Как найти уравнение прямой параллельной вектору

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y – A x 0 – B y 0 = 0 , определим C : C = – A x 0 – B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y – 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y – 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение – C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу – C B .
2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , – 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = – 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x – 2 = 0

Ответ: 7 x – 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = – 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y – 3 = 0 .

Ответ: y – 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( – 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , – 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = – 2 , x 0 = – 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x – ( – 3 ) ) – 2 · y ( y – 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x – 2 · y + C = 0 ⇔ x – 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( – 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x – 2 · y + C = 0 , т.е. – 3 – 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x – 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x – 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x – y – 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна – 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = – 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( – 3 ) – y 0 – 1 2 = 0 ⇔ – 5 2 – y 0 = 0 ⇔ y 0 = – 5 2

Ответ: – 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x – x 1 a x = y – y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = – B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A – B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = – B y – C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = – B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x – B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y – 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y – 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим – 3 за скобки; получаем: 0 x = – 3 y – 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x – 3 = y – 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x – 3 = y – 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x – 5 y – 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = – 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = – 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = – A x – C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = – A B x – C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y – 2 x ⇔ y = – 2 7 x

Ответ: y = – 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = – C ⇔ ⇔ A – C x + B – C y = 1 ⇔ x – C A + y – C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x – 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x – 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x – 7 y = – 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x – 7 y = – 1 2 ⇔ 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 ⇔ x – 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x – 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y – 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y – k x – b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x ( y – y 1 ) ⇔ ⇔ a y x – a x y – a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = – 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = – 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = – 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y – 4 0 ⇔ x + 1 2 = y – 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y – 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y – 4 ) ⇔ y – 4 = 0

Ответ: y – 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y – 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y – 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x – 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , – 3 ) : 2 x – 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x – 4 ) – 3 ( y – 1 ) = 0 ⇔ 2 x – 3 y – 5 = 0

Ответ: 2 x – 3 y – 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x – 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x – 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x – 0 ) + 5 ( y – 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Прямая линия. Уравнение прямой.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 – прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой , заданной уравнением

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию

Аα₁ + Вα₂ = 0 называется направляющим вектором прямой.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ – p = 0 – нормальное уравнение прямой.

2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?

За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.

Задача 75

Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .

Решение: обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».

Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору :

Ответ:

Геометрия задачи выглядит незатейливо:

Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:

1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнения не упрощены должным образом, то векторы будут коллинеарны). Да что тут векторы?! – посмотрим на коэффициенты:
– параллельность прямых понятна без всякого чертежа!

2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению . И это тоже устный пункт!

Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.

Задача 76

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если

Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь в конце книги.

С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому перейдём к задаче, которая хорошо знакома вам из школьной программы:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html

http://mathter.pro/angem/2_5_2_kak_nayti_parallelnuyu_pryamuyu.html

[/spoiler]

Уравнения прямой, проходящей через данную точку, параллельно данному вектору

Пусть
прямая проходит через точку

параллельно вектору
.

Точка
лежит на прямой тогда и только тогда,
когда векторы
иколинеарны. Векторыиколинеарны тогда и только тогда, когда
их координаты пропорциональны, то есть

(4)

Полученная
система
уравнений
(это пара
уравнений, так как два знака равенства)
задает искомую прямую и называется
каноническими
уравнениями прямой в пространстве.

Уравнения
(4) представим в виде

,
где
принимает любые значения.

Следовательно,
можем записать

,
где
(5)

Система
(5) называется параметрическими
уравнениями прямой в пространстве.

Рассмотрим
пример. Найти
уравнения прямой, проходящей через
точки
.
Мы можем построить уравнения прямой,
если знаем точку и параллельный ей
вектор. Точек в наличии целых две. Но
если две точки лежат на прямой, то вектор,
их соединяющий будет параллелен этой
прямой. Поэтому воспользуемся уравнениями
(4), взяв в качестве вектора
вектор.
Получаем:

(6)

Уравнения
(6) называются каноническими
уравнениями прямой, проходящей через
две данные точки.

Теперь
выведем условия
параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости.

Пусть
имеется уравнение плоскости
(напомним
, что вектор
перпендикулярен даннойплоскости)
и уравнение прямой

(напомним
, что вектор
параллелен даннойпрямой).

