Как найти уравнение плоскости перпендикулярную вектору - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть
в трехмерном пространстве задана
прямоугольная декартова система
координат. Сформулируем следующую
задачу:

Составить
уравнение плоскости, проходящей через
данную точку
M(x0,
y0,
z0) перпендикулярно
данному вектору
n =
{A, B, C}
.

Решение. Пусть P(x, y, z)
— произвольная точка пространства.
Точка P принадлежит
плоскости тогда и только тогда, когда
вектор
MP =
{x − x0, y − y0, z − z0}
ортогонален вектору n =
{A, B, C}
(рис.1).

Написав
условие ортогональности этих векторов
(n, MP)
= 0 в координатной форме, получим:

A(x − x0)
+ B(y − y0)
+ C(z − z0)
= 0

Уравнение
плоскости по трем точкам

В
векторном виде

В
координатах

Взаимное
расположение плоскостей в пространстве

Пусть

– общие уравнения двух
плоскостей. Тогда:

1)
если ,
то плоскости совпадают;

2)
если ,
то плоскости параллельны;

3)
если или ,
то плоскости пересекаются и системауравнений

(6)

является
уравнениями прямой пересечения данных
плоскостей.

3.3

Составить
канонические уравнения прямой по
точке и
направляющему вектору

Решение:
Канонические уравнения прямой составим
по формуле:

Ответ:

В
ряде задач требуется найти какую-нибудь
другую точку ,
принадлежащую данной прямой. Как это
сделать?

Берём
полученные уравнения и
мысленно «отщипываем», например, левый
кусочек: .
Теперь этот кусочек приравниваем к
любому числу (помним,
что ноль уже был), например, к единице: .
Так как ,
то и два других «куска» тоже должны
быть равны единице. По сути, нужно
решить систему:

Составить
параметрические уравнения следующих
прямых:

Решение:
Прямые заданы каноническими уравнениями
и на первом этапе следует найти
какую-нибудь точку, принадлежащую
прямой, и её направляющий вектор.

а)
Из уравнений снимаем
точку и направляющий вектор: .
Точку можно выбрать и другую (как это
сделать – рассказано выше), но лучше
взять самую очевидную. Кстати, во
избежание ошибок, всегда подставляйте
её координаты в уравнения.

Составим
параметрические уравнения данной
прямой:

Удобство
параметрических уравнений состоит в
том, что с их помощью очень легко находить
другие точки прямой. Например, найдём
точку ,
координаты которой, скажем, соответствуют
значению параметра :

Таким
образом:

б)
Рассмотрим канонические уравнения .
Выбор точки здесь несложен, но
коварен: (будьте
внимательны, не перепутайте координаты!!!).
Как вытащить направляющий вектор? Можно
порассуждать, чему параллельна данная
прямая, а можно использовать простой
формальный приём: в пропорции находятся
«игрек» и «зет», поэтому запишем
направляющий вектор ,
а на оставшееся место поставим ноль: .

Составим
параметрические уравнения прямой:

в)
Перепишем уравнения  в
виде ,
то есть «зет» может быть любым. А если
любым, то пусть, например, .
Таким образом, точка  принадлежит
данной прямой. Для нахождения направляющего
вектора используем следующий формальный
приём: в исходных уравнениях  находятся
«икс» и «игрек», и в направляющем векторе
на данных местах записываем нули: .
На оставшееся место ставим единицу: .
Вместо единицы подойдёт любое число,
кроме нуля.

Запишем
параметрические уравнения прямой:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Общее уравнение плоскости

Ненулевой вектор vec{n} , перпендикулярный заданной плоскости, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости.

Пусть в координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ ;

б) ненулевой вектор vec{n}=Acdotvec{i}+Bcdotvec{j}+Ccdotvec{k} (рис.4.8,а).

