Как найти уравнение прямой стороны квадрата

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из.

Условие

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

Решение

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 — это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .

Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.

Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

1. Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .

Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:

n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0

Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .

Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .

Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.

Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.

Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.

Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.

1. Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
2. Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
3. Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
4. Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
5. Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .

Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.

Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.

Решение

Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:

Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0

Ответ: 7 x — 2 = 0

На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.

Решение

Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .

Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .

Ответ: y — 3 = 0 .

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .

Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.

Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0

Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0

Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .

Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .

Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.

Решение

Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:

2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0

Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2

Ответ: — 5 2

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .

Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .

Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .

В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .

Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .

Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .

Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .

Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:

2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .

Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.

Решение

Произведем нужные действия по алгоритму:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x

Ответ: y = — 2 7 x .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.

Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:

x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.

Решение

Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:

x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0

Перейдем от канонического к общему:

x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0

Ответ: y — 4 = 0

Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в необходимом виде:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0

Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .

Составление общего уравнения прямой

Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.

Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.

Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.

Решение

Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0

Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .

Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.

Решение

Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .

Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:

A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Задача 34286 Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из.

Условие

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

Решение

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 – это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Что такое квадрат? Как найти вершины, сечение, плоскость, уравнение, объем, площадь основания и угол квадрата?

Ответов на вопрос о том, что такое квадрат, может быть множество. Все зависит от того, кому вы этот вопрос адресовали. Музыкант скажет, что квадрат – это 4, 8, 16, 32 такта или джазовая импровизация. Ребенок – что это игра с мячом или детский журнал. Печатник отправит вас изучать кегли шрифта, а техник – разновидности металлопрокатного профиля.

Много и других значений у этого слова, но сегодня мы зададим вопрос математику. Итак.

Разбираться с этой фигурой мы будем постепенно, от простого к сложному, и начнем с истории квадрата. Как он появился, как его воспринимали люди, ученые разных стран и цивилизаций?

История изучения квадрата

Древний мир воспринимает квадрат, главным образом, как четыре стороны света. Вообще, несмотря на множество четырехугольников, именно у квадрата главное число – четыре. Для ассирийцев и перуанцев квадрат – весь мир, то есть он представляет четыре основных направления, стороны света.

Даже Вселенную представляли как квадрат, еще и разделенный на четыре части – это видение жителей Северной Америки. Для кельтов вселенная – это целых три квадрата, вложенных друг в друга, а из центра вытекают четыре (!) реки. А египтяне вообще обожествляли эту фигуру!

Впервые описали квадрат посредством математических формул греки. Но для них этот многоугольник обладал только отрицательными характеристиками. Пифагор вообще не любил четные числа, видя в них слабость и женственность.

Даже в религиях присутствует квадрат. В Исламе Кааба – пуп Земли – имеет не какую-нибудь сферическую, а именно кубическую форму.

В Индии главной графемой, изображающей Землю, или символом земли, был перекрещенный квадрат. И снова речь идет о четырех сторонах света, четырех областях земли.

В Китае квадрат – это мир, гармония и порядок. Хаос побеждается построением квадратной Вары. А квадрат, вписанный в круг, является основой видения мира, символизируя единство и связь Космоса и Земли.

Языческая Русь – Квадрат Сварога. Этот символ еще называют Звездой Сварога, или Звездой Руси. Он довольно сложный, так как составлен из пересекающихся и замкнутых линий. Сварог – бог-Кузнец, самый главный творец, создатель и само небо в представлении русичей. В этом символе есть ромб, что опять говорит о Земле и четырех ее направлениях. И звезда с четырьмя лучами – 4 стороны света, 4 лика Сварога – его всеведение. А пересечение лучей – очаг.

Интересное о квадрате

Самое популярное словосочетание, которое приходит в голову о нашем главном герое – “Черный Квадрат”.

Картина Малевича до сих пор очень популярна. Сам автор после ее создания долго мучился вопросом о том, что же это такое, и почему простой черный квадрат на белом фоне так притягивает внимание к себе.

