Как найти уравнение секущей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 27 ноября 2022 года; проверки требует 1 правка.

Метод хорд — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Геометрическое описание метода секущих[править | править код]

Будем искать нуль функции f(x) . Выберем две начальные точки $C_{{1}}(x_{{1}};y_{{1}})$ и $C_{{2}}(x_{{2}};y_{{2}})$ и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке $(x_{{3}};0)$ . Теперь найдем значение функции с абсциссой $x_{{3}}$ . Временно будем считать $x_{{3}}$ корнем на отрезке $[x_{{1}};x_{{2}}]$ . Пусть точка $C_{{3}}$ имеет абсциссу $x_{{3}}$ и лежит на графике. Теперь вместо точек $C_{1}$ и $C_{2}$ мы возьмём точку $C_{{3}}$ и точку $C_{2}$ . Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки $C_{{n+1}}$ и $C_{{n}}$ и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

Алгебраическое описание метода секущих[править | править код]

Пусть $x_{1},x_{2}$ — абсциссы концов хорды, f(x)=0 — уравнение функции, решаемое методом секущих. Найдём коэффициенты и из системы уравнений

${displaystyle left{{begin{aligned}f(x_{1})&=kx_{1}+b,\f(x_{2})&=kx_{2}+b.\end{aligned}}right.}$

Вычтем из первого уравнения второе:

${displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=k(x_{1}-x_{2}),}$

затем найдём коэффициенты и :

${displaystyle k={frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}},}$

тогда

${displaystyle b=f(x_{1})-{frac {(f(x_{2})-f(x_{1}))x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Уравнение принимает вид

${displaystyle y={frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+f(x_{1}).}$

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

${displaystyle x_{3}=x_{1}-{frac {(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}}.}$

Теперь возьмём координаты $x_{2}$ и $x_{3}$ и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

${displaystyle x_{i+1}=x_{i-1}-{dfrac {f(x_{i-1})cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}}.}$

Повторять операцию следует до тех пор, пока ${displaystyle |x_{i}-x_{i-1}|}$ не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Метод хорд с итерационной формулой[править | править код]

Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды

Иногда методом секущих называют метод с итерационной формулой

${displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{dfrac {f(x_{i})cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f(x_{0})}}.}$

Этот метод можно считать разновидностью метода простой итерации, и он имеет меньшую скорость сходимости. Далее для определённости этот метод будем называть методом хорд, а метод, описанный в предыдущем разделе, методом секущих.

Пример использования метода секущих[править | править код]

Решим уравнение $x^{3}-18x-83=0$ методом секущих. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений x_0 и $x_{1}$ концы отрезка, на котором отделён корень: $x_{0}=8$ и $x_{1}=3$ , числовые значения $x_{0}=8$ и $x_{1}=3$ выбраны произвольно. Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет выполнено неравенство ${displaystyle |x_{i+1}-x_{i}|<varepsilon }$ .

В нашем примере, в значение $x_{{i-1}}$ подставляется $x_{0}=8$ , а в значение $x_{i}$ подставляется $x_{1}=3$ . Значение $x_{{i+1}}$ это будет числовое значение $x_{2}=underline {}4.3924051$ полученное по этой формуле. В дальнейшем $x_{2}=underline {}4.3924051$ подставляем в формулу в значение $x_{i}$ , а $x_{1}=3$ в значение $x_{{i-1}}$ .

По этой формуле последовательно получаем (подчёркнуты верные значащие цифры): (картинка из метода хорд, но не секущих, просьба разделить разделы)

Метод секущих. Первый случай

  ; 
  ;
  ;
  ; 
  ;
  ;
  ;
  ;
  ; 
  ;

Проверим, что метод работает и в том случае, если x_0 и $x_{1}$ выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём для того же уравнения $x_{0}=8$ и $x_{1}=7$ . Тогда: (картинка уже не из метода секущих, а из метода дихотомии)

Метод секущих. Второй случай

  ; 
  ; 
  ; 
  ; 
  ;
  ;
  ; 
  ;

Мы получили то же значение корня за то же число итераций.

Сходимость метода секущих[править | править код]

Итерации метода секущих сходятся к корню f(x) , если начальные величины $x_{0}$ и $x_{1}$ достаточно близки к корню. Метод секущих является быстрым. Порядок сходимости α равен золотому сечению:

${displaystyle alpha ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}approx 1{,}618...}$

Таким образом, порядок сходимости больше линейного, но не квадратичен, как у родственного метода Ньютона.

