Как найти уравнение прямой геометрия 9 класс

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy (уравнение прямой параллельной оси ox).

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой Ax+By+C=0.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n→= (2, 3). Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0, умножив обе части общего уравнения прямой на число λ, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А=0, В≠0, С≠0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую, которая параллельна оси Ox, поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB . Иначе говоря, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда А=0, В≠0, задает геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
2. Если А=0, В≠0, С=0, общее уравнение принимает вид y=0. Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс Ox.
3. Когда А≠0, В=0, С≠0, получаем неполное общее уравнение Ax+С=0, задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А≠0, В=0, С=0, тогда неполное общее уравнение примет вид x=0, и это есть уравнение координатной прямой Oy.
5. Наконец, при А≠0, В≠0, С=0, неполное общее уравнение принимает вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0, 0) отвечает равенству Ax+By=0, поскольку А·0+В·0=0.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: Ax0+By0+C=0. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет нормальный вектор n→=(A, B).

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению  x-x1ax=y-y1ay.

Если А≠0, тогда переносим слагаемое By в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

Это равенство возможно записать как пропорцию: x+CA-B=yA .

В случае, если В≠0, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое Ax, прочие переносим в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Выносим –В за скобки, тогда: Ax=-By+CB.

Перепишем равенство в виде пропорции: x-B=y+CBA                             .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, но только тогда, когда В≠0. Для перехода в левой части оставляем слагаемое By, остальные переносятся в правую. Получим: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенство на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида xa+yb=1. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x – x₀)² + (y – y₀)² = r² имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Прежде чем
приступить к изучению нового материала, давайте повторим формулу для нахождения
координат середины отрезка

, , формулу для
определения расстояния между двумя точками , вспомним, что
называется уравнением линии l, запишем уравнение
окружности с радиусом r и центром в точке C (x₀;y₀).
Вспомним уравнение окружности радиуса r и центром в
начале координат .

Сегодня на уроке мы
выведем уравнение произвольной прямой l.

В координатной
плоскости прямая может располагаться либо вертикально (параллельно оси Oy), горизонтально (параллельно оси Ox)
либо быть наклонной к обеим осям.

Первым давайте
рассмотрим случай, когда прямая параллельна оси Oy.

Возьмем на оси Ox, например, точку с координатой 3 и проведем через эту
точку прямую, параллельную оси Oy. Абсцисса любой точки
этой прямой равна 3. То есть координаты любой точки этой прямой удовлетворяют
уравнению x=3, а координаты любой точки, которая не
лежит на данной прямой не удовлетворяют данному уравнению. Значит, уравнение x=3 является уравнением прямой параллельной оси Oy и проходящей через точку с координатами (3;0).

Можно сказать, что
произвольная прямая параллельная оси Oy задается уравнением . Уравнение  является уравнением оси
.

Задача. Записать
уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Для того, чтобы
записать уравнение каждой прямой, запишем общее уравнение прямых параллельных
оси Oy.

 

 

 

 

Рассмотрим теперь
случай когда прямая параллельна оси Ox.

Возьмем на оси Oy, например, точку 5 и проведем через нее прямую
параллельную оси Ox. Любая точка этой прямой
удовлетворяет уравнению y=5, любая точка, которая не
лежит на этой прямой не удовлетворяет этому уравнению, значит, эту прямую
задает уравнение y=5.

Можно сказать, что
произвольная прямая параллельная оси Ox задается уравнением .Ось Ox
задается уравнением .

Задача. Записать
уравнения прямых, показанных на рисунке:

Решение.

Запишем общее
уравнение прямых параллельных оси Ox.

.

 

 

 

Теперь рассмотрим
случай, когда прямая наклонная к обеим осям.

Отметим на
координатной плоскости точки с координатами (x₁;
y₁) и (x₂;
y₂) так, чтобы указанная прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Теперь возьмем
произвольную точку M (x;y). Если точка M лежит на прямой  l, то, очевидно, что длины отрезков AM
и BM будут равны. Найдем эти отрезки и приравняем их.

Получим уравнение:

Если точка M не лежит на прямой, то, очевидно, что отрезки AM и BM не будут равны и координаты
точки M не будут удовлетворять этому уравнению.

Значит, в
прямоугольной системе координат уравнение прямой l
имеет вид:

.

Раскроем скобки и выполним
элементарные преобразования.Введем замену. ;

Получим уравнение .

Так как в самом
начале мы говорили, что точки A и B – различные точки, то хотя бы одна из разностей ,  не равна нулю, то есть
хотя бы один из коэффициентов a и b
не равен нулю. То есть можно сказать, что уравнение прямой в прямоугольной
системе координат является уравнением первой степени и имеет вид: .

Задача. Написать
уравнение прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

Ответ:

Предположим, что в этом уравнении коэффициент
.

Тогда получим
уравнение .

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Отметим, что две
параллельные прямые, не параллельные оси Oy имеют
одинаковые угловые коэффициенты и если две прямые имеют одинаковые угловые
коэффициенты, то эти прямые параллельны.

Задача. Записать
угловой коэффициент прямой, проходящей через точки  и .

Решение.

d

 

 

 

 

 

Ответ:

Задача. Среди
предложенных уравнений прямых выберите те, которые задают прямые, параллельные
прямой

а)       б)      в)      г) .

Решение. Мы
говорили, что две параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты,
поэтому искомыми уравнениями будут только уравнения

а)

б)

в)

г)  

Ответ: б)   г) .   

Задача. Укажите
пары параллельных прямых

а)  и       б)  и     

в)  и  .   

Решение.

а)

   

б)

   

в)

       

Ответ: б)  и .   

Задача. Даны
координаты вершин трапеции

. Написать
уравнения прямых, содержащих диагонали .

Решение.

Запишем общее уравнение прямой .

Аналогично найдем,
что уравнение прямой, которая содержит диагональ BD
имеет вид y=1.

Ответ: .

Давайте подведем
итоги урока.

Уравнение прямой
имеет вид: . Еще один вид уравнения
прямой –  –
угловой коэффициент прямой.

Уравнение прямой,
параллельной оси Ox имеет вид . Уравнение прямой,
параллельной оси Oy имеет вид .

Две параллельные
прямые, не параллельные оси о игрек имеют одинаковые угловые коэффициенты и
если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые
параллельны.

Инфоурок

›

Геометрия

›Презентации›Презентация по геометрии 9 класс “Уравнение прямой”