Но если вы приглядитесь внимательно, то заметите, что плоскость квадрата не гладкая, а в трещинах черной краски есть множество разноцветных оттенков. Видимо, вначале была некая композиция, которая автору не понравилась, и он закрыл ее от наших глаз этой фигурой. Черный квадрат, как ничто – черная дыра, только магической квадратной формы. А пустота, как известно, притягивает.

Еще очень популярны “магические квадраты”. По сути это – таблица, естественно, квадратная, заполненная числами в каждой графе. Сумма этих чисел одинакова во всех строках, столбцах и диагоналях (по отдельности). Если диагонали исключаются из равенства, то квадрат – полумагический.

Альбрехт Дюрер в 1514 году создал картину “Меланхолия I”, на которой изобразил магический квадрат 4х4. В нем сумма чисел всех столбцов, строк, диагоналей и даже внутренних квадратов равна тридцати четырем.

На базе этих таблиц появились очень интересные и популярные головоломки – “Судоку”.

Египтяне первыми стали проводить линии взаимосвязи чисел (дата рождения) и качеств характера, способностей и талантов человека. Пифагор взял эти знания, несколько переработал и поместил в квадрат. Получился Квадрат Пифагора.

Это уже отдельное направление в нумерологии. Из даты рождения человека путем сложений высчитывают четыре основных числа, которые помещают в психоматрицу (квадрат). Так и раскладывают все тайные сведения о вашей энергии, здоровье, таланте, удаче, темпераменте и прочем по полочкам. В среднем, по опросам достоверность составляет 60%-80%.

Что такое квадрат?

Квадратом называют геометрическую фигуру. Форма квадрата – четырехугольник, который имеет равные стороны и углы. Еще точнее, этот четырехугольник называют правильным.

У квадрата есть свои признаки. Это:

• стороны, равные по длине;
• равные между собой углы – прямые (по 90 градусов).

В силу этих признаков и особенностей в квадрат можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Описанная окружность будет касаться всех его вершин, вписанная – середины всех его сторон. Их центр будет совпадать с центром квадрата и разделит все его диагонали пополам. Последние, в свою очередь, равны между собой и делят углы квадрата на равные части.

Одна диагональ разделяет квадрат на два равнобедренных треугольника, обе – на четыре.

Таким образом, если длина стороны квадрата – t, длина радиуса описанной окружности – R, а вписанной – r, то

• площадь основания квадрата, или площадь квадрата (S) будет равна S=t 2 =2R 2 =4r 2 ;

• периметр квадрата P следует вычислять по формуле P=4t=4√2R=8r;

• длину радиуса описанной окружности R=(√2/2)t;

• вписанной – r=t/2.

Площадь основания квадрата еще можно вычислить, зная его сторону (a) или длину его диагонали (c), тогда формулы будут выглядеть соответственно: S=a 2 и S=1/2c 2 .

Что такое квадрат, мы с вами выяснили. Давайте подробнее рассмотрим детали, ведь фигура квадрат самый симметричный четырехугольник. У него пять осей симметрии, причем одна (четвертого порядка) проходит через центр и является перпендикуляром к плоскости самого квадрата, а четыре другие – оси симметрии второго порядка, две из них параллельны сторонам, а еще две проходят через диагонали квадрата.

Способы построения квадрата

Исходя из определений, кажется, что нет ничего проще, чем построить правильный квадрат. Это так, но при условии, что у вас есть все измерительные инструменты. А если чего-то нет в наличии?

Давайте рассмотрим существующие способы, которые помогут нам построить эту фигуру.

Измерительная линейка и угольник – это основные инструменты, при помощи которых наиболее просто можно построить квадрат.

Сначала отметьте точку, допустим А, от нее мы построим основание квадрата.

С помощью линейки отложите от нее вправо расстояние, равное длине стороны, допустим 30 мм, и поставьте точку Б.