Этот результат справедлив, если f(x) дважды дифференцируема и корень не является кратным — .

Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется тем, насколько функция «волниста» в ${displaystyle [x_{0},x_{1}]}$ . Например, если в интервале есть точка, в которой , то процесс может не сходиться.

Критерий и скорость сходимости метода хорд[править | править код]

Если f(x) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, и знак f''(x) сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.
Если корень уравнения находится на отрезке [a,b] , производные f'(x) и f''(x) на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и , то можно доказать^[1], что погрешность приближенного решения стремится к нулю при , то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии (при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости).

Историческая справка[править | править код]

Первым, кто смог найти приближённые решения кубических уравнений, был Диофант, тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон (1670-е гг.).^[2]

Реализация[править | править код]

C++[править | править код]

#include <iostream>
#include <math.h>

double f(double x) {
    return sqrt(fabs(cos(x))) - x; // Заменить функцией, корни которой мы ищем
}

// a, b - пределы хорды, epsilon — необходимая погрешность
double findRoot(double a, double b, double epsilon) {
    while(fabs(b - a) > epsilon) {
        a = a - (b - a) * f(a) / (f(b) - f(a));
        b = b - (a - b) * f(b) / (f(a) - f(b));
    }
    // a, b — (i - 1)-й и i-й члены

    return b;
}

Python[править | править код]

from math import sin
from typing import Callable
import unittest


def secant(f: Callable[[float], float], x0: float, eps: float=1e-7, kmax: int=1e3) -> float:
	"""
	solves f(x) = 0 by secant method with precision eps
	:param f: f
	:param x0: starting point
	:param eps: precision wanted
	:return: root of f(x) = 0
	"""
	x, x_prev, i = x0, x0 + 2 * eps, 0
	
	while abs(x - x_prev) >= eps and i < kmax:
		x, x_prev, i = x - f(x) / (f(x) - f(x_prev)) * (x - x_prev), x, i + 1

	return x


class TestSecant(unittest.TestCase):
	def test_0(self):
		def f(x: float) -> float:
			return x**2 - 20 * sin(x)


		x0, x_star = 2, 2.7529466338187049383

		self.assertAlmostEqual(secant(f, x0), x_star)


if __name__ == '__main__':
	unittest.main()

Модификации[править | править код]

Метод ложного положения^[en] отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

См. также[править | править код]

Метод Ньютона (метод касательных)
Метод простой итерации
Обратная параболическая интерполяция

Литература[править | править код]

Демидович Б. П. и Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Наука, 1970. — С. 664.
Бахвалов, Жидков, Кобельков. Численные методы. — Наука. — ISBN 5-94774-060-5.

Примечания[править | править код]

↑ Алгебра. Дата обращения: 24 ноября 2009. Архивировано из оригинала 3 декабря 2007 года.
↑ Математика и её история. Джон Стиллвелл

Ссылки[править | править код]

Решение уравнений методом хорд онлайн
«Методы решения алгебраических уравнений» на сайте www.petrsu.ru Архивная копия от 8 января 2018 на Wayback Machine
«Методы дихотомии» на сайте www.epikoiros.narod.ru
Ю. Губарь, Курс «Введение в математическое моделирование» Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений // Интуит.ру, 15.03.2007

Источник

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
2 Изложение метода
- 2.1 Геометрическая интерпретация
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
- 4.1 Критерий останова
- 4.2 Ошибки округления
5 Файлы
6 Ссылки
7 Список литературы

Введение

Пусть задана функция f(x) действительного переменного. Требуется найти корни уравнения

(1)

Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, то есть выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

Изложение метода

Метод секущих получается из метода касательных заменой f'(x^k) разностным приближением:

$f'(x^k) approx frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.$

В результате получим формулу итерационного процесса:

(2)

$x^{k+1}=x^k-frac{x^k-x^{k-1}}{f(x^k)-f(x^{k-1})}f(x^k), ;k=1,2,ldots$

Метод секущих является двухшаговым, то есть новое приближение $x^{k+1}$ определяется двумя предыдущими итерациями x^k и $x^{k-1}.$ В методе (1) необходимо задавать два начальных приближения x^0 и x^1.

