходит,
и вектор перпендикулярный этой прямой.
Вектором, перпендикулярным данной
прямой, будет вектор
,
поскольку, по условию задачи, прямая
перпендикулярна отрезку АВ. Точку
определим
из условия, что прямая проходит через
середину АВ. Имеем
.
Таким образоми уравнение примет вид.

Выясним
вопрос, проходит ли эта прямая через
точку М(7;3).

Имеем
,
значит, эта прямая не проходит через
указанную точку.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть
прямая проходит через точку

параллельно вектору
.

Точка
лежит на прямой тогда и только тогда,
когда векторы
иколинеарны. Векторыиколинеарны тогда и только тогда, когда
их координаты пропорциональны, то есть

(3)

Полученное
уравнение и является уравнением искомой
прямой.

Уравнение
(3) представим в виде

,
где
принимает любые значения.

Следовательно,
можем записать

,
где
(4)

Система
уравнений (4) называется параметрическими
уравнениями прямой.

Рассмотрим
пример. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точки
.
Мы можем построить уравнение прямой,
если знаем точку и параллельный или
перпендикулярный ей вектор. Точек в
наличии целых две. Но если две точки
лежат на прямой, то вектор, их соединяющий
будет параллелен этой прямой. Поэтому
воспользуемся уравнением (3), взяв в
качестве вектора
вектор.
Получаем

(5)

Уравнение
(5) называется уравнением прямой,
проходящей через две данные точки.

Общее уравнение прямой

Определение.
Общим
уравнением линии первого порядка на
плоскости называется уравнение вида
,
где.

Теорема.
Всякая прямая на плоскости может быть
задана в виде уравнения линии первого
порядка, и всякое уравнение линии первого
порядка является уравнением некоторой
прямой на плоскости.

Первая
часть этой теоремы доказывается просто.
На всякой прямой можно указать некоторую
точку
перпендикулярный
ей вектор
.
Тогда, согласно (2), уравнение такой
прямой имеет вид.
Обозначим.
Тогда уравнение примет вид
.

Теперь
перейдем ко второй части теоремы. Пусть
имеется уравнение

,
где.
Будем считать для определенности.

Перепишем
уравнение в виде:

;

;

.

Рассмотрим
на плоскости точку
,
где.
Тогда полученное уравнение имеет вид
,
и является уравнением прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно вектору
.
Теорема доказана.

В
процессе доказательства теоремы мы
попутно доказали

Утверждение.
Если имеется уравнение прямой вида
,
то вектор
перпендикулярен данной прямой.

Уравнение
вида
называется общим уравнением прямой на
плоскости.

Далее
выведем формулу
вычисления расстояния от произвольной
точки плоскости до прямой, заданной
общим уравнением.

Пусть
имеется прямая
и точка.
Требуется определить расстояние от
указанной точки до прямой.

Рассмотрим
произвольную точку
на прямой. Имеем.
Расстояниеот точкидо прямой равно модулю проекции векторана вектор
,
перпендикулярный данной прямой. Имеем

,

преобразуя,
получаем
формулу:

.

Пусть
даны две прямые, заданные общими
уравнениями

,
. Тогда векторы
перпендикулярны первой и второй прямой
соответственно. Уголмежду прямыми равен углу между векторами,.

Тогда
формула для определения угла между
прямыми имеет вид:

.

Условие
перпендикулярности прямых имеет вид:

.

Прямые
параллельны или совпадают тогда и только
тогда, когда векторы
колинеарны. При этомусловие
совпадения прямых имеет вид:
,

а
условие отсутствия пересечения
записывается в виде:
.
Последние два условия докажите
самостоятельно.

Исследуем
характер поведения прямой по ее общему
уравнению.

Пусть
дано общее уравнение прямой
.
Если,
то прямая проходит через начало координат.

Рассмотрим
случай, когда ни один из коэффициентов
не равен нулю
.
Уравнение перепишем в виде:

,

,

Где
.
Выясним смысл параметров
.
Найдем точки пересечения прямой с осями
координат. Приимеем,
а приимеем.
То есть– это отрезки, которые отсекает прямая
на координатных осях.Поэтому
уравнение
называется
уравнением прямой в отрезках.

В
случае
имеем
.
То есть прямая будет параллельна оси.
В случае
имеем
.
То есть прямая будет параллельна оси.

Напомним,
что угловым
коэффициентом прямой
называется тангенс угла наклона этой
прямой к оси.
Пусть прямая отсекает на осиотрезоки имеет угловой коэффициент.
Пусть точкалежит на данной

прямой.

Тогда
==.
И уравнение прямой запишется в виде

.