Теперь от обеих точек, воспользовавшись угольником, проведите вверх перпендикуляры по 30 мм каждый. На концах перпендикуляров ставим точки В и Г, которые соединяем между собой, пользуясь линейкой – все, квадрат АБВГ со стороной 30 мм готов!

С помощью линейки и транспортира тоже довольно легко построить квадрат. Начните, как и в предыдущем случае с точки, допустим Н, от нее отложите горизонтальный отрезок, например 50 мм. Поставьте точку О.

Теперь центр транспортира соедините с точкой Н, поставьте отметку у величины угла 90 0 , через нее и точку Н постройте вертикальный отрезок 50 мм, на его конце поставьте точку П. Далее подобным образом постройте третий отрезок от точки О через угол 90 0 , равный 50 мм, пусть он заканчивается точкой Р. Соедините точки П и Р. У вас получился квадрат НОРП с длиной стороны 50 мм.

Можно построить квадрат, пользуясь только циркулем и линейкой. Если вам важен размер квадрата и известна длина стороны, то понадобится еще и калькулятор.

Итак, ставьте первую точку Е – это будет она из вершин квадрата. Далее укажите место, где будет находится противоположная вершина Ж, то есть постойте диагональ ЕЖ вашей фигуры. Если вы строите квадрат по размерам, то имея длину стороны, высчитайте длину диагонали по формуле:

d=√2*a, где a – длина стороны.

После того как вы узнаете длину диагонали, постройте отрезок ЕЖ этой величины. Из точки Е с помощью циркуля в направлении точки Ж проведите полукруг радиусом ЕЖ. И наоборот, из точки Ж – полукруг в сторону точки Е, радиусом ЖЕ. Через точки пересечения этих полукругов, пользуясь линейкой, постройте отрезок ЗИ. ЕЖ и ЗИ пересекаются под прямым углом и являются диагоналями будущего квадрата. Соединив точки ЕИ, ИЖ, ЖЗ и ЗЕ с помощью линейки, вы получите вписанный квадрат ЕИЖЗ.

Какие бывают квадраты?

Квадрат – фигура четко определенная и жестко ограниченная своими определениями, поэтому виды квадратов не отличаются многообразием.

В Неевклидовой геометрии квадрат воспринимается более широко – это четырехугольник с равными сторонами и углами, но градус углов не задан. Это значит, что углы могут быть и по 120 градусов (“выпуклый” квадрат) и, например, по 72 градуса (“вогнутый” квадрат).

Если вы спросите, что такое квадрат, у геометра или информатика, вам ответят, что – это полный или планарный граф (графы с К₁ по К₄). И это абсолютно справедливо. У графа есть вершины и ребра. Когда они встают в упорядоченную пару, образуется граф. Число вершин – это порядок графа, число ребер – его размер. Таким образом, квадрат – это планарный граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами, или К₄:6.

Сторона квадрата

Одно из главных условий существования квадрата – наличие равных по длине сторон – делает сторону очень важной для различных вычислений. Но в то же время дает много способов, чтобы длина стороны квадрата была вычислена при наличии самых разных исходных данных.

Итак, как найти значение стороны квадрата?

• Если вам известна только длина диагонали квадрата d, то вычислить сторону можно по следующей формуле: a=d/√2.
• Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата и, следовательно, двум радиусам, то есть: a=D=2R.
• Радиус описанной окружности тоже может помочь вычислить, чему равна сторона квадрата. Мы можем по радиусу R узнать диаметр D, который, в свою очередь, равен диагонали квадрата d, а формулу для стороны квадрата через диагональ мы уже знаем: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
• Из равенства сторон следует, что узнать сторону квадрата (a) можно при помощи его периметра P или площади S: a=√S=P/4.
• Если мы знаем длину линии, которая выходит из угла квадрата и пересекает середину его смежной стороны C, то нам также удастся узнать, какова же длина стороны квадрата: a=2C/√5.

Вот сколько способов существует, чтобы выяснить такой важный параметр, как длина стороны квадрата.