Скорость сходимости метода будет линейной: $|x^{k+1}-x*|=O(k^k-x*).$

Геометрическая интерпретация

Метод секущих

Заметим, что уравнение для секущей, проходящей через точки $M'(x^{k-1},f(x^{k-1}))$ и , будет выглядть так:

$frac{y-f(x^k)}{x-x^k}=frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.$

Положив y=0 и $x=x^{k+1},$ можно получить формулу (2). Это означает, что $x^{k+1}$ — это абсцисса точки пересечения нашей секущей с осью ОХ. Иначе говоря, на отрезке $[x^{k-1},x^k]$ функция f(x) интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение $x^{k+1}$ принимается корень этого многочлена.

Числовой пример

График функции

Рассмотрим функцию С помощью метода (2) найдем корень уравнения f(x)=0. Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «Файлы».

Возьмём в качестве начальных приближений и точность $eps=10^{-6}.$ В итоге за 8 итераций получим корень

Файлы

sekush.zip

Ссылки

Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008
Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Список литературы

Н. В. Соснин. Численные методы. Конспект лекций (сост. Д. В. Ховратович, Е. А. Попов)
Самаский А. А., Гулин А. В. Численные Методы. Учеб. пособие для вузов. — М.:Наука, 1989.

Источник

Метод секущих

Метод секущих — итерационный численный метод приближённого нахождения корня уравнения.

Немного теории о методе секущих под калькулятором.

Метод секущих

Метод секущих — модификация метода Ньютона, в котором производная (вычислять ее не всегда удобно) заменена на секущую.
Секущая — прямая, проходящая через две точки на графике функции. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются последовательные значения точек пересечения секущей с осью абсцисс.

Положим, что у нас есть две точки, x0 и x1, в которых значения функции равны соответственно f(x0) и f(x1). Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки, будет

Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение

Это и есть наша итерационная формула. Графическое отображение метода — на рисунке ниже.

Метод работает и в случае, если начальные точки выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, корня нет на отрезке между начальными приближениями), но при этом возможны случаи, когда метод не сходится.

Метод секущих является двухшаговым, то есть, новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями. Поэтому необходимо задавать два начальных приближения корня.

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

— изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε.

Численные методы: решение нелинейных уравнений

Задачи решения уравнений постоянно возникают на практике, например, в экономике, развивая бизнес, вы хотите узнать, когда прибыль достигнет определенного значения, в медицине при исследовании действия лекарственных препаратов, важно знать, когда концентрация вещества достигнет заданного уровня и т.д.

В задачах оптимизации часто необходимо определять точки, в которых производная функции обращается в 0, что является необходимым условием локального экстремума.

В статистике при построении оценок методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия также приходится решать нелинейные уравнения и системы уравнений.

Итак, возникает целый класс задач, связанных с нахождением решений нелинейных уравнений, например, уравнения или уравнения и т.д.

В простейшем случае у нас имеется функция , заданная на отрезке ( a , b ) и принимающая определенные значения.

Каждому значению x из этого отрезка мы можем сопоставить число , это и есть функциональная зависимость, ключевое понятие математики.

Нам нужно найти такое значение при котором такие называются корнями функции

Визуально нам нужно определить точку пересечения графика функции с осью абсцисс.

Метод деления пополам

Простейшим методом нахождения корней уравнения является метод деления пополам или дихотомия.

Этот метод является интуитивно ясным и каждый действовал бы при решении задачи подобным образом.

Алгоритм состоит в следующем.

Предположим, мы нашли две точки и , такие что и имеют разные знаки, тогда между этими точками находится хотя бы один корень функции .

Поделим отрезок пополам и введем среднюю точку .

Тогда либо , либо .

Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок снова делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, достижения требуемой точности.

Очевидно, постепенно мы сузим область, где находится корень функции, а, следовательно, с определенной степенью точности определим его.

Заметьте, описанный алгоритм применим для любой непрерывной функции.

К достоинствам метода деления пополам следует отнести его высокую надежность и простоту.

Недостатком метода является тот факт, что прежде чем начать его применение, необходимо найти две точки, значения функции в которых имеют разные знаки. Очевидно, что метод неприменим для корней четной кратности и также не может быть обобщен на случай комплексных корней и на системы уравнений.

Порядок сходимости метода линейный, на каждом шаге точность возрастает вдвое, чем больше сделано итераций, тем точнее определен корень.

