Как найти уравнение средней линии трапеции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнение средней линии

Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

Таким образом, уравнение прямой MN

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Сначала следует определить основания данной трапеции.

Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.

Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины AB и CD соответственно.

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Все формулы средней линии трапеции

Трапеция это фигура, которая имеет четыре стороны, две из которых параллельны, а две другие, нет. Параллельные стороны называются – верхнее основание и нижнее основание. Две другие, называются боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции – отрезок соединяющий середины боковых сторон и расположен параллельно к основаниям. Длина средней линии, равна полу сумме оснований.

1. Формула средней линии трапеции через основания

b – верхнее основание

a – нижнее основание

m – средняя линия

Формула средней линии, ( m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b – верхнее основание

a – нижнее основание

h – высота трапеции

m – средняя линия

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α , β – углы между диагоналями

d ₁ , d ₂ – диагонали трапеции

h – высота трапеции

m – средняя линия

Формулы средней линии трапеции , ( m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S – площадь трапеции

h – высота трапеции

m – средняя линия

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Основы трапеции – параллельные стороны
Боковые стороны – две другие стороны
Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a – h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a – c· cos α – d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 – 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 – 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d ₁ =	√	d 2 + ab –	a ( d 2 – c 2 )
a – b

d ₂ =	√	c 2 + ab –	a ( c 2 – d 2 )
a – b

d ₁ = √ h 2 + ( a – h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a – h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab – d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d ₁ d ₂	· sin γ	=	d ₁ d ₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 –	(	( a – b ) 2 + c 2 – d 2	)	2
2	2( a – b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p – a )( p – b )( p – a – c )( p – a – d )
\| a – b \|

где

p =	a + b + c + d	– полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d ₁
4√ p ( p – a )( p – c )( p – d ₁)

где

a – большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/average-line-trapeze

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/trapezium/

[/spoiler]

Источник

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

1 способ

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

Пример.

Решение:

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

По формулам координат середины отрезка

$[x_M = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{ - 2 + 1}}{2} = - frac{1}{2};]$

$[y_M = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{ - 4 + 6}}{2} = 1;]$

$[x_N = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{1 + 7}}{2} = 4;]$

$[y_N = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{6 + 0}}{2} = 3.]$

Таким образом,

$[M( - frac{1}{2};1),N(4;3).]$

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - frac{1}{2}) + b; \ 3 = k cdot 4 + b; \ end{array} right.]$

Отсюда

$[k = frac{4}{9},b = frac{{11}}{9},]$

$[y = frac{4}{9}x + frac{{11}}{9},9y = 4x + 11,4x - 9y + 11 = 0.]$

2 способ

Решение:

$[M( - frac{1}{2};1)]$

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

$[left{ begin{array}{l} - 4 = k cdot ( - 2) + b; \ 0 = k cdot 7 + b; \ end{array} right.]$

$[k = frac{4}{9},b = - frac{{28}}{9}, Rightarrow y = frac{4}{9}x - frac{{28}}{9}.]$

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

$[k_{MN} = k_{AC} = frac{4}{9},]$

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

$[y = frac{4}{9}x + b.]$

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

$[1 = frac{4}{9} cdot ( - frac{1}{2}) + b, Rightarrow b = 1 + frac{2}{9} = frac{{11}}{9}.]$

Таким образом, уравнение прямой MN

$[y = frac{4}{9}x + frac{{11}}{9}]$

или

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Решение:

1 способ

Сначала следует определить основания данной трапеции.

A(-2;1), D(0;-3), отсюда

$[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot ( - 2) + b; \ - 3 = k cdot 0 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - 2,b = - 3.]$

Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

$[left{ begin{array}{l} 5 = k cdot 1 + b; \ - 1 = k cdot 4 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - 2,b = 7.]$

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

$[k_{AD} = k_{BC} = - 2,]$

$[x_M = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{ - 2 + 1}}{2} = - frac{1}{2},]$

$[y_M = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{1 + 5}}{2} = 3,]$

$[x_N = frac{{x_C + x_D }}{2} = frac{{4 + 0}}{2} = 2,]$

$[y_N = frac{{y_C + y_D }}{2} = frac{{ - 1 + ( - 3)}}{2} = - 2.]$

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

$[left{ begin{array}{l} 3 = k cdot ( - frac{1}{2}) + b; \ - 2 = k cdot 2 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = - 2,b = 2,]$

то есть y=-2k+2.