Объем квадрата

Сама фраза является абсурдом. Что такое квадрат? Это плоская фигура, имеющая всего два параметра – длину и ширину. А объем? Это количественная характеристика пространства, которое занимает объект, то есть ее можно вычислить только у объемных тел.

Объемное тело, всеми гранями которого являются квадраты, – куб. Несмотря на колоссальное и принципиальное различие, школьники довольно часто пытаются вычислить объем квадрата. Если это кому-то удастся, Нобелевская премия обеспечена.

А чтобы узнать объем куба V, достаточно перемножить все три его ребра – a, b, c: V=a*b*c. А так как они по определению равны, то формула может выглядеть иначе: V=a 3 .

Величины, части и характеристики

У квадрата, как и у любого многоугольника, есть вершины – это точки, в которых пересекаются его стороны. Вершины квадрата лежат на описанной вокруг него окружности. Через вершину в центр квадрата проходит диагональ, которая также является биссектрисой и радиусом описанной окружности.

Так как квадрат – это плоская фигура, то рассечь и построить сечение квадрата невозможно. Зато он может быть результатом пересечения многих объемных тел плоскостью. Например, цилиндра. Осевое сечение у цилиндра – прямоугольник или квадрат. Даже при пересечении тела плоскостью под произвольным углом может получиться квадрат!

Но у квадрата есть еще одно отношение к сечению, да не к какому-нибудь, а к Золотому сечению.

Все мы знаем, что Золотое сечение – это пропорция, в которой одна величина относится к другой так же, как их сумма к большей величине. В обобщенном процентном выражении это выглядит следующим образом: исходная величина (сумма) делится на 62 и 38 процентов.

Да, для начала вам нужно построить квадрат. Его сторона будет равна меньшей стороне будущего прямоугольника. Затем необходимо провести диагональ этого квадрата и, воспользовавшись циркулем, длину этой диагонали отложить на продолжении стороны квадрата. Из полученной на пересечении точки выстраиваем прямоугольник, у которого снова строим диагональ и откладываем ее длину на продолжении стороны. Если продолжить работу по этой схеме, получатся те самые динамические прямоугольники.

Отношение длинной стороны первого прямоугольника к короткой будет 0,7. Это почти 0,68 в Золотом сечении.

Углы квадрата

Собственно, что-то свежее сказать об углах уже сложно. Все свойства, они же признаки квадрата, мы перечислили. Что касается углов, их четыре (как и во всяком четырехугольнике), каждый угол в квадрате – прямой, то есть имеет размер девяносто градусов. По определению, существует лишь прямоугольный квадрат. Если углы большего или меньшего размера – это уже другая фигура.

Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть являются биссектрисами.

Уравнение квадрата

При необходимости вычислить значение различных величин у квадрата (площади, периметра, длин сторон или диагоналей) используют различные уравнения, которые выводятся из свойств квадрата, основных законов и правил геометрии.

1. Уравнение площади квадрата

Из уравнений для вычисления площади четырехугольников мы знаем, что она (площадь) равна произведению длины и ширины. А так как стороны квадрата одинаковые по длине, то площадь его будет равна длине любой стороны, возведенной во вторую степень

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить площадь квадрата, зная длину его диагонали.

2. Уравнение периметра квадрата

Периметр квадрата, как и всех четырехугольников, равен сумме длин его сторон, а так как они все одинаковые, то можно сказать, что периметр квадрата равен длине стороны, умноженной на четыре

Снова теорема Пифагора поможет нам найти периметр через диагональ. Нужно значение длины диагонали умножить на два корня из двух

3. Уравнение диагонали квадрата

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.

Найти их можно, исходя из вышеприведенных уравнений площади и периметра квадрата

Есть еще способы узнать, какова же длина диагонали квадрата. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его диагонали, отсюда

d=√2D=2√2R, где D – диаметр, а R – радиус вписанной окружности.

