Как найти уравнение сферы проходящей через точки

Уравнение сферы

Пусть
сфера имеет радиус
,
а ее центр находится в точке
.
Точка
лежит на сфере тогда и только тогда,
когда модуль вектораравен,
то есть.
А последнее равенство выполнено тогда
и только тогда, когда

(1)

Уравнение
(1) и является искомым уравнением сферы.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору

Пусть
плоскость проходит через точку

перпендикулярно вектору
.

Точка

лежит на плоскости тогда и только тогда,
когда векторы
иперпендикулярны. Векторыиперпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
нулю, то есть.
Тогда уравнение плоскости записываем
в виде

(2)

Рассмотрим
пример. Найти
уравнение плоскости, проходящей через
середину отрезка АВ перпендикулярно
этому отрезку если координаты точек
соответственно равны А(1;6;9), В(5;4;7).

Будем
рассуждать следующим образом. Чтобы
найти уравнение плоскости мы должны
знать точку, через которую эта плоскость
проходит, и вектор перпендикулярный
этой плоскости. Вектором, перпендикулярным
данной плоскости, будет вектор
,
поскольку, по условию задачи, плоскость
перпендикулярна отрезку АВ. Точку
определим
из условия, что плоскость проходит через
середину АВ. Имеем
.
Таким образоми уравнение примет вид

Выясним
вопрос, проходит ли эта плоскость через
точку М(7;3;0).

Имеем
,
значит, эта плоскость не проходит через
указанную точку.

Решим
еще одну задачу.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через точку
,
параллельно векторам.

Чтобы
найти уравнение плоскости, мы должны
знать точку и вектор, перпендикулярный
этой плоскости. Точка у нас имеется, а
вот вектора не хватает. Но мы имеем в
качестве компенсации два параллельных
вектора. Теперь давайте вспомним свойства
векторного произведения векторов. А
оно гласит, что векторное произведение
двух векторов направлено перпендикулярно
плоскости, в которой эти векторы
расположены. Следовательно, в качестве
перпендикулярного вектора
может быть взято векторное произведение
векторов.
Имеем

.

Уравнение
плоскости примет вид

Еще
один пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через точки
.

Как
видим в наличии целых три точки и ни
одного вектора. Но если вспомнить, что
вектор, соединяющий две точки параллелен
плоскости, в которой эти точки лежат,
то задача сводится к предыдущей.
Следовательно, плоскости параллельны
вектор
и вектор.

Тогда

.

Уравнение
примет вид

Заметим,
что нетрудно получить общую
формулу уравнения плоскости, проходящей
через три точки
.
Она получается из следующих соображений.
Точка
лежит в данной плоскости тогда и только
тогда, когда векторы,

являются
компланарными, а значит, их смешанное
произведение равно нулю. Тогда получаем

или
окончательно

.

(3)

Общее
уравнение плоскости

Определение.
Общим уравнением поверхности первого
порядка на плоскости называется уравнение
вида
,
где.

Теорема.
Всякая плоскость может быть задана в
виде уравнения поверхности первого
порядка, и всякое уравнение поверхности
первого порядка является уравнением
некоторой плоскости.

Первая
часть этой теоремы доказывается просто.
На всякой плоскости можно указать
некоторую точку
перпендикулярный
ей вектор
.
Тогда, согласно (2), уравнение такойплоскости
имеет вид
.
Обозначим.
Тогда уравнение примет вид
.

Теперь
перейдем ко второй части теоремы. Пусть
имеется уравнение

,
где.
Будем считать для определенности.

Перепишем
уравнение в виде;;.

Рассмотрим
точку
,
где.
Тогда полученное уравнение имеет вид
,
и является уравнениемплоскости,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
.

Попутно
мы доказали, что если имеется уравнение
плоскости
вида

, то вектор
перпендикулярен даннойплоскости.

Итак,
уравнение вида
называется общим уравнением плоскости
в пространстве.

Далее
выведем
формулу вычисления расстояния от
произвольной точки до плоскости, заданной
общим уравнением.

Пусть
имеется плоскость
и точка.
Требуется определить расстояние от
указанной точки доплоскости.

Рассмотрим
произвольную точку
наплоскости.
Имеем
.
Расстояниеот точкидоплоскости
равно модулю проекции вектора
на вектор
,
перпендикулярный данной плоскости.

Имеем

,

преобразуя,
получаем:

.

Пусть
даны две плоскости,
заданные общими уравнениями

,
. Тогда векторы
перпендикулярны первой и второй прямой
соответственно. Уголмежду прямыми равен углу между векторами.
Тогдаформула
для определения угла имеет вид:

.

Условие
перпендикулярности плоскостей имеет
вид:

.

Плоскости
параллельны или совпадают тогда и только
тогда, когда векторы
колинеарны.

При
этом условие
совпадения плоскостей
имеет вид:
,

а
условие отсутствия пересечения
записывается в виде:
.

Последние
два условия докажите самостоятельно.

Исследуем
характер поведения плоскости
по ее общему уравнению.

Пусть
дано общее уравнение плоскости

.
Если
,
топлоскость
проходит через начало координат.

Рассмотрим
случай, когда ни один из коэффициентов
не равен нулю
.
Уравнение перепишем в виде
,

,

,

где.
Выясним смысл параметров
.
Найдем точки пересечения плоскости с
осями координат. Приимеем,
а приимеем_,
при
имеем.То есть– это отрезки, которые отсекает плоскость
на координатных осях. Поэтомууравнение

называется
уравнением плоскости в отрезках.

В
случае
имеем,,,

где.
То есть плоскость будет параллельна
оси
.

В
случае
имеем,,,

где.
То есть плоскость будет параллельна
оси
.

В
случае
имеем,,,

где.
То есть плоскость будет параллельна
оси
.

В
случае
имеем,,

где.
То есть плоскость будет перпендикулярна
оси
.

В
случае
имеем,,

где.
То есть плоскость будет перпендикулярна
оси
.

В
случае
имеем,,

где.
То есть плоскость будет перпендикулярна
оси
.

Соседние файлы в папке ВЕЧЕРНЕЕ 1 семестр 2012

• #
• #
• #

Уравнение сферы

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R  и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2  или

R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 .

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит,  координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

Решение:

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в  данное уравнение:

(x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = R2

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

(x+2)2+(y-2)2+z2 = 54

Задача 2.

Сфера задана уравнением:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

Решение:

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

x2+( y+1)2+( z-2)2=9

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2=9

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

02+( m+1)2+(2-2)2=9

12+(1+1)2+( m-2-2)2=9

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

m=-4;   m=2;  m=6;  m=2.

Несложно проверить, что при  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

Запишем общее уравнение сферы с радиусом R=3;

В этом уравнение должны быть такие коэффициенты a,b,c, чтобы при подстановке координат всех точек, уравнение было верным. а,b,c можно найти из системы:

Из третьего уравнения выразим b^{2}+ c^{2}:
b^{2}+ c^{2} = 9 – (4-a)^{2}
Подставим в первое уравнение. 
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим, что a=2. Мы стали на шаг ближе к истине (которая, кст, всё же останется недостижимой)
Если умножить первое уравнение и прибавить ко второму, то после раскрытия скобок и привидения подобных b=2. Ну и теперь c ничего не остаётся, кроме как равняться 1, с=1.
Вот мы и получили искомое уравнение сферы:

Задача 62578 Составить уравнение сферы, проходящей…