Как найти уравнение пораболы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как легко составить уравнение параболы по графику

Среда, 3 августа, 2016

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.

Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции :

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу $x_B = -frac{b}{2a}$ . Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: , где . Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции (синяя пунктирная линия на рисунке):

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на $frac{1}{2}$ всех ординат точек графика функции . Откуда получаем, что $a=frac{1}{2}$ . Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: $y_1 = frac{1}{2}x_1^2$ .

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

$[ y = frac{1}{2}(x-4)^2+2 = frac{1}{2}x^2-4x+10. ]$

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Статья написана репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Источник

Парабола — это график функции описанный определённой формулой. Чтобы построить параболу нужно следовать формуле, определениям и уравнениям.

Парабола

Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .

Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а ${r} = sqrt{x - {pover{2}}^2} + y^2$ и поэтому:

Рис. 1

$sqrt{(x - {pover{2}})^2 + y^2} = x + {pover{2}}to{x}^2 - 2 * {pover2}}x + {p^2over{4}} + y^2 = x^2 + 2 * {pover{2}}x + {p^2over{4}}$

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка $M_{1}(x , y)$ принадлежит параболе, то и $M_{2}(x , -y)$ тоже принадлежит параболе, так как из:

$y^2 = 2pxto{(-y)^2 = 2px}$ .

Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

Тогда:

, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:

, , .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси . Ось – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .

3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном уравнении:

описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно

$y = {1over{2p}}x^2$ и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .

Примеры решения

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .

Ответ

координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке ;

б) с фокусом в точке .

Решение

а). Так как фокус на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .

б). Фокус лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы и уравнение запишется .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке : ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной полный квадрат

= $0to{4(x^2 - 3x)} + y + 6$ = $0to{4((x^2 - 2 * {3over{2}}x + {9over{4}}) - {9over{4}}) + y + 6$ = $0}to{4((x - {3over{2}}})^2 - 9 + y + 6$ = = $-4(x - {3over{2}})^2}to{(x - {3over{2}})^2}$ = .

Обозначим $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку $O_{1}({3over{2}}, 3)$ , получим каноническое уравнение параболы ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси $O_{1}Y_{1}$ , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе $y_{1} = {1over{16}}$ .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3over{2}}$ . Уравнение оси в новой системе $x_{1} = 0$ , а в старой – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат $y_{1} = {1over{16}}$ , а в старой .

В новой системе $X_{1}O_{1}Y_{1}$ для фокуса $F(0, -{1over{16}}) x_{1} = 0$ , $y_{1} = -{1over{16}}$ , а в старой системе $x_{F} - {3over{2}} = 0to{x_{F}} = {3over{2}}$ , $y_{F} - 3 = -{1over{16}}to{y_{F} = -{1over{16}} + 3to{y_{F}} = {47over{16}}$ , то есть .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ${x_{1}^2} = -{1over{4}}y_{1}$ ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

$O_{1}Y_{1}$ , , $p_{2} = -{1over{16}}$ – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;

уравнение оси $x_{1} = 0$ ;

уравнение директрисы $y_{1} = {1over{16}}$ .

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 декабря 2022 года; проверки требует 1 правка.

Парабола
Парабола как коническое сечение
Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет
Уравнения
${displaystyle {begin{aligned}&y=x^{2}\&y=ax^{2}+bx+c\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\&quad (B^{2}-4AC=0)end{aligned}}}$
Другие конические сечения
Гипербола Парабола Эллипс Окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение^[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Определение[править | править код]

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)^[2].

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Парабола в семействе конических сечений

Вершина[править | править код]

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения[править | править код]

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

${displaystyle textstyle y^{2}=2px,p>0}$

(или ${displaystyle textstyle x^{2}=2py}$

, если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии $frac{p}{2}$ от обоих.

Вывод
Уравнение директрисы PQ: ${displaystyle textstyle x+{frac {p}{2}}=0}$ , фокус F имеет координаты $left (frac{p}{2};0right ).$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку $textrm{KM=KD+DM}=frac{p}{2}+x$ и $textrm{FM}=sqrt{left (x-frac{p}{2}right )^2+y^2}$ , то равенство приобретает вид: ${displaystyle {sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}={frac {p}{2}}+x.}$ После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${displaystyle y^{2}=2px.}$

Вывод

Уравнение директрисы PQ: ${displaystyle textstyle x+{frac {p}{2}}=0}$ , фокус F имеет координаты $left (frac{p}{2};0right ).$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку $textrm{KM=KD+DM}=frac{p}{2}+x$ и $textrm{FM}=sqrt{left (x-frac{p}{2}right )^2+y^2}$ , то равенство приобретает вид:

${displaystyle {sqrt {left(x-{frac {p}{2}}right)^{2}+y^{2}}}={frac {p}{2}}+x.}$

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение ${displaystyle y^{2}=2px.}$

Парабола, заданная квадратичной функцией[править | править код]

Квадратичная функция $y=ax^{2}+bx+c$ при aneq 0 также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${displaystyle y=ax^{2},}$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${displaystyle x_{textrm {A}}=-{dfrac {b}{2a}},;y_{textrm {A}}=-{dfrac {mathcal {D}}{4a}},}$

где ${displaystyle {mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$

— дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $y=ax^{2}+bx+c$ может быть представлено в виде ${displaystyle y=a(x-x_{textrm {A}})^{2}+y_{textrm {A}},}$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом $p=frac{1}{|2a|}.$

Общее уравнение параболы[править | править код]

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант B^2-4AC равен нулю.

Уравнение в полярной системе[править | править код]

Парабола в полярной системе координат с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции[править | править код]

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ известны координаты трёх различных точек параболы ${displaystyle (x_{1};y_{1}),;(x_{2};y_{2}),;(x_{3};y_{3}),}$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

$a=frac{y_{3}-tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, b=frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), c=frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.$

Если же заданы вершина $(x_{0};y_{0})$ и старший коэффициент , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

$x_1=x_0+sqrt{-frac{y_0}{a}}$

$x_2=x_0-sqrt{-frac{y_0}{a}}$

Свойства[править | править код]

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от

P_n до фокуса

F такое же, как и от

P_n до

Q_n (на директрисе L)

Длина линий

FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия^[4].
Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения[править | править код]

При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Вариации и обобщения[править | править код]

Графики степенной функции $y=x^{n}$ при натуральном показателе n>1 называются параболами порядка ^[5]^[6]. Ранее рассмотренное определение соответствует то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при $textstyle n=-{frac {1}{2}}$ ;

Параболы в физическом пространстве[править | править код]

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
Параболические траектории струй воды
Вращающийся сосуд с жидкостью

Примечания[править | править код]

↑ Парабола. Словарь иностранных слов. Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 14 января 2020 года.
↑ Математическая энциклопедия, 1984.
↑ Александров П. С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
↑ Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
↑ Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.

Литература[править | править код]

Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.

Ссылки[править | править код]

Статья в справочнике «Прикладная математика».
Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
Учебный фильм о параболе

Источник

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Начать изучение
Свойства параболы.

Начать изучение
Уравнение касательной к параболе.

Начать изучение

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Определение.

Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^{2}=2pxlabel{ref15}
$$
при условии (p > 0).

Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

Рис. 8.11. Парабола.

Свойства параболы.

Утверждение.

Расстояние от точки (M(x, y)), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+frac{p}{2}.label{ref16}
$$

Доказательство.

Вычислим квадрат расстояния от точки (M(x, y)) до фокуса по координатам этих точек: (r^{2}=(x-p/2)^{2}+y^{2}) и подставим сюда (y^{2}) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^{2}=left(x-frac{p}{2}right)^{2}+2px=left(x+frac{p}{2}right)^{2}.nonumber
$$
Отсюда в силу (x geq 0) следует равенство eqref{ref16}.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Утверждение.

Для того чтобы точка (M) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.

Доказательство.

Докажем достаточность. Пусть точка (M(x, y)) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
sqrt{left(x-frac{p}{2}right)^{2}+y^{2}}=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы eqref{ref15}. Это заканчивает доказательство.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Утверждение.

Касательная к параболе в точке (M_{0}) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет (M_{0}) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).

Доказательство.

Рис. 8.12. Касательная к параболе.

Рассмотрим касательную в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})). Из уравнения eqref{ref17} получаем ее направляющий вектор (boldsymbol{v}(y_{0}, p)). Значит, ((boldsymbol{v}, boldsymbol{e}_{1})=y_{0}) и (cos varphi_{1}=y_{0}/boldsymbol{v}). Вектор (overrightarrow{FM_{0}}) имеет компоненты (x_{0}=p/2) и (y_{0}), а потому
$$
(overrightarrow{FM_{0}}, boldsymbol{v})=x_{0}y_{0}-frac{p}{2}y_{0}+py_{0}=y_{0}(x_{0}+frac{p}{2}).nonumber
$$
Но (|overrightarrow{FM_{0}}|=x_{0}+p/2). Следовательно, (cos varphi_{2}=y_{0}/|boldsymbol{v}|). Утверждение доказано.

Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).

Источник

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Оглавление:

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y²= 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x²+ b x + c (узнаваемый шаблон: y = x²).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

x₀= -b / (2 * a);
y₀ = y (x₀).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x² + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x²+ b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 – по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b²– 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х_{1, 2} = (-b ± D^0,5) / (2 * a);
D = 0, то х_{1, 2} = -b / (2 * a);
D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей;
найти координаты вершины;
найти пересечение с осью ординат;
найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х²– 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = – (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2)² — 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
с осью ординат пересекается в значении у = 4;
найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9;
ищем корни:

Х₁= (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
Х₂= (5 — 3) / 2 = 1; (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х² – 2 * х – 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
координаты экстремума: х = – (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3)² — 2 * (1/3) — 1 = -4/3;
с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х₁= (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
Х₂= (2 — 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Источник

Как легко составить уравнение параболы по графику

Парабола

Что такое вершина параболы

Форма и характеристики параболы

Оптическое свойство параболы

Примеры решения

Определение[править | править код]

Вершина[править | править код]

Уравнения[править | править код]

Парабола, заданная квадратичной функцией[править | править код]

Общее уравнение параболы[править | править код]

Уравнение в полярной системе[править | править код]

Расчёт коэффициентов квадратичной функции[править | править код]

Свойства[править | править код]

Связанные определения[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Параболы в физическом пространстве[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Свойства параболы.

Уравнение касательной к параболе.

Что такое парабола и как она выглядит

Каноническое уравнение параболы

Свойства и график квадратичной функции

Как определить, куда направлены ветви параболы

Как найти вершину параболы по формуле

Смещение параболы

Как строить параболу по квадратному уравнению

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Заключение

Вам также может понравиться

Фоллаут 4 как найти свою силовую броню

Как составить kpi отдела продаж

Удаленные файлы в самсунге как найти телефон

Добавить комментарий Отменить ответ