Зная радиус описанной окружности, рассчитать диагональ еще проще, ведь она является диаметром, то есть d=D=2R.

Но не стоит забывать, что квадрат – это участок плоскости, ограниченный четырьмя пересекающимися линиями.

Для линий (и образованных ими фигур) существует достаточно уравнений, не нуждающихся в дополнительном описании, но линия бесконечна. А многоугольники ограничены пересечением линий. Для них можно использовать линейные уравнения, объединенные в систему, задающие прямые линии. Но необходимо указывать дополнительные параметры, условия.

Для определения многоугольников же необходимо составить такое уравнение, которое бы описывало не линию, а отдельный произвольный отрезок без вмешательства дополнительных условий и описаний.

[ x/x_i ]*[ x_i/x]*y_i – вот это специальное уравнение для многоугольников.

Квадратные скобки в нем указывают на условие исключения дробной части числа, то есть мы должны оставить только целое число. y_i – функция, которая выполнятся в диапазоне параметра от x до x_i.

Используя это уравнение, можно вывести новые уравнения для вычисления отрезков и линий, состоящих из нескольких отрезков. Оно является базовым, универсальным для многоугольников.

Помним, что квадрат – это часть плоскости, поэтому его описание типа y=f(x) можно представить, чаще всего, только как многозначную функцию, которую, в свою очередь, можно выразить через однозначные, если представлять их параметрически, то есть зависящими от какого-либо параметра t:

Так вот, если использовать в совокупности универсальное уравнение и параметрическое представление, то действительно можно вывести уравнение для выражения многоугольников:

где P – диагональ прямоугольника, L – угол наклона к горизонтали диагонали P, T – параметр изменяющийся в диапазоне от P до 5P.

Если L=3,14/4, то уравнение будет описывать квадраты разной величины, в зависимости от размера диагонали P.

Применение квадрата

В современном мире технологии позволяют придавать различным материалам квадратную форму, точнее квадратное сечение.

Это во многом выгоднее, дешевле, долговечнее и безопаснее. Так, сейчас делают квадратные трубы, сваи, проволоку (провода) и даже квадратные нити.

Основные преимущества очевидны, они выходят из элементарной геометрии. При одинаковом размере площадь вписанного круга меньше площади квадрата, в который он вписан, следовательно, пропускная способность квадратной трубы или энергоемкость квадратного провода будут выше, чем у круглых аналогов.

Зачастую расходные материалы квадратного сечения более эстетичны и удобны в использовании, монтаже, креплении.

При выборе этих материалов важно правильно рассчитать сечение квадрата, чтобы провод или труба выдержали необходимую нагрузку. В каждом отдельном случае, конечно, будут необходимы такие параметры, как сила тока или давление, но и без основных геометрических правил квадрата тут не обойтись. Хотя размеры квадратных сечений уже не столько вычисляют, сколько выбирают по заданным параметрам из таблиц, установленных ГОСТами для разных отраслей.

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) – начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

[spoiler title=”источники:”]

http://fb.ru/article/134956/chto-takoe-kvadrat-kak-nayti-vershinyi-sechenie-ploskost-uravnenie-obyem-ploschad-osnovaniya-i-ugol-kvadrata

http://www.calc.ru/Uravneniye-Kvadrata-V-Dekartovoy-Sisteme-Koordinat.html

[/spoiler]

Пусть прямая l1(4x–y+1=0) одна из сторон квадрата, а точка M(1;2) его вершина. Составить уравнение остальных сторон квадрата

предмет не задан
2835

Cм. рисунок

Расстояние d от точки M(1;2) до прямой 4х-у+1=0
это длина стороны квадрата

d(M, 4x-y+1=0)=|4x_(M)-y_(M)+1|/sqrt(17)=|4*(1)-2+1|/sqrt(17)= [b]3/sqrt(17)[/b]