Прямая
перпендикулярна плоскости тогда и
только тогда, когда векторы
иколинеарны. Следовательно, условие
перпендикулярности прямой и плоскости
имеет вид:

Прямая
параллельна или лежит в плоскости тогда
и только тогда, когда векторы
иперпендикулярны. Соответствующее
условие означает, что их скалярное
произведение равно нулю. Имеем условие
параллельности прямой и плоскости:

.

В
заключение рассмотрим некоторые задачи.

Задача.
Найти точку В, симметричную точке А
,
относительно плоскости, проходящей
через точки,,.

Решение.
Найдем
уравнение плоскости. Векторы
ибудут параллельны данной плоскости.
Следовательно, в качестве вектора,
перпендикулярного плоскости, можно
взять вектор
.

Уравнение
примет вид:

.

Теперь
найдем уравнение прямой, проходящей
через точку А, перпендикулярно плоскости.
В качестве вектора
,
параллельного данной прямой, можно
взять вектор
.

Тогда
параметрическое уравнение прямой имеет
вид

Далее
найдем точку S
– проекцию точки А на плоскость, как
пересечение прямой
и плоскости.
Фактически мы имеем систему четырех
уравнений с четырьмя неизвестными.

Решаем
эту систему. Подставляя из первых трех
уравнений в последнее, получаем
.

Тогда
точка S
имеет координаты
,.

Точка
S
является серединой отрезка АВ. Значит

Следовательно:

.

Задача.
Вершины треугольника АВС имеют
координаты А(1;2;3), В(3;4;2), С(3;6;7). Найти
параметрические уравнения высоты,
медианы и биссектрисы, проведенных из
вершины А.

Решение.
Определим уравнение медианы АМ.

Точка
М()
середина отрезка ВС.

Тогда

,

.
Следовательно, точка М имеет координаты
M(3;5;9/2).
Уравнение медианы на языке аналитической
геометрии это уравнение прямой, проходящей
через точку А(1;2;3) параллельно вектору
={2;3;3/2}.
Тогда параметрическое уравнение медианы
имеет вид

Уравнение
высоты AS
– это уравнение прямой, проходящей через
точку А(1;2;3) перпендикулярно вектору
={0;2;5},
и лежащей в плоскости треугольника АВС.
Поскольку прямая лежит в плоскости
треугольника АВС, то ее направляющий
вектор будет перпендикулярен к вектору

,
перпендикулярному плоскости треугольника.

.

Поскольку
вектор
,
направляющий вектор прямойBS
перпендикулярен
={0;2;5}
и,
то в качестве вектораможет быть выбрано их векторное
произведение

Тогда
параметрическое уравнение высоты имеет
вид

Для
определения уравнения биссектрисы
найдем вектор
параллельный
этой прямой. Для этого воспользуемся
свойством диагонали ромба. Если от точки
А отложить единичные векторы одинаково
направленные с векторамии,
то вектор, равный их сумме, будет
параллелен биссектрисе. Тогда имеем=+.

={2;2;1},

,
={2;4;4},
.Тогда
=Тогда уравнение искомой прямой имеет
вид

Тема
3. Эллипс.
Гипербола. Парабола. Определения,
канонические уравнения. Исследование
формы линий по их каноническим уравнениям.
Общее уравнение кривой второго порядка
и его упрощение с помощью поворота и
параллельного переноса координатных
осей.

Поверхности
второго порядка. Цилиндрические
поверхности. Поверхность вращения.
Эллипсоид, однополостный и двуполостный
гиперболоид. Эллиптический и гиперболический
параболоиды. Исследование формы
поверхностей методом сечений. Упрощение
уравнений с помощью параллельного
переноса координатных осей.

На
этой лекции мы изучим линии, по которым
двигаются планеты и другие космические
объекты в нашей солнечной системе.
Поскольку на космические объекты в
нашей солнечной системе влияет еще
притяжение других планет, то их траектории
немного отличаются от таких линий, но
отличаются не очень сильно, поскольку
сила притяжения Солнца существенно
выше силы притяжения других планет. Эти
замечательные открытия сделал Иоганн
Кеплер в самом начале 17 века, открыв
попутно закон всемирного тяготения
(обычно первенство в открытии этого
закона неверно приписывают И. Ньютону,
жившему и работавшему на полвека позже).

Начнем
с эллипса.

Определение.
Эллипсом называется геометрическое
место точек плоскости, для которых сумма
расстояний до двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами эллипса
равна постоянной величине, большей, чем
расстояние между фокусами.

Нарисовать
эллипс очень просто. Берем нерастяжимую
нить, по длине равную сумме расстояний
до фокусов. Концы нити закрепляем в
фокусах. А далее ведем карандашом вдоль
нити, оставляя ее все время натянутой.

А
теперь выведем каноническое уравнение
эллипса. Обозначим расстояние между
фокусами
.
Сумму расстояний до фокусов.
Ось Х направим через фокусы, а осьY
перпендикулярна оси Х и делит расстояние
между фокусами пополам. Тогда точки
– фокусы эллипса имеют координаты..
Пусть точка– лежит на эллипсе.

Тогда
.
Имеем

.
Далее проведем цепочку преобразований.

Возводим
в квадрат

Поскольку
по условию
,
то обозначим.

Получаем

Окончательно
получаем:

Полученное
уравнение называется каноническим
уравнением эллипса. Заметим, что в
каноническом уравнении обязательно
.

Строго
говоря, мы еще не доказали, что полученное
уравнение действительно является
уравнением эллипса. Поскольку при
выведении уравнения мы возводили в
квадрат, то мы могли приобрести лишние
точки. Но можно показать, что все точки,
удовлетворяющие полученному уравнению,
действительно лежат на эллипсе, то есть
для них сумма расстояний до фокусов
действительно равна
.

Исследуем
форму эллипса. Отметим, что эллипс –
линия симметричная относительно всех
координатных осей. Поэтому ее достаточно
исследовать в первой четверти. В первой
четверти имеем
.
Значениев первой четверти изменяется на отрезке.– убывающая функция, при этом.
В точке– касательная параллельна оси ОХ, в точкекасательная параллельна оси.
Величиныназываются соответственнобольшая
и малая полуоси
эллипса. Фокусы эллипса соответственно
имеют координаты
,
где

Иногда
приходится иметь дело с уравнением вида
,
где.
Это уравнение так же является уравнением
эллипса, но не является каноническим,
поскольку фокусы лежат на осиOY.
Такой эллипс называется сопряженным.

В
заключение отмечу, что в системе Коперника
предполагалось движение планет по
круговым орбитам. Первыми погрешность
заметили мореплаватели. Потом Кеплер
пришел к выводу, что планеты движутся
не по круговым, а по эллиптическим
орбитам, в фокусе которых находится
солнце.

Следующая
линия, это гипербола.
По таким траекториям движутся кометы,
которые один раз залетают в солнечную
систему.

Определение.
Гиперболой называется геометрическое
место точек плоскости, для которых
разность расстояний до двух фиксированных
точек плоскости, называемых фокусами
эллипса равна по абсолютной величине
постоянной, меньшей, чем расстояние
между фокусами.

А
теперь выведем каноническое уравнение
гиперболы. Обозначим расстояние между
фокусами
.
Разность расстояний до фокусов.
Ось Х направим через фокусы, а осьY
перпендикулярна оси Х и делит расстояние
между фокусами пополам. Тогда точки
– фокусы гиперболы имеют координаты..
Пусть точка– лежит на гиперболе.

Тогда
.
Имеем

.
Далее проведем цепочку преобразований.

Возводим
в квадрат

Поскольку
по условию
,
то обозначим.

Получаем

Окончательно
получаем

Полученное
уравнение называется каноническим
уравнением гиперболы.

Строго
говоря, мы еще не доказали, что полученное
уравнение действительно является
уравнением гиперболы. Поскольку при
выведении уравнения мы возводили в
квадрат, то мы могли приобрести лишние
точки. Но можно показать, что все точки,
удовлетворяющие полученному уравнению,
действительно лежат на гиперболе, то
есть для них разность расстояний до
фокусов действительно равна
.

Исследуем
форму гиперболы. Отметим, что гипербола
– линия симметричная относительно всех
координатных осей. Поэтому ее достаточно
исследовать в первой четверти. В первой
четверти имеем
.
Значениев первой четверти изменяется на отрезке.– возрастающая функция, при этом.
В точкекасательная параллельна оси.
Фокусы гиперболы соответственно имеют
координаты,
где

Исследуем
характер поведения при
.
Найдем уравнения асимптот

Имеем
.

Следовательно,
с учетом симметрии относительно осей
координат асимптотами являются прямые
.
Отметим, что эти прямые являются
диагоналями прямоугольника, образованного
прямыми

Иногда
приходится иметь дело с уравнением вида

.
Это уравнение так же является уравнением
гиперболы, но не является каноническим.
Фокусы данной гиперболы лежат на осиY.
Такая гипербола называется сопряженной.

Следующая
линия – парабола.

Определение.
Параболой называется геометрическое
место точек плоскости, для которых
расстояние до фиксированной точки
плоскости, называемой фокусом параболы,
равно расстоянию до фиксированной
прямой, называемой директрисой параболы.

Каноническое
уравнение параболы.

Выберем
следующую систему координат. Пусть ось
ОХ проходит через фокус параболы
перпендикулярно директрисе. Ось OY
делит отрезок между фокусом и директрисой
на две равные части. При этом директриса
лежит слева от оси OY,
фокус справа. Расстояние между фокусом
и директрисой обозначим
.
Тогда фокусF
имеет координаты
.
Уравнение директрисы имеет вид.
Пусть точкалежит на параболе.

Расстояние

от этой точки до директрисы равно,

Расстояние
от точки
до фокуса.

Получаем

Уравнение
называется каноническим уравнением
параболы.

Отметим,
что парабола симметрична относительно
оси OY.
В первой четверти имеем
возрастающая функция. Точка О с
координатами О(0;0) называется вершиной
параболы.

Иногда
приходится рассматривать уравнения
вида
;;.
Эти уравнения являются уравнениями
параболы, но не являются каноническими.

В
заключении я расскажу о любопытных
оптических свойствах линий второго
порядка. Представьте себе эллиптическое
зеркало. Так вот, если источник света
находится в одном фокусе, то лучи,
отразившись, пересекутся в другом. И
главное они придут туда за одно и то же
время. А теперь, представьте, что в одном
из фокусов устроен взрыв, то волна,
отразившись, сфокусируется во втором
фокусе. Я знаю, что в свое время была
попытка создать аппарат для разрушения
камней в организме человека.

В
случае гиперболического зеркала
продолжение отраженных лучей, вышедших
из одного фокуса, пересечется в другом.

Для
параболического зеркала, лучи, вышедшие
из одного фокуса, отразившись, дают
параллельный пучок. Где используется
этот факт, я думаю, вы догадались.

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой (общее уравнение прямой на плоскости и его исследование). Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и его исследование, как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой (неполного уравнения, полного уравнения). Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач на уравнения.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Так, без какой-либо помощи онлайн мы смогли доказать и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy (уравнение прямой параллельной оси ox).

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой Ax+By+C=0.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n→= (2, 3). Изобразим заданную прямую линию из уравнения с вектором на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0, умножив обе части общего уравнения прямой на число λ, не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, в котором числа А, В, С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А=0, В≠0, С≠0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую, которая параллельна оси Ox, поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB . Иначе говоря, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда А=0, В≠0, задает геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
2. Если А=0, В≠0, С=0, общее уравнение принимает вид y=0. Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс Ox.
3. Когда А≠0, В=0, С≠0, получаем неполное общее уравнение Ax+С=0, задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А≠0, В=0, С=0, тогда неполное общее уравнение примет вид x=0, и это есть уравнение координатной прямой Oy.
5. Наконец, при А≠0, В≠0, С=0, неполное общее уравнение принимает вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел (0, 0) отвечает равенству Ax+By=0, поскольку А·0+В·0=0.

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: Ax0+By0+C=0. Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет нормальный вектор n→=(A, B).

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению  x-x1ax=y-y1ay.

Если А≠0, тогда переносим слагаемое By в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

Это равенство возможно записать как пропорцию: x+CA-B=yA .

В случае, если В≠0, оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое Ax, прочие переносим в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Выносим –В за скобки, тогда: Ax=-By+CB.

Перепишем равенство в виде пропорции: x-B=y+CBA                             .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y=k·x+b, но только тогда, когда В≠0. Для перехода в левой части оставляем слагаемое By, остальные переносятся в правую. Получим: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенство на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида xa+yb=1. Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y:

Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.