Загрузить PDF
Загрузить PDF
В тригонометрии есть задачи, в которых нужно найти уравнение прямой. При этом даны либо координаты одной точки и угловой коэффициент, либо координаты двух точек, которые лежат на прямой. В любом случае найти уравнение прямой довольно легко, если использовать соответствующие формулы.
-
1
Подставьте значение углового коэффициента «k» в альтернативное уравнение прямой y-y1 = k(x-x1). С помощью этого уравнения, в котором присутствуют координаты точки, которая лежит на прямой, можно найти координаты точки пересечения прямой с осью Oy. Данное значение углового коэффициента «k» подставьте вместо «k» в уравнении y-y1= k(x-x1).[1]
- Например, угловой коэффициент k = 2, тогда уравнение запишется так: y-y1= 2 (x-x1).
-
2
Вместо x1 и y1 подставьте координаты данной точки, чтобы записать окончательное уравнение прямой.[2]
- Например, если дана точка с координатами (4,3), уравнение запишется так: y-3 = 2(x-4).
-
3
Изолируйте «y», чтобы записать уравнение прямой в конечном виде. Чтобы раскрыть скобки, примените свойство дистрибутивности, а затем следуйте определенному порядку выполнения математических операций.
- Раскрыв скобки, вы получите: y-3 = 2x-8.
- Теперь прибавьте 3 к каждой стороне уравнения, чтобы изолировать «y».
- Окончательное уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами (4, 3) и имеет угловой коэффициент 2, запишется так: y = 2x-5.
Реклама
-
1
Вычислите угловой коэффициент по формуле k = (y2-y1)/(x2-x1). Вам будут даны две пары координат; каждая пара координат записывается так: (x, y). Первую пару координат обозначьте как (x1, y1), а вторую как (x2, y2). Подставьте числа в формулу k = (y2-y1)/(x2-x1) и вычислите угловой коэффициент k.[3]
- Например, даны две точки с координатами (3, 8) и (7, 12). Тогда формула запишется так: k = (12-8)/(7-3) = 4/4 = 1. В этом примере угловой коэффициент k = 1.
-
2
Подставьте найденное значение углового коэффициента k в стандартное уравнение прямой. Уравнение прямой имеет следующий вид: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — координата «y» точки пересечения прямой с осью Oy. В уравнение прямой подставьте найденное значение углового коэффициента вместо «k».[4]
- В нашем примере уравнение прямой запишется так: y = 1x + b или y = x + b.
-
3
Вместо «x» и «y» подставьте координаты одной из данных точек, чтобы найти «b». Координаты подставьте в уравнение прямой — вместо «х» подставьте координату «х», а вместо «y» координату «y».[5]
- В нашем примере возьмем точку с координатами (3, 8). Тогда уравнение прямой запишется так: 8 = 1(3) + b.
- Используйте координаты одной из двух данных точек, но никогда не смешивайте координаты сразу двух точек.
-
4
Вычислите «b». Сделайте это, когда в уравнение прямой подставите значения «k», «х» и «у». Изолируйте «b» на одной стороне уравнения, следуя определенному порядку выполнения математических операций.[6]
- В нашем примере уравнение приняло вид 8 = 1(3) + b. Умножьте 1 на 3 и получите 8 = 3 + b. Теперь вычтите 3 из каждой стороны уравнения, чтобы изолировать «b». Вы получите 5 = b, или b = 5.
-
5
Подставьте найденные значения «k» и «b» в уравнение прямой, чтобы записать его в окончательном виде.
- В нашем примере уравнение прямой, которая проходит через точки с координатами (3, 8) и (7, 12), запишется так: y = 1x + 5 или просто y = x + 5.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 31 354 раза.
Была ли эта статья полезной?
Прямая имеет несколько видов задающих ее уравнений. Рассмотрим некоторые из них и разберем примеры.
Здесь будет калькулятор
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y=kx+by=kx+b,
где kk — угловой коэффициент, а bb — свободный коэффициент.
Уравнения данного вида составляются следующим образом по формуле:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0),
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты любой точки, лежащей на данной прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты точки, принадлежащей данной прямой, таковы: x0=1,y0=2x_0=1, y_0=2. Угловой коэффициент принять равным 11.