Метод Ньютона: теоретические основы

Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если — некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке .

Уравнение касательной к функции в точке имеет вид:

В уравнении касательной положим и .

Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:

Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.

Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.

Запомните этот замечательный факт!

Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай.

Если корень является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.

Упражнение 1. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (0, 2).

Упражнение 2. Найти с помощью метода касательных решение уравнения на отрезке (1, 3).

К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие , в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.

Недостатком метода Ньютона является необходимость вычисления производных на каждом шаге.

Визуализация метода Ньютона

Метод Ньютона (метод касательных) применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:

1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;

2) f(a)·f(b) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим метод Ньютона на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2 -2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) = 2x > 0 и f ”(x) = 2 > 0.

Уравнение касательной в общем виде имеет представление:

В нашем случае: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рисунок 2. Результат первой итерации

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₂.

Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Рисунок 3. Вторая итерация метода Ньютона

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ()

Рисунок 4. Третий шаг метода касательных

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e – до выполнения неравенства |xi–xi-1|

using namespace std;

float f(double x) //возвращает значение функции f(x) = x^2-2

float df(float x) //возвращает значение производной

float d2f(float x) // значение второй производной

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

int exit = 0, i=0;//переменные для выхода и цикла

double x0,xn;// вычисляемые приближения для корня

double a, b, eps;// границы отрезка и необходимая точность

cin>>a>>b; // вводим границы отрезка, на котором будем искать корень

cin>>eps; // вводим нужную точность вычислений

if (a > b) // если пользователь перепутал границы отрезка, меняем их местами

if (f(a)*f(b)>0) // если знаки функции на краях отрезка одинаковые, то здесь нет корня

cout 0) x0 = a; // для выбора начальной точки проверяем f(x0)*d2f(x0)>0 ?

xn = x0-f(x0)/df(x0); // считаем первое приближение

cout eps) // пока не достигнем необходимой точности, будет продолжать вычислять

xn = x0-f(x0)/df(x0); // непосредственно формула Ньютона

> while (exit!=1); // пока пользователь не ввел exit = 1

Посмотрим, как это работает. Нажмем на зеленый треугольник в верхнем левом углу экрана, или же клавишу F5.

Если происходит ошибка компиляции «Ошибка error LNK1123: сбой при преобразовании в COFF: файл недопустим или поврежден», то это лечится либо установкой первого Service pack 1, либо в настройках проекта Свойства -> Компоновщик отключаем инкрементную компоновку.

Рис. 4. Решение ошибки компиляции проекта

Мы будем искать корни у функции f(x) = x2-2.

Сначала проверим работу приложения на «неправильных» входных данных. На отрезке [3; 5] нет корней, наша программа должна выдать сообщение об ошибке.

У нас появилось окно приложения:

Рис. 5. Ввод входных данных

Введем границы отрезка 3 и 5, и точность 0.05. Программа, как и надо, выдала сообщение об ошибке, что на данном отрезке корней нет.

Рис. 6. Ошибка «На этом отрезке корней нет!»

Выходить мы пока не собираемся, так что на сообщение «Exit?» вводим «0».

Теперь проверим работу приложения на корректных входных данных. Введем отрезок [0; 2] и точность 0.0001.

Рис. 7. Вычисление корня с необходимой точностью

Как мы видим, необходимая точность была достигнута уже на 4-ой итерации.

Чтобы выйти из приложения, введем «Exit?» => 1.

Метод секущих

Чтобы избежать вычисления производной, метод Ньютона можно упростить, заменив производную на приближенное значение, вычисленное по двум предыдущим точкам:

/

Итерационный процесс имеет вид:

где .

Это двухшаговый итерационный процесс, поскольку использует для нахождения последующего приближения два предыдущих.

Порядок сходимости метода секущих ниже, чем у метода касательных и равен в случае однократного корня .

Эта замечательная величина называется золотым сечением:

Убедимся в этом, считая для удобства, что .

Таким образом, с точностью до бесконечно малых более высокого порядка

Отбрасывая остаточный член, получаем рекуррентное соотношение, решение которого естественно искать в виде .

После подстановки имеем: и

Для сходимости необходимо, чтобы было положительным, поэтому .

Поскольку знание производной не требуется, то при том же объёме вычислений в методе секущих (несмотря на меньший порядок сходимости) можно добиться большей точности, чем в методе касательных.