Уравнение прямой 4x-y+1=0 можно записать
y=4x+1
k=4
k=tg α ;
Значит прямая c угловым коэффициентом 4 – это диагональ прямоугольника, размеры 1 × 4 ( длина 1, высота 4: tgα=4/1)

Параллельная ей прямая проходит через точку М
k=4
y=4x+m
Чтобы найти m подставляем координаты точки M
2=4*1+m
m=-2

[b]y=4x-2[/b]

Перпендикулярная ей прямая имеет угловой k=-1/4
(потому что произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1))

y=(-1/4)x + b

Чтобы найти b подставляем координаты точки M
2=(-1/4)*1+b
b=2 целых 1/4

[b]y=(-1/4)x + 2 целых 1/4⇒ 4y+x-9=0[/b]

Третья сторона имеет угловой коэффициент k=(-1/4) и находится на расстоянии 3/sqrt(17) от точки M (1;2)

y=(-1/4)x+n
или
4y+x-4n=0

3/sqrt(17) =|4y_(M)+x_(M)-4n|/sqrt(17)

3/sqrt(17) =|4*1+2-4n|/sqrt(17)

|4*2+1-4n|=3 ⇒

9-4n=-3 или 9-4n=3
n=3 или n=3/2
[b]4y+x-12 =0[/b] или [b]4y+x-6=0[/b]

О т в е т. [b]y=4x-2[/b]; [b]4y+x-9=0[/b]; [b]4y+x-12 =0[/b] (или [b] 4y+x-6=0[/b])

Уравнение
вида (1)
называется уравнением прямой, проходящей
через точкуи имеющейнормаль
(нормаль
или нормальный
вектор —
это
вектор, перпендикулярный прямой).

Уравнение
(1) приводится к общему уравнению прямой:

,
(2)

где
.

Уравнение
прямой, проходящей через точку
и имеющей угловой коэффициент:

, (3)

где
(—
угол наклона прямой к оси Ох).

Уравнение
прямой c
угловым коэффициентом:

(4)

где
—
величина отрезка, который прямая отсекает
на оси Оу,
считая от начала координат.

Уравнение
прямой, проходящей через две точки точки
и:

, (5)

или

, (6)

где
—
направляющий
вектор
прямой; (6) – каноническое уравнение
прямой.

Угловой
коэффициент прямой (5) вычисляется по
формуле:

. (7)

Один
из углов между двумя прямыми вычисляется
по формуле:

, (8)

где
и— угловые коэффициенты прямых.

Условие
параллельности двух прямых:

. (9)

Условие
перпендикулярности прямых:

,
или
. (10)

Если
ни один из коэффициентов уравнения (2)
не равен нулю, то его можно преобразовать
к виду:

, (11)

где
— величины отрезков, отсекаемых прямой
на координатных осяхОх
и Оу
соответственно.
Уравнение (11) называется уравнением
прямой в «отрезках».

Нормальное
уравнение прямой
имеет вид:

(12)

где
p
— длина нормали, опущенной из начала
координат на данную прямую;
— угол между нормалью и осьюОх.

Уравнение
(2) можно привести к уравнению (12); для
этого его нужно умножить на нормирующий
множитель
:

(13)

Знак
нормирующего множителя выбирается
противоположным знаку свободного члена
С
уравнения (2).

Пусть
дана какая-нибудь прямая l
и произвольная точка
― расстояние от точкидо прямойl.
Отклонением
точкиот прямойl
называется число
,
если точкаи начало координат лежат по разные
стороны от прямойl,
и
,
еслии начало координат расположены по одну
сторону от прямойl
(если
,
то).
Отклонениевычисляется по формуле:

(14)

или

. (15)

Чтобы
найти расстояние
d
от
точки до прямой,
нужно вычислить отклонение и взять его
модуль:
,
т.е.

. (16)

Совокупность
прямых, проходящих через некоторую
точку S,
называется пучком прямых с центром S.

