В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости: основные сведения
Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.
Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.
Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.
- Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n→= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.
Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n→= (A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:
n→, M0M→=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)
Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.
- Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.
В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.
Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n→=(A, B, C) и M0M→=x-x0, y-y0, z-z0. Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n→=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0). Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.
Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.
Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.
Раскроем чуть шире смысл теорем.
В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.
Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.
Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку
Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.
Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.
Решение
Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:
2·1+3·(-1)-(-3)-2=0⇔0=0
Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.
Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:
2·0+3·2-(-8)-2=0⇔12=0
Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.
Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.
Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) – нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.
В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.
Решение
Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n→ исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:
λ·n→=λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0
Ответ: λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0
Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.
Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.
Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n→=(A, B, C) будет выглядеть так: Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0
Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).
Возможно получить это уравнение другим способом.
Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:
n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n→=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.
Решение
Рассмотрим два способа решения.
- Исходные условия позволяют получить следующие данные:
x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5
Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
И получим:
3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=0⇔3x+7y-5z-26=0
- Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M→ по координатам точек начала и конца:
M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)
Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:
n→, M0M→=0⇔3(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=0⇔⇔3x+7y-5z-26=0
Ответ: 3x+7y-5z-26=0
Неполное общее уравнение плоскости
Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.
Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
- В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0
Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:
A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0
- Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.
- При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.
Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0
соответственно.
Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.
Решение
Условием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A≠0⇔x+DA=0. Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство 7+DA=0 . Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение имеет вид: x-7=0.
Задачу возможно решить еще одним способом.
Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz. Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i→=(1, 0, 0). Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔⇔1·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0⇔⇔x-7=0
Ответ: x-7=0
Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).
Решение
Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А≠0, В≠0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0⇔x+BAy=0.
Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.
Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.
Ответ: x+3y=0.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:
и точка M0(x0, y0, z0), которая не находится на этой прямой.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M0 и и через прямую L(Рис.1).
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} имеет следующий вид:
Направляющий вектор прямой L имеет вид q={m, p, l}. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M0 и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:
Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.
Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.
Пример 1.Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и через заданную прямую L:
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0)=M0(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (2).
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, −3) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой (3).
Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n={A, B, C} должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (8) и (9):
Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:
Упростим уравнение (13):
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:
Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n={A, B, C} представляется формулой:
Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет вид:
Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :
Подставим значения m, p, l, x0, y0, z0, x1, y1, z1 в (19) и (20):
Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:
Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:
Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:
Упростим уравнение (24):
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).
Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.
Общее уравнение плоскости принимает вид:
Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,
где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.
Здесь будет калькулятор
Составление уравнения плоскости по трем точкам
Текст цитаты
Заголовок Текст цитаты
В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:
∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0,
где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.
Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).
Решение
Пусть:
x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=−1x_3=-1
y3=−4y_3=-4
z3=0z_3=0
Составляем определитель:
∣x−x1x2−x1x3−x1y−y1y2−y1y3−y1z−z1z2−z1z3−z1∣=0begin{vmatrix}
x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \
y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \
z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \
end{vmatrix}=0
∣x−15−1−1−1y−36−3−4−3z−04−00−0∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 5-1 & -1-1 \
y-3 & 6-3 & -4-3 \
z-0 & 4-0 & 0-0 \
end{vmatrix}=0
∣x−14−2y−33−7z40∣=0begin{vmatrix}
x-1 & 4 & -2 \
y-3 & 3 & -7 \
z & 4 & 0 \
end{vmatrix}=0
28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.
Ответ
28x−8y−22z−4=028x-8y-22z-4=0
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0,
где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.
Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).
Решение
x0=8x_0=8
y0=−2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2+(z−z0)⋅n3=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2+(z-z_0)cdot n_3=0
(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0(x-8)cdot 1+(y-(-2))cdot 3+(z-9)cdot 5=0
x−8+3y+6+5z−45=0x-8+3y+6+5z-45=0
x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.
Проверка
Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:
8+3⋅(−2)+5⋅9−47=08+3cdot(-2)+5cdot9-47=0
0=00=0 — верно, значит ответ правильный.
Ответ
x+3y+5z−47=0x+3y+5z-47=0
Уравнение плоскости.
Навигация по странице:
- Плоскость – определение
- Общее уравнение плоскости
- Уравнение плоскости в отрезках
- Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
- Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Определение. Плоскость – есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.
Общее уравнение плоскости
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение плоскости в отрезках
Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках
| x | + | y | + | z | = 1 |
| a | b | c |
Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору нормали
Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n = {A; B; C} можно использовать следующую формулу.
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле
| x – x1 | y – y1 | z – z1 | = 0 |
| x2 – x1 | y2 – y1 | z2 – z1 | |
| x3 – x1 | y3 – y1 | z3 – z1 |
Пусть даны точка 
и прямая, заданная уравнением
. Требуется найти уравнение проходящей через них плоскости. (Точка 
не лежит на данной прямой). Из уравнения данной прямой находим координаты точки 
.
Пусть 
– произвольная точка плоскости 
. При любом ее выборе направляющий вектор прямой 
и векторы
и 
лежат в одной плоскости и поэтому их смешанное произведение равно нулю:
Раскрывая определитель, получим уравнение искомой плоскости.
Совершенно так же найдем уравнение плоскости, проходящей через две параллельные или пересекающиеся прямые: на одной из них берется любая точка (не лежащая на другой прямой), и плоскость проводится через вторую прямую и точку .
Пример. Провести плоскость через прямую 
и точку 
.
Решение. Убедимся, что точка не лежит на прямой, данной в условии
Из уравнения данной прямой следует, что точка 
лежит на этой прямой. Пусть – произвольная точка искомой плоскости, тогда векторы 
, 
и 
компланарны. Следовательно,
Раскроем определитель: 
Таким образом искомая плоскость имеет уравнение
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