Решение
Подставляем значения в формулу:
y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)
y−2=1⋅(x−1)y-2=1cdot(x-1)
Приводим подобные слагаемые:
y=x+1y=x+1
Ответ
y=x+1y=x+1
Общее уравнение прямой
Для приведения прямой к такому виду из предыдущего вида достаточно просто перенести все слагаемые в одну часть. Возьмем уравнение прямой из предыдущей задачи y=x+1y=x+1. Тогда общее уравнение этой прямой запишется в виде:
y−x−1=0y-x-1=0
Уравнение прямой по двум точкам
Если в задаче даны координаты двух точек и необходимо составить уравнение прямой, то это делается при помощи такой формулы:
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2},
где (x1;y1),(x2;y2)(x_1; y_1), (x_2; y_2) — координаты двух точек, через которые проходит данная прямая.
Найти уравнение прямой, если координаты точек имеют значения: (2;3)(2;3) и (4;−1)(4;-1).
Решение
x1=2x_1=2
y1=3y_1=3
x2=4x_2=4
y2=−1y_2=-1
x−x2x1−x2=y−y2y1−y2frac{x-x_2}{x_1-x_2}=frac{y-y_2}{y_1-y_2}
x−42−4=y−(−1)3−(−1)frac{x-4}{2-4}=frac{y-(-1)}{3-(-1)}
x−4−2=y+14frac{x-4}{-2}=frac{y+1}{4}
x−4=−y−12x-4=frac{-y-1}{2}
y+1=2⋅(4−x)y+1=2cdot(4-x)
y=8−2x−1y=8-2x-1
y=−2x+7y=-2x+7
Ответ
y=−2x+7y=-2x+7
Уравнение прямой при помощи точки и вектора нормали
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
где (x0;y0)(x_0; y_0) — координаты точки, лежащей на данной прямой, а (n1;n2)(n_1; n_2) — координаты вектора нормали к этой прямой.
Составить уравнение прямой, если координаты нормального вектора — (1;−5)(1;-5), а точка, через которую проходит данная прямая имеет координаты (7;8)(7;8).
Решение
x0=7x_0=7
y0=8y_0=8
n1=1n_1=1
n2=−5n_2=-5
(x−x0)⋅n1+(y−y0)⋅n2=0(x-x_0)cdot n_1+(y-y_0)cdot n_2=0,
(x−7)⋅1+(y−8)⋅(−5)=0(x-7)cdot 1+(y-8)cdot (-5)=0,
x−7+40−5y=0x-7+40-5y=0
x−5y=−40+7x-5y=-40+7
x−5y=−33x-5y=-33
5y=x+335y=x+33
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Проверка
Чтобы проверить правильность решения, достаточно подставить координаты точки в данное уравнение и, если оно будет верным, то задача решена верно.
8=75+3358=frac{7}{5}+frac{33}{5}
8=88=8 — верно, ответ правильный.
Ответ
y=x5+335y=frac{x}{5}+frac{33}{5}
Прямая в пространстве
Уравнение прямой, заданной в пространстве имеет такой вид:
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3},
где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, через которую проходит прямая, а (ν1,ν2,ν3)(nu_1,nu_2,nu_3) — координаты напрявляющего вектора данной прямой.
Написать уравнение прямой по заданной точке (1;5;−23)(1;5;-23) и вектору направления (3;11;7)(3;11;7).
Решение
x0=1x_0=1
y0=5y_0=5
z0=−23z_0=-23
ν1=3nu_1=3
ν2=11nu_2=11
ν3=7nu_3=7
x−x0ν1=y−y0ν2=z−z0ν3frac{x-x_0}{nu_1}=frac{y-y_0}{nu_2}=frac{z-z_0}{nu_3}
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Проверка
Проверим, удовлетворяет ли это уравнение прямой точке (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0). Для этого подставим в него координаты этой точки:
1−13=5−511=−23−(−23)7frac{1-1}{3}=frac{5-5}{11}=frac{-23-(-23)}{7} — верно, значит ответ правильный.
Такой вид уравнения прямой называется каноническим.
Ответ
x−13=y−511=z−(−23)7frac{x-1}{3}=frac{y-5}{11}=frac{z-(-23)}{7}
Тест по теме “Составление уравнения прямой”
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .
Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
- Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .
Полученное уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 не было бы верным.