Пусть
прямая проходит через точку
и имеет угловой коэффициент.
Пусть точкалежит на этой прямой.

Тогда
=.

Полученное
уравнение называется уравнением прямой,
проходящей через данную точку с заданным
угловым коэффициентом.

Пусть
даны две прямые
,.
Обозначим– угол между ними. Пусть,углы наклона к оси Х соответствующих
прямых

Тогда
=,.

Тогда
условие параллельности прямых имеет
вид
,
а условие перпендикулярности

В
заключение рассмотрим две задачи.

Задача.
Вершины треугольника АВС имеют координаты:
A(4;2),
B(10;10),
C(20;14).

Найти:
а) уравнение и длину медианы, проведенной
из вершины А;

б)
уравнение и длину высоты, проведенной
из вершины А;

в)
уравнение биссектрисы, проведенной из
вершины А;

Определим
уравнение медианы АМ.

Точка
М()
середина отрезка ВС.

Тогда

,

.
Следовательно, точка М имеет координаты
M(15;17).
Уравнение медианы на языке аналитической
геометрии это уравнение прямой, проходящей
через точку А(4;2) параллельно вектору
={11;15}.
Тогда уравнение медианы имеет вид.
Длина медианы АМ=.

Уравнение
высоты AS
– это уравнение прямой, проходящей через
точку А(4;2) перпендикулярно вектору
={10;4}.
Тогда уравнение высоты имеет вид
10(x-4)+4(y-2)=0,
5x+2y-24=0.

Длина
высоты – это расстояние от точки А(4;2) до
прямой ВС. Данная прямая проходит через
точку B(10;10)
параллельно вектору
={10;4}.
Ее уравнение имеет вид,
2x-5y+30=0.
Расстояние AS
от точки А(4;2) до прямой ВС, следовательно,
равно AS=.

Для
определения уравнения биссектрисы
найдем вектор
параллельный
этой прямой. Для этого воспользуемся
свойством диагонали ромба. Если от точки
А отложить единичные векторы одинаково
направленные с векторамии,
то вектор, равный их сумме, будет
параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.

={6;8},

,
={16,12},
.

Тогда
=В качестве направляющего вектора искомой
прямой может служить вектор={1;1},
коллинеарный данному. Тогда уравнение
искомой прямой имеет видилиx-y-2=0.

Задача.
Река протекает по прямой линии, проходящей
через точки А(4;3) и В(20;11). В точке С(4;8)
живет Красная Шапочка, а в точке D(13;20)
ее бабушка. Каждое утро Красная Шапочка
берет пустое ведро из дома, идет на реку,
черпает воду и относит ее бабушке. Найти
самую короткую дорогу для Красной
Шапочки.

Найдем точку Е,
симметричную бабушке, относительно
реки.

Для
этого сначала найдем уравнение прямой,
по которой течет река. Это уравнение
можно рассматривать, как уравнение
прямой, проходящей через точку А(4;3)
параллельно вектору
.
Тогда уравнение прямой АВ имеет вид.

Далее
найдем уравнение прямой DE,
проходящей через точку D
перпендикулярно АВ. Его можно рассматривать,
как уравнение прямой, проходящей через
точку D,
перпендикулярно вектору
.
Имеем

.

Теперь
найдем точку S
– проекцию точки D
на прямую АВ, как пересечение прямых АВ
и DE.
Имеем систему уравнений

.

Следовательно,
точка S
имеет координаты S(18;10).

Поскольку
S
середина отрезка DE,
то
.

Аналогично
.

Следовательно,
точка Е имеет координаты Е(23;0).

Найдем
уравнение прямой СЕ, зная координаты
двух точек этой прямой

.

Точку
М найдем как пересечение прямых АВ и
СЕ.

Имеем
систему уравнений

.

Следовательно,
точка М имеет координаты
.

Тема
2. Понятие
об уравнении поверхности в пространстве.
Уравнение сферы. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку,
перпендикулярно данному вектору. Общее
уравнение плоскости и его исследование
Условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости. Понятие
об уравнении линии. Прямая линия в
пространстве. Канонические и параметрические
уравнения прямой в пространстве.
Уравнения прямой, проходящей через две
данные точки. Условия параллельности
и перпендикулярности прямой и плоскости.

Вначале,
дадим определение понятия уравнения
поверхности
в пространстве.

Пусть
в
пространстве
задана некотораяповерхность

.
Уравнениеназывается уравнениемповерхности

,
если выполнены два условия:

1.для
любой точки
с координатами,
лежащей наповерхности,
выполнено
,
то есть ее координаты удовлетворяют
уравнениюповерхности;

2.
любая точка
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению,
лежит на линии.