Отметим, что вблизи корня приходится делить на малое число, и это приводит к потере точности (особенно в случае кратных корней), поэтому, выбрав относительно малое , выполняют вычисления до выполнения и продолжают их пока модуль разности соседних приближений убывает.

Как только начнется рост, вычисления прекращают и последнюю итерацию не используют.

Такая процедура определения момента окончания итераций называется приемом Гарвика.

Метод парабол

Рассмотрим трехшаговый метод, в котором приближение определяется по трем предыдущим точкам , и .

Для этого заменим, аналогично методу секущих, функцию интерполяционной параболой проходящей через точки , и .

В форме Ньютона она имеет вид:

Точка определяется как тот из корней этого полинома, который ближе по модулю к точке .

Порядок сходимости метода парабол выше, чем у метода секущих, но ниже, чем у метода Ньютона.

Важным отличием от ранее рассмотренных методов, является то обстоятельство, что даже если вещественна при вещественных и стартовые приближения выбраны вещественными, метод парабол может привести к комплексному корню исходной задачи.

Этот метод очень удобен для поиска корней многочленов высокой степени.

Метод простых итераций

Задачу нахождения решений уравнений можно формулировать как задачу нахождения корней: , или как задачу нахождения неподвижной точки.

Пусть и — сжатие: (в частности, тот факт, что — сжатие, как легко видеть, означает, что).

По теореме Банаха существует и единственна неподвижная точка

Она может быть найдена как предел простой итерационной процедуры

где начальное приближение — произвольная точка промежутка .

Если функция дифференцируема, то удобным критерием сжатия является число . Действительно, по теореме Лагранжа

Таким образом, если производная меньше единицы, то является сжатием.

Условие существенно, ибо если, например, на [0,1] , то неподвижная точка отсутствует, хотя производная равна нулю. Скорость сходимости зависит от величины . Чем меньше , тем быстрее сходимость.

Рассмотрим уравнение: .

Если в качестве взять функцию , то соответствующая итерационная процедура будет иметь вид: . Как нетрудно убедиться, метод итераций в данном случае расходится при любой начальной точке , не совпадающей с собственно неподвижной точкой .

Однако можно в качестве можно взять, например, функцию . Соответствующая итерационная процедура имеет вид: .

Эти итерации сходятся к неподвижной точке для любого начального приближения :

Действительно, в первом случае , т.е. для выполнения условия необходимо чтобы , но тогда . Таким образом, отображение сжатием не является.

Рассмотрим , неподвижная точка та же самая, ситуация другая. Здесь, хотя формально производная может быть довольно большой (при малых ж), однако уже на следующем шаге она будет меньше 1.

т.е. такой итерационный процесс всегда сходится.

Метод Ньютона представляет собой частный случай метода простых итераций.

Здесь нетрудно убедиться, что при существует окрестность корня, в которой .

то если корень кратности , то в его окрестности и, следовательно,.

Если — простой корень, то сходимость метода касательных квадратичная (то есть порядок сходимости равен 2).

Поскольку , то

Таким образом, сходимость метода Ньютона очень быстрая.

Нахождение всех корней уравнения

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно.

Чтобы найти другие корни, можно было бы брать новые стартовые точки и применять метод вновь, но нет гарантии, что при этом итерации сойдутся к новому корню, а не к уже найденному, если вообще сойдутся.

Для поиска других корней используется метод удаления корней.

Пусть — корень функции , рассмотрим функцию. Точка будет являться корнем функции на единицу меньшей кратности, чем, при этом все остальные корни у функций и совпадают с учетом кратности.

Применяя тот или иной метод нахождения корней к функции , мы найдем новый корень (который может в случае кратных корней и совпадать с ). Далее можно рассмотреть функцию и искать корни у неё.

Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни с учетом кратности.

Заметим, что когда мы производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции . Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз.

Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Мы рассмотрели решение уравнений только в одномерном случае, нахождение решений многомерных уравнений существенно более трудная задача.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось – Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

– если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить , ;

– если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

– если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

– если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: 0,

f”(a)>0″ width=”158″ height=”20″ border=”0″ />

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: 0″ width=”158″ height=”20″ border=”0″ />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: 0″ width=”122″ height=”20″ border=”0″ /> , где или .

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

– если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

– если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

Случай сводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: .

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

[spoiler title=”источники:”]

http://statistica.ru/branches-maths/chislennye-metody-resheniya-uravneniy/

http://simenergy.ru/math-analysis/solution-methods/42-chord-method

[/spoiler]

Источник

Немного теории о методе секущих под калькулятором.

Метод секущих

Критерий останова (погрешность)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Метод секущих

$frac{y - f(x_1)}{f(x_1)-f(x_0)}=frac{x - x_1}{x_1-x_0}$

Для точки пересечения с осью абсцисс (у=0) получим уравнение

$x = x_1 - frac{x_1 - x_0}{f(x_1)-f(x_0)}f(x_1)$

Это и есть наша итерационная формула. Графическое отображение метода — на рисунке ниже.

Источник: Метод секущих. Первый случай

Источник: Метод секущих. Второй случай

В качестве критерия останова берут один из следующих:

— значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.

$left|x_k-x_{k-1}right| < epsilon$ — изменение хk в результате итерации стало меньше заданого ε.

Подробнее: Метод хорд

Источник

Метод секущих – это численный метод решения нелинейных уравнений, который использует линейную аппроксимацию функции на интервале итерации, чтобы находить приближенное решение уравнения. В данной статье мы реализуем алгоритм метода секущих на языке программирования Python и по шагам разберём решение.

Метод секущих начинается с двух начальных точек x0 и x1, которые выбираются достаточно близко друг к другу на оси x. Затем метод генерирует последовательность точек x2, x3, x4, и т.д., используя линейную аппроксимацию функции между предыдущими двумя точками. То есть, метод строит секущую, проходящую через точки (x0, f(x0)) и (x1, f(x1)), и находит пересечение этой секущей с осью x, чтобы определить следующую точку x2. Затем x1 сдвигается на место x0, а x2 становится новым x1 и процесс повторяется.

Алгоритм решения нелинейного уравнения методом секущих

Выбрать начальные точки x0 и x1.
Вычислить значения функции в этих точках: f0 = f(x0), f1 = f(x1).
Построить секущую, проходящую через точки (x0, f0) и (x1, f1).
Найти пересечение секущей с осью x, чтобы определить следующую точку x2.
Проверить, достигнута ли необходимая точность или максимальное число итераций.
Если да, вернуть значение x2 как приближенное решение уравнения.
Если нет, обновить значения x0, x1, f0 и f1, и повторить шаги 3-6.

Сходимость метода секущих

Сходимость метода секущих зависит от выбора начальных точек и свойств функции, которую необходимо решить. Если начальные точки выбраны близко к корню функции и функция достаточно гладкая и монотонная в окрестности корня, то метод секущих сходится к корню суперлинейно (т.е. быстрее, чем линейно, но медленнее, чем квадратично).

Формально, если функция f(x) имеет корень x* и является дважды непрерывно дифференцируемой в окрестности x*, а начальные точки x0 и x1 выбраны достаточно близко к x*, то метод секущих сходится к x* с порядком сходимости (золотым сечением):

φ = (1 + sqrt(5)) / 2 ≈ 1.618

то есть, при каждой итерации ошибка уменьшается в примерно φ раз. Этот порядок сходимости является хуже, чем порядок квадратичной сходимости метода Ньютона, но лучше, чем линейный порядок сходимости метода простой итерации.

Преимущества метода секущих

Не требуется вычисление производной: в отличие от метода Ньютона, который использует производную функции, метод секущих основан на линейной аппроксимации функции, что позволяет избежать вычисления производной.
Простота реализации: метод секущих относительно прост в реализации и не требует сложных вычислительных процедур, таких как решение систем нелинейных уравнений.
Может быть применен для любой функции: метод секущих не имеет ограничений на классы функций, для которых он может быть применен, поскольку он не использует производные и не требует, чтобы функция была гладкой или монотонной.
Эффективен для корней с небольшой кратностью: метод секущих может быть эффективным для поиска корней с небольшой кратностью, которые могут вызвать проблемы для метода Ньютона.
Не требует хранения матрицы Якоби: метод секущих не требует хранения и обращения матрицы Якоби, что может быть проблематичным для больших систем нелинейных уравнений.
Неограниченное число итераций: метод секущих не имеет ограничений на количество итераций, которые могут быть выполнены, поэтому он может быть использован для решения задач, требующих большого числа итераций.