Следовательно, уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
- Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .
Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:
n → , M 0 M → = A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0
Перепишем уравнение A x + B y – A x 0 – B y 0 = 0 , определим C : C = – A x 0 – B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .
Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .
Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .
Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.
Пусть задано уравнение 2 x + 3 y – 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.
Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y – 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.
Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.
Неполное уравнение общей прямой
Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.
Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
- Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение – C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу – C B .
- Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
- Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
- Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
- Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.
Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , – 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.
Решение
Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:
Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = – 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x – 2 = 0
Ответ: 7 x – 2 = 0
На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.
Решение
Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .
Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = – 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y – 3 = 0 .
Ответ: y – 3 = 0 .
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .
Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.
Даны точка М 0 ( – 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , – 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = – 2 , x 0 = – 3 , y 0 = 4 . Тогда:
A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x – ( – 3 ) ) – 2 · y ( y – 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 2 y + 22 = 0
Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x – 2 · y + C = 0 ⇔ x – 2 · y + C = 0
Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( – 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x – 2 · y + C = 0 , т.е. – 3 – 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x – 2 · y + 11 = 0 .
Ответ: x – 2 · y + 11 = 0 .
Задана прямая 2 3 x – y – 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна – 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.
Решение
Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = – 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:
2 3 x 0 – y 0 – 1 2 = 0
Определяем y 0 : 2 3 · ( – 3 ) – y 0 – 1 2 = 0 ⇔ – 5 2 – y 0 = 0 ⇔ y 0 = – 5 2
Ответ: – 5 2
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.
Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x – x 1 a x = y – y 1 a y .
Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = – B y .
Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A – B = y A .
В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = – B y – C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = – B y + C B .
Перепишем равенство в виде пропорции: x – B = y + C B A .
Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Задано общее уравнение прямой 3 y – 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.
Решение
Запишем исходное уравнение как 3 y – 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим – 3 за скобки; получаем: 0 x = – 3 y – 4 3 .
Запишем полученное равенство как пропорцию: x – 3 = y – 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.
Ответ: x – 3 = y – 4 3 0 .
Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Прямая задана уравнением 2 x – 5 y – 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:
2 x – 5 y – 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = – 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Ответ: x = 5 · λ y = – 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = – A x – C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = – A B x – C B .
Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.
Решение
Произведем нужные действия по алгоритму:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y – 2 x ⇔ y = – 2 7 x
Ответ: y = – 2 7 x .
Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = – C ⇔ ⇔ A – C x + B – C y = 1 ⇔ x – C A + y – C B = 1
Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x – 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.
Решение
Перенесем 1 2 в правую часть: x – 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x – 7 y = – 1 2 .
Разделим на -1/2 обе части равенства: x – 7 y = – 1 2 ⇔ 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 .
Преобразуем далее в необходимый вид: 1 – 1 2 x – 7 – 1 2 y = 1 ⇔ x – 1 2 + y 1 14 = 1 .
Ответ: x – 1 2 + y 1 14 = 1 .
В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.
Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y – 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y – k x – b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:
x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x ( y – y 1 ) ⇔ ⇔ a y x – a x y – a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Заданы параметрические уравнения прямой x = – 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.
Решение
Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:
x = – 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = – 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y – 4 0 ⇔ x + 1 2 = y – 4 0
Перейдем от канонического к общему:
x + 1 2 = y – 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y – 4 ) ⇔ y – 4 = 0
Ответ: y – 4 = 0
Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.
Решение:
Просто перепишем уравнение в необходимом виде:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y – 1 = 0
Ответ: 1 3 x + 2 y – 1 = 0 .
Составление общего уравнения прямой
Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.
Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.
Задана прямая, параллельная прямой 2 x – 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , – 3 ) : 2 x – 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:
A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x – 4 ) – 3 ( y – 1 ) = 0 ⇔ 2 x – 3 y – 5 = 0
Ответ: 2 x – 3 y – 5 = 0 .
Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x – 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.
Решение
Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x – 2 3 = y + 4 5 .
Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:
A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x – 0 ) + 5 ( y – 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Уравнение прямой
Уравнение прямой на плоскости
Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида
где A и B не могут быть одновременно равны нулю.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду
где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.
