В данном материале мы расскажем, как правильно вычислить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые. Начнем с формулировки основного принципа, а потом, как всегда, разберем несколько задач, где можно применить этот принцип на практике.
Как найти уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые?
Для того чтобы вывести это уравнение, нам понадобится вспомнить одну теорему. Она звучит так:
Через две пересекающиеся прямые может проходить только одна плоскость.
Доказательство этого утверждения основано на двух аксиомах:
- через три точки с разными координатами, которые не лежат на одной прямой, проходит только одна плоскость;
- если у нас есть две точки прямой с разными координатами, расположенные в некоторой плоскости, то все точки этой прямой находятся в этой плоскости.
В итоге мы можем утверждать, что с помощью указания двух пересекающихся прямых мы можем задать определенную плоскость в трехмерном пространстве.
Далее нам нужно доказать, что плоскость, которая проходит через две определенные прямые, совпадет с той, что проходит через три заданные точки, две из которых находятся на тех самых прямых.
Допустим, у нас есть две прямые a и b с пересечением в некой точке M. Теперь расположим на первой прямой две точки М1 и М2. У них должны быть разные координаты, но при этом одна из них может совпадать с точкой пересечения. На второй прямой отметим точку М3 (но она совпадать с точкой M не должна). Теперь нам надо показать, что плоскость, проходящая через М1М2М3, – это та же самая плоскость, что проходит через пересекающиеся прямые a и b.
Посмотрим на схему:
Поскольку мы имеем точки прямой a, которые находятся в плоскости М1М2М3 (М1 и М2), то, используя аксиому, которую мы приводили выше, можно утверждать, что все точки этой прямой находятся в данной плоскости. Все точки прямой b тоже будут находиться в ней, поскольку там расположены две несовпадающие точки данной прямой (М и М3). Таким образом, мы доказали, что плоскости, в которых лежат данные прямые, совпадают.
Теперь перейдем непосредственно к формулировке уравнения плоскости, которая проходит через пересекающиеся прямые. Возьмем a и b, которые заданы в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве и являются пересекающимися. Напишем уравнение плоскости, которая проходит через эти прямые.
Все решение можно свести к нахождению уже изученного уравнения плоскости, проходящей через три точки. Сначала нам надо найти координаты двух точек M1 и M2, которые расположены на пересекающихся прямых, и точки M3, которая находится на другой прямой и не является точкой их пересечения. Для этого можно использовать разные способы. Так, мы можем составить параметрические уравнения для первой прямой в пространстве. В итоге получим:
x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ
Отсюда можно вывести координаты x1, y1, z1 точки M1, если λ=0. Для М2 эти данные можно вычислить, если придать параметру любое действительное значение, отличное от нуля, например, единицу.
Далее мы можем составить такие же параметрические уравнения для второй прямой и, используя некоторое значение параметра, высчитать координаты М3. Важно проверить, чтобы она не лежала в точке пересечения прямых и вообще не находилась на прямой a.
Итак, мы нашли координаты всех нужных точек – М1, М2 и М3. Переходим к написанию уравнения плоскости, которая через них проходит. Запишем:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Теперь найдем определитель матрицы x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1 и получим общее уравнение для нужной нам плоскости, которая будет проходит через две заданные прямые a и b.
Как найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые?
Для этого нам понадобится вспомнить теорему, которая формулируется так:
Через две параллельные прямые проходит только одна плоскость.
Ее можно доказать, используя аксиому о единственной плоскости, которая проходит через три точки, а также утверждение о двух параллельных прямых (если одна из параллельных прямых пресекает некоторую плоскость, то это же делает и другая).
Итак, возможно задать плоскость в пространстве, если указать две параллельные прямые, которые в ней находятся.
Очевиден тот факт, что плоскость, которая проходит через 2 параллельные прямые и плоскость, которая проходит через три точки, две из которой лежат на одной из этих прямых, будут совпадать.
После этого мы можем найти уравнение плоскости, проходящей через две заданные параллельные прямые.
У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, которая обозначается Oxyz. Составим уравнение плоскости, которая проходит через параллельные прямые a и b.
Сводим задачу опять же к нахождению уравнения для плоскости с тремя точками. В самом деле, можно определить, какие точно координаты будут иметь М1 и М2, лежащие на одной из параллельных прямых, и М3, расположенная на другой прямой. После этого просто запишем нужное нам уравнение для плоскости, проходящей через три точкиM1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в следующем виде:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Это и есть нужное нам уравнение плоскости, проходящей через заданные параллельные прямые.
Примеры задач на нахождение подобных уравнений
Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, которая проходит через 2 пересекающиеся или параллельные прямые, требуется вычислить координаты трех точек, которые расположены на этих прямых (две точки на одной прямой и третья на другой). Посмотрим, как это принцип реализуется на практике.
У нас задана прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Расположенная в ней прямая a проходит через точку M1(-3,1, -4) и пересекает координатную прямую Oy в точке M2(0, 5, 0). Составьте уравнение плоскости, которая будет проходить через пересекающиеся a и Oy.
Решение
Изначально у нас заданы координаты двух точек, которые расположены на исходной прямой. Для составления уравнения нам нужна третья. Возьмем точку начала координат O (0, 0, 0). Она расположена на Oy и не совпадает с координатами двух точек, которые были заданы в условии. Та плоскость, что будет проходить через них, и есть та, для которой нам надо вывести уравнение. Запишем его в координатном виде:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0 ⇔ x-0y-0z-0-3-01-0-4-00-05-00-0=0 ⇔⇔xyz-31-4050=0⇔20x-15z=0⇔4x-3z=0
Ответ: 4x-3z=0.
Возьмем более сложный пример, где координаты нужных точек не будут столь очевидными.
У нас есть две пересекающиеся прямые a и b, которые заданы с помощью уравнений.
x-74=y-75=z+5-6x-31=y-2-3=z-15
Составьте уравнение плоскости, которая проходит через них.
Решение
Начнем с вычисления координат трех необходимых точек. Две из них расположены на прямой a, третья – на b.
Прямая в условии задана с помощью канонических уравнений в пространстве вида x-74=y-75=z+5-6, следовательно, она будет проходить через точку x-74=y-75=z+5-6.
Для вычисления координат второй точки нам надо записать параметрическое уравнение:
x-74=y-75=z+5-6⇔x=7+4·λy=7+5·λz=-5-6·λ
Если мы примем λ=1 , то сможем подсчитать координаты второй точки:
x=7+4·λy=7+5·λz=-5-6·λ⇔x=11y=12z=-11
Мы получили, что M2 (11, 12, -11).
Понятно, что прямая, заданная с помощью уравнения x-31=y-2-3=z-15, будет проходить через точку M3 (3, 2, 1). Перед вычислениями надо проверить, не лежит ли она в точке пересечения прямых. Для этого надо подставить ее координаты во второе уравнение:
3-74=2-75=1+5-6⇔-1≡-1≡-1
Мы видим, что канонические уравнения прямой свелись к тождествам. Тогда наша третья точка лежит именно в месте пересечения прямых, значит, нам надо взять еще одну, которая будет находится на прямой b. Для этого также запишем параметрические уравнения:
x-31=y-2-3=z-15⇔x=3+μy=2-3·μz=1+5·μ
Высчитаем нужные координаты, приняв μ=1.
x=3+1y=2-3·1z=1+5·1⇔x=4y=-1z=6⇔M3 (4, -1, 6)
Далее мы можем переходить непосредственно у формулированию уравнения нужной нам плоскости, которая будет проходить через M1( 7, 7, -5), M2 (11, 12, -11), M3 (4, -1, 6):
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0 ⇔ x-7y-7z-(-5)11-712-7-11-(-5)4-7-1-76-(-5)=0 ⇔⇔x-7y-7z+545-6-3-811=0⇔7x-26y-17z+48=0
Ответ: 7x-26y-17z+48=0.
Очевидно, что процесс вычисления координат нужных нам точек занимает больше всего времени при решении подобных задач.
Нам осталось разобрать пример плоскости, которая проходит через две прямые, являющиеся параллельными.
Составьте уравнение плоскости, которая проходит через две параллельные прямые. Они выражены с помощью уравнений x=2·λy=1+λz=-1-λ и x-32=y1=z+5-1.
Решение
Вычисляем координаты двух нужных точек по параметрическим уравнениям, приняв λ=0 и λ=1.
λ=0: x=2·0y=1+0z=-1-0⇔x=0y=1z=-1⇔M1(0, 1, -1)λ=1: x=2·1y=1+1z=-1-1⇔x=2y=2z=-2⇔M2 (2, 2, -2)
У нас получается, что прямая x-32=y1=z+5-1 будет проходить через точку M3(3, 0, -5).
Переходим к уравнению плоскости для трех точек М1, М2 и М3:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0 ⇔ x-0y-1z-(-1)2-02-1-2-(-1)3-00-1-5-(-1)=0 ⇔⇔xy-1z+121-13-1-4=0⇔-5x+5y-5z-10=0⇔x-y-z+2=0
Ответ: x-y-z+2=0.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
Прежде
чем получить уравнение
плоскости, проходящей через две заданные
параллельные прямые,
вспомним теорему: через две параллельные
прямые проходит единственная плоскость.
Эта теорема доказывается на основе
аксиомы о единственной плоскости,
проходящей через три заданные точки, с
использованием утверждения: если одна
из двух параллельных прямых пересекает
плоскость, то и другая прямая пересекает
эту плоскость.
Таким
образом, мы можем задать конкретную
плоскость в трехмерном пространстве,
указав две параллельные прямые, лежащие
в этой плоскости.
Очевидно,
что плоскость, проходящая через две
заданные параллельные прямые, совпадает
с плоскостью, проходящей через три
различные точки, две из которых лежат
на одной из заданных параллельных
прямых, а третья лежит на другой прямой.
Теперь
можно приступать к нахождению уравнения
плоскости, проходящей через две заданные
параллельные прямые.
Пусть
в трехмерном пространстве введена
прямоугольная система координат Oxyz,
заданы две параллельные прямые a и b и
требуется составить уравнение плоскости,
которая проходит через параллельные
прямые a и b.
Эта
задача, также как и задача о нахождении
уравнения плоскости, проходящей через
две заданные пересекающиеся прямые,
сводится к составлению уравнения
плоскости, проходящей через три точки.
Действительно, мы можем определить
координаты двух точек М1 и М2,
лежащих на одной из заданных параллельных
прямых, и координаты точки М3,
лежащей на другой прямой. После этого
нам лишь нужно написать уравнение
плоскости, проходящей через три
точки 
и 
,
в виде 
.
Это уравнение является искомым уравнением
плоскости, проходящей через две заданные
параллельные прямые.
Нахождение
уравнения плоскости, проходящей через
заданную точку пространства параллельно
заданной плоскости.
Задача
нахождения уравнения плоскости,
проходящей через заданную точку
пространства параллельно заданной
плоскости, возникает из следующей
теоремы: через любую точку пространства,
не лежащую в данной плоскости, проходит
единственная плоскость, параллельная
данной. Доказательство этой теоремы
можно найти в учебнике геометрии
для 10–11
классов, указанном в конце статьи.
Пусть
в трехмерном пространстве
зафиксирована прямоугольная
система координат Oxyz,
в ней задана плоскость и
точка
,
не лежащая в плоскости
.
Поставим перед собой задачу: написать
уравнение плоскости
,
проходящей через точку
параллельно
плоскости
.
Решим
ее.
Нам
известно, что общее
уравнение плоскости,
проходящей через точку 
и
имеющей нормальный вектор плоскости
,
имеет вид
.
Таким образом, мы сможем записать
требуемое уравнение плоскости
,
если определим координаты ее нормального
вектора.
При
изучении темы «нормальный
вектор плоскости»
мы отметили, что нормальный вектор одной
из двух параллельных плоскостей является
нормальным вектором второй плоскости.
Следовательно, в силу параллельности
плоскостей 
и
,
нормальным вектором плоскости
является
любой нормальный вектор заданной
плоскости
.
Таким образом, задача составления
уравнения плоскости
,
проходящей через заданную точкуМ1 параллельно
заданной плоскости
,
сводится к определению координат
нормального вектора плоскости
.
В свою очередь координаты нормального
вектора плоскости
проще
всего получить, если иметь перед глазами
общее уравнение плоскости
вида
.
В этом случае коэффициентыA, B,C перед
переменными x, y, z являются
соответствующими координатами нормального
вектора плоскости 
.
Итак,
запишем алгоритм
нахождения уравнения плоскости 
,
проходящей через заданную точку
параллельно
заданной плоскости
:
Следует
заметить, что если точка М1 лежит
в плоскости 
,
то, действуя по записанному алгоритму,
мы получим уравнение плоскости
,
которая совпадает с плоскостью
.
Нахождение
уравнения плоскости, проходящей через
заданную точку пространства перпендикулярно
к заданной прямой.
Поставим
перед собой следующую задачу.
Пусть
в трехмерном пространстве
зафиксирована прямоугольная
система координат Oxyz,
задана точка 
,
прямаяa и
требуется написать уравнение плоскости 
,
проходящей через точкуМ1 перпендикулярно
к прямой a.
Сначала
вспомним один важный факт.
На
уроках геометрии в средней школе
доказывается теорема: через заданную
точку трехмерного пространства проходит
единственная плоскость, перпендикулярная
к данной прямой (доказательство этой
теоремы Вы можете найти в учебнике
геометрии за 10–11 классы,
указанном в списке литературы в конце
статьи).
Теперь
покажем, как находится уравнение этой
единственной плоскости, проходящей
через заданную точку перпендикулярно
к заданной прямой.
Мы
можем написать общее
уравнение плоскости,
если нам известны координаты точки,
лежащей в этой плоскости, и координаты
нормального вектора плоскости.
В
условии задачи нам даны
координаты x1, y1, z1 точки М1,
через которую проходит плоскость 
.
Тогда, если мы найдем координаты
нормального вектора плоскости
,
то мы сможем составить требуемое
уравнение плоскости, проходящей через
заданную точку перпендикулярно к
заданной прямой.
Любой направляющий
вектор прямой a представляет
собой нормальный вектор плоскости 
,
так как он ненулевой и лежит на прямойa,
перпендикулярной к плоскости 
.
Таким образом, нахождение координат
нормального вектора плоскости
сводится
к нахождению координат направляющего
вектора прямойa.
В
свою очередь, координаты направляющего
вектора прямой a могут
определяться различными способами,
зависящими от способа задания прямой a в
условии задачи. Например, если прямуюa в
прямоугольной системе координат
задают канонические
уравнения прямой в пространстве
вида 
илипараметрические
уравнения прямой в пространстве вида 
,
то направляющий вектор этой прямой
имеет координатыax, ay и az;
если же прямая a проходит
через две точки 
и
,
то координаты ее направляющего вектора
определяются как
.
Итак,
получаем алгоритм
для нахождения уравнения плоскости 
,
проходящей через заданную
точку
перпендикулярно
к заданной прямойa:
Из
найденного общего уравнения плоскости
вида 
можно,
при необходимости, получитьуравнение
плоскости в отрезках и нормальное
уравнение плоскости.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
, 
, 
параллельнаплоскости
.прямая
, 
лежит в плоскости 
.пересечения прямой и плоскости:
, 
;
, 
;
, 
.канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М0(2; -4; -1) и
середину отрезка прямой
, 
, заключенного между плоскостями 
, 
.уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; -3; -5) перпендикулярно
к плоскости
.уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; -1; -1) перпендикулярно
к прямой
.уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; -2; 1) перпендикулярно
к прямой
, 
.прямая
параллельна плоскости 
?С прямая
, 
параллельна плоскости 
?A и D прямая
, 
, 
лежитв плоскости
?А и В плоскость
перпендикулярна кпрямой
, 
, 
?l и C прямая
перпендикулярна кплоскости
?точки Р(2; -1; 3) на прямую
, 
, 
.симметричную точке Р(4; 1; 6) относительно прямой
, 
.симметричную точке Р(2; -5; 7) относительно прямой,
проходящей через точки М1(5; 4; 6) и М2(-2; -17; -8).
точки Р(5; 2; -1) на плоскость
.симметричную точке Р(1; 3; -4) относительно
плоскости
.найти такую точку Р, сумма расстояний которой до
точек А(-1; 2; 5) и В(11; -16; 10) была бы наименьшей.
найти такую точку Р, разность расстояний которой
до точек M1(3; 2; -5), М2(8; -4; -13) была
бы наибольшей.
найти такую точку Р, суммарасстояний которой до точек А(3; -4; 7) и В(-5; -14; 17)
была бы наименьшей.
найти такую точку Р, разностьрасстояний которой до точек М1(5; 2; -7) и М2(7; -25; 10) была
бы наибольшей.
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М0(15; -24; -16)
со скоростью v=12 в направлении
вектора s={-2; 2; 1}. Убедившись, что траектория точки
М пересекает плоскость
найти:пересечения;
на движение точки М от М0 до Р;
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М0(28; -30; -27)
со скоростью v=12,5 по
перпендикуляру, опущенного из точки М0 на плоскость
. Составитьуравнения движения точки М и определить:
ее траектории с этой плоскостью;
на движение точки М от М0 до Р;
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М0(11; -21; 20) в направлении вектора s={-1; 2; -2} со
скоростью v=12. Определить, за какое время она
пройдет отрезок своей траектории, заключенный
между параллельными плоскостями
, 
.расстояние d точки Р(1; -1; -2) от прямой
.расстояние d от точки Р(2; 3; -1) до следующих прямых:
;
, 
, 
;
, 
.прямые
, 
, 
параллельны,вычислить расстояние d между ними.
уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 2; -3) параллельно
прямым
, 
.Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через точку
М0(x0; y0; z0) параллельно прямым 
, 
, может быть
представлено в следующем виде:
.
Доказать,
чо уравнение плоскости, проходящей через точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2)
паралелльно прямой 
, может
быть представлено в следующем виде:
.
уравнение плоскости, проходящей через прямую
, 
, 
и точку М1(2;-2; 1).
Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через прямую
, 
, 
и точку М1(x1;
y1; z1), может быть
представлено в следующем виде:
.
прямые
, 
, 
, 
лежат в однойплоскости, и составить уравнение этой плоскости.
Доказать,
что если две прямые 
, 
пересекаются, то уравнение
плоскости, в которой они лежат, может быть
представлено в следующем виде:
.
уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые
, 
.Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые 
, 
, 
и 
,
, 
, может быть
представлено в следующем виде:
.
точки С(3; -4; -2) на плоскость, проходящую через
параллельные прямые
, 
.симметричную точке Р(3; -4; -6) относительно
плоскости, проходящей через М1(-6;
1; -5), М2(7; -2; -1) и М3(10; -7; 1).
симметричную точке Р(-3; 2; 5) относительно
плоскости, проходящей через прямые
, 
; 
, 
.уравнение плоскости, проходящей через прямую
, 
, 
параллельно прямой 
, 
.Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой 
, 
, 
, может быть представлено в следующем
виде:
.
уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно к плоскости 
.Доказать,
что уравнение плоскости, проходящей через прямую
, 
, 
перпендикулярно к
плоскости 
, может быть представлено в следующем
виде:
.
канонические уравнения прямой, которая проходит
через точку М0(3; -2; -4) параллельно плоскости
ипересекает прямую
.1082
проходит параллельно плоскостям
,
ипересекает прямые
,
.кратчайшее расстояние между двумя прямыми в
каждом из следующих случаев:
, 
;
, 
, 
; 
, 
, 
;
; 
, 
, 
.Все ответы
|
|
 |
|