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ перпендикулярно вектору vec{n}.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Выберем в пространстве произвольную точку M(x,y,z) . Обозначим vec{r}=overrightarrow{OM}=xvec{i}+yvec{j}+zvec{k}, $vec{r}_{0}=overrightarrow{OM_{0}}=x_{0}vec{i}+y_{0}vec{j}+z_{0}vec{k},$ — радиус-векторы точек и $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $overrightarrow{M_{0}M}$ и vec{n} перпендикулярны (рис.4.8,б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения:

$leftlangleoverrightarrow{M_{0}M},,vec{n}rightrangle=0.$

Учитывая, что $overrightarrow{M_{0}M}=vec{r}-vec{r}_{0}$ , получаем векторное уравнение плоскости:

${color{red}boxed{{color{black}langlevec{r}-vec{r}_{0},,vec{n}rangle=0}}}$

(4.12)

Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть $langlevec{r}-vec{r}_{0},vec{n}rangle=langlevec{r},vec{n}rangle-langlevec{r}_{0},vec{n}rangle$ используя свойства скалярного произведения. Обозначая $c=langlevec{r}_{0},vec{n}rangle$ получаем уравнение langlevec{r},vec{n}rangle-c=0, или

langlevec{r},,vec{n}rangle=c,

(4.13)

выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих плоскости.

Получим координатную форму записи векторного уравнения плоскости (4.12). Так как $vec{r}-vec{r}_{0}=(x-x_{0})vec{i}+(y-y_{0})vec{j}+(z-z_{0})vec{k},$ vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k}, формуле (1.10) находим

$langlevec{r}-vec{r}_{0},vec{n}rangle= (x-x_{0})cdot A+(y-y_{0})cdot B+(z-z_{0})cdot C=0,$

$Acdot(x-x_{0})+ Bcdot(y-y_{0})+ Ccdot(z-z_{0}) =0.$

(4.14)

Полученное соотношение (4.14) позволяет по координатам точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ и координатам A,,B,,C нормали vec{n} сразу записать искомое уравнение плоскости.

Обозначив $D=-Acdot x_{0}-Bcdot y_{0}-Ccdot z_{0}$ , получим общее уравнение плоскости

{color{red}boxed{{color{black}Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0}}}

(4.15)

Поскольку коэффициенты A,,B,,C не равны нулю одновременно (это координаты ненулевого вектора vec{n} ), уравнение (4.15) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с тремя неизвестными. Следовательно, плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.

Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (4.15) задает в координатном пространстве плоскость. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 4.1, они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат.

Теорема (4.2) об алгебраической поверхности первого порядка

Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными задает в аффинной системе координат плоскость, и наоборот, всякая плоскость в любой аффинной системе координат может быть задана уравнением первой степени с тремя неизвестными. Другими словами, алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость.

Замечания 4.2.

1. При составлении общего уравнения плоскости нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали vec{n}, а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор (-vec{n}) также является нормалью). Например, вместо нормали vec{n} можно взять нормаль -7vec{n}, что соответствует умножению обеих частей уравнения (4.15) на число –7.

2. Если в общем уравнении плоскости (4.15) коэффициент при неизвестной равен нулю, то плоскость параллельна координатной оси. Например, если A=0 то плоскость (4.15) параллельна оси абсцисс (рис.4.9,а); если A=B=0 то плоскость (4.15) параллельна координатным осям и Oy, т.е. параллельна координатной плоскости Oxy (рис.4.9,б).

Если в общем уравнении плоскости (4.15) свободный член равен нулю (D=0), то плоскость проходит через начало координат (рис.4.9,в).

Варианты расположения плоскости в пространстве

3. Нормаль vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k} к плоскости Ax+By+Cz+D=0 совпадает с градиентом функции f(x,y,z)=Ax+By+Cz+D:

$begin{aligned} operatorname{grad}f(x,y,z)=nabla f(x,y,z)&= frac{partial f(x,y,z)}{partial x}cdotvec{i}+ frac{partial f(x,y,z)}{partial y}cdotvec{j}+ frac{partial f(x,y,z)}{partial z}cdotvec{k}=\[3pt] &=Acdotvec{i}+Bcdotvec{j}+Ccdotvec{k}=vec{n},. end{aligned}$

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

Положительное и отрицательное полупространства

4. Плоскость Ax+By+Cz+D=0 разбивает пространство на два полупространства (рис.4.10): положительное, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству Ax+By+Cz+Dgeqslant0, и отрицательное, для точек которого Ax+By+Cz+Dleqslant0. Нормаль vec{n}=Avec{i}+Bvec{j}+Cvec{k}, приложенная к произвольной точке плоскости Ax+By+Cz+D=0, указывает на положительное полупространство (рис.4.10).

Это свойство следует из пункта 3.

5. Абсолютное значение |Ax+By+Cz+D| пропорционально расстоянию от точки M(x,y,z) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 т.е. отношение расстояний от точек $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ до плоскости равно отношению $frac{|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{|Ax_{2}+By_{2}+Cz_{2}+D|},.$

Доказательство аналогично доказательству пункта 5 замечаний 3.2.

6. В аффинной системе координат $Ovec{e}_{1}vec{e}_{2}vec{e}_3$ линейное уравнение $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_3x_3+a_4=0$ задает, согласно теореме 4.2, плоскость. Выводы, полученные в п.2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор $vec{n}=a_{1}vec{e}_{1}+a_{2}vec{e}_{2}+a_3vec{e}_3$ не является нормалью.

Пример 4.5. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1). Составить уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину (рис.4.11).

Уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину

Решение. Находим координаты середины отрезка $Kcolon,M!left(frac{1+5}{2};frac{2+0}{2};frac{3+1}{2}right)!,$ т.е. M(3;1;2). Вектор overrightarrow{KL} можно взять в качестве нормали к плоскости. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:

overrightarrow{KL}= (5-1)cdotvec{i}+(0-2)cdotvec{j}+(1-3)cdotvec{k}= 4cdotvec{i}-2cdotvec{j}-2cdotvec{k}=vec{n},.

Следовательно, уравнение (4.15) искомой плоскости имеет вид 4x-2y-2z+D=0.

Осталось найти величину свободного члена . Поскольку точка M(3;1;2) принадлежит плоскости, то ее координаты x=3, y=1, z=2 должны удовлетворять уравнению этой плоскости, следовательно, 4cdot3-2cdot1-2cdot2+D=0, отсюда В=-6 Таким образом, искомая плоскость задается уравнением

4cdot x-2cdot y-2cdot z-6=0 quad Leftrightarrow quad 2cdot x-y-z-3=0.

Уравнение этой прямой можно было получить в виде (4.14), подставляя координаты нормали vec{n}=4vec{i}-2vec{j}-2vec{k} и точки M(3;1;2): 4(x-3)-2(y-1)-2(z-1)=0.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости и ортогональная проекция вектора

Пусть заданы:

а) плоскость, описываемая общим уравнением (4.15): Acdot x+Bcdot y+Ccdot z+D=0 ;

б) точка $M^{ast}(x^{ast},y^{ast},z^{ast})$ в пространстве.

Требуется найти расстояние от точки до плоскости.

Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора $overrightarrow{M_{0}M^{ast}}$ на направление нормали vec{n} (рис.4.12) и находится по формуле:

$d=left|overrightarrow{operatorname{pr}}_{vec{n}}overrightarrow{M_{0}M^{ast}}right|= frac{Bigl|Bigllanglevec{n}, overrightarrow{M_{0}M^{ast}} BiglrangleBigr|}{|vec{n}|}$ ,

где $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ — любая точка на заданной плоскости.

Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов

$begin{gathered} vec{n}=Acdotvec{i}+Bcdotvec{j}+Ccdotvec{k}, quad overrightarrow{M_{0}M^{ast}}=(x^{ast}-x_{0})cdotvec{i}+(y^{ast}-y_{0})cdotvec{j}+(z^{ast}-z_{0})cdotvec{k},colon\[5pt] d=frac{|A(x^{ast}-x_{0})+B(y^{ast}-y_{0})+C(z^{ast}-z_{0})|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}= frac{|Ax^{ast}+By^{ast}+Cz^{ast}-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}},. end{gathered}$

Поскольку координаты точки $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ удовлетворяют уравнению (4.15), то $Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}=-D.$ Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до плоскости

${color{red}boxed{{color{black}d=frac{|Acdot x^{ast}+Bcdot y^{ast}+Ccdot z^{ast}+D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}}}}$

(4.16)

Пример 4.6. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1). Требуется найти, в каком отношении плоскость rhocolon3x-4y+z-13=0 делит отрезок (рис.4.13).

Решение. Найдем значения линейного четырехчлена p(x,y,z)=3x-5y+z-13 в точках K(1;2;3) и L(5;0;1):

Найти, в каком отношении плоскость p делит отрезок KL

p(1;2;3)=3cdot1-4cdot2+1cdot3-13=-15phantom{H} и phantom{H}p(5;0;1)=3cdot5-4cdot0+1cdot1-13=3.

Получили значения разных знаков. Следовательно, точки и лежат по разные стороны от плоскости я (согласно пункту 4 замечаний 4.2, эти точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость rho действительно пересекает отрезок (в точке на рис.4.13). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек и до плоскости rho , то

$frac{KM}{ML}=frac{|p(1;2;3)|}{|p(5;0;1)|}=frac{|-15|}{|3|}=frac{5}{1}=5:1,.$

Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния $d_{K}$ и $d_{L}$ от точек и до плоскости rho:

$d_{K}=frac{|3cdot1-4cdot2+3-13|}{sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=frac{15}{sqrt{26}}; quad d_{L}=frac{|3cdot5-4cdot0+1-13|}{sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=frac{3}{sqrt{26}},.$

Следовательно, $frac{KL}{ML}=frac{d_{K}}{d_{L}}=frac{5}{1}=5:1.$

Нормированное уравнение плоскости

Преобразуем общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 следующим образом. Если свободный член D<0, то разделим обе части на длину нормали $|vec{n}|=sqrt{A^2+B^2+C^2},,$ а если Dgeqslant0, то разделим на $-|vec{n}|=-sqrt{A^2+B^2+C^2},,$ Коэффициенты при неизвестных при этом станут равными направляющим косинусам нормали:

$cosalpha=frac{A}{pmsqrt{A^2+B^2+C^2}}, quad cosbeta=frac{B}{pmsqrt{A^2+B^2+C^2}}, quad cosgamma=frac{C}{pmsqrt{A^2+B^2+C^2}},,$

а свободный член $frac{D}{pmsqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , в силу описанного выбора знака, будет неположительным. Обозначим его через $-rho=frac{D}{pmsqrt{A^2+B^2+C^2}}.$ Тогда получим нормированное уравнение плоскости

{color{red}boxed{{color{black}xcdotcosalpha+ycdotcosbeta+zcdotcosgamma-rho=0,~rhogeqslant0}}}

(4.17)

Нормированное уравнение плоскости

Замечания 4.3.

1. Свободный член rho нормированного уравнения (4.17) равен расстоянию от начала координат до плоскости. Это следует из формулы (4.16).

2. Нормированное уравнение плоскости (4.17) можно записать в виде (4.13): langlevec{r},vec{n}rangle=rho, если в качестве нормали vec{n} вы брать единичный вектор vec{n}=vec{i}cosalpha+vec{j}cosbeta+vec{k}cosgamma,, так как xcosalpha+ycosbeta+zcosgamma=langlevec{r},vec{n}rangle. Из двух возможных единичных нормалей условию rho>0 отвечает нормаль vec{n}, направленная к плоскости (рис.4.14), если вектор vec{n} приложить к началу координат. При выборе противоположного вектора (-vec{n}) получилось бы отрицательное значение rho, которое не допускается в уравнении (4.17).

3. Коэффициенты общего уравнения плоскости (4.15) определяются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали (см. пункт 1 замечаний 4.2). При составлении нормированного уравнения (4.17) плоскости такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при rho>0 ) или с точностью до знака (при rho=0).

4. Нормированное уравнение плоскости имеет смысл только в прямоугольной системе координат.

Пример 4.7. В координатном пространстве Oxyz (в прямоугольной системе координат) заданы точки K(1;2;3) и L(5;0;1) (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить нормированное уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) найти расстояние от начала координат до этой плоскости.

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: 2x-y-z-3=0. Найдем длину нормали

$vec{n}=2cdotvec{i}-1cdotvec{j}-1cdotvec{k} quad Rightarrow quad |vec{n}|=sqrt{2^2+(-1)^2+(-1)^2}=sqrt{6},.$

Так как свободный член отрицательный, разделим уравнение на sqrt{6}: $frac{2x}{sqrt{6}}-frac{y}{sqrt{6}}-frac{z}{sqrt{6}}-frac{3}{sqrt{6}}=0.$ Нормированное уравнение плоскости получено.

б) По нормированному уравнению определяем расстояние $rho=frac{3}{sqrt{6}}$ от начала координат до плоскости (см. пункт 1 замечаний 4.3).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Уравнение плоскости через координаты вектора нормали и точки: онлайн-калькулятор

Плоскость — это бесконечная поверхность с принадлежащими ей прямыми, через которые проходят любые две ее точки. Нормалью к кривой в указанной точке является прямая, расположенная перпендикулярно к касательной прямой в заданной точке кривой.

Если указаны координаты точки A(x1,y1,z1), принадлежащей плоскости, и вектор нормали n={A,B,C}, то уравнение плоскости соответствует формуле:

A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0.

Чтобы найти уравнение плоскости, перпендикулярной вектору онлайн, необходимо:

указать значение точки A;
заполнить значение вектора;
воспользоваться кнопкой «Рассчитать».

Уравнение плоскости через точку перпендикулярно вектору онлайн

Сервис предназначен для геометрических вычислений, которыми пользуются учащиеся школ и студенты университетов для подготовки к занятиям.

Решение задачи с помощью онлайн-калькулятора имеет преимущества:

формула в основе автоматических подсчетов дает точный ответ без ошибок и опечаток;
нет необходимости искать нужный способ расчета;
пользователю доступно подробное решение;
производить расчеты можно неограниченное количество раз бесплатно.

Пошаговые вычисления позволяют учащемуся вникнуть в процесс решения задачи по геометрии и справляться с заданиями самостоятельно. Подготовка к занятиям благодаря калькулятору занимает меньше времени и происходит более продуктивно.

Источник

Уравнение плоскости.

Навигация по странице:

Плоскость – определение
Общее уравнение плоскости
Уравнение плоскости в отрезках
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Определение. Плоскость – есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x + B y + C z + D = 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение плоскости в отрезках

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках

x	+	y	+	z	= 1
a	b	c

Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали

Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x₀, y₀, z₀) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

Если заданы координаты трех точек A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле

x – x₁	y – y₁	z – z₁	= 0
x₂ – x₁	y₂ – y₁	z₂ – z₁
x₃ – x₁	y₃ – y₁	z₃ – z₁

Источник

5.3.6. Как найти плоскость, перпендикулярную данной?

Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, и для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, нужно задать точку и вектор либо две точки:

Задача 142

Дана плоскость (координаты декартовы). Найти плоскость , перпендикулярную данной и проходящую через точки .

Решение начнём с вопроса задачи: что мы знаем о плоскости ?

Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Маловато. Было бы неплохо раздобыть ещё один подходящий вектор. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то подойдёт нормальный вектор плоскости (для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали от точки в плоскости ).

Проводить подобные рассуждения здОрово помогает схематический чертёж! – повторю этот красный, а точнее, золотой совет 🙂 Итак, задача «раскручена», и решение удобно оформить по пунктам (это совет серебряный:):

1) Найдём вектор .

2) Из уравнения снимем вектор нормали: .

3) Уравнение плоскости составим по точке (можно взять ) и двум неколлинеарным векторам :

Ответ:

Проверка состоит из двух этапов:

1) Проверяем, действительно ли плоскости будут перпендикулярны. Если две плоскости перпендикулярны, то их векторы нормали будут ортогональны. Логично. Из полученного уравнения снимаем вектор нормали и рассчитываем скалярное произведение векторов:
, а значит,