Уравнение прямой в отрезках на осях
Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1) и N( x 2, y 2), такие что x 1 ≠ x 2 и y 1 ≠ y 2, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу
| x – x 1 | = | y – y 1 |
| x 2 – x 1 | y 2 – y 1 |
Параметрическое уравнение прямой на плоскости
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
x = l t + x 0 y = m t + y 0
где N( x 0, y 0) – координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой на плоскости
Если известны координаты точки N( x 0, y 0) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки
x – 1 2 – 1 = y – 7 3 – 7
Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой
Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
x = t + 1 y = -4 t + 7
Решение. Так как M y – N y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.
Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .
Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой
Уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки M( x 1, y 1, z 1) и N( x 2, y 2, z 2), такие что x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 и z 1 ≠ z 2, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
| x – x 1 | = | y – y 1 | = | z – z 1 |
| x 2 – x 1 | y 2 – y 1 | z 2 – z 1 |
Параметрическое уравнение прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом
 |
x = l t + x 0 |
| y = m t + y 0 | |
| z = n t + z 0 |
где ( x 0, y 0, z 0) – координаты точки лежащей на прямой, – координаты направляющего вектора прямой.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки M( x 0, y 0, z 0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
| x – x 0 | = | y – y 0 | = | z – z 0 |
| l | m | n |
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений
Прямая линия. Уравнение прямой.
Свойства прямой в евклидовой геометрии.
Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются
параллельными (следует из предыдущего).
В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
- прямые пересекаются;
- прямые параллельны;
- прямые скрещиваются.
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия
задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Общее уравнение прямой.
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим
уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 – прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой , заданной уравнением
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно
С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M2 ( x 2, y 2 , z 2 ), тогда уравнение прямой,
проходящей через эти точки:
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На
плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор прямой.
Определение. Каждый ненулевой вектор (α1, α2), компоненты которого удовлетворяют условию
Аα1 + Вα2 = 0 называется направляющим вектором прямой.
Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).
Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.
при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:
или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения
прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
С = 1, , а = -1, b = 1.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется
нормирующем множителем, то получим
xcosφ + ysinφ – p = 0 – нормальное уравнение прямой.
[spoiler title=”источники:”]
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/
http://www.calc.ru/Uravneniye-Pryamoy.html
[/spoiler]
Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
Уравнения прямых, параллельных осям координат
Возьмем прямую линию, параллельную оси Оу и проходящую на расстоянии а от нее (рис. 10).
Все точки этой прямой одинаково удалены от оси ординат на расстояние, равное а. Следовательно, для каждой точки прямой АМ абсцисса одна и та же, а именно:
х = а, (1)
ордината же различна. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет прямую, параллельную оси Оу, а потому оно является ее уравнением. Возьмем прямую, параллельную оси Ох, на расстоянии.
равном b от нее (рис. 11). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох на расстояние, равное b , т. е. любая точка прямой ВМ имеет постоянную ординату, а именно:
абсциссу же различную. Как видно, уравнение (2) вполне определяет прямую, параллельную оси Ох, а потому оно является ее уравнением.
По уравнениям (1) и (2) можно построить соответствующие им прямые. Пусть, например, дана прямая х = — 4. Отложив на оси Ох отрезок ОА = — 4 (рис. 12) и проведя через точку А прямую, параллельную оси Оу, получим искомую прямую.
Уравнения осей координат
Возьмем уравнение прямой, параллельной оси Оу:
х = а
и станем в нем уменьшать абсолютную величину а, тогда прямая, определяемая этим уравнением, будет приближаться к оси Оу, оставаясь все время ей параллельной, и при а = 0 сольется с ней. Уравнение х = 0 является уравнением оси Оу.
Если же в уравнении у = b прямой, параллельной оси Ох, будем уменьшать абсолютную величину b то эта прямая станет приближаться к оси Ох, оставаясь ей параллельной, и при b = 0 с ней совпадет. Таким образом, уравнение у = 0 будет уравнением оси Ох.
Уравнение прямой, проходящей через начало координат
Проведем прямую через начало координат под углом
к оси Ох (рис. 13). Принято положительный угол а отсчитывать от положительного направления оси абсцисс в сторону, противоположную движению часовой стрелки (рис. 13), а отрицательный — по часовой стрелке.
Возьмем на проведенной прямой произвольную точку М (х; у). Опустив перпендикуляр МР на ось Ох, получим прямоугольный треугольник ОМР, из которого найдем:
Но
Координаты любой точки прямой ОМ удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, не удовлетворяют ему; поэтому оно является уравнением прямой ОМ. Итак,
есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. В нем х и у — текущие координаты, а 
— угловой коэффициент.
Определение:
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.
Величина может быть как положительной, так и отрицательной. Если угол а острый, то тангенс его имеет положительное значение; если же угол а тупой, —то отрицательное. Поэтому величина в уравнении прямой будет положительной, если а — острый угол, и отрицательной, если тупой.
Заметим, что при а = 90° углового коэффициента не существует, так как 90° не имеет числового значения.
Зная угловой коэффициент прямой у = х, можно определить ее положение.
Пусть требуется построить прямую у= 2х.
Для этого найдем угол а из условия
откуда:
Построив при точке О найденный угол, мы и получим искомую прямую (рис. 14).
Построение этой прямой можно провести и проще.
Известно, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем же случае достаточно определить координаты одной точки, так как вторая (начало координат) нам известна. Для этого дадим х произвольное значение, например х = 2, тогда из уравнения прямой найдем:
Значения х = 2 и у = 4 и будут координатами точки, лежащей на данной прямой. Построив эту точку, проведем через нее и начало координат прямую линию (рис. 14).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой
Пусть дана прямая ОС, проходящая через начало координат под углом а к положительному направлению оси Ох (рис. 15)
Ее уравнение имеет вид
где 
.
Проведем прямую 
отсекающую на оси Оу отрезок ОВ = b. Прямая АВ составляет с положительным направлением оси Ох тот же угол а. Пусть М(х; у)— произвольная точка прямой АВ. Из рис. 15 найдем:
Но
Подставив значение РМ1 в равенство (1), получим уравнение прямой АВ в виде:
где — угловой коэффициент, а b называется начальной ординатой.
Заметим что прямая 
получается смещением всех точек прямой 
(рис. 15) на отрезок b вверх (при положительном b) и вниз при отрицательном b .
Уравнение определяющее прямую проходящую через начало координат, является частным случаем уравнения (2) при b = 0.
Зная угловой коэффициент и начальную ординату b можно определить положение прямой. Пусть, например, требуется построить прямую 
Из данного уравнения имеем:
откуда
Проведем через начало координат прямую МN под углом в 45 градусов к положительному направлению оси Ох (рис. 16). На прямую
Как видно из уравнения ее пересекает ось Оу на расстоянии ОС, равном 4 единицам масштаба от начала координат.
Поэтому прямая АВ, проведенная через точку С параллельно прямой МN, и будет искомой.
Однако проще построить указанную прямую по двум ее точкам. Удобнее для этого брать точки пересечения прямой с осями координат. Одна из них — точка С пересечения прямой с осью Оу— дается самим уравнением, а именно С(0; 4). Для нахождения точки D пересечения этой прямой с осью Ох положим в данном уравнении y = 0, получим х = — 4; значит, прямая пересекает ось Ох в точке D (-4; 0). Строим точки С и D и проводим через них искомую прямую.
Пример:
Найти уравнения прямых АВ, СD и ЕF, изображенных на рис. 17.
Решение:
Чтобы написать уравнения данных прямых, нужно определить величины и b, а затем подставить их значения в уравнение 
Для прямой АВ
Следовательно, уравнения данных прямых будут:
Общее уравнение прямой
В предыдущей лекции были выведены следующие виды уравнения прямой: уравнение прямой, параллельной оси Оу:
уравнение прямой, параллельной оси Ох:
уравнение оси Оу:
уравнение оси Ох:
уравнение прямой, проходящей через начало координат:
уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные положения прямой, поэтому можно сказать, что
всякая прямая линия определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.
Покажем теперь, что указанные виды уравнения прямой можно получить из уравнения
при некоторых частных значениях коэффициентов А, В и С.
I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:
откуда
Положив
получим
Уравнение 
есть уравнение прямой, параллельной оси Оу.
II. Если А = 0, то
отсюда
Положив
получим
Уравнение 
определяет прямую, параллельную оси Ох.
III. Если В = 0 и С = 0, то
отсюда
IV. Если А = 0 и С = 0, то
отсюда
V. Если С = 0, то
отсюда
Положим
тогда
Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.
VI. Если ни один из коэффициентов уравнения (7) не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразовать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем из уравнения (7) значение у:
Положив
и
можем написать
Следовательно, уравнение
включает в себя все рассмотренные нами ранее уравнения прямой; поэтому оно называется общим уравнением прямой. Итак, всякое уравнение первой степени
при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет прямую линию.
Пример:
Построить прямую 
Решение:
Проще всего построить прямую по двум ее точкам пересечения с осями координат. Положив в данном уравнении у = 0, получим х =- 5; координаты (-5; 0) и будут определять положение точки пересечения прямой с осью Ох. Для нахождения точки пересечения прямой с осью Оу положим в том же уравнении х = 0 тогда найдем у = 2; координаты искомой точки будут (0; 2).
Построив эти точки, проводим через них прямую 2х— 5у —10 = 0 (рис. 18).
Пример:
Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4х+ 6у — 3 = 0.
Решение:
Преобразуем это уравнение к виду 
для этого находим:
6у = — 4х + 3,
отсюда
Сравнив полученное уравнение с уравнением найдем:
Угловой коэффициент можно найти и из равенства (8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное
взять с противоположным знаком. Таким образом, в данном примере
Уравнение прямой в отрезках
Как мы уже знаем, положение прямой определяется или двумя точками или одной точкой и углом наклона прямой к оси Ох. Если прямая не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит
через начало координат, то ее положение может быть определено и другими данными, например отрезками, которые она отсекает на осях. Выведем уравнение прямой для этого случая.
Пусть дана прямая, отсекающая на координатных осях отрезки ОА = а и ОВ = b (рис. 19).
Возьмем на этой прямой произвольную точку M (х; у) и проведем
МР 
Ох. Из подобия треугольников РМА и ОВА имеем:
или
Разделив а — х почленно на а, будем иметь:
откуда
Можно показать, что координаты любой точки нашей прямой будут удовлетворять этому равенству, а потому его нужно рассматривать как уравнение прямой АВ.
В уравнение (1) входят отрезки а и b , отсекаемые прямой на осях; поэтому оно называется уравнением прямой в отрезках.
Величины а и b могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от того, в какую сторону от начала координат откладываются отрезки а и b .
Пусть, например, дана прямая АВ (рис. 20). Здесь а = — 2, b = — 3; следовательно, уравнение прямой АВ запишется в таком виде:
По уравнению вида (1) Очень просто строится прямая. Для этого нужно только отложить на осях отрезки а и b взятые из уравнения, и через их концы провести прямую.
Заметим, что уравнение в отрезках легко получается из общего уравнения прямой: Ах + Ву + С= 0, если все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля (иначе уравнение в отрезках не имеет смысла).
Уравнение пучка прямых
Пусть прямая АВ проходит через точку М(х1; у1) и образует угол а с положительным направлением оси Ох (рис. 21). Составим для прямой АВ уравнение вида
Для этого нужно найти величины и b определяющие прямую АВ, а затем подставить в уравнение (1) их значения. Так как угол а дан, то величина определится из равенства
Для нахождения b воспользуемся тем, что точка М лежит на прямой (1) и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.
Подставив в уравнение (1) вместо х и у их значения х1 и у1, а величину полагая известной, получим
откуда
Уравнение (1) можем теперь записать в виде
или
Таково искомое уравнение прямой АВ; в нем имеет одно, вполне определенное значение.
Допустим, что через ту же точку M(х1; у1) проходит несколько прямых; тогда угол а наклона этих прямых к оси Ох, и также множитель 
в уравнении (2) будут иметь различные значения.
В таком случае уравнение (2) будет определять уже не одну прямую, проходящую через данную точку M, а множество прямых, пересекающихся в эточке.
Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку М, называется пучком прямых с центром в точке М. Таким образом, уравнение (2) с переменным можно рассматривать как уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку, исключая прямую, параллельную оси ординат (так как tg 90° не имеет числового значения) (рис. 21).
Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую заданный угол с осью Ох, нужно в уравнении (2) вместо подставить его числовое значение. Пусть, например, пучок прямых проходит через точку М(2;—5), тогда его уравнение будет:
Выделим из этого пучка одну прямую, которая наклонена к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°;
тогда
и уравнение (3) обратится в следующее:
или
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть даны две точки A(х1; у1) и В(х2; у2); требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Если взять одну точку, например А, то через нее можно провести пучок прямых, уравнение которого будет:
где каждому значению отвечает одна прямая.
Выделим из этого пучка прямую, которая проходит и через вторую точку В (рис. 22). Чтобы найти ее уравнение, необходимо определить угловой коэффициент. Для этого примем во внимание, что точка В лежит на искомой прямой, и потому ее координаты должны обращать уравнение (1)
в тождество при равном угловому коэффициенту этой прямой. Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точки В, получим:
отсюда находим угловой коэффициент искомой прямой:
Уравнение (1) можно переписать так:
Преобразуем это уравнение, разделив обе части его на у2 — у1 получим:
гле х и у — текущие координаты. Равенство (2) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Это, как и уравнение в отрезках, частный случай общего уравнения прямой.
Если х1 = х2 или у1 = у2, то формула (2) теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде
х = х1
а во втором — в виде
у = у1
Пример:
Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: А(—4; 6) и В(2; —3).
Решение:
Имеем:
х1 = —- 4, х2 = 2
и
у1 = 6, у2 = — 3.
Подставим эти значения в уравнение (2); получим:
или
Умножив обе части последнего уравнения на —18, будем иметь:
2у— 12 = — 3х— 12,
откуда
Зх + 2у = 0.
Пример:
Через две точки А( 3; 2) и В (5; 2) проходит прямая. Написать ее уравнение.
Решение:
Так как ординаты данных точек равны, то заключаем, что искомая прямая параллельна оси Ох, а потому ее уравнение будет
у = 2.
Угол между двумя прямыми
Пусть даны уравнения двух прямых:
y=klx+blt
где 
имеют вполне определенные значения. Выведем формулу для определения угла между этими прямыми.
Обозначим углы, образуемые данными прямыми с положительным направлением оси Ох, через а1 и а2, а угол между этими прямыми через 
(рис. 23).
Угол а2, как внешний угол треугольника ABC, будет равен сумме внутренних, с ним не смежных, т. е.
откуда
Если углы равны между собой, то и тангенсы их равны друг другу, поэтому
Применяя формулу для тангенса разности двух углов, получим:
Но
Поэтому
Определив tg по формуле (1), можно найти и самый угол .
Пример:
Определить угол между прямыми:
2х — 3у + 6 =0
и
х + 5у — 2=0.
Решение:
Из данных уравнений найдем угловые коэффициенты этих прямых :
Согласно формуле (1) имеем:
откуда
Полученный угол между прямыми тупой. Но если принять
то вычисляя 
по той же формуле (1), получим:
откуда 
= 45°. Получился угол острый, смежный с ранее
найденным тупым углом (рис. 24). Первое и второе значение угла будет ответом на вопрос задачи.
Условие параллельности прямых
Если прямые параллельны между собой, то они образуют одинаковые углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 25).
Из равенства углов а1 и а2 следует
или
Обратно, если т.е. то а1 = а2, а это значит, что данные прямые параллельны.
Итак, если прямые параллельны между собой, то их угловые коэффициенты равны (и наоборот).
Пример:
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (—2; 6) и параллельной прямой 5х—3у — 7 = 0.
Решение:
Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится искомая прямая. Следовательно, прежде всего пишем уравнение пучка прямых , проходящих через точку А:
Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) , получим:
Согласно условию параллельности угловой коэффициент искомой прямой тоже равен 
Подставим найденное значение в уравнение
пучка:
Выполнив необходимые преобразования, получим искомое уравнение прямой:
Условие перпендикулярности прямых
Пусть две прямые взаимно перпендикулярны и образуют с положительным направлением оси Ох углы а1 и а2 (рис. 26). В этом случае
отсюда
Но
Следовательно,
или
Обратно, если
то
Отсюда
т. е. данные прямые взаимно перпендикулярны.
Таким образом, если прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).
Так, например, если у одной прямой угловой коэффициент
равен 
то у перпендикулярной ей прямой он равен 
.
Пример:
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—3; 5) и перпендикулярной прямой 4х — Зу—10 = 0.
Решение:
Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится и искомая прямая. Поэтому напишем сначала уравнение этого пучка
Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент 
связанный с угловым коэффициентом
данной прямой равенством (1). Но 
следовательно,
Подставив в уравнение (2) вместо 
найденное его значение 
получим:
Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:
или
Пересечение прямых
Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями:
Требуется найти точку их пересечения.
Так как точка пересечения данных прямых есть их общая точка, то ее координаты должны удовлетворять как первому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты должны быть общими корнями данных уравнений.
Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений.
Пример:
Найти точку пересечения прямых
Решение:
Решим данные уравнения как систему. Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, получим:
откуда
Зная х, находим у, например, из второго уравнения:
Пример:
Найти точку пересечения прямых
Решение:
Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем:
что невозможно. Значит, данная система уравнений решений не имеет, а потому прямые, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. данные прямые параллельны.
К этому же заключению можно прийти, сравнивая угловые коэффициенты данных прямых.
Дополнение к прямой линии
Смотрите также:
Предмет высшая математика
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Аналитическая геометрия. Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая
точка на плоскости определяется двумя
координатами в какой- либо системе
координат. Системы координат могут быть
различными в зависимости от выбора
базиса и начала координат.
Определение.
Уравнением линии
называется соотношение y
= f(x)
между координатами точек, составляющих
эту линию.
Отметим,
что уравнение линии может быть выражено
параметрическим способом, то есть каждая
координата каждой точки выражается
через некоторый независимый параметр
t.
Характерный
пример – траектория движущейся точки.
В этом случае роль параметра играет
время.
Уравнение прямой на плоскости.
Определение.
Любая прямая на плоскости может быть
задана уравнением первого порядка
Ах
+ Ву + С = 0,
причем
постоянные А, В не равны нулю одновременно,
т.е. А2
+ В2
0. Это уравнение первого порядка называют
общим
уравнением прямой.
В
зависимости от значений постоянных А,В
и С возможны следующие частные случаи:
-
C
= 0, А
0, В
0 – прямая проходит через начало
координат -
А
= 0, В
0, С
0 { By
+ C
= 0}- прямая параллельна оси Ох -
В
= 0, А
0, С
0 { Ax
+ C
= 0} – прямая параллельна оси Оу -
В
= С = 0, А
0 – прямая совпадает с осью Оу -
А
= С = 0, В
0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой
может быть представлено в различном
виде в зависимости от каких – либо
заданных начальных условий.
Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
Определение.
В декартовой прямоугольной системе
координат вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой , заданной
уравнением Ах + Ву + С = 0.
Пример.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору
(3,
-1).
Составим
при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у
+ С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение
координаты заданной точки А.
Получаем:
3 – 2 + C
= 0, следовательно С = -1.
Итого:
искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть
в пространстве заданы две точки M1(x1,
y1,
z1)
и M2(x2,
y2,
z2),
тогда уравнение прямой, проходящей
через эти точки:
Если
какой- либо из знаменателей равен нулю,
следует приравнять нулю соответствующий
числитель.
На
плоскости записанное выше уравнение
прямой упрощается:
если
х1
х2
и х = х1,
еслих1
= х2.
Дробь
=k
называется угловым
коэффициентом
прямой.
Пример.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя
записанную выше формулу, получаем:
Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Если
общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0
привести к виду:
и
обозначить
,
то полученное уравнение называетсяуравнением
прямой с угловым коэффициентом k.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
По аналогии с пунктом,
рассматривающим уравнение прямой через
вектор нормали можно ввести задание
прямой через точку и направляющий вектор
прямой.
Определение.
Каждый ненулевой вектор
(1,
2),
компоненты которого удовлетворяют
условию А1
+ В2
= 0 называется направляющим вектором
прямой
Ах
+ Ву + С = 0.
Пример.
Найти уравнение прямой с направляющим
вектором
(1,
-1) и проходящей через точку А(1, 2).
Уравнение
искомой прямой будем искать в виде: Ax
+ By
+ C
= 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять
условиям:
1A
+ (-1)B
= 0, т.е. А = В.
Тогда
уравнение прямой имеет вид: Ax
+ Ay
+ C
= 0, или x
+ y
+ C/A
= 0.
при
х = 1, у = 2 получаем С/A
= -3, т.е. искомое уравнение:
х
+ у – 3 = 0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