Если
и– уравнения двух прямых, пересекающихся
в точкеS,
то
уравнение

(17)

где
― любые числа, не равные одновременно
нулю, определяет прямую, также проходящую
через точкуS.
Уравнение (17) ― уравнение
пучка прямых
(с центром в точке S).

Рассмотрим
задачи.

Задача.
Точка E(1;-1)
является центром квадрата, одна из
сторон которого лежит на прямой
Составить уравнения прямых, на которых
лежат остальные стороны этого квадрата.

Решение.
Пусть сторона
.
ДиагоналиAC
и BD
являются биссектрисами углов квадрата.
Используя формулу (8), найдем угловой
коэффициент одной из диагоналей:

;;.

Зная
,
точкуи применив (3), найдем уравнение диагоналиАС:
;

Решив
систему уравнений прямых АВ
и АС,
найдем вершину А:

т.е.
А(-8;2).

Т.к.
,
то, согласно (10),следовательно,

Точка
Е
является серединой АС.
Используем формулу (11) из §
2
:

.

Выражаем
:,;
т.е.С(10;-4).

(опираясь
на (9)); найдем уравнение DC:

,
.

Аналогично,
ВС:
,.

Ответ:
.

Задача.
Составить уравнение сторон треугольника,
зная одну его вершину В(2;6),
а также уравнения высоты
и биссектрисы,
проведенных из одной вершины.

Решение.
Координаты точки В
не удовлетворяют уравнениям высоты и
биссектрисы.

Пусть
высота СН:
,

биссектриса
CD:
7x+y+5=0.

Найдем
вершину C:

т.е.
С(-1;2).

Составим
уравнение стороны ВС,
используя формулу (5):

;

т.е.

Из
определения биссектрисы следует, что
если на одной из сторон угла С
дана
точка В,
то точка В*,
симметричная точке В
относительно
биссектрисы CD
этого угла, лежит на другой его стороне
СА
(см. рис.).

Таким
образом, имеем:

1)

2)
точка
т.е.

3)
найдем точку В*:

т.е.
В*(-5;5).

Уравнение
стороны СА:

т.е.
СА:

Ответ:

Задача.
Составить уравнение прямой, которая
проходит через точку Р(8;6)
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12.

Решение.
Запишем уравнение искомой прямой «в
отрезках»:

(11)

Если
найдем значения параметров a
и b,
задача будет решена. Т.к. точка Р
лежит на искомой прямой, ее координаты
удовлетворяют уравнению (11):

или

Площадь
треугольника, отсекаемого прямой от
координатного угла, определяется
формулой:
,
т.к. отрезкиa
и b
могут быть как одного, так и разных
знаков. Согласно условию задачи, имеем:

Решим
систему уравнений:

Получим:
Таким образом, условию задачи удовлетворяют
две прямые:и

Задача.
Найти уравнение биссектрисы CD
треугольника АВС,
заданного координатами своих вершин:
А(2;-1),
В(-1;3), С(2;4).

Решение.
Составим уравнения сторон АС
и СВ:

Биссектриса
– геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон угла. Пусть
М(х;у)
— каждая точка биссектрисы CD,
тогда
или, применяя формулу (16), запишем:

Раскрывая
модули, получим уравнения двух прямых:

Одна
из этих прямых является биссектрисой
внутреннего угла, т.е. совпадает с CD,
а другая – внешнего угла треугольника
АВС.

Точки
А
и В
должны находиться по разные стороны от
прямой CD,
т.е. отклонения
иимеют разные знаки.
Оценим знаки этих отклоненийи,
используя формулу (15):

,

т.е.
точки А
и В
лежат по одну сторону от прямой
.
Следовательно,– биссектриса внешнего угла при вершинеС.

Ответ:

Задача.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку пересечения прямых
и
отсекающей на оси ординат отрезокРешить задачу, не определяя координат
точки пересечения данных прямых.

Решение.
Запишем уравнение пучка данных прямых:

,

т.е.