Недостатки метода секущих в решении нелинейных уравнений

Eсли начальные точки выбраны далеко от корня, то метод секущих может сходиться очень медленно или вообще расходиться. Кроме того, если функция имеет особенности, такие как разрывы или угловые точки, метод секущих может также расходиться или сходиться очень медленно. Поэтому, выбор начальных точек и анализ свойств функции являются важными для успешной сходимости метода секущих.

Объявление функции secant_method, которая принимает в качестве аргументов функцию f, два начальных приближения x0 и x1, а также точность вычисления eps и максимальное количество итераций max_iter.

def secant_method(f, x0, x1, eps=1e-8, max_iter=100):

Создание цикла for i in range(max_iter), который повторяется max_iter раз.

for i in range(max_iter):

Вычисление значения функции в x0 с помощью fx0 = f(x0).

Вычисление значения функции в x1 с помощью fx1 = f(x1).

Вычисление нового приближения x2 по методу секущих: x2 = x1 - (fx1 * (x1 - x0)) / (fx1 - fx0). Здесь мы используем формулу (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0)) для нахождения углового коэффициента секущей, а затем вычитаем эту величину из x1 для получения нового приближения.

x2 = x1 - (fx1 * (x1 - x0)) / (fx1 - fx0)

Проверяем, достигнута ли нужная точность. Если это так, мы нашли корень и возвращаем его.

if abs(x2 - x1) < eps:
    return x2

Перемещаем первое начальное приближение на место второго. Перемещаем второе начальное приближение на место нового приближения.

Если не удалось найти корень за максимальное количество итераций, возбуждаем исключение с помощью raise ValueError().

Метод секущих. Полный код на Python

def secant_method(f, x0, x1, eps=1e-8, max_iter=100):
    """
    Решает нелинейное уравнение f(x) = 0 методом секущих.

    :param f: функция, для которой ищется корень
    :param x0: начальное приближение
    :param x1: другое начальное приближение
    :param eps: точность вычисления (по умолчанию 1e-8)
    :param max_iter: максимальное количество итераций (по умолчанию 100)
    :return: корень уравнения f(x) = 0
    """
    for i in range(max_iter):
        fx0 = f(x0)
        fx1 = f(x1)
        x2 = x1 - (fx1 * (x1 - x0)) / (fx1 - fx0)
        if abs(x2 - x1) < eps:
            return x2
        x0 = x1
        x1 = x2
    raise ValueError("Метод не сошелся за {} итераций".format(max_iter))

f = lambda x: x**2 - 3
x0 = 1.0
x1 = 2.0
root = secant_method(f, x0, x1)
print("Корень уравнения: {}".format(root))

Теперь вы сможете при желании использовать этот код у себя в проекте, просто скопировав его и подменив функцию на ту, которую вам нужно решить.

Результат в консоли:

Если же ваша система не получила решения с помощью метода секущих, у нас на сайте вы сможете найти другие методы для решения нелинейных уравнений, например: метод половинного деления и метод хорд.

Источник

Геометрическое описание метода секущих[править | править код]

Алгебраическое описание метода секущих[править | править код]

Метод хорд с итерационной формулой[править | править код]

Пример использования метода секущих[править | править код]

Сходимость метода секущих[править | править код]

Критерий и скорость сходимости метода хорд[править | править код]

Историческая справка[править | править код]

Реализация[править | править код]

C++[править | править код]

Python[править | править код]

Модификации[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Материал из MachineLearning.

Содержание

Введение

Изложение метода

Геометрическая интерпретация

Числовой пример

Рекомендации программисту

Критерий останова

Ошибки округления

Файлы

Ссылки

Список литературы

Метод секущих

Метод секущих

Метод секущих

Численные методы: решение нелинейных уравнений

Метод деления пополам

Метод Ньютона: теоретические основы

Визуализация метода Ньютона

Метод секущих

Метод парабол

Метод простых итераций

Нахождение всех корней уравнения

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Пример решения уравнений методом хорд

Метод секущих

Метод секущих

Алгоритм решения нелинейного уравнения методом секущих

Сходимость метода секущих

Преимущества метода секущих

Недостатки метода секущих в решении нелинейных уравнений

Метод секущих. Полный код на Python

Вам также может понравиться

Как найти инста по контракту

Как составить фоторобот лукаса

Sacred как найти уникальные предметы

Добавить комментарий Отменить ответ