Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой
Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат Oxyz в нем. Заданы также точка М1(x1, y1, z1), прямая a и плоскость α, проходящая через точку М1 перпендикулярно прямой a. Необходимо записать уравнение плоскости α.
Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10-11 классов, которая гласит:
Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.
Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.
Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.
Условием задачи нам заданы координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость α. Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α, то получим возможность записать искомое уравнение.
Нормальным вектором плоскости α, так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной плоскости α, будет являться любой направляющий вектор прямой a. Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a.
Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида
x-x1ax=y-y1ay=z-z1az
или параметрическими уравнениями вида:
x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ
то направляющий вектор прямой будет иметь координаты аx, аy и аz. В случае, когда прямая a представлена двумя точками М2(x2, y2, z2) и М3(x3, y3, z3), то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).
Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:
– определяем координаты направляющего вектора прямой a: a→ = (аx, аy, аz);
– определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:
n→ = (A, B, C), где A = ax, B = ay, C = az;
– записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М1(x1, y1, z1) и имеющей нормальный вектор n→= (A, B, C) в виде A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0. Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.
Полученное общее уравнение плоскости: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.
Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.
Задана точка М1(3, -4, 5), через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой Оz.
Решение
направляющим вектором координатной прямой Oz будет координатный вектор k⇀= (0, 0, 1). Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0, 0, 1). Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М1(3, -4, 5), нормальный вектор которой имеет координаты (0, 0, 1):
A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0⇔⇔0·(x-3)+0·(y-(-4))+1·(z-5)=0⇔z-5=0
Ответ: z – 5 = 0.
Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:
Плоскость, которая перпендикулярна прямой Oz будет задана неполным общим уравнением плоскости вида Сz+D=0, C≠ 0. Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение Сz + D= 0, получим: С · 5 + D= 0. Т.е. числа, C и D связаны соотношением -DC=5. Приняв С = 1, получим D = -5.
Подставим эти значения в уравнение Сz + D= 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой Oz и проходящей через точку М1(3, -4, 5).
Оно будет иметь вид: z – 5 = 0.
Ответ: z – 5 = 0.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x-3=y+1-7=z+52
Решение
Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n→ заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n→= (-3, -7, 2). Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0, 0, 0) и имеющей нормальный вектор n→= (-3, -7, 2):
-3·(x-0)-7·(y-0)+2·(z-0)=0⇔-3x-7y+2z=0
Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.
Ответ: -3x-7y+2z=0
Задана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, в ней – две точки А(2, -1,-2) и B(3, -2, 4). Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой АВ. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.
Решение
Плоскость α перпендикулярна к прямой АВ, тогда вектор АВ→ будет нормальным вектором плоскости α. Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В(3, -2, 4) и А(2,-1,-2):
AB→=(3-2, -2-(-1), 4-(-2))⇔AB→=(1, -1, 6)
Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:
1·x-2-1·y-(-1+6·(z-(-2))=0⇔x-y+6z+9=0
Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:
x-y+6z+9=0⇔x-y+6z=-9⇔x-9+y9+z-32=1
Ответ: x-9+y9+z-32=1
Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.
Задана прямоугольная система координат Oxyz , в ней – точка М1 (2, 0, -5). Заданы также уравнения двух плоскостей 3x + 2y + 1 = 0 и x + 2z – 1 = 0, которые пересекаются по прямой a. Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Решение
Определим координаты направляющего вектора прямой a. Он перпендикулярен как нормальному вектору n1→(3, 2, 0) плоскости n→(1, 0, 2), так и нормальному вектору 3x+2y+1=0 плоскости x+2z-1=0.
Тогда направляющим вектором α→ прямой a возьмем векторное произведение векторов n1→и n2→:
a→=n1→×n2→=i→j→k→320102=4·i→-6·j→-2·k→⇒a→=(4, -6, -2)
Таким образом, вектор n→=(4, -6, -2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a. Запишем искомое уравнение плоскости:
4·(x-2)-6·(y-0)-2·(z-(-5))=0⇔4x-6y-2z-18=0⇔⇔2x-3y-z-9=0
Ответ: 2x-3y-z-9=0
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения
Задана точка M0(x0, y0, z0) и прямая L:
Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M0 и перпендинулярной прямой L.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:
Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:
Упростим уравнение (3):
где D=−mx0−px0−lx0.
Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1).
Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (8), получим:
Упростим уравнение (9):
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:
Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (13), получим:
Упростим уравнение (13):
Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).
2.9. Плоскость и прямая в пространстве
2.9.1. Общее уравнение плоскости
Общим уравнением плоскости называется уравнение
|
Ax + By +Cz + D = 0 |
(9.1.1) |
где A2 + B2 +C 2 > 0 . Вектор (A;B;C) – нормаль к плоскости n . Частные случаи общего уравнения:
a)D=0 – плоскость проходит через начало координат;
b)A=0 – плоскость параллельна оси OX;
c)A=0 и B=0 – плоскость параллельна плоскости XOY. Аналогично и для других коэффициентов B и C.
Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, определенной уравнением, Ax + By +Cz + D = 0 находится по формуле:
|
d = Ax0 + By0 +Cz0 + D |
(9.1.2) |
|
A2 + B2 + C 2 |
Получившаяся после подстановки координат точки M0 в уравнение плоскости величина Ax0 + By0 +Cz0 + D определяет положительное и отрица-
|
тельное полупространства, на которые плоскость |
Ax + By +Cz + D = 0 делит |
|
пространство. |
|
|
Уравнение плоскости, которая проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) , пер- |
|
|
пендикулярно вектору n(A;B;C): |
(9.1.3) |
|
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 |
|
|
Это уравнение называют уравнением связки |
плоскостей. Уравнение |
плоскости, проходящей через три заданные точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3) имеет вид:
|
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
=0 |
(9.1.4) |
||||||
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
||||||||
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
uuuuur |
uuuuur |
||||||
|
Оно выражает линейную зависимость векторов |
с любым век- |
|||||||||
|
M1M |
2 |
и M1M3 |
||||||||
|
uuuuur |
, где M (x; y; z) – произвольная точка на плоскости. |
|||||||||
|
тором M1M |
||||||||||
|
Пример 9.1. Определить расстояние от точки |
M 0 (3;5;−8) |
до плоскости |
6x −3y + 2z − 28 = 0 и найти полупространство, в котором находится эта точка. Подставляя координаты (3;5;−8) точки M0 в уравнение плоскости, получаем 6 × 3 – 3 × 5 + 2(-8) – 28 = -41. Следовательно, точка M0 принадлежит
отрицательному полупространству, в котором находится и начало координат. По формуле (9.1.2) находим расстояние от точки M0 до плоскости:
|
d = |
− 41 |
= |
41 |
= |
41 |
|
|
+ (−3)2 + 22 |
||||||
|
62 |
49 |
7 |
78
Пример 9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;5) и перпендикулярной вектору (4;-3;2).
По формуле (9.1.3) получаем: 4(x − 2) −3( y −3) + 2(z −5) = 4x −3y + 2z −9 = 0.
Пример 9.3. Составить уравнение плоскости, которая проходит через основания перпендикуляров, опущенных из точки M (2;3;−5) на координат-
ные плоскости.
Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоско-
|
сти, являются точки |
M1 (2;3;0), M2 (2;0;−5) |
и M3 (0;3;−5) . Поэтому по формуле |
|||||||||||||||||
|
(9.1.4) получаем уравнение плоскости: |
|||||||||||||||||||
|
x − 2 |
y − 3 |
z |
= 0 , |
||||||||||||||||
|
2 − 2 |
0 − 3 |
−5 |
|||||||||||||||||
|
0 − 2 |
3 − 3 |
−5 |
|||||||||||||||||
|
т.е. |
|||||||||||||||||||
|
(x −2) |
−3 |
−5 |
−( y −3) |
0 |
−5 |
+ z |
0 −3 |
=15(x −2) +10( y −3) −6z =15x +10y −6z −60 = 0 |
|||||||||||
|
0 |
−5 |
−2 |
−5 |
−2 |
0 |
||||||||||||||
|
Задача |
9.1. Найти |
расстояние от |
точки M0 (−1;−3;2) до плоскости |
2x −3y −4z −12 = 0 . Как расположена точка M0 относительно этой плоскости?
|
Задача |
9.2. |
Найти |
длину перпендикуляра, опущенного из |
точки |
|
M0 (2;3;−5) на плоскость 4x −2y +5z −12 = 0 . |
||||
|
Задача |
9.3. |
Найти |
уравнение плоскости, проходящей через |
точки |
|
M1 (2;0;−1) и M2 (1;−1;3) и перпендикулярной плоскости 3x +2y − z +5 = 0 . |
||||
|
Задача 9.4. Найти уравнение плоскости, если точка M (4;−3;12) |
служит |
основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.
2.9.2. Прямая в пространстве
Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересече-
ния двух плоскостей
|
A x + B y +C z + D = 0 |
(9.2.1) |
||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
A1x + B2 y +C2 z + D2 = 0 |
Уравнение прямой, которая проходит через две точки M1 (x1; y1; z1 ) и
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) :
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
(9.2.2) |
||||||
|
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
z |
2 |
− z |
|||
|
1 |
1 |
1 |
Здесь (x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1 ) – направляющий вектор прямой.
Параметрическим уравнением прямой называется
|
x = et + x1 |
|
|
(9.2.3) |
|
|
y = mt + y1 |
|
|
z = nt + z1 |
79
|
Точка пересечения прямой |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
с плоскостью |
|
|
l |
m |
n |
|||||
Ax + By +Cz + D = 0 находится после подстановки параметрического уравнения
прямой в уравнение плоскости и отыскания значения параметра t, соответствующего искомой точке пересечения. Совокупность плоскостей
α(A1x + B1 y +C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 (9.2.5) называется пучком плоско-
стей, которые проходят через прямую (9.2.1).
Пример 9.4. Найти каноническое уравнение прямой, если она задана общим уравнением
2x − y +3z −1 = 0 5x +4y − z −7 = 0
Направляющий вектор прямой найдем как векторное произведение векторов(2;−1;3) и (5;4;−1) нормальных заданным плоскостям. Имеем:
|
i |
j |
k |
||
|
(l,m,n) = |
2 |
−1 |
3 |
= (1−12;2 +15;8 +5) = (−11;17;13) |
|
5 |
4 |
−1 |
Для того чтобы найти какую-нибудь точку прямой, возьмем x = 0 , т.е. найдем пересечение прямой с плоскостью YOZ. Имеем:
|
− y +3z −1 = 0 |
−y +3z −1 = 0 |
||
|
−7 = 0 |
. |
||
|
4y − z |
4y − z −7 = 0 |
||
|
Решение этой системы: y1 |
= 2; z1 |
=1. y1 = 2; z1 =1. Поэтому прямая прохо- |
дит через точку (0;2;1) и имеет каноническое уравнение:
−x11 = y17−2 = z13−1
Пример 9.5. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую x −2 2 = y3−1 = z −1 3
Поскольку (2;3;1) – направляющий вектор прямой, плоскость 2x +3y + z = 0 перпендикулярна прямой и проходит через начало координат. Для того, чтобы найти координаты точки пересечения этих прямой и плос-
|
кости, |
воспользуемся |
параметрическим |
уравнением |
прямой |
|||||||||||||||
|
x = 2 +2t, y =1+3t, z = 3 +t . |
После подстановки параметрического уравнения в |
||||||||||||||||||
|
уравнение |
плоскости, |
получаем: |
2(2 +2t) +3(1+3t) +(3 +t) = 0 , |
откуда t = − |
5 |
. |
|||||||||||||
|
Следовательно, координаты точки пересечения есть: |
7 |
||||||||||||||||||
|
x = 2 − |
2×5 |
= |
4 |
, y =1− |
3×5 |
= − |
8 |
,z = 3 − |
5 |
= |
16 |
||||||||
|
7 |
7 |
||||||||||||||||||
|
7 |
7 |
7 |
7 |
||||||||||||||||
|
Таким образом, основания перпендикуляра – точка M (4 ;− 8 ; |
16) . |
||||||||||||||||||
|
7 |
7 |
7 |
|||||||||||||||||
|
Задача 9.5. Составить |
уравнение прямой, проходящей через точку |
||||||||||||||||||
|
M (1;1;1) и перпендикулярной векторам nr1 (2;3;1) |
и nur2 (3;1;2) . |
80
A3 x + B3 y +C3 z + D3 = 0
|
Задача |
9.6. Найти точку пересечения прямых |
x −1 |
= |
y −2 |
= |
z +4 |
и |
||
|
y − 5 |
1 |
−5 |
−2 |
||||||
|
x − 2 |
= |
= |
z −1 |
. |
|||||
|
2 |
− 2 |
3 |
|||||||
Задача 9.7. Найти параметрические уравнения прямой, проходящей че-
рез точки A(2;−5;1) и B(−1;1;2) .
Задача 9.8. Даны точки A(−1;2;3) и B(2;−3;1) . Найти уравнение прямой, uur
проходящей через точку C(3;−1;2) и параллельной вектору AB . Задача 9.9. Найти какое-нибудь общее уравнение прямой
x −3 5 = y 2−7 = z +4 2 .
2.9.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Две плоскости A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 могут пересекаться, быть параллельными или совпадать в зависимости от отношений ко-
|
эффициентов |
A1 |
, |
B1 |
, |
C1 |
, |
D1 |
. Если |
A1 |
= |
B1 |
= |
C1 |
= |
D1 |
, то плоскости совпадают. |
||||||||||
|
A |
B |
D |
A |
B |
D |
|||||||||||||||||||||
|
C |
2 |
C |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
Если |
A1 |
= |
B1 |
= |
C1 |
≠ |
D1 |
, то плоскости параллельны. Во всех остальных случа- |
||||||||||||||||||
|
A |
B |
D |
||||||||||||||||||||||||
|
C |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
ях плоскости пересекаются. В алгебраических терминах в первом случае ранг (А) = ранг(A|B) = 1, во втором – ранг (А) = 1, ранг (A|B) = 2, а в последнем – ранг(А)=2.
Взаимное расположение плоскости и прямой
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0
определяется плоскостями. Поскольку две последние пересекаются, расположение зависит от рангов матриц:
|
A1 |
B1 |
C1 |
и |
||||
|
A = |
A |
B |
2 |
C |
2 |
||
|
2 |
B |
C |
|||||
|
A |
3 |
3 |
|||||
|
3 |
|
A |
B |
C |
D |
|||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
|
A |
B = A 2 |
B 2 |
C 2 |
D 2 |
||||||
|
A 3 |
B 3 |
C 3 |
D 3 |
|||||||
Если ранг(А)=3, то прямая пересекает плоскость и система имеет единственное решение – точку пересечения прямой и плоскости.
Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=3, то прямая параллельна плоскости и система несовместна – решения нет. Если ранг(А)=2 и ранг(А|В)=2 , то все три плоскости проходят через заданную прямую. Следовательно прямая лежит в плоскости.
Аналогично обстоит дело со взаимным расположением прямой и нескольких плоскостей.
Взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями
A1x + B1 y +C1z + D1 = 0A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0
иA3 x + B3 y +C3 z + D3 = 0A4 x + B4 y +C4 z + D4 = 0
81
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