2 способ

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

$[k_{MN} = k_{AD} = - 2.]$

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

$[3 = - 2 cdot ( - frac{1}{2}) + b, Rightarrow b = 2.]$

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.

Источник

1. Формула средней линии трапеции через основания

b – верхнее основание

a – нижнее основание

m– средняя линия

Формула средней линии, (m ):

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

b – верхнее основание

a – нижнее основание

α, β – углы трапеции

h – высота трапеции

m – средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m):

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

α, β – углы между диагоналями

d₁ , d₂– диагонали трапеции

h – высота трапеции

m – средняя линия

Формулы средней линии трапеции, (m ):

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

S – площадь трапеции

h – высота трапеции

m – средняя линия

Формула средней линии трапеции, (m):

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 24 сентября 2013

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Средняя линия трапеции

Это отрезок, который соединяет середины 2 боковых сторон трапеции. Существует несколько способов (формул), позволяющих узнать, чему равна средняя линия.

Рассмотрим некоторые из них.

Как найти среднюю линию трапеции через основания

Если известно, чему равны основания трапеции, то среднюю линию найти совсем не сложно.

Она будет равна полусумме оснований.

EF = (AB + CD) / 2.

Например, если основание AB = 10 см, а основание CD = 6 см, то средняя линия равна (10 + 6) / 2 = 8 см.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь и высоту

По классической формуле, площадь трапеции равна полусумме оснований умноженной на высоту. А полусумма оснований и есть средняя линия.

Поэтому, если площадь S = EF * DH, то средняя линия EF = S / DH.

Например, если площадь трапеции равна 30 кв. см, а высота – 6 см, то средняя линия = 30 / 6 = 5 см.

Как найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и угол между ними

Если неизвестна площадь трапеции, но известны диагонали и угол между ними, то можно воспользоваться одной из формул нахождения площади.

А после этого подставить полученное значение в формулу, позволяющую найти среднюю линию через площадь и высоту.

Если даны диагонали d1 и d2, а также угол между ними (например, γ), то S = 0,5 * d1 *d2 * sinγ.

Подставим это в формулу нахождения средней линии: EF = S / DH = (0,5 * AC * BD * sinγ) / DH = AC * BD * sinγ / 2DH.

Например, высота = 6 см, диагонали – 8 и 10 см, угол между ними – 30 градусов.

EF = (8 * 10 * 0,5) / (2 * 6) = 40 / 12 = 3,33 см.

Источник

1) Найдем, какая из пар сторон является основаниями (AB и CD или AD и BC)

$AB,;CD:\{2-1over1-4}=-{1over3}\{3-6over6-5}=-3\-3neq-{1over3}\\BC,;AD:\{1-3over4-6}=1\{2-6over1-5}=1\1=1$

Значит BC и AD параллельны. Значит средняя линия проходит через середины сторон AB и CD. Координаты середин сторон:

$M({2+1over2},{1+4over2})=M({3over2},{5over2})\N({3+6over2},{6+5over2})=N({9over2},{11over2})$

Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки:

${x-{3over2}over {9over2}-{3over2}}={y-{5over2}over{11over2}-{5over2}}\\x-{3over2}=y-{5over2}\\y=x+1$

Источник

Уравнение средней линии

Все формулы средней линии трапеции

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Основные свойства трапеции

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Вам также может понравиться

Как найти в телефоне пропавший ватсап

Как найти сторону треугольника если известен синус

Период функции это как найти

Добавить комментарий Отменить ответ