–
координаты нормали прямой пучка. Т.к.
,то
(по
условию задачи),

.
Пусть
,
тогда.

Подставляя
в уравнение пучка, найдем уравнение
искомой прямой:

.

Задачи
для самостоятельного решения.

1.
Даны
две смежные вершины
А(-3;-1)
и
В(2;2)
параллелограмма
ABCD
и
точка
Q(3;0)
пересечения
его диагоналей. Составить уравнения
сторон этого параллелограмма.
(Ответ:
)

2.
Найти
проекцию точки
Р(-6;4)
на
прямую

(Ответ:
(-2; -1))

3.
Найти
точку М₁,
симметричную
точке
М₂(8;-9)
относительно
прямой,
проходящей
через точки
А(3;-4)
и
В(-1;-2).
(Ответ:
М₁(10;-5))

4.
Луч
света направлен по прямой
Дойдя
до прямой

луч
от нее отразился. Составить уравнение
прямой, на которой лежит отраженный
луч. (Ответ:
)

5.
Составить уравнения сторон треугольника,
зная одну его вершину
С(4;-1),
а
также уравнения высоты
и
медианы
,проведенных
из одной вершины. (Ответ:
)

6.
Составить уравнения сторон треугольника,
зная одну его вершину В(2;-7),
а также уравнения высоты
и
медианы
,проведенных
из различных вершин. (Ответ:
)

7.
Определить площадь треугольника,
заключенного между осями координат и
прямой
(Ответ:
9 кв. ед.)

8.
Составить уравнение прямой, которая
проходит через точку
Р(12;6)
и
отсекает от координатного угла треугольник
с площадью, равной
150. (Ответ:
)

9.
Через точку
М(3;2)
провести
прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный
между осями координат, делился в данной
точке пополам. (Ответ:
)

10.
Даны уравнения двух сторон прямоугольника
и
одна из его вершин
А(-2;1).
Вычислить
площадь этого прямоугольника. (Ответ:
6 кв.ед.)

11.
Доказать, что прямая
пересекает
отрезок, ограниченный точками
А(-5;1)
и
В(3;7)

12.
Вычислить расстояние
d
между
параллельными прямыми:
2)

(Ответ:
1) d=2,5;
2) d=0,5)

13.
Точка
А(5;-1)
является
вершиной квадрата, одна из сторон
которого лежит на прямой
.Составить
уравнения прямых, на которых лежат
остальные стороны этого квадрата.
(Ответ: 2 квадрата:
3х+4у-11=0,
4х-3у-23=0, 3х+4у-27=0; 3х+4у-11=0, 4х-3у-23=0, 3х+4у+5=0)

14.
Составить уравнения биссектрис углов,
образованных двумя пересекающимися
прямыми:
1) x-3y+5=0,
3х-у-2=0; 2)
x-2y-3=0, 2x+4y+7=0;
3) 3x+4y-1=0,
5x+12y-2=0. (Ответ:
1) 4х-4у+3=0,
2х+2у-7=0; 2)
4х+1=0,
8у+13=0;
3) 14х-8у-3=0,
64х+112у-23=0)

15.
Составить уравнение биссектрисы угла
между прямыми

х+2у-11=0
и 3х-6у-5=0,
в котором лежит точка
М(1;-3).
(Ответ:
3х-19=0)

16.
Составить уравнение биссектрисы острого
угла, образованного двумя прямыми
3х+4х-5=0,
5х-12у+3=0.
(Ответ:
7х+56у-40=0)

17.
Через точку пересечения прямых
2х-5у-1=0
и х+4у-7=0
провести
прямую, делящую отрезок между точками
А(4;-3)
и В(-1;2)
в
отношении
(Ответ:
2х-у-5=0)

18.
Найти уравнения прямых, принадлежащих
пучку
и
перпендикулярных к каждой из основных
прямых пучка. (Ответ: 14х-7у+32=0;
7х+21у-75=0)

Соседние файлы в папке АиГ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #