Как найти уравнение плоскости через две точки

6

Лекция
9.

Аналитическая
геометрия в пространстве.

Общее
уравнение плоскости.

Определение.
Плоскостью
называется
поверхность, все точки которой
удовлетворяют общему уравнению:

Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0,

где
А, В, С – координаты вектора
-вектор
нормали
к плоскости.

Возможны
следующие частные случаи:

А
= 0 – плоскость параллельна оси Ох

В
= 0 – плоскость параллельна оси Оу

С
= 0 – плоскость параллельна оси Оz

D
= 0 – плоскость проходит через начало
координат

А
= В = 0 – плоскость параллельна плоскости
хОу

А
= С = 0 – плоскость параллельна плоскости
хОz

В
= С = 0 – плоскость параллельна плоскости
yOz

А
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Ох

В
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Оу

С
= D
= 0 – плоскость проходит через ось Oz

А
= В = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
хОу

А
= С = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
xOz

В
= С = D
= 0 – плоскость совпадает с плоскостью
yOz

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки.

Для
того, чтобы через три какие- либо точки
пространства можно было провести
единственную плоскость, необходимо,
чтобы эти точки не лежали на одной
прямой.

Рассмотрим
точки М₁(x₁,
y₁,
z₁),
M₂(x₂,
y₂,
z₂),
M₃(x₃,
y₃,
z₃)
в декартовой системе координат.

Для
того, чтобы произвольная точка М(x,
y,
z)
лежала в одной плоскости с точками М₁,
М₂,
М₃
необходимо, чтобы векторы

были компланарны т.е. их смешанное
произведение:

()
= 0

Таким
образом,

Уравнение
плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение
плоскости проходящей через две точки
параллельно вектору.

Пусть
заданы точки М₁(x₁,
y₁,
z₁),
M₂(x₂,
y₂,
z₂)
и вектор
.

Составим
уравнение плоскости, проходящей через
данные точки М₁
и М₂
и произвольную точку М(х, у, z)
параллельно вектору
.

Векторы

и вектор

должны быть компланарны, т.е.

()
= 0

Уравнение
плоскости:

Уравнение
плоскости проходящей через точку
параллельно двум векторам.

Пусть
заданы два вектора

и
,
коллинеарные плоскости и точка М₁(х₁,
у₁,
z₁).
Тогда для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, векторы

должны быть компланарны.

Уравнение
плоскости:

Уравнение
плоскости проходящей через точку
перпендикулярной вектору.

Теорема.
Если в
пространстве задана точка М₀(х₀,
у₀,
z₀),
то уравнение плоскости, проходящей
через точку М₀
перпендикулярно вектору нормали
(A,
B,
C)
имеет вид:

A(x
– x₀)
+ B(y
– y₀)
+ C(z
– z₀)
= 0.

Доказательство.
Для произвольной точки М(х, у, z),
принадлежащей плоскости, составим
вектор
.
Т.к. вектор

– вектор нормали, то он перпендикулярен
плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору
.
Тогда скалярное произведение

=
0

Таким
образом, получаем уравнение плоскости

Теорема
доказана.

Уравнение
плоскости в отрезках.

Если
в общем уравнении Ах + Ву + Сz
+ D
= 0 поделить обе части на -D

,

заменив
,
получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа
a,
b,
c
отрезки отсекаемые плоскостью при
пересечении соответственно осей х, у,
z
декартовой прямоугольной системы
координат.

Уравнение
плоскости в векторной форме.

где

–
радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

– единичный вектор,
имеющий направление, перпендикуляра,
опущенного на плоскость из начала
координат.

,

и 
– углы, образованные этим вектором с
осями х, у, z.

p
– длина этого перпендикуляра.

В
координатах это уравнение имеет вид:

xcos
+ ycos
+ zcos
– p
= 0.

Параметрическое
уравнение плоскости

Пусть
в пространстве задана точка М₀(х₀,
у₀,
z₀)
и два неколлинеарных вектора

(p₁,
p₂,
p₃)
и
(q₁,
q₂,
q₃).
Пусть М(х, у, z)
текущая точка плоскости. Так как векторы

и

неколлинеарны, то они на плоскости
составляют базис, по которому разложим
вектор
=t+s,
где t,s
– параметры. Поместим произвольно на
плоскость декартову прямоугольную
систему координат так, что бы оси Ох и
Оу лежали в плоскости. Из центра О
проведем в точки М₀
и M
радиусы векторы

и
.
Тогда
=–и

=+t+s
.

Это
параметрическое уравнение плоскости
в векторной форме, а в скалярной форме

x=x₀
+p₁t
+ q₁
s

y=y₀
+p₂t
+ q₂
s

z=z₀
+p₃t
+ q₃
s

Расстояние от
точки до плоскости.

Расстояние
от произвольной точки М₀(х₀,
у₀,
z₀)
до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0
равно:

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Таким
образом, A
= 4/13; B
= -3/13; C
= 12/13, воспользуемся формулой:

A(x
– x₀)
+ B(y – y₀)
+ C(z – z₀)
= 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через две точки

P(2;
0; -1) и Q(1;
-1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у –
z
+ 5 = 0.

Вектор
нормали к плоскости 3х + 2у – z
+ 5 = 0
параллелен
искомой плоскости.

Получаем:

Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через точки А(2, -1, 4) и

В(3,
2, -1) перпендикулярно плоскости х
+ у
+ 2z
– 3 = 0.

Искомое
уравнение плоскости имеет вид: Ax
+ By
+ Cz
+ D
= 0, вектор нормали к этой плоскости
(A,
B,
C).
Вектор
(1,
3, -5) принадлежит плоскости. Заданная
нам плоскость, перпендикулярная искомой
имеет вектор нормали
(1,
1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим
плоскостям, а плоскости взаимно
перпендикулярны, то

Таким
образом, вектор нормали
(11,
-7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой
плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять уравнению этой плоскости,
т.е. 112
+ 71
– 24
+ D
= 0; D
= -21.

Итак,
получаем уравнение плоскости: 11x
– 7y
– 2z
– 21 = 0.

Пример.
Найти уравнение плоскости, зная, что
точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра,
опущенного из начала координат на эту
плоскость.

Находим
координаты вектора нормали
=
(4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости
имеет вид: 4x
– 3y
+ 12z
+ D
= 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки
Р:

16
+ 9 + 144 + D
= 0

D
= -169

Итак,
получаем искомое уравнение: 4x
– 3y
+ 12z
– 169 = 0

Пример.
Даны координаты вершин пирамиды

А₁(1;
0; 3), A₂(2;
-1; 3), A₃(2;
1; 1), A₄(1;
2; 5).

1. Найти
   длину ребра А₁А₂.

1. Найти
   угол между ребрами А₁А₂
   и А₁А₄.

Найти
угол между ребром А₁А₄
и гранью А₁А₂А₃.

Сначала
найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃
–
как векторное произведение векторов
и.

=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем
угол между вектором нормали и вектором
.

-4
– 4 = -8.

Искомый
угол 
между вектором и плоскостью будет равен

= 90⁰
– .

1. Найти
   площадь грани А₁А₂А₃.

1. Найти
   объем пирамиды.

(ед³).

1. Найти
   уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Воспользуемся
формулой уравнения плоскости, проходящей
через три точки.

2x
+ 2y
+ 2z
– 8 = 0

x
+ y
+ z
– 4 = 0;

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x – x 0 + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = A x + B y + C z – ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = – ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x – 2 · y + 3 · z – 7 = 0 и – 2 · x + 4 · y – 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , – 1 , – 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , – 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y – z – 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( – 1 ) – ( – 3 ) – 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , – 1 , – 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 – ( – 8 ) – 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , – 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) – нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y – z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , – 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , – λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , – λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( – 1 , 2 , – 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , – 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = – 1 , y 0 = 2 , z 0 = – 3 , A = 3 , B = 7 , C = – 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0

3 ( x – ( – 1 ) ) + 7 ( y – 2 ) – 5 ( z – ( – 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) = ( x + 1 , y – 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y – 2 ) – 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = – D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = – D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = – D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , – D C , 0 , – D B , 0 и – D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , – 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , – 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = – 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x – 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x – 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z – 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 7 = 0

Ответ: x – 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( – 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( – 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: – 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

Уравнение плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через три точки, и уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий заданный нормаль плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости выберите вариант задания исходных данных, введите координаты точек в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Рассмотрим цель − вывести уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃), не лежащие на одной прямой. Так как эти точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны. Следовательно точка M(x, y, z) лежит в одной плоскости с точками M₁, M₂, M₃ тогда и тольно тогда, когда векторы M₁M₂, M₁M₃ и компланарны. Но векторы M₁M₂, M₁M₃, M₁M компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Используя смешанное произведение векторов M₁M₂, M₁M₃, M₁M в координатах, получим необходимое и достаточное условие принадлежности точки M(x, y, z) к указанной плоскости:

Разложив определитель в левой части выражения, например, по первому столбцу и упростив, получим уравнение плоскости в общей форме, проходящий по точкам M₁, M₂, M₃:

Пример 1. Построить уравнение плоскости, проходящую через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2).

(1)

Подставляя координаты точек A, B, C в (1), получим:

Разложим определитель по первому столбцу:

Уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 2, 1), B(4, 5, -4), С(2, 1, 2) имеет вид:

Уравнение плоскости, проходящей через одну точку и имеющий нормаль n

Пример 2. Построить плоскость, проходящую через точку M₀(-1, 2, 1) и имеюший нормаль n(1, 4/5, 1).

(2)

Подставляя координаты векторов M₀ и n в (2), получим:

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

x – x 1	y – y 1	z – z 1	= 0
x 2 – x 1	y 2 – y 1	z 2 – z 1
x 3 – x 1	y 3 – y 1	z 3 – z 1

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti-online.php

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/plane/

[/spoiler]

Плоскость (рис. 165), проходящая через две точки перпендикулярно плоскости заданной уравнением представляется уравнением

Оно выражает компланарность векторов (§ 120)

Пример. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно плоскости представляется уравнением

Замечание. В случае, когда прямая перпендикулярна плоскости плоскость неопределенна. В соответствии с этим уравнение (1) обращается в тождество.

Рис. 165

Содержание:

Аналитическая геометрия

В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью соответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.

Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат

т. е. в виде связи или зависимости между координатами х, у, z произвольной точки поверхно-аналогично, уравнение

определяет некоторую линию (кривую) в системе координат на плоскости.

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следовательно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:

Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной то’жи этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью параметрических уравнений:

где t – действительный параметр.

Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости

Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат . Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется точкой . через которую проходит плоскость и ненулевым вектором . ей перпендикулярным. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Пусть — произвольная точка плоскости П. Тогда вектор ортогонален вектору и, следовательно,

или, учитывая, что запишем в координатах уравнение плоскости П :

Преобразовав полученное уравнение к виду

мы получим тем самым общее уравнение плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует, одна из координат, то нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость расположена параллельно этой координатной оси.

Аналогично, если в общем уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то нормальный вектор данной плоскости перпендикулярен соответствующей координатной плоскости и, значит, плоскость расположена параллельно этой координатной плоскости.

Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.

Пусть плоскость проходит через точку  параллельно неколлинеарным векторам .

Обозначим через произвольную точку плоскости Для точек данной плоскости и только для них три вектора компланарны и, следовательно (глава II, §5, теорема), их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Раскрыв определитель (проще всего, разлагая его по первой строке), получим общее уравнение плоскости 

2)Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.

Найдем уравнение плоскости , проходящей через две точки , параллельно ненулевому вектору . Задача сводится к предыдущей, если положить, например,  Тогда

– искомое уравнение плоскости

3)Плоскость, проходящая через три точки.

Если плоскость проходит через три точки , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1). положив например,  Следовательно, уравнение плоскости  записать в виде:

Замечание. Во всех трех случаях уравнение плоскости можно найти, вычислив предварительно ее нормальный вектор. Например, в первом случае в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение Тогда — уравнение плоскости.

Пример №1

Найти уравнение плоскости 11 ^ – перпендикулярной плоскости

параллельной вектору и проходящей через точку пересечения плоскости с координатного осью

Решение. Из уравнения плоскости находим у = — 2. Следовательно, плоскость проходит через точку Кроме того, , поэтому нормальный вектор плоскости параллелен плоскости . Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке и векторам . Имеем:

Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид:

Пусть плоскость  не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, В, С, D отличны от нуля.

Разделив обе части уравнения плоскости на число D. мы можем записать его в виде:

Числа а, b, с представляют собой величины отрезков, которые плоскость П отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

Обозначим искомое расстояние через. Очевидно., где точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость П. Вычислим скалярное произведение коллинеарных векторов . С одной стороны,

С другой,

так как  и поэтому  Следовательно, расстояние от точки  до плоскости П вычисляется по формуле:

В заключение этого параграфа выясним характер взаимного расположения двух плоскостей. Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями:

Очевидно, что угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами  и, следовательно,

В частности,

Пример №2

Убедиться в том, что плоскость отсекающая на координатных осях отрезки величиной 2, —1, 2 соответственно и плоскость

параллельны и найти расстояние между ними.

Решение. Запишем уравнение плоскости II| в отрезках:

Преобразовав его к общему виду, получим:

Так как нормальные векторы плоскостей коллинеарны. то эти плоскости параллельны. Возьмем какую-нибудь точку в плоскости  например, . Тогда

Уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая L в пространстве с декартовой системой координат проходит через точку и параллельна ненулевому вектору, который называется направляющим вектором прямой.

Обозначим через произвольную точку прямой L. Вектор коллинеарен вектору и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.

Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости.

Если прямая проходит через две точки , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:

Коллинеарные векторы линейно связаны (глава II. §1), т.е. существует действительный параметр t такой, что

Если точка М перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от до . Так как – радиусы-векторы точек и М соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде

Это уравнение называется векторным уравнением прямой.

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические уравнения прямой:

Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.

Система

составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может служить векторное произведение нормальных векторов плоскостей. т. е. вектор

Пример №3

Найти канонические уравнения прямой

Решение. Полагая в данной системе z = 0, получим

Решив эту систему, найдем х = 1, у = —2. Таким образом, мы получили точку на прямой. Найдем ее направляющий вектор:

Осталось записать канонические уравнения данной прямой:

Научимся теперь вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть задана точка и прямая L своими каноническими уравнениями

Искомое расстояние равно, очевидно, высоте треугольника, построенного, на векторах Воспользовавшись геометрическим смыслом длины векторного произведения (глава II. §4), найдем:

Пусть нам известны канонические уравнения двух прямых в пространстве:

Очевидно,

Один из углов между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами и и, следовательно.

Изучим взаимное расположение прямых . Если направляющие векторы  коллинеарны, то данные прямые параллельны или совпадают. Совпадать они будут в том случае, когда

В случае, когда , прямые пересекаются или являются скрещивающимися.

Прямые пересекаются, очевидно, тогда и только тогда, когда векторы компланарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, для того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися или скрещивающимися, достаточно вычислить смешанное произведение и, если оно окажется равным нулю, то прямые пересекаются, иначе – скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно, очевидно, расстоянию между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые и, следовательно, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах Отсюда, использовав геометрический смысл смешанного произведения (глава II. §5), мы и найдем искомое расстояние:

Пример №4

Убедиться в том, что прямые

являются скрещивающимися. Найти расстояние между ними и уравнение общего перпендикуляра к ним.

Решение. Первая прямая проходит через точку параллельно вектору . а вторая – через точку параллельно вектору  Вычислим смешанное произведение векторов

следовательно, прямые являются скрещивающимися. Для вычисления расстояния между ними иенолтьзуем приведенную выше формулу. Так как

Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор . Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей , проходящих через данные прямые параллельно вектору Найдем уравнения этих плоскостей по трем элементам. Первая из них проходит через точку параллельно векторам следовательно (§1),

Таким образом, плоскость имеет уравнение Аналогично, плоскость содержит точку и расположена параллельно векторам поэтому

и, стало быть, – уравнение плоскости . Система из уравнений плоскостей и даст нам общие уравнения перпендикуляра к прямым :

В заключение этого параграфа вычислим угол между прямой L, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью П, для которой известно ее общее уравнение 

Очевидно, искомый угол связан с углом между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением следовательно,  откуда,

В частности, если  

Прямая на плоскости

Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плоскости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей перпендикулярным (нормальным вектором), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (§1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (§2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.

Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Уравнение такой прямой имеет вид:

откуда после очевидных преобразований получим уравнение

которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая L отсекает на координатных осях отрезки величиной а и Ь соответственно.

Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках:

Если прямая L содержит точку и расположена параллельно ненулевому вектору

то ее каноническое уравнение имеет вид:

По аналогии с прямой в пространстве, прямая на плоскости может быть задана также векторным уравнением

и параметрическими уравнениями

Расстояние от точки  прямой L на плоскости, заданной общим уравнением , может быть вычислено по формуле:

Найдем еще одно уравнение прямой на плоскости, характерное для этого геометрического объекта. Пусть прямая L, заданная своим каноническим уравнением  , непараллельна оси

Тогдаи мы можем записать уравнение прямой L с угловым коэффициентом:

где – угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, который отсекает эта прямая на оси . В частности,

представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку

Если две прямые на плоскости заданы общими или каноническими уравнениями, то их взаимное расположение исследуется по аналогии с плоскостями или прямыми, заданными такими же уравнениями (§1 или §2). Изучим поэтому взаимное расположение двух прямых, которые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Итак, рассмотрим две прямые

Предположим сначала, что прямые не являются перпендикулярными, обозначим черезострый угол между ними. Тогда, очевидно, и, следовательно,

Если же, то нормальные векторы этих прямых ортогональны, следовательно,

Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы

Очевидно. прямые параллельны в том и только в том случае, когда равны углы, которые они образуют с осью Ох. Следовательно, для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы совпадали их угловые коэффициенты, т. е.

Пример №5

Даны прямая и точка А(—2, 1). Найти уравнения прямыхпроходящих через точку А и таких, что

Решение. Прямые имеют общий нормальный вектор , поэтому,

– общее уравнение прямой 

Так как то направляющим вектором прямой является нормальный вектор прямой L, следовательно,

 каноническое уравнение прямой

Из уравнения прямой L находим следовательно, Тогда угловые коэффициенты прямых  удовлетворяют уравнению

откуда, Осталось записать уравнения прямых

Кривые второго порядка на плоскости

В предыдущих трех параграфах нами были изучены линейные геометрические объекты -плоскость и прямая в пространстве и на плоскости. Мы показали, что в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться кривые второго порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат Оху имеют вид:

где А, В, С, D, Е, F – действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий — эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.

Эллипс

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2с фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2а — постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что . Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ох направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.

Пусть М(х, у) — произвольная точка эллипса. По определению этой линии,

Упростим последнее уравнение:

откуда, использовав обозначение    , мы и получим каноническое уравнение эллипса :

Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x и у входят в каноническое уравнение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения эллипса находим:

Очевидно, эта функция определена и убывает при Кроме того, ее график располагается выше прямой  Из приведенных рассуждений следует, что эллипс представляет собой следующую замкнутую линию на плоскости:

Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Точка O(0,0) -центр эллипса, точки – вершины эллипса, отрезок — большая, — малая оси эллипса.

Форму эллипса характеризует величина . равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, Так как

то при мы имеем , и, следовательно, эллипс по форме мало отличается от окружности. В предельном случае, когда . полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же и эллипс является вытянутым вдоль оси Ох.

Замечание. В уравнении эллипса может оказаться, что Тогда фокусы эллипса находятся на оси — большая, — малая полуоси эллипса.
 
 

Гипербола

Определение: Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.

Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2с. а через 2а — постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы а < с, что следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.

По определению гиперболы для произвольной точки М(х, у) этой линии

Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:

Обозначая здесь , получим каноническое уравнение гиперболы:

Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти

Эта функция возрастает, при всех при больших х.

а    а    а    а

Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (а, 0) на оси Ох, приближается

затем при больших значениях х к прямой  Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:

Прямые называются асимптотами гиперболы. Точка O(0,0) – центр гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, пересекающая ее в вершинах, называется действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной).

Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:

Так как

то эксцентриситет гиперболы характеризует величину угла, в котором она располагается. При угол мал и, наоборот, если эксцентриситет велик, то и угол. в котором находится гипербола, близок к развернутому.

Замечание. В каноническом уравнении гиперболы знаки перед квадратами могут располагаться и в обратном порядке:

В этом случае фокусы и вершины находятся на оси

 

Парабола

Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от. фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Число р > 0 называется параметром параболы. Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ох направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между директрисой и фокусом.

Если М(х,у) – произвольная точка параболы, то по определению этой кривой

После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение параболы:

Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ох. Точка O(0,0) называется вершиной параболы, ось Ох – осью параболы.

Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:

Аналогично, уравнения

также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Оу. а директрисы параллельны оси Ох.

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий — эллипс, гиперболу или параболу.

Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы координат Оху в точку . Пусть — координаты точки М в старой Оху, а — координаты той же точки в новой системе координат.

Так как то новые и старые точки координаты на плоскости связаны линейными соотношениями:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат ху :

причем коэффициенты А и С не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.

а) АС > 0. Очевидно, всегда можно считать, тгго А > 0, С > 0. Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным х и у, получим:

где — некоторые действительные числа. Ясно, что при > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка . Наконец, при < 0 уравнение приводится к виду

и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:

b)    АС < 0. Будем считать для определенности, что А > 0. С < 0.

В этом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F = 0 оно определяет пару прямых, проходящих, через точку  :

Если же , то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду

и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:

c)    АС = 0. Предположим, например, что

Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной у, получим:

С {у ~ Уо)2 + Dx + F1=0.

Если в этом уравнении D = 0, то при > 0 множество решений этого уравнения пусто, а при  < 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ох :

Если же , то мы можем привести уравнение к виду:

т.е. после параллельного переноса системы координат в точку , мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:

Аналогично. если в исходном уравнении второго порядка  то, не принимая во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому уравнению параболы:

Пример №6

Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и построить кривую:

Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:

что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку системе координат. Для этого эллипса и, следовательно, фокусы находятся в точках . Эксцентриситет эллипса равен

Пример №7

Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, параллельной координатной оси Ох и фокусом на оси Оу. Построить параболу.

Решение. Фокус параболы находится в точке F(0 , 2), следовательно, уравнение параболы с учетом смещения имеет вид:

Здесь и, стало быть.

каноническое уравнение параболы.

 

Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат ху, необходимо кроме параллельного переноса выполнить еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней гиперболы ху = 1 следует повернуть систему координат Оху вокруг ее начала на угол 45° против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии от начала координат. то в новой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Поверхности второго порядка в пространстве

В заключение этой главы мы изучим поверхности в пространстве, которые в декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени. Существуют пять видов таких поверхностей: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры второго порядка и конус второго порядка.

Поверхность вращения

Найдем уравнение поверхности, которая получается вращением некоторой линии вокруг одной из координатных осей. Пусть линия L, которая в координатной плоскости Oyz задается уравнением F(y, z) = 0. вращается вокруг оси Oz.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси Oz, в точку N на линии L. Поскольку расстояние от точки М до оси Oz равно то точка N имеет координаты . Подставив координаты точки N в уравнение линии L. мы и получим тем самым уравнение поверхности вращения:

Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.

Эллипсоид

Возьмем в плоскости Oyz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения. Заменив в найденном уравнении координату х на —, т. е. линейно деформируя поверхность вдоль оси Ох с коэффициентом —, мы получим тем самым уравнение эллипсоида общего вида:

Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.

Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются эллипсы.

Замечание. В частном случае, когда а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу

радиуса R с центром в начале координат.

Гиперболоиды

а) Однополостный гиперболоид.

Вращая гиперболу

вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением

После линейной деформации вдоль оси Ох эта поверхность превращается в однополостный гиперболоид общего вида с осью Oz :

Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.

Двухполостный гиперболоид

Поверхность, полученная вращением вокруг оси Оz гиперболы

вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:

Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ох прообразует его в двухполостный гиперболоид общего вида с осью Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Двухполостные гиперболоиды с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.

Параболоиды

а) Эллиптический параболоид

Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением вращать вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения имеет вид:

Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Оу превращает его в эллиптический параболоид с уравнением:

Положительные числа p, q называются параметрами параболоида, точка O(0,0) – вершина, ось Oz – ось эллиптического параболоида.

Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными другим координатным, находятся параболы.

Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.

b) Гиперболический параболоид.

Будем поступательно перемещать образующую параболу

расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы

находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гиперболическим параболоидом или седловидной поверхностью.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть М(х. у, z) – произвольная точка гиперболического параболоида. По его построению точка М принадлежит параболе с вершиной в точке , параллельной параболе Так как координаты произвольной точки этой параболы удовлетворяют уравнению

то, подставив в него координаты точки М, мы и получим после несложных преобразований уравнение гиперболического параболоида:

Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа р, q – параметры гиперболического параболоида, точка O(0,0) и ось Oz – соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.

Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы параллельно самой себе вдоль параболы

Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной оси Ох. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с действительными осями, параллельными оси Оу. Наконец, плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум прямым

Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ох и Оу, имеют, соответственно, уравнения:

Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отличается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.

Цилиндры второго порядка

Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.

Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоскости Оху кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x,y,z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Оху является точка N(x,y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки М удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением построенного цилиндра является уравнение его направляющей.

Перечислим теперь цилиндры второго порядка.

1) – эллиптический цилиндр. 

В частности, при а = b мы получим круговой цилиндр.

2 2 X у

2) – гиперболический цилиндр.

3)  – параболический цилиндр.

Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ох и Оу, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz и Oxz, соответственно.

Конус второго порядка

Конус второго порядка представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.

Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением

расположенный в плоскости z = с, с > 0.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка конуса. Обозначим через точку перс-сечения образующей, проходящей через точку М, с направляющей. Координаты точки удовлетворяют уравнениям

а точки M – уравнениям 

Из последних уравнений мы находим:

Подставив найденные выражения для в уравнение эллипса, получим после несложных преобразований уравнение конуса второго порядка:

Координатная ось Oz называется осью конуса. Если а = b, то конус является круговым.

Конусы второго порядка с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Действительно, если в качестве направляющей взять гиперболу

находящегося в плоскости 2 = с, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим поверхность с уравнением

т. е. конус с осью Ох. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = с параболу с уравнением

то построенный таким образом конус имеет уравнение

Наблюдая со стороны положительной полуоси Оу, повернем систему координат Oxz вокруг оси Оу на угол 45° против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат

запишется как (§4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Oxyz найденное уравнение поверхности приобретает вид

и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью

Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

По аналогии с уравнением кривой второго порядка (§4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1—5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.

Пример №8

Привести уравнение второго порядка

к каноническому виду, назвать и построить поверхность.

Решение. После выделения полных квадратов по переменным у, z получим:

Переписав это уравнение в виде

мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами р = 1, q = 4.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск  уравнением первой степени относительно двух переменных. 
Если  A  – некоторая точка на прямой    – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная прямая на  плоскости,  а,  во-вторых,    для любой  точки    вектор   .  Таким свойством обладают только точки, лежащие на.  

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск  XOY .  
В этой системе координат  

Пусть M (x, y)  – произвольная точка 
на . Тогда (рис. 22 ) . Так как   , то по свойству 5 скалярного произведения   – векторное уравнение прямой .   
поэтому по формуле (2.5) получим  

Координаты точек, лежащих на прямой, связаны соотношением (3.1). Если же    не перпендикулярен  значит, координаты  M  не  будут  удовлетворять полученному  уравнению.  Поэтому  (3.1)  –  уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных   x  и  y . 
 

Определение: Любой ненулевой вектор   , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью. 
. Обозначая   , получим 

(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости,

Уравнение прямой с направляющим вектором

Определение:  Любой  ненулевой  вектор   ,  параллельный  прямой, называется ее направляющим вектором. 
Если  A  – некоторая точка на прямой  – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через  A  параллельно  проходит единственная прямая, а, во-вторых,  для любой точки вектор Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  

Чтобы  вывести  уравнение  прямой,  зададим  на  плоскости  пдск  XOY .  В этой системе координат  

Пусть  M (x, y) – произвольная точка на  . Тогда   и . Запишем условие коллинеарности векторов: 

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.                    
Если   – направляющий вектор прямой   , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть – направляющий вектор прямой  не параллельна оси OY , тогда
 

Определение: Угловым коэффициентом прямой  называется число 

Очевидно, что если  – угол между прямой  и положительным направлением оси ОХ, то  
Рассмотрим уравнение (3.3)  прямой с направляющим вектором
 
Отсюда следует  (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Из (3.5) получим . Обозначим , тогда  

(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми на плоскости

Определение: Углом между двумя прямыми на плоскости называется  любой  из  двух  смежных  углов,  образованных  ими  при  пересечении.  Если прямые параллельны, то угол между ними равен  0  или  радиан. 
Пусть прямые заданы общими уравнениями. 


Условие параллельности прямых: 

Условие перпендикулярности прямых:   

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. 
                                                                     

Так как    (рис. 24  ), то 

Условие параллельности прямых:    

Условие перпендикулярности:     
Так как
не существует, то

Пример №9

Даны  вершины  треугольника:
Написать: 
 а) уравнение медианы  AM , б) высоты  AH , в) найти угол между   AM  и  AH  
(рис. 25).      
                     
Перепишем уравнение  медианы в общем виде:   
 – нормаль АМ. 
б) – нормаль  AH . Уравнение прямой (3.1), проходящей через точку  A  перпендикулярно вектору :  

в). По формуле (3.7)
 

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть  в некоторой пдск  XOY  задана прямая    и точка   Найдем расстояние от точки M  до прямой  . 

Пусть   – проекция точки  M  на  (рис.  26),  тогда  . 

Нормаль 

где   d  – искомое расстояние, – скалярное произведение.  
Следовательно,        

Так как . Поэтому    

Отсюда    
(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости. 
 

Пример №10

Найти длину высоты  
Уравнение   –
искомая длина высоты АН. 
 

Кривые второго порядка

Окружность

Определение: Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск   XOY  задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x,y. 
 

Определение: Окружностью называется совокупность точек  плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром. 

Выведем уравнение окружности. Зададим пдск  XOY . Пусть – фиксированная точка (центр окружности), а  R  – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если    – произвольная точка окружности, то длина равна R .

Если точка  M (x, y)   не лежит на окружности, то    и ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром   радиуса  R . 
Если   , то уравнение окружности примет вид: 

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

Пример №11

Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти  ее центр и радиус). 
Приведем  данное  уравнение  к  виду (3.9), выделив  полный квадрат по переменной   x : 

 

Пример №12

Написать уравнение линии центров окружностей  

Найдем центр второй окружности:         

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки: 

 

Эллипс

Определение:  Эллипс  –  совокупность  точек  плоскости,  сумма  расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы   , а ось ординат – посередине отрезка  перпендикулярно  оси  абсцисс.    Обозначим  расстояние  между  фокусами  тогда . Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на эллипсе, а  2a  – сумма расстояний от точек на эллипсе до  ,     
                     
2a>2c определению эллипса. 
(рис. 27). 
Запишем  в  виде  уравнения  свойство  точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении: 

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к 
более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11)  на сопряженное выражение: 

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат: 

Так как по определению  a>c, то есть  , то обозначим . 
Тогда из (3.13) получим:  

(3.14) – каноническое уравнение эллипса. 
 

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
  

Из (3.14) следует, что 

Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами   .  
Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно OX  и OY . O(0,0)  – точка пересечения осей симметрии – центр симметрии  эллипса. 
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки  пересечения  эллипса  с  осями  симметрии  называются  его  вершинами.  

– полуфокусное расстояние, – малая полуось,  
– большая полуось эллипса и  (рис. 28). 

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси  называется эсцентриситетом  эллипса. Он характеризует форму эллипса.

Так как , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности . 
 

ЗАМЕЧАНИЕ  1.  Уравнение  эллипса,  центр  которого  ,  а  оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:  

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс 
 и точка 

 

Пример №13

Найти эксцентриситет эллипса   (рис. 29).    
Так как , то фокусы лежат на оси  OY  и поэтому  

 

Гипербола

Определение:  Гипербола  –  совокупность  точек  плоскости,  модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами,  есть величина постоянная, не равная  нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: 

ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрез-
ка перпендикулярно оси абсцисс. Тогда – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

– расстояние между фокусами, 2a  – модуль разности  расстояний от точек на гиперболе до (рис. 30). 

Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении: 

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний  положительна, и «–»  – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие  же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим: 

По определению . Обозначим  , тогда (3.17) перепишется в виде:  

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы. 

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.  
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если x=0,  , значит, точек пересечения с  OY  нет; если  y = 0 , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы.  Кроме  того,  из  (3.18)  следует,  что . Точка  пересечения осей  симметрии  называется  центром  гиперболы.  Ось  симметрии,  на  которой расположены  фокусы,  называется  фокальной  осью.  При  этом  фокальная  ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью. 

c  – полуфокусное расстояние,   a  – действительная полуось, b  – мнимая полуось.  Отношение  полуфокусного  расстояния  к  длине  действительной  полуоси называется эксцентриситетом  гиперболы: .  Так  как  по  определению 

Считая, что из (3.18) получим, что  – уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном  возрастании   разность , то есть при достаточно больших   x  гипербола приближается к прямой , 
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой 
прямой:. Прямая называется асимптотой гиперболы.  

Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой  четвертях. Поэтому   – также асимптота. 
Итак, прямые  – асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31). 
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид: 

Гиперболы  (3.18)  и  (3.19)  называются  сопряженными  (рис.  31).  Уравнения асимптот  (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY . 
Если  a = b, то гипербола называется равносторонней:  – уравнения ее асимптот (рис. 32 ).     

Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим  гиперболу, задаваемую уравнением
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы  в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид         

 ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также  пара пересекающихся прямых:  
 

Пример №14

Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы
Приведем данное уравнение к виду (3.20): 

Таким образом,  – центр,  – уравнения асимптот данной гиперболы. 
 

Парабола

Определение: Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.   Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33). 

Пусть расстояние между фокусом  F  и директрисой  DK  равно  p . Тогда .  Если  M(x, y)   –  произвольная  точка  на  параболе,  то  по определению 

(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат. 

Упростим его:                                 

(3.22) – каноническое уравнение параболы;  p  называется ее параметром. 
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно   OX  и проходит через начало координат. Кроме того,  если , поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величины также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34). 

Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  К кривым второго порядка параболического типа относятся также  – пара совпадающих прямых;  
– пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых.  
 

Пример №15

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой  x + y – 1 = 0 и точки F(-3,2). 
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является  параболой.  Пусть  M (x, y)   –  произвольная  точка  искомой  параболы, тогда . Расстояние от точки M  до прямой x + y – 1 = 0 вычисляется по формуле (3.8): . Из условия следует, что  
 – уравнение искомого геометрического места точек. 

Если  оси  координат  системы XOY   повернуть на угол  так, чтобы  одна  из  них  стала  параллельна директрисе, а затем перенести  начало координат в точку   – вершину параболы, то в новой  системе   уравнение  параболы  будет  каноническим (рис. 36).  
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.  
 

Преобразования координат на плоскости

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.

Параллельный перенос координатных осей

Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат получена из “старой” параллельным переносом осей в точку .  Выясним, как связаны координаты одной и той же точки М  в этих системах координат.

Пусть  – орты координатных осей системы ХОУ, а  – системы
Тогда

так как по определению  равенства  векторов (рис. 37). 
Так как , то 

или                                                  

(3.23) – формулы параллельного переноса осей пдск. 

 

Поворот координатных осей на угол α

Поворот координатных осей на угол . 

Пусть  “новая”  пдск    получена из  “старой” системы координат XOY поворотом осей ОХ и ОУ на угол (рис. 38) и М(х, у) – произвольная  точка  в  системе XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.  
Из рис. 38 очевидно, что 

Так как , то  

(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол  , выражающие старые координаты точки через новые. 
Если обозначить  , то (3.24) можно переписать:  . Так как , то существует   и  

(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые  координаты точки через старые. 

 

Пример №16

Каким  будет  уравнение  прямой  x + y – 1 = 0 после поворота координатных осей на угол 

 новое уравнение прямой (рис. 39). 
 

Линейные  преобразования на плоскости

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Каждой точке  плоскости  M(x, y)  по формулам (3.26) можно поставить в соответствие  единственную точку той же плоскости. При этом точка  N  называется образом точки  M , а точка  M  – прообразом точки  N .  Кроме того,уравнения (3.26) линейны относительно  x  и  y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя. 
Преобразование (3.26) определяется матрицей , которая называется  матрицей  линейного  преобразования.  Обозначая  ,
(3.26)  можно  переписать  в  виде .  Можно  показать,  что  определитель  равен  коэффициенту  изменения  площадей  при  линейном  преобразовании (3.26). При этом , если в результате преобразования направление обхода некоторого  контура  не  меняется,  и ,  если  оно  меняется  на  противоположное. Поясним это на примерах. 

 

Пример №17

 – растяжение вдоль 
оси OX  в 2 раза.  
(рис. 40). 

 

Пример №18

при этом направление обхода   от O  к  A , затем к  B  – по часовой стрелке, а соответствующее направление обхода  – против часовой стрелки. Геометрически данное преобразование – растяжение вдоль  OX  и OY  в 2 раза и отражение симметрично относительно оси OY  (рис. 41). 
 

Определение:  Линейное  преобразование  (3.26)  называется  невырожденным, если

В  этом  случае  существует  обратная  матрица  и  можно  найти . То есть, если , то не только у каждого прообраза существует единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя. 
Можно  показать,  что  невырожденное  линейное  преобразование  переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка. 
 

Пример №19

Пусть  преобразование вырожденное. 
Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой  x + y – 1 = 0 
(рис. 42)?

Очевидно, что если , то есть у точки N(1,2) существует  бесконечное  множество  прообразов:  все  они  лежат  на  прямой x + y – 1 = 0.  Потому  данное  вырожденное  линейное  преобразование  не  устанавливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости. 
 

Пример №20

Рассмотрим формулы (3.25):  

Очевидно, что поворот осей пдск на угол – линейное преобразование. 
Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует  

Заметим, что в этом случае
 

Определение: Матрица  A называется ортогональной, если . 
Линейное  преобразование,  матрица  которого  ортогональна,  называется  ортогональным. 

Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование. 

Можно показать, что если  A  – ортогональная матрица, то (доказать самостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.  
 

Произведение линейных преобразований

Рассмотрим  матрицы Каждая  из  них определяет  линейное  преобразование  плоскости.  Если  M(x, y) –  некоторая точка плоскости, то под действием линейного преобразования  с матрицей  B   она перейдет в точку

В свою очередь точка  N  под действием линейного преобразования с матрицей C   перейдет в точку

Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их произведением:

Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28): 
 
То есть  

(3.29)  – система линейных уравнений, а потому произведение линейных преобразований линейно. Матрица (3.29)  имеет вид: 

Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.  
 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение: Квадратичной формой относительно двух переменных  x  и  y  называется однородный многочлен второй степени:  

Уравнение задает на плоскости кривую второго порядка, причем, так как вместе с точкой  M(x, y) , лежащей на этой кривой,  ей  принадлежит  и  точка ,  кривая  симметрична  относительно 
начала  координат,  то  есть  является  центральной  кривой  (эллиптического  или гиперболического типа).

Предположим, что уравнение задает в пдск ХОУ эллипс. Если , то это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы  XOY  повернуть на 

угол , то в системе  эллипс будет  задаваться  каноническим  уравнением:  кривая  симметрична  относительно .  Найдем  линейное преобразование,  соответствующее этому повороту. 

Матрица  называется матрицей квадратичной формы (3.30).  
Пусть  
Вычислим
Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде: 

Пусть  x, y – координаты точек плоскости в системе  XOY , а  – координаты точек  плоскости  в новой системе , где  кривая задается каноническим уравнением. Переход от “старых” координат к “новым” будем искать в виде  

(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей  

По определению ортогональной матрицы  

(В  результате  ортогонального  преобразования  не  происходит  изменение  площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.) 
Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного  преобразования  (3.32),  подставим  (3.32)  в  (3.31): (свойство 5 умножения матриц)
(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.  

Так как в “новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение координат  xy, то   имеет вид:
, где – неизвестные числа. Умножим равенство  на матрицу T  слева. Так как , то получим: 

По определению равных матриц имеем: 

Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0. 

Это означает, что  являются решениями уравнения 

Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы  A  (характеристическим  уравнением  квадратичной  формы).  Его  решения  называются собственными значениями матрицы  A (квадратичной формы).  

Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения. 
Вычислим определитель (3.36):      

Дискриминант
так как  (иначе квадратичная форма будет канонической). 
 

Таким образом, коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравнения (3.36).  

Решим (3.36) и подставим  в (3.34). Система имеет бесконечное множество решений и пусть  – одно их них. Так как система (3.34) однородная, то  – тоже решение. Подберем  k  так, чтобы вектор  
 был единичным:

Векторы   называется  собственными  векторами  квадратичной формы, соответствующими собственному значению   , или первыми собственными  векторами.  Их направление называется  первым  главным  направлением квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34). 

Аналогично  подставим   в  (3.35)  и  найдем –  второй  собственный вектор, соответствующий собственному значению  r2 . Его направление  называется  вторым  главным  направлением  квадратичной  формы.  – второй единичный собственный вектор, то есть 

Можно показать, что . Кроме того,  – первый собственный вектор, а  – второй собственный 
вектор, поэтому ортами “новой” системы координат  , к которой мы перейдем в результате линейного преобразования с матрицей  T , являются единичные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “новой” системы координат вдоль собственных векторов  , получим систему координат,  в которой квадратичная форма будет иметь канонический вид
 

ВЫВОД.  

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, надо: 

1. Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения – собственные значения – являются коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы. 
2. Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат .При этом если ось сонаправлена с   – канонический вид, который квадратичная форма имеет в системе .

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:  

В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей   T  квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член   не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобразовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее  квадратичную  форму  к  каноническому  виду, затем  посмотрим, как  в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей).

После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы  так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим. 

Пример №21

Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:  

1) Составим матрицу квадратичной формы: 
2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):  
– собственные значения. 
3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систему (3.34): 
– первый собственный вектор.  
 – первый единичный  собственный вектор (орт оси ). 
4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35): 
 –  второй    собственный вектор.  
 – второй  единичный  собственный вектор (орт оси ) . 
Заметим, что ,так как скалярное произведение

В полученной таким образом системе координат , взяв несколько контрольных точек, нарисуем параболу (рxис. 44). 
Сравните  эскиз  (рис.  36)  и  данный  рисунок,  являющийся  результатом точных расчетов. 

 

Плоскость

Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных  x, y, z. 
Если  A  – некоторая точка на плоскости  – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная плоскость, а, во-вторых,  для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  
Чтобы  вывести  уравнение  плоскости,  зададим  в  пространстве  пдск  OXYZ .  В этой системе координат

Раскрыв скобки в (3.38), получим   
Обозначим , тогда уравнение (3.38) примет вид: 

(3.39) – общее уравнение плоскости в пространстве, – ее нормаль. 
 

Определение: Любой ненулевой вектор  , перпендикулярный плоскости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.  

Особые случаи расположения плоскости

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39). 

1.  координаты точки O(0,0,0) удовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало  координат. 
2. , так как , значит, плоскость . 
3. ,  так  как .Значит, плоскость .
4. так как . Значит, плоскость . 
5.  проходит через OX . 
6.  проходит через OY . 
7.  проходит через OZ . 
8.  или . 
9.  или . 
10.  или . 
11.  – плоскость YOZ . 
12.  – плоскость XOZ . 
13.  – плоскость XOY . 
     

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость  не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит  через  начало  координат.  Тогда  она  отсекает  на  координатных  осях отрезки a,b,c (рис. 46). Выведем уравнение  такой плоскости.  
  

Рассмотрим общее уравнение плоскости. Так как , то   .
Аналогично  

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим  

(3.40) – уравнение плоскости в отрезках. 
 

Пример №22

Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями   


Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40):   

уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47) 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: 
.  Известно,  что  через  них  проходит  единственная плоскость  . 

Чтобы вывести  ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости  M(x,y,z) . Тогда  – компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю: . Тогда по формуле (2.9) получим 

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы    коллинеарны и   их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что  координаты любой точки   M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.  
 

Пример №23

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки  


 

Угол между плоскостями

Определение: Углом между плоскостями называется любой из двух смежных  двугранных  углов,  образованных  плоскостями  при  их  пересечении. 

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0  или  радиан. 

Рассмотрим плоскости и 
. 
Очевидно,
или  

Если    –0 условие перпендикулярности плоскостей.  

Если  – условие параллельности плоскостей.

Пример №24

Найти угол между плоскостями  

 плоскости перпендикулярны. 
 

Прямая линия в пространстве

Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать  как результат пересечения  двух плоскостей  

и 

Если  не  параллельна ,  то есть не  коллинеарен ,  то  система уравнений  

определяет прямую линию в пространстве. 
  

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве. 
Очевидно,  одна  и  та  же  прямая  может  быть результатом пересечения разных  пар плоскостей  (рис.  48),  поэтому  прямую  в  пространстве  можно  задать    различными  способами. 

Уравнения (3.42) неудобны в использовании, так как не дают представления о расположении  прямой  относительно  выбранной  системы координат.  
Поэтому выведем более  удобные  уравнения,  эквивалентные  (3.42),  то  есть  из  бесконечного  множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Пусть  в  некоторой  пдск  задана  прямая ,  проходящая  через  точку   параллельно  ненулевому  вектору .  Такой  вектор называется направляющим вектором этой прямой.  
                                                                      

Для произвольной точки   вектор   где  t  – не-который  числовой  множитель.  Кроме того,   –  радиус-вектор точки  M ,  – радиус вектор точки  A  
(рис. 49).  

Отсюда                                             
(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем: 

(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве,  – параметр.  

Выразим из каждого уравнения (3.44) параметр:  

Тогда
(3.45)  –  канонические  уравнения  прямой  в  пространстве,  то  есть  уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .  

Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую  как результат пересечения плоскостей   

одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY   или как

где первая плоскость параллельна OZ , а вторая – OX . 

Если прямая  проходит через две заданные точки , то  направляющий вектор этой прямой, поэтому из (3.45) получим: 

(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.  
 

Угол между прямыми в пространстве

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:  

и   

 

Определение:  Углом  между  прямыми  в  пространстве  называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным. 
Из определения следует, что . Если , то  
 
1)–  условие перпендикулярности прямых. 
2)  –  условие  параллельности  прямых  в пространстве.

Пример №25

Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки  . 

Заметим, что уравнение прямой  имеет вид: . В данном случае  ноль  в  знаменателе    писать  принято:  он  означает,  что  направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости  XOZ . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей
 

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Рассмотрим  прямую , заданную  общими  уравнениями (3.42) в пространстве:  

Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами: 

1. найти  координаты  какой-либо  точки ,  лежащей  на , ее направляющий вектор  s  и написать уравнения (3.45); 
2. найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46). 

1 способ.

Координаты точки  A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как  ранги  основной  и  расширенной  матриц ,  а  число  неизвестных . 
 – направляющий вектор прямой , поэтому – нормаль плоскости – нормаль плоскости . Из определения векторного произведения векторов следует, что тогда . Так как  – произвольный вектор, параллельный , то будем  считать, что .

Пример №26

Привести уравнения прямой  к каноническому виду. 
Найдем  какое-нибудь  частное  решение  этой  системы:  пусть,  например, 
,  то  есть  точка  A(1,2,0) лежит  на прямой. 

Таким образом,  – канонические уравнения данной прямой. 
 

2  способ.  

Найдем  два  произвольных  частных  решения  системы  уравнений, задающей прямую. 
В рассмотренном примере . Пусть теперь 

тогда  – направляющий вектор  прямой, который  отличается  от  найденного  ранее  только  знаком.  Поэтому  уравнения совпадают (с точностью до знака) с уже найденными. 
 

Угол между прямой и плоскостью

Определение: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 
Пусть в некоторой пдск заданы плоскость  

и прямая

Определение общих точек прямой и плоскости

Чтобы найти общие точки прямой :   и плоскости, надо решить систему  линейных уравнений: 

Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти  к параметрическим  уравнениям прямой (3.44): 

1) Пусть . Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем   
 
и по формулам (3.44) M(x,y,z) – их  точку пересечения. 

2) Пусть . Это означает, что в (3.47) решений нет: выполнено  условие  параллельности  прямой  и  плоскости,  при  этом  точка  , но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих точек не имеют. 

3)  Пусть . Тогда любое – решение (3.47) и система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и  точка   , лежащая на прямой, лежит в плоскости. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество  общих точек. 
 

Пример №27

Найти    проекцию    точки   на    плоскость (рис. 53). 

Пусть прямая проходит через точку  М  перпендикулярно плоскости  . Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве направляющего вектора можно взять нормаль к плоскости . 

Напишем канонические уравнения  прямой  (3.45):

 Подставим   x,y,z   в уравнение плоскости: 

, то есть  P 1,2,0  – искомая проекция.                                                     
 

Цилиндрические поверхности

Уравнение  F(x, y, z)=0  задает в пространстве некоторую поверхность.  

Пусть  уравнение содержит только две переменные, например,  F(x,y)=0.Рассмотренное  в  плоскости  XOY ,  оно  задает  некоторую  кривую.  Но  ему  будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки  этой кривой, так как в уравнении отсутствует  z , то есть все точки  M(x,y,z)  у которых  х и у  связаны соотношением   – произвольно. 

 

Пример №28

Построить  поверхность  
На  плоскости  это  уравнение  задает окружность  с центром О(0, 0) и  R=1. 
В  пространстве  ему  удовлетворяют координаты  всех  точек,  проекция  которых  на  плоскость  ХОУ  лежит  на этой  окружности.  Очевидно,  что  эта поверхность  –  круговой    цилиндр 
(рис. 54).  
Цилиндрические поверхности бывают не только круговыми.

Определение: Цилиндрической называется поверхность, полученная движением  прямой,  параллельной  некоторому  вектору,  и  пересекающей  при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей,  а  кривая,  которую  она  пересекает,  называется  направляющей  цилиндрической поверхности. 
Для поверхности   образующая параллельна оси OZ  (так как в уравнении  z  отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости  XOY . 

ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность. У поверхности  F(y,z) ,образующая параллельна  OX , а направляющая лежит в плоскости  YOZ . Для поверхности  F(x,z) ,образующая параллельна OY , направляющая в плоскости  XOZ . 
 

Пример №29

Построить и назвать поверхности Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости  YOZ , а образующая параллельна  OX  (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости  XOZ , образующая параллельна OY  (рис. 56).

Поверхности вращения

Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, полученная  в  результате  вращения  плоской  кривой  вокруг  оси,  лежащей  в  ее 
плоскости. 

Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.  

Пусть в плоскости  YOZ  задана кривая – координаты точки  в  плоской  системе  координат  YOZ .  Эта  кривая  вращается  вокруг  оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения. 

Пусть  M(x,y,z)  –  произвольная  точка  на  поверхности, ,  z–  центр  окружности сечения,  проходящего  через точку  M ,  а   –  точка, лежащая  на кривой и одновременно в рассматриваемом  сечении (рис. 57). 

Тогда – радиусы сечения. 
Но

Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в уравнении  кривой  заменим  на  –  на  z.  Тогда  получим: 
 – уравнение поверхности вращения (OZ  – ось вращения). 

Очевидно, что  если  кривая  F(y,z)=0 вращается    вокруг  OY ,  то  уравнение 
поверхности вращения имеет вид:  

Некоторые поверхности второго порядка

1. Пусть эллипс вращается вокруг оси OY .  
 

Полученная поверхность является поверхностью  второго  порядка, так ее уравнение  – второй  степени  относительно  переменных  x,y,z .  Она  называется эллипсоидом вращения (рис. 58). 
Поверхность, задаваемая уравнением   , называется трехосным эллипсоидом. 

2. Если гипербола  вращается вокруг оси OZ , то уравнение 

поверхности вращения имеет вид   

или  

Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 59). 

3. Если гипербола   вращается вокруг оси  OY , то уравнение поверхности имеет вид   . Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60). 

4. Если пара пересекающихся прямых   вращается вокруг оси OY , то получается  конус вращения с уравнением  или   (рис. 61). 

5. При вращении параболы  вокруг оси OZ  получается поверхность , которая называется эллиптическим параболоидом вращения (рис. 62). 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Уравнение плоскости, проходящей через две точки компланарно